VietJack com Facebook Học Cùng VietJack Học trực tuyến khoahoc vietjack com Youtube VietJack TV Official Bài 4 Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Câu 1 Chọn câu sai A Trong một tam giác có ba[.]
Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Câu 1: Chọn câu sai A Trong tam giác có ba đường trung tuyến B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Giao ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác D Một tam giác có hai trọng tâm Lời giải: + Một tam giác có trọng tâm nên đáp án D sai Đáp án cần chọn là: D Câu 2: Chọn câu A Trong tam giác, đoạn thẳng nối từ đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đường trung tuyến tam giác B Các đường trung tuyến tam giác cắt điểm C Trọng tâm tam giác giao ba đường trung tuyến D Cả A, B, C Lời giải: - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối đỉnh tam giác với trung điểm cạnh đối diện nên A - Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm gặp ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác nên B, C Đáp án cần chọn là: D Câu 3: Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy" A Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com B C D Lời giải: Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm tam giác cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh Số cần điền Đáp án cần chọn là: A Câu 4: Cho tam giác ABC có G trọng tâm tam giác, N trung điểm AC Khi đo BG = BN Số thích hợp điền vào chỗ trống : A B C D Lời giải: Vì G trọng tâm ABC nên BG = BN Số thích hợp điền vào chỗ trống Đáp án cần chọn A Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Câu 5: Câu 6: Cho hình vẽ sau 6.1: Biết MG = 3cm Tính MR A 1cm B 2cm C 3cm D 4,5 cm Lời giải: Ta có: MR,NS hai đường trung tuyến tam giác MNP chúng cắt G nên G trọng tâm tam giác MNP Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: MG 3 = MR = MG = = 4,5(cm) MR 2 Vậy MR = 4,5cm Đáp án cần chọn D 6.2: Biết GS = 1,5cm Tính NG A 1,5cm B 3cm C 2,25cm D 1cm Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Theo câu trước ta có G trọng tâm tam giác MNP Facebook: Học Cùng VietJack Theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: NG NG = = NG = 2GS = 2.1,5 = 3(cm) NS GS Vậy NG = 3cm Đáp án cần chọn B Câu 7:Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm G trọng tâm Độ dài đoạn AG A 4,5 cm B cm C cm D cm Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên AG = AM ( tính chất ba đường trung tuyến tam giác) 3 Do AG = = Đáp án cần chọn C Câu 8: Tam giác ABC có trung tuyến AM = 15cm G trọng tâm Độ dài đoạn AG A 7,5 cm B cm C 10 cm D 22,5 cm Lời giải: Vì G trọng tâm tam giác ABC AM đường trung tuyến nên AG = AM ( tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Do AG = 15 = 10cm Đáp án cần chọn C Câu 9:Cho G trọng tâm tam giác Chọn câu A GA = GB = GC B GA = GB GC C GA GB GC D GA GB GC Lời giải: Các tia AG,BG CG cắt BC,AC,AB D,E,F D,E,F theo thứ tự trung điểm BC,AC,AB Mà AC = AB = BC (do tam giác ABC tam giác đều), BD = DC = CE = EA = AF = FB Xét AEB AFC ta có: AB = AC Achung AE = AF AEB = AFC (c.g.c) BE = CF (1) Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Chứng minh tương tự ta có BEC = ADC (c.g c) BE = AD (2) Từ (1) (2) ta có: AD = BE = CF (3) Theo đề G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA = 2 AD; GB = BE ; GC = CF 3 Vì từ (3) ta suy GA = GB = GC Đáp án cần chọn A Câu 10: Cho G trọng tâm tam giác D,E,F trung điểm BC,AC,AB.Chọn câu A GD GE GF B GD GE GF C GD GE = GF D GD = GE = GF Lời giải: Vì D,E,F trung điểm BC,AC,AB nên BD + CE = BC GBC BG + CG BC 2 BD = BD; CG = CE 3 2 BD + CE BG + CG ( BD + CE ) BG + CG 3 BD + CE BC Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com 1 BD = DC = BC ; CE = EA = AC ; AF = FB = AB 2 Mặt khác AC = AB = BC (do tam giác ABC tam giác đều), BD = DC = CE = EA = AF = FB Xét AEB AFC ta có: AB = AC Achung AE = AF AEB = AFC (c.g.c) BE = CF (1) Chứng minh tương tự ta có BEC = ADC (c.g c) BE = AD Từ (1) (2) ta có: AD = BE = CF (2) (3) Theo đề G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA = 2 AD; GB = BE ; GC = CF 3 GD = 1 AD; GE = BE ; GF = CF 3 Kết hợp với (3) ta được: GD = GE = GF Đáp án cần chọn D Câu 11: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD;CE cho BD = CE Khi tam giác ABC A Cân B B Cân C C Vuông A D Cân A Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Hai đường trung tuyến BD CE cắt G suy G trọng tâm tam giác ABC 3 Suy BG = BD; CH = CE mà BD = CE BG = CG Từ đó: BD − BG = CE − CG GD = GE Xét tam giác BGE tam giác CGD có: BG = CG GD = GE BGE = CGD (đối đỉnh) BGE = CDG (c.g c) BE = CD 1 AB = AC 2 Do AB = AC hay tam giác ABC cân A Đáp án cần chọn D Câu 12: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài cạnh BC biết BD = 9cm; CE = 12cm A BC = 12cm B BC = 6cm C BC = 8cm D BC = 10cm Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD CE G G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có: BG = 2 BD; CG = CE 3 Mà BD = 9cm; CE = 12cm nên 2 BG = = 6cm; CG = 12 = 8cm 3 Xét tam gốc BGC vng G, theo định lí Pytago ta có: BC = BG + CG BC = 62 + 82 = 100 Hay BC = 10cm Vậy BC = 10cm Đáp án cần chọn D Câu 13: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài cạnh BC biết BD = 4,5cm; CE = 6cm A BC = 6cm B BC = 4,5cm C BC = 5cm D BC = 10cm Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack Gọi giao điểm hai đường trung tuyến BD CE G G trọng tâm tam giác ABC Theo tính chất đường trung tuyến tam giác ta có: BG = 2 BD; CG = CE 3 Mà BD = 4,5cm; CE = 6cm nên 2 BG = 4,5 = 3cm; CG = = 4cm 3 Xét tam gốc BGC vng G, theo định lí Pytago ta có: BC = 32 + 42 = 25 Hay BC = 5cm Vậy BC = 5cm Đáp án cần chọn C Câu 14: tam giác ABC, đường trung tuyến BD CE Chọn câu A BD + CE BC B BD + CE BC C BD + CE = BC D BD + CE = BC Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Gọi G giao điểm BD CE Trong GBC ta có BG + CG BC 3 Ta lại có: BD = BD; CG = CE (tính chất đường trung tuyến tam giác ABC) Từ đó: 2 BD + CE BG + CG ( BD + CE ) BG + CG 3 BD + CE BC Đáp án cần chọn B Câu 15:Cho tam giác ABC, có G trọng tâm đường trung tuyến AM,BN,CP Trên tia AG kéo dài lấy điểm D cho G trung điểm AD So sánh cạnh tam giác BGD với đường trung tuyến tam giác ABC 3 3 3 3 3 3 A BG = BN ; GD = AM ; BD CP B BG = BN ; GD = AM ; BD = CP C BG = BN ; GD = AM ; BD CP D BG = BN ; GD AM ; BD = CP Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com ABC có G trọng tâm đường trung tuyến AM,BN,CP nên theo tính chất ba đường trung tuyến tam giác ta có: AG = 2 AM ; BG = BN ; CG = CP 3 3 Vì G trung điểm AD nên GD = AG mà AG = AM (cmt), GD = AM Ta có: GD = AG = 2GM (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Mà GD = GM + MD 2GM = GM + MD GM = MD Xét BMD CMG có: GM = MD BMD = CMG (hai góc đối đỉnh) BM = MC (vì AM đường trung tuyến ABC ) BMD = CMG (c.g c ) 2 BD = CG (hai cạnh tương ứng) mà CG = CP (cmt ) nên BD = CP (cmt ) 3 3 Vậy BG = BN ; GD = AM ; BD = CP Đáp án cần chọn B Câu 16:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Chọn câu A BI = IK KE B BI IK KE C BI = IK = KE Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com D BI IK KE Lời giải: Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC 3 Khi đó: BI = BD = BE = BE (1) Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên EK = 2 1 ED = BE = BE (2) 3 3 Từ (1) (2) suy IK = BE từ BI = EK = IK Đáp án cần chọn C Câu 17: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BD Trên tia đối tia DB lấy điểm E cho DE = DB Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC;CE Gọi I;K theo thứ tự giao điểm AM,AN BE Tính BE biết IK = 3cm A 6cm B 9cm C 12cm D 15cm Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Ta có: DE = DB mà BD + DE = BE nên BD = BE BD = DE = BE Vì AM, DB hai đường trung tuyến tam giác ABC chúng cắt I nên I trọng tâm tam giác ABC 3 Khi đó: BI = BD = BE = BE (1) Vì AN, ED hai đường trung tuyến tam giác ACE chúng cắt K nên K trọng tâm tam giác ACE nên EK = 2 1 ED = BE = BE (2) 3 Mặt khác BI + IK + KE = BE kết hợp với (1);(2) suy 1 BE + IK + BE = BE IK = BE 3 Do đó: BE = 3IK = 3.3 = 9cm Đáp án cần chọn B Câu 18:Cho tam giác ABC vuông A có: AB = 5cm; BC = 13cm Ba đường trung tuyến AM,BN,CE cắt O Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com Độ dài trung tuyến BN là: Facebook: Học Cùng VietJack A 6cm B 61cm C.12cm D 65cm Lời giải: ABC vuông A nên theo định lí Pytago ta có: AB + AC = BC AC = BC − AB = 132 − 52 = 144 AC = 12 Ta có AM, BN, CE đường trung tuyến ứng với cạnh BC,AC,AB tam giác vuông ABC Suy M, N, E trung điểm cạnh BC,AC,AB AN = 1 AC = 12 = 6cm 2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABN vng A ta có: AB + AN = BN 52 + 62 = BN BN = 61 BN = 61cm Đáp án cần chọn B Câu 19: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 9cm, BC = 15cm Ba đường trung tuyến AM,BN,CE cắt O Độ dài trung tuyến CE A 10cm B 117cm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com C 12 cm Facebook: Học Cùng VietJack D 106cm Lời giải: ABC vng A nên theo định lí Pytago ta có: AB + AC = BC AB = BC − AC = 152 − 92 = 144 AB = 12 Ta có AM, BN, CE đường trung tuyến ứng với cạnh BC,AC,AB tam giác vuông ABC Suy M, N, E trung điểm cạnh BC,AC,AB AE = 1 AB = 12 = 6cm 2 Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACE vng A ta có: AC + AE = CE 92 + 62 = CE CE = 117 CE = 117cm Đáp án cần chọn B Câu 20: Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME,NF cắt O Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO 8cm A 12cm B 48cm C 36 cm D 24 cm Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Gọi MH đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME Hai đường trung tuyến ME NF cắt O nên O trọng tâm tam giác MNP, MO = ME Có ME trung tuyến ứng với cạnh NP nên E trung điểm NP, suy NP = 2NE Ta có: NK MO S MNO = = S MNE NK ME 2 S MNO = S MNE S MNE MH NE = = S MNP MH NP S MNE = S MNP 2 NK ME 2 = NK ME MH NE = MH 2.NE 2 Từ suy ra: SMNP = 2.SMNE = 3.SMNO SMNP = 3.8 = 24cm2 Đáp án cần chọn D Câu 21: Cho tam giác MNP, hai đường trung tuyến ME,NF cắt O Tính diện tích tam giác MNP, biết diện tích tam giác MNO 12cm A 18 cm B 72 cm C 54 cm D 36 cm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Lời giải: Gọi MH đường cao kẻ từ M xuống cạnh BC, NK đường cao kẻ từ N xuống cạnh ME Hai đường trung tuyến ME NF cắt O nên O trọng tâm tam giác MNP, MO = ME Có ME trung tuyến ứng với cạnh NP nên E trung điểm NP, suy NP = 2NE Ta có: NK MO S MNO = = S MNE NK ME 2 S MNO = S MNE S MNE MH NE = = S MNP MH NP S MNE = S MNP 2 NK ME 2 = NK ME MH NE = MH 2.NE 2 Từ suy ra: SMNP = 2.SMNE = 3.SMNO SMNP = 3.12 = 36cm2 Đáp án cần chọn D Câu 22: Cho ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho BE = CF Gọi G trọng tâm tam giác ABC AG cắt BC M Lấy H trung điểm AG Nối EG cắt AF N Lấy I trung điểm EG 22.1: Chọn câu A Hai tam giác ABC AEF có trọng tâm Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official VietJack.com B Hai tam giác ABC AEC có trọng tâm Facebook: Học Cùng VietJack C Hai tam giác ABC ABF có trọng tâm D Hai tam giác AEM AMF có trọng tâm Lời giải: Ta có: MB = MC (vì AM đường trung tuyến ứng với cạnh BC ABC ); BE = CF ( gt ) Mà ME = MB + BE; MF = MC + CF Suy ME = MF Do AM đường trung tuyến ứng với cạnh EF AEF Mặt khác AG = AM (do G trọng tâm ABC ) Vậy G trọng tâm AEF Đáp án cần chọn A 22.2: Chọn câu A IH / / MN ; IH = MN B IH / / MN ; IH MN C IH / / MN ; IH MN D IH / / MN ; IH = 2MN Lời giải: Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official Facebook: Học Cùng VietJack VietJack.com Theo câu trước ta có: G trọng tâm AEF nên EG = EN (tính chất ba đường trung tuyến tam giác) Mà GI = EG (Vì I trung điểm EG) 2 3 Suy GI = EN = EN Mặt khác GN = EN (vì G trọng tâm AEF ) Do GI = GN Theo câu trước ta có: AG = AM mà GH = AG (vì H trung điểm AG) 2 3 Suy GH = AM = AM Mặt khác GM = AM (vì G trọng tâm AEF ) Do đó: GH = GM Xét GHI GMN có: GI = GN (cmt) HGI = NGM (hai góc đối đỉnh) GH = GM (cmt) GHI = GMN (c.g c) HI = MN (hai cạnh tương ứng), IHG = NMG (hai góc tương ứng) Mà IHG, NMG vị trí so le nên HI//MN Đáp án cần chọn A Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official