SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÀSKKN SÁNG KIÉN KINH NGHIÊM CÁC BÀI TOÁN VÈ GIAO ĐIỀM CỦA ĐƯỜNG THẢNG VÀ PARABOL CÁP TRUNG HỌC co SỞ Lĩnh vực/ Môn TOÁN cấp học TRUNG HỌC cơ SỎ Người thực hiện Chức vụ G[.]
SỜ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÀSKKN SÁNG KIÉN KINH NGHIÊM CÁC BÀI TOÁN VÈ GIAO ĐIỀM CỦA ĐƯỜNG THẢNG VÀ PARABOL CÁP TRUNG HỌC co SỞ Lĩnh vực/ Mơn : TỐN cấp học Người thực : Chức vụ Đơn vị : TRUNG HỌC SỎ : NÃM HỌC 2016 -2017 : Giáo viên MỤC LỤC Trang ĐẬT VẨN ĐÈ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Nhiệm vụ mục đích cùa đề tài 1.3 Phạm vi đề tài 2 GIAI QUYÉT VẨN ĐÈ 2.1 Một số kiến thức bân phương trình bậc hai van đề liên quan 2.2.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 2.1.2 Hệ thức Vi-et 2.1.3 Một số tốn dấu cừa nghiệm phương trình bậc hai 2.1.4 Qui trình chung đế giải tốn liên quan đến mối quan hệ giừa hai nghiệm cùa phương trình bậc hai 2.1.5 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số Các toán giao điểm đường thẳng parabol 3.1 Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm cùa đường thằng parabol ( 3.2 Dạng 2: Sô giao diêm đường thăng parabol 3.3 Dạng 3: Đường thăng căt parabol thỏa điêu kiện vê tọa độ giao diêm; vị trí giao diêm Bài tập vận dụng 19 KÉT LUẬN VÀ KHUYÊN NGHỊ 22 TÀI 23 LIỆU THAM KHAO ĐẬT VẤN ĐÈ 1.1 Lý chọn đề tài Nghị Đại hội đại biếu toàn quốc cùa Đảng lần thứ XI đà khẳng định “Đơi bân, tồn diện giáo dục Việt Nam theo hướng chuẩn hoá, đại hoá, xà hội hóa , dân chủ hóa hội nhập quốc tế giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triên nguồn nhân lực, bồi dường nhân tài, góp phần quan trọng xây dựng đất nước, xây dựng văn hóa người Việt Nam ” Đê đạt mục tiêu đó, ngồi việc thiết kế chương trình giáo dục phơ thơng, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi phương pháp dạy học, việc giúp cho người học có hội học tập hết chương trình phơ thơng, định hướng nghề nghiệp nhùng việc làm quan trọng Cap học trung học sờ nhùng cap học quan trọng việc giúp học sinh có hội học tập theo hướng học tiling học phô thông học nghề Từ năm học 2006 - 2007 đến nay, Sở GD&ĐT Hà Nội đà lựa chọn phương án thi vào lớp 10 theo hướng kết hợp thi tuyên với xét tuyên Đối với phương án kết q thi mơn Tốn Văn nhân đơi, đóng vai trị quan trọng việc định tổng điểm học sinh Chính vậy, giáo viên ln trăn trờ việc làm đế luyện cho học sinh đạt điểm cao thi vào lớp 10 Với vai trò giáo viên dạy mơn Tốn ơn thi cho học sinh cuối cấp, nhận thấy học sinh bờ ngờ toán giao điểm đường thẳng parabol Bài tốn khơng quan trọng cap học tiling học sờ mà quan trọng học sinh học tốn cap tiling học phơ thơng Chính nhùng lí đó, tơi viết sáng kiến, kinh nghiệm “Các toán giao điểm đường thăng paraboỉ cấp trung học sở” Các tốn giao điểm cùa đưịng thẳng paraboĩ cấp trung học sở 1.2 Nhiệm vụ mục đích đề tài Trước thực đề tài học sinh gặp nhiều khó găp nhùng câu từ nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao Cụ thê, số liệu khảo sát trước thực đề tài cho 45 học sinh lớp 9G, năm học 20152016 Nhận biết Ti lệ làm 70% Thông hiểu 65% Vận dụng thấp 60% Vận dụng cao 35% Đe tài “Các toán giao điểm đường thăng vả paraboỉ cấp trung học sở” với nhiệm vụ giúp học sinh nắm vừng kiến thức, phát triển tư duy, kỳ giải dạng toán giao diêm đường thăng parabol câu hỏi liên quan Từ đó, em tự tin giải vấn đề liên quan khác Đe tài tài liệu giúp em học sinh lớp ôn thi vào lớp 10, định hướng tư toán giao điếm đường thẳng đường cong cấp trung học phô thông 1.3 Phạm vi đề tài Đe tài nghiên cứu áp dụng với đối tượng học sinh lớp Đe tài tài liệu tổng hợp củng cố kiến thức, phát triển tư cho học sinh lớp 2 GIÃI QUYÉT VẤN ĐÈ 2.1 Một số kiến thức bân phương trình bậc hai vấn đề liên quan 2.2.1 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình ax2 + bx + c = Cơng thức nghiệm 0) +) Neu A’>0, phương trình có hai nghiệm phân A = ố2 - 4ơc biệt: +) Neu A>0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: -Ố + VÃ -Ồ-VÃ Xj - —~~— 2a 2a AI _ -ố'+VÃ’ , X2 a _ -ố'-VÃ7 a +) Neu A’=o, phương trình có nghiệm +) Neu A=o, phương trình có nghiệm kép: X, = x2=-~ 2a _ kép: X] = x2 = -a +) Neu A0 +) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt o S>0 P>0 Các toán giao điểm đường thẳng paraboì cấp trung học sở ÍA>0 +) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt o P>Q S0o - 4(m-3)>0 11K13/4 b) (d) tiếp xúc với (P) o (*) có nghiệm kép oA=0o - 4(111-3 )=0 o m=13/4 (*) có nghệni kép X1=X2= -1/2 => y = -1/4 Tiếp điếm M(-l/2;-l/4) Vỉ dụ 2: Cho (P) y = -X2 (d): y = 2(m-l)x - (m+4) Chứng minh (d) ỉuôn cat (P) hai điểm phân biệt Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): -x2=2(m-l)x - (111+4)0 X2 +2(111-l)x (111+4)=0 (*) A = (m-IỴ+m + = m2-m + = m -\ + —>0 \/m l 2j => (*) có hai nghiệm phân biệt o (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt Ví dụ 3: Cho (P) y = X2 Viết phương trình tiếp tuyến cùa (P) biết: a) Tiếp tuyến song song với (d) y = X - b) Tiếp tuyến quaA(ỉ;-3) Giải a) Gọi (d') y = X + m (m^-5) song song với (d) y = x-5 Xét phương trình hồnh độ giao diêm cùa (d') (P): x2=x +m X2 - X - m=0 (*) (d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép oả=0o + 4m=0 m=-l/4 (tmđk) Vậy (d')"y = x-l/4 b) Gọi (d") y = ax + b tiếp ưiyến (P) +) A(l;-3) G (d") a+ b = -3 b = -3-a => (d"): y = ax - - a +) Xét phương trình hồnh độ giao diêm cùa (d") (P): x2=ax -3-a X2 - ax +a + 3=0 (*) (d') tiếp xúc với (P) (*) có nghiệm kép A = oữ2 -4ữ-12 = Giải pt ta a = 6; a = -2 Vậy qua A(l;-3) có hai tiếp tuyến với (P) (d") y = 6x-9; (d'"): y = -2x-l 3.3 Dạng 3: Đường thăng cắt parabol thỏa mãn điều kiện tọa độ giao điêm; vị trí giao điêm Ví dụ (Trích Đe thi vào mơn Tốn vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2011- 2012) Cho (P) y = X2 đường thẳng (d): y = 2x- m2+9 1) Tìm tọa độ giao diêm (P) (d) m = 2) Tìm m đê đường thẳng (d) cắt (P) hai điếm phân biệt nằm hai phía trục tung Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): X2 = 2x - nf + o X' - 2x + m: - = (1) 1) Với m = 1, tìm toa giao em cùa (d) (P) K/1X X2-2X-8 Phương trinh (1): =0 A' = Phương trình có hai nghiệm Xi=-2 => yi = (-2)2 = =>A(-2;4) X2=4 => yẤ = 42 = 16 =>B(4:16) 2) (d) cat (P) hai êm phân biệt nằm hai phía trạc tung o (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu o l.(ni2-9) Vw A > \/m => Phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt với m => (d) cat (P) hai diêm phân biệt với m 2) Got x± X2 lần ỉươt hồnh giao diêm cùa đường thẳng (d) paraboỉ (P) Tìm giá tri cùa m đê x2.x2 +x2.xt -xrx2 =3 Vì (*) ln có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) ta có: X + X, = -m 12 xrx2=-l x2.x2 + x2.Xj -xrx2 = 3ox1.x,(x1 + x2)-xrx2 =3 (***) Thay (**) vào (***) ta có: -l.(-m)- (-1) = m = Vỉ dụ (Trích Đe vào 10 Hà Nội năm học 2016-2017) Trong mặt phang tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m2 - paraboỉ (P): y= X2 a) Chứng minh (d) cat (P) hai diêm phân biệt với m b) Gọi Xp X2 ỉà hồnh độ giao điếm cùa (d) (P) Tìm m đê Giãi a) Chứng minh (d) cat (P) hai diêm phân biệt với m Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): X2 = 3x + m2 -Y x2-3x-m2+l = 0(*) A = (-3)2-4.1.(-w2+l) = 4m2+5 m2 > \/m => 4m2 + > Vm o A > Vw Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m Các toán giao điểm cùa đường thẳng paraboĩ cấp trung học sở o (d) cat (P) hai điểm phân biệt với m b) Gọi xp X2 hoành độ giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1+l).(x2+l) = l Ta có (Xj + l).(x2 +1) = o xpc2 + (Xj + x2) = 0(**) Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*): Xj + x2 = XjX, = (**) + -m2 + l + = 0w2=47H = ±2 Vậy m = ±2 Vỉ dụ Cho (P): y = X2 d: y - 2mx - 2m +1 a) Tìm tọa độ giao điểm cùa d (P) m = b) Tìm m đế d cắt (P) hai diêm phân biệt H(x1;y1);K(x2;y2) cho Vj + y2 = 10 Giải a) Tìm tọa độ giao diêm d (P) m = Khi m = 2, ta có phương trình hoành độ giao điếm d (P) là: X2 -4x + = Gpt ta được: X1=1=> yi=l=>A(l;l) X2=3=> y2=9=>B(3;9) b) Xét pt hoành độ giao điểm d (P): X1 - 2mx + 2m -1 = (*) *) d cat (P) hai diêm phân biệt (*) có nghiệm pbcí>m^l *) yi + y2 =10»xỉ+x2 =10«(X1 + X2)2-2X1.X2-10 = (**) Ap dụng hệ thức Vi-et cho pt (*) ta có (**) 4m2 - 4111 - = ÍX1 + X2 = 2™ [x1.x2=2zw-l 111 = -1 „ x (tmdk) 111 = Vỉ dụ Cho Paraboĩ (P): y = X2 đường thẳng dy = (/77 - 3)x - nr + a) Khi m=2 Xác định tọa độ giao diem (P) (d) Các toán giao điểm cùa đưòng thẳng paraboĩ cấp trung học sở b) Tìm m đê đường thẳng d cat (P) hai điểm phân biệt C(xi;yi); D(X2;V2) thỏa mãn: V1 + y2 = X1.X2 + 57 Giải a) Khi m=2 Xác định tọa độ giao điếm (P) (đ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): X2 = 2(z77-3)x-z772 + 7x2 -2(z77-3)x + z?72 -7 = 0(*) Khi m=2 pt (*) .r2 + 2.X-3 = Giải nghiệm Xj = l;x2 = -3 Vậy toạ độ giao điếm (d) (P) là: A(l;l) B(-3;9) b) Tìm m đê đường thẳng d cắt (P) hai điểm phân biệt C(xi;yi); D(X2ỈV2) thỏa mãn: V1+ V2 = X7.X2 + 57 +) (P) (d) cắt hai điếm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt o A' >0 o Z77 < ậ +) y1 +y2 = xrx2 + 57 X2 + X2 = xrx2 + 57 (Xj + x2 )2 - 3xrx2 = 57 (**) Áp dụng hệ thức Vi-et cho pt(*)ta có Xi+x2=2(m-3); Xi.X2=m2-7 (**) 4(Z77 - 3)2 - 3(Z772 - 7) = 57 O Z772 - 24/77 = 777 = 0(tmdk) m - 24(ỉoaí) Vậy m = Ví dụ Cho Paraboĩ (P): V = X2 đưòng thẳng (d): y = (2/77 + l)x - 2/77 a) Khi m=l Xác định tọa độ giao điểm cùa (P) (d) b) Tìm m đê (P) (d) cắt hai diêm phân biệt P(xi;yi); O(x2',y2) cho T = yỵ + y2 xrv2 nhỏ Giải a) Xét phương trình hồnh độ giao diêm cùa (d) (P): X2 = (2Z77 + l)x - 2Z77 o X2 - (2Z77 + l)x + 2z77 = 0(*) (*) X2 -(2zzz + l)x + 2zzz = Khi m=l pt x2 -3x + = Giải nghiệm Xj = 1; x2 = Vậy toạ độ giao diêm (d) (P) là: A(l;l) B(2;4) Các toán giao điểm cùa đưòng thẳng paraboĩ cấp trung học sở b) +) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt 0 o m^ 0,5 + 3T — l ~ + ~ l +) Ta có T = (Xj + x2)' - 3xtx2 Áp dụng hệ thức Viet cho (*) , T ~ y\ < X X X X X X Xx + x2 = 2m + ì xrv2 = 2ni T = (2/77 +1)2 - 3.2/77 í 1Y T = 4/772 - 2/77 +1 = 2m - — \ + — l 2) Lập luận dan đến Tmin= % m = ‘/4 Ví dụ (Trích Đe thi mơn Tốn vào lớp 10 Hà Nội, năm học 2013-2014) Cho paraboỉ (P): y = —X2 d: y = mx _ w2 + w +1 a) Với /77 = xác định tọa độ giao diem A, B Cỉìa d (P) b) Tìm /77 đê d cắt (P) hai diêm phân biệt có hồnh độ Xi; X2 cho |xj - x2| = Giải a) Với m = ta có d: y = X + — Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): ịx2 =x + ịox2-2x-3 = (1) 2 , 1A < Giải pt (1) ta có x=-l; x= Từ tìm A -1;-? ',B 3;— l 2) l 2) b) Tìm m để d cắt (P) hai điếm phân biệt có hoành độ Xi; X2 cho |xx -x2| = Xét: X2 - 2/77X + /772 - 2/77 -2 = (*) *) d cat (P) hai diêm pt kill (*) có nghiệm phân biệt o A' > o m > -1 *) |xj -x2ị = (Xj -x2)2 = (Xj + x2)2 - 4xrx2 = (**) Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*) X1 + x2 = 2/77 xrv2 =m ~ - 2m - (**)(2zw)2 -4(w2 -2zw-2) = 4zw = —- (tmđk) Vậy m = —2 Vỉ dụ Cho (P): y = -x2;(d): y - -2(m + l)x + 2m +1 Tìm m đê (d) cắt (P) hai diêm phân biệt có hồnh độ giao điểm lớn -1 Giải: Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d') (P): X2 - 2(zw + l)x + 2m + = (*) (d) cắt (P) hai diêm phân biệt có hồnh độ giao diêm lớn -1 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn -1 +) Pt có nghiệm pb o A' > nr > ZZ7 +) Vì a + b + c = 0, nên theo hệ thức Vi-et, pt đă cho có nghiệm pb: Xj = 1; x2 = 2m +1 Đê nghiệm pt lớn -1 o 2m +1> -1 m > -1 Kết hợp điều kiện: Ví dụ 10 Cho Paraboỉ (P): y = X2 đường thằng (d): y = (2m + l)x - 2m a) Khi m=l Xác định tọa độ giao điểm cùa (P) (d) b) Tìm m đê (P) (d) cắt hai diêm phân biệt có điểm có hồnh độ nhơ Giải a) Xét pt hoành độ giao điểm (d) (P): X2 -(2/ZZ + l)x + 2zz/ = Khi m=l pt x2 -3.X + = Giải nghiệm Xj = 1; x2 = Vậy toạ độ giao diêm (d) (P) là: A(l;l) B(2;4) b) +) (P) (d) cắt hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt A >0 o m^ 0,5 Từ (*) chi hai nghiệm pt là: x= X = 2m +) Đê đê (P) (d) cắt hai diêm phân biệt có diêm có hồnh Các toán giao điểm cùa đường thẳng parabol cấp trung học sở độ nhỏ o (*) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm nhỏ X = 2m => S 2/77 -3^1 ỉ + (2/77-3)2 =10 => 2/77 - = 3=>/77 = Vỉ dụ 12 (Trích Đe thi mơn Tốn vào lớp 10 - Hà Nội năm học 2015- 2016) Cho phương trình X2 - (/77 + 5)x + 3/77 + = (x an so) (1) a) Chứng minh phương trình ln cỏ nghiệm với số thực /77 b) Tìm /77 đê phương trình có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Giải a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực /77 Ta CÓ A = P-(/77 + 5)1 -4.1.(3/77 4-6) = /772 4-10/77 4-25-12/77-24 L J A = 777 - 2/77 4- = (/77 - 1) > OV/77 Nên phương trình đà cho ln có nghiệm với m b) Tìm /77 đê phương trình có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh huyền Các toán giao điểm cùa đường thẳng paraboỉ cấp trung học sở *) Phương trình (1) có hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng cùa tam giác vng (1) có hai nghiệm dương (/77 -1)2 > ÍA>0 o p > < 3m + > /77 >-2 S>0 *) Áp dụng định lý Py-ta-go ta có X2 + X2 = 52 (Xj + x2 )2 - 2XJX2 = 25 (2) (xt + X, = /77 + Ap dụng hệ thức Vi- et cho phương trình (1) ta có < [xrx2 = 3/77 + Thay vào (2) ta có: (/77 + 5)2 - 2(3/77 + 6) = 25 o m' +4/77-12 = Giải phương trình ta có m = (tmđk); m = -6 (loại) Vậy m = Ví dụ 13 Cho Paraboỉ (P) y = X2 đường thẳng (d) y=2x-m+3 a) Tìm /77 đẻ (d) cat (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ X1Ỉ X2 thô mãn -A Ị H -A a J -A ọI5 b) Gọi A B ĩà hai diêm thuộc (P) Biết hoành độ cùa A B Jan ỉượt ỉà -2 Tìm toạ độ điếm Mtrên cung AB (P) đê AMAB có diện tích ỉ ớn Giải: a) Tìm /77 đê (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ Xi; X2 thô xj + x2 = XjX2 + *) Lập luận để có pt hoành độ giao điếm X2 - 2x +m - 3=0 (1) *)(d) cắt (P) điếm pb Pt (1) có hai nghiệm A'>0/77V = - Vậy M — •4 u 4y 14.Cho Paraboỉ (P) y =X2 đường thẳng (d) y=(m+2)x-(2m-l) a) Chứng minh (d) cat (P) hai diem phân biệt b) Hãy tìm hệ thức liên hệ hồnh độ hai giao điểm (d) (P) không phụ thuộc m Giãi a) Chứng minh (d) cat (P) hai diem phân biệt Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): X1 -(w + 2)x+(2777-l) = (*) A = (m + 2)2 4(2/77-1) = in' - 4/77 + = (/77 - 2)2 + 4>0 Do phương trình đà cho ln có nghiệm phân biệt X1 %2 Các toán giao điểm cùa đưòng thẳng paraboỉ cấp trung học sở b) Hãy tìm hệ thức liên hệ hồnh độ hai giao điểm cùa (d) (P) khơng phụ thuộc m Áp dụng hệ thức Vi- et cho (*) ta có: r ÍZM = X.+x,-2(1) + x2 = 777 + [xrx2 = 2777 -1 u = 55-11(2) Từ (1) (2) ta có: Xj + x2 - = x*x^+ 2(xj +x2) —XịX2 -5 = Hệ thức cần tìm là: 2(xj + x2) - xtx2 -5 = Ví dụ 15 Cho Paraboỉ (P) y = X2 đường thẳng (d) y=mx-m+l Tỉm m đê d cat (P) hai diêm phân biệt A, B có hồnh độ Xi; X2 thỏa màn: a) |x1|+|x2|=4 b) xt - 9x2 = Crzdz a) Phương trình hồnh độ giao điểm: X2 -mx + m-1 = (*) +) Đk để d cắt (P) hai điểm phân biệt: 777 +) kl + N = (H + H)2 = 16 o (x, + x2)2 - 2xtx2 + 2|xtx2| = 16 o m2 - 2(m -1) + 2|zw -1| = 16 *)Với m>l: m=4 (tniđk); m = -4 (loại) *) Với mxB-XA = Vm; + s=3 , giải phương trình ta m = ±5/32 _ ~XA + XB