ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o NGUYỄN THỊ MAI TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂̄ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC[.]
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ MAI TỐN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂¯ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 z ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ MAI TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂¯ Chun ngành TỐN GIẢI TÍCH Mã số 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THẠC DŨNG Hà Nội - 2016 z Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử xác định trù mật không gian Hilbert 1.2 Không gian L2p,q (Ω, ϕ) toán tử ∂ xác định trù mật 16 L2 đánh giá cho phương trình ∂ 2.1 Các kết xấp xỉ 2.2 Phương pháp L2 ỏnh giỏ Hăormander gii phng trỡnh Tài liệu tham khảo z 30 30 40 50 Lời cảm ơn Để luận văn hoàn thành, trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo - TS Nguyễn Thạc Dũng, người tận tình hướng dẫn, bảo em suốt thời gian làm luận văn Sự dạy thầy kiến thức cách làm việc giúp em nhiều trình học tập làm việc sau Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới lãnh đạo tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Cuối em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln chia sẻ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng luận văn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý từ phía thầy cô bạn bè Em xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Nguyễn Thị Mai z Lời mở đầu Cho f dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo Lebesgue có trọng đó, việc giải phương trình ¯ =f ∂α tìm dạng vi phân α song bậc (p, q) với hệ số không gian ¯ = f nghiệm theo nghĩa suy Hilbert xác định cho đẳng thức ∂α rộng cổ điển Phương trình ∂¯ phương trình quan trọng lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức Việc giải phương trình ∂¯ gắn liền với toán xác định hàm chỉnh hình, tốn thác triển hàm chỉnh hình, xác định nhóm đối đồng điều Dolbeaux miền chỉnh hình, Bởi tính quan trọng phương trình ∂¯ giải tích phức nhiều biến, hình học phức tơ pơ, tốn giải phương trình ∂¯ tìm ứng dụng thu hút sư quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học lớn giới Trong năm 1965, bi bỏo ni ting [2], Hăormander ó a lời giải đẹp, tự nhiên sáng sủa cho tốn tồn nghiệm, quy hóa nghiệm phương trình ∂¯ phương pháp lý thuyết giải tích hàm khơng gian Hilbert Nhận thấy rằng, toán tử ∂¯ toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật khơng gian Hilbert xỏc nh Hăormander ó chng minh mt lot ước lượng L2 đánh giá vận dụng ước lượng với lý thuyết toán tử không gian Hilbert để giải trọn vẹn tốn tồn quy hóa nghiệm cho phương trình ∂¯ nói Ngay sau phương pháp L2 đánh giá Hormander giới thiệu, có nhiều thành tựu phát triển phương pháp nói ngày nhiều ứng dụng phương pháp L2 đánh giá phát Phương pháp L2 đánh giỏ Hă ormander l mt nhng cụng c quan trọng hình học phức, hình học đại số, lý thuyết đa vị, tô pô nhiều lĩnh vực khác z Nội dung luận văn trình bày lại phần phương pháp L2 đánh giỏ Hăormander da trờn ti liu tham kho [1] õy sách diễn giải tốt phương pháp Hăormander Ngi c cú th tham kho thờm bi bỏo gc ca Hăormander [2] v cun sỏch chuyờn kho [3] cng ca Hăormander tỡm hiu thờm v cỏc kt L2 đánh ứng dụng giải tích phức nhiều biến lý thuyết Luận văn trình bày lại cách chi tiết chặt chẽ phần kết chương hai sách [1] Tuy nhiên, luận văn khơng phải trình bày lại hoàn toàn mục theo thứ tự tài liệu [1] mà luận văn này, tác giả xếp lại nội dung đưa thêm lập luận, dẫn giải để người đọc dễ theo dõi thấy dễ hiểu Về mặt cấu trúc, luận văn chia thành hai chương Trong chương một, tác giả trình bày lại kết lý thuyết tốn tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật khơng gian Hilbert Sau đó, tác giả trình bày kết không gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ)-các dạng vi phân song bậc (p, q) với hệ số bình phương khả tích ứng với độ đo e−ϕ dV , Ω miền mở Cn dV độ đo Lebesgue Ω, ϕ hàm trơn Ω Tác giả chứng minh mục hai chương toán tử ∂¯ toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật từ khơng gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ1 ) vào không gian Hilbert L2(p,q+1) (Ω, ϕ2 ) với ϕ1 , ϕ2 hàm trơn Ω Trong chương hai, ¯ = f Cụ tỏc gi trỡnh by cỏc L2 ỏnh giỏ Hăormander v giải phương trình ∂α thể, mục chương này, tác giả chứng minh dạng vi phân không gian L2(p,q+1) (Ω, ϕ2 ) xấp xỉ dạng vi phân song bậc (p, q + 1) với hệ số hàm trơn có giá compact với chuẩn đồ thị GT tự nhiên (xem chi tiết Định nghĩa 2.9) Nhờ xấp xỉ này, mục hai, tác giả chứng minh hệ thức L2 cho dạng vi phân f ∈ L2(p,q) (Ω, ϕ) Theo lý thuyết toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật, hệ thức đảm bảo điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm phương trình ∂¯ Chương hai kết thúc việc chứng minh tồn nghiệm phương trình ∂¯ Vì thời gian kiến thức có hạn, hạn chế không gian luận văn, tác giả chưa thể trình bày tốn quy hóa nghiệm cho phương trình ∂¯, trình bày ứng dụng phương pháp Các độc giả muốn quan tâm thêm tham khảo tài liệu [1, 2, 3] nói z Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại vài kiến thức tốn tử xác định trù mật khơng gian Hilbert Sau đó, giới thiệu khơng gian Hilbert L2(p,q) (Ω, ϕ) dạng vi phân song bậc (p, q) bình phương khả tích Chúng ta định nghĩa tốn tử ∂¯ khơng gian L2(p,q) (Ω, ϕ) chứng minh toán tử ∂¯ toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật 1.1 Tốn tử xác định trù mật không gian Hilbert Cho H H không gian Hilbert trường số phức Ta kí hiệu tích vơ hướng H (x, y)1 với x, y ∈ H tích vơ hướng H (x, y)2 với x, y ∈ H Cho D ⊂ H tập trù mật H cho T : D → H tốn tử tuyến tính Khi ta ký hiệu miền xác định miền giá trị toán tử T D = DT , T (D) = RT Nếu miền xác định T trù mật khơng gian H , ta nói T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Xuyên suốt mục ta giả thiết T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Định nghĩa 1.1 Cho T : D → H tốn tử tuyến tính Đồ thị GT T định nghĩa nghĩa sau GT = {(x, T x)|x ∈ DT } ⊂ H × H Ta nói T tốn tử đóng đồ thị GT khơng gian đóng H × H Định nghĩa 1.2 Cho y ∈ H Ta nói y ∈ DT ∗ tồn số c = c(y) > cho với ∀x ∈ DT , ta có |(T x, y)2 | ≤ c||x||1 z Từ định nghĩa, ta nhận thấy DT ∗ không gian H Thật vậy, dễ thấy DT ∗ ⊂ H Giả sử y1 , y2 ∈ DT ∗ , với x ∈ DT , ta có |(T x, αy1 + βy2 )2 | = |(T x, αy1 )2 + (T x, βy2 )2 | ≤ |α(T x, y1 )2 | + |β(T x, y2 )2 | ≤ c1 |α|||x||1 + c2 |β|||x||1 ≤ (c1 |α| + c2 |β|)||x||1 Tức αy1 + βy2 ∈ DT ∗ Vì vậy, DT ∗ khơng gian H Do T toán tử tuyến tính xác định trù mật, để định nghĩa toán tử liên hợp T ∗ , ta cần bổ đề sau Bổ đề 1.3 Với y ∈ DT ∗ tồn z ∈ H cho (x, z)1 = (T x, y)2 với ∀x ∈ DT Đặt z = T ∗ y , T ∗ : DT ∗ → H tốn tử tuyến tính thỏa mãn (x, T ∗ y)1 = (T x, y)2 (1.1) với ∀x ∈ DT , y ∈ DT ∗ Chứng minh Với y ∈ DT ∗ cố định với x ∈ DT , xét phiếm hàm ϕ(x) = (T x, y)2 Dễ thấy T tuyến tính nên ϕ tuyến tính Do y ∈ DT ∗ , ta có |ϕ(x)| = |(T x, y)2 | ≤ c||x||1 với c số phụ thuộc vào y Do vậy, ϕ phiến hàm tuyến tính bị chặn DT Mặt khác, DT trù mật H nên với x ∈ H tồn dãy xν ∈ DT cho xν → x Ta có |ϕ(xν ) − ϕ(xµ )| = |(T (xν ) − Tµ )| ≤ c||xv − xµ || → (ν, µ → ∞) Do {ϕ(xv )} dãy Cauchy hội tụ Vì thế, ta định nghĩa ϕ(x) = lim ϕ(xν ) ν→∞ Giả sử {xν }, {x0ν } ⊂ H cho xν → x, x0ν → x, ta có |ϕ(xν ) − ϕ(x0ν )| = (T (xν − x0ν ), y)2 ≤ ckxν − x0ν k ≤ ckxν − xk + ckx0ν − xk → (khi ν → ∞) z Do ϕ(x) hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào dãy {xν } Do vậy, ta thác triển ϕ thành phiến hàm tuyến tính bị chặn H Theo định lý biểu diễn Riesz, tồn z ∈ H cho ϕ(x) = (x, z)1 với ∀x ∈ H Ta định nghĩa T ∗ y = z Từ định nghĩa ϕ, với y ∈ DT ∗ , ta có (x, T ∗ y) = (x, z)1 = ϕ(x) = (T x, y)2 , ∀x ∈ DT Tiếp theo, ta chứng minh T ∗ tuyến tính Thật vậy, với y1 , y2 ∈ DT ∗ x ∈ DT ta có (x, T ∗ (y1 + y2 ))1 = (T x, y1 + y2 )2 = (T x, y1 )2 + (T x, y2 )2 = (x, T ∗ y1 )1 + (x, T ∗ y2 )1 = (x, T ∗ y1 + T ∗ y2 )1 Chú ý DT trù mật H , ta có T ∗ (y1 + y2 ) = T ∗ y1 + T ∗ y2 Tương tự, ta có T ∗ (αy) = αT ∗ y với α ∈ C, y ∈ DT ∗ Do vậy, T ∗ tốn tử tuyến tính Từ Bổ đề 1.4 đến Bổ đề 1.6 đây, ta chứng minh T tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật T ∗ tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật Trước hết, ta chứng minh T ∗ toán tử đóng T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Bổ đề 1.4 T ∗ : DT ∗ → H tốn tử đóng Chứng minh Để chứng minh T ∗ : DT ∗ → H tốn tử đóng ta chứng minh GT ∗ = {(y, T ∗ y)|y ∈ DT ∗ } ⊂ H × H đóng Nói cách khác, giả sử (yn , xn ) ∈ GT ∗ , (yn , xn ) → (y0 , z0 ), ta chứng minh (y0 , z0 ) ∈ GT ∗ Thật vậy, (yn , xn ) ∈ GT ∗ nên yn ∈ DT ∗ zn = T ∗ yn Vì zn hội tụ đến z0 nên {zn } bị chặn, tồn số M > cho ||zn || < M với ∀n Với x ∈ DT , ta có |(T x, yn )2 | = |(x, zn )1 | ≤ ||x||||zn || ≤ M ||x||1 z Cho n → ∞, ta có |(T x, y0 )2 | ≤ M ||x||1 , điều có nghĩa y0 ∈ DT ∗ Mặt khác, với x ∈ DT cố định, ta có |(x, T ∗ yn )1 − (x, T ∗ y0 )1 | = |(T x, yn )2 − (T x, y0 )2 | = |(T x, yn − y0 )2 | ≤ ||T x||2 ||yn − y0 ||0 → n → ∞ Do vậy, với x ∈ DT cố định, ta có lim (x, zn )1 = (x, T ∗ y0 )1 Mặt khác, tích n→∞ vơ hướng liên tục, ta nhận (x, z0 )1 = lim (x, zn ) = (x, T ∗ y0 )1 (∀x ∈ DT ) n→∞ Điều chứng tỏ z0 = T ∗ y0 , (y0 , z0 ) ∈ GT ∗ , nghĩa GT ∗ đóng Bổ đề 1.5 Giả sử DT ∗ trù mật H Khi ta có DT ∗∗ ⊃ DT , T ∗∗ |DT = T Chứng minh Để chứng minh DT ∗∗ ⊃ DT ta lấy phần tử x ∈ DT chứng minh x ∈ DT ∗∗ Thật vậy, x ∈ DT , với y ∈ DT ∗ , ta có |(x, T ∗ y)1 | = |(T x, y)2 | ≤ ||T x||2 ||y||2 , ý c = kT xk không phụ thuộc vào y , từ bất đẳng thức trên, ta có x ∈ DT ∗∗ Vì DT ⊂ DT ∗∗ Mặt khác ta có (T x, y)2 = (x, T ∗ y)1 = (T ∗ y, x)1 = (y, T ∗∗ x)2 = (T ∗∗ x, y)2 Vì DT ∗ trù mật H nên ta có T x = T ∗∗ x với x ∈ DT , T ∗∗ |DT = T Dưới đây, ta T ∗ toán tử xác định trù mật T toán tử đóng Bổ đề 1.6 Cho T : DT → H tốn tử đóng Khi DT ∗ trù mật H T ∗∗ = T Chứng minh Định nghĩa H = H × H Cho (x, y) ∈ H (u, v) ∈ H Ta định nghĩa tích vơ hướng h, i H sau h(x, y), (u, v)i = (x, u)1 + (y, v)2 z ... tốn tử tuyến tính xác định trù mật Xun suốt mục ta ln giả thiết T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Định ngh? ?a 1.1 Cho T : D → H toán tử tuyến tính Đồ thị GT T định ngh? ?a ngh? ?a sau GT = {(x,... tử tuyến tính đóng, xác định trù mật T ∗ tốn tử tuyến tính đóng, xác định trù mật Trước hết, ta chứng minh T ∗ tốn tử đóng T tốn tử tuyến tính xác định trù mật Bổ đề 1.4 T ∗ : DT ∗ → H tốn tử. .. Cho D ⊂ H tập trù mật H cho T : D → H toán tử tuyến tính Khi ta ký hiệu miền xác định miền giá trị toán tử T D = DT , T (D) = RT Nếu miền xác định T trù mật khơng gian H , ta nói T tốn tử tuyến