Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trịnh Thanh Hải THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới quý thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K11, bạn học viên, bạn đồng nghiệm tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu trường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt q trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Trang i Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm 1.2 Một số tính chất toán tử sai phân 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 1.4 Phương trình sai phân phi tuyến 18 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh khá, giỏi 2.1 20 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải tốn tìm số hạng tổng qt 20 2.2 Ứng dụng tốn tử sai phân vào giải tốn tính tổng 23 2.3 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán bất đẳng thức 27 2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán chia hết, phần nguyên 29 2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào số tổ hợp 34 2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào số toán giới hạn 2.7 Một số tập đề nghị 39 Kết luận 36 54 Tài liệu tham khảo 55 ii Mở đầu Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị ta dựa vào định nghĩa, tính chất tốn tử sai phân để giải số toán sơ cấp, đơn cử: • Bài tốn chia hết, phần ngun; • Bài tốn đếm giải tích tổ hợp; • Bài tốn giới hạn hàm số; • Bài tốn bất đẳng thức; • Tính tổng dãy số; • Xác định số hạng tổng quát dãy số Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào dạng tốn kể trên, ta cịn tìm thấy nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương pháp sai phân vào giải toán thực tiễn Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào giải số toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào trình dạy học thân, Em lựa chọn đề tài ứng dụng toán tử sai phân vào giải số toán sơ cấp Luận văn có nhiệm vụ sau: • Tìm hiểu định nghĩa tính chất tốn tử sai phân; • Đọc hiểu ý tưởng vận dụng tốn tử sai phân vào giải mơt số tốn sơ cấp trình bày báo [5], [6] • Sưu tầm số toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà tập giải cách vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân; • Trình bày tường minh lời giải số toán sở vận dụng khái niệm, tính chất tốn tử sai phân Ngồi ra, luận văn trình bày cách giải khác toán so sánh phương pháp giải với lời giải ứng dụng tính chất tốn tử sai phân người đọc đưa nhận xét, so sánh lời giải với Chương Kiến thức chuẩn bị Chương sử dụng để nhắc lại kiến thức thường trình bày giáo trình giảng dạy bậc đại học Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [4] - [7] 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa 1.1.1 [5] Cho h số thực khác hàm f (x) Khi f (x + h) f (x) số thực, ta gọi ∆h f (x) = f (x + h) − f (x) sai phân bậc f x với bước nhảy h Cho hàm f, g số thực c, ta có ∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x) ∆h (cf (x)) = c∆h f (x) Ký hiệu ∆0h f (x) If (x) thay cho f (x) Với số nguyên n > 1, định nghĩa sai phân bậc n ∆nh f (x) = ∆n (∆n−1 h f )(x) Ví dụ ∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x), ∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x) Bằng quy nạp, chứng minh ∆nh f (x) = n X (−1)n−k Cnk f (x + kh), (1.1) k=0 Cn0 = Với k > 0, ta có n n(n − 1) (n − k) k = Cn = k k! Chú ý với nhiều cơng thức, cho n số thực Nếu h = ta viết ∆ bỏ qua số h Ví dụ, trường hợp dãy {xn }, có ∆xn = xn+1 − xn Nhận xét (i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, , f (x + n) = n X Cnk ∆k f (x); k=0 trường hợp đặc biệt, ∆m f (n) số khác với số nguyên dương n f (n) = n X Cnk ∆k f (0) k=0 (ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn , với an 6= với x, ta có: ∆nh P (x) = an n!hn ∆m h P (x) = 0, với m > n Với k số nguyên dương cho trước Như hàm x, Cxk có tính chất: k (a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1 (vì ∆Cxk = Cxk−1 ) (b) Ta có ∆r Cxk = Cxk−r , với r k ∆r Cxk = 0, với r > k k+1 (c) C1k + C2k + + Cnk = Cn+1 Tương tự (i), f (x) đa thức có bậc m f (x) = m X Cxk ∆k f (0) k=0 (1.2) 1.2 Một số tính chất tốn tử sai phân Tính chất 1.2.1 [4] Nếu c = const ∆c = Chứng minh Nếu c = const ∆c = c − c = Tính chất 1.2.2 [4] Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n) Chứng minh Ta có ∆(xn ) = (x + h)n − xn = n.hxn−1 + ∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + = n.h∆(xn−1 ) + n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ∆n (xn ) = n!hn Từ Tính chất 1.4.2, suy ∆m (xn ) = 0, ∀m > n Tính chất 1.2.3 [4] Nếu P (x) đa thức bậc n ta có: ∆P (x) = P (x + h) − P (x) n X hi (i) = p (x) i! i=1 Tính chất 1.2.4 [4] f (x + nh) = n X Cni ∆i f (x) i=0 Chứng minh Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x) Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được: f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h) = (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h) = = (1 + ∆)n f (x) n X Cni ∆i f (x) = i=0 Tính chất 1.2.5 [4] n ∆ f (x) = n X i=0 Cni (−1)i Cin f (x + (n − i)h) Chứng minh Ta có ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n X (−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x) = = i=0 n X i=0 (−1)i Cin f (x + (n − i)h) Tính chất 1.2.6 [4] Giả sử f ∈ C n [a; b] (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), đó: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1) n h Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với n = 1, ta có cơng thức số gia hữu hạn: f (x + h) − f (x) = f ′ (x + θh) h Giả sử công thức với k = n, nghĩa là: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh) n h Ta chứng minh công thức với k = n + Thật vậy, ta có: ∆n+1 f (x) = ∆[∆n f (x)] = ∆[hn f (n) (x + θ′ nh)], θ′ ∈ (0; 1) Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ′ nh) ta có ∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ′ nh) = hn [f (n) (x + θ′ nh + h) − f (n) (x + θ′ nh)] Đặt θ = = h(n+1) f (n+1) (x + θ′ nh + θ”h); với (θ′ , θ” ∈ (0; 1)) θ′ n+θ” n+1 ∈ (0; 1), ta có ∆(n+1) f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h)