[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 ĐẠI HỌC BÁCH KH[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng – Toán ứng dụng ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ 171 NĂM 2017-2018 Mơn thi: Đại Số Tuyến Tính – Ca Ngày thi: …quên Thời gian làm bài: 90 phút Đề thức (Đáp án Ban chuyên môn CLB Chúng Ta Cùng Tiến thực hiện) Câu 1: Tìm ma trận 𝑋 cho (𝑋 + 2𝐵 𝑇 )𝐴 = 2𝐴 + 2𝑋, với: 𝐴 = (2 7 −1 1 −2) , 𝐵 = ( −2 −1 3) Giải Ta có: (𝑋 + 2𝐵 𝑇 )𝐴 = 2𝐴 + 2𝑋 ⇔ 𝑋(𝐴 − 2𝐼) = 2𝐴 − 2𝐵 𝑇 𝐴 ⇔ 𝑋 = 2(𝐴 − 𝐵 𝑇 𝐴)(𝐴 − 2𝐼)−1 20 −8 ⇒ 𝑋 = (−42 24 −28 −2 8) Câu 2: Tìm tất giá trị thực 𝑚 cho det(𝐴) = 2, với 𝐴 = ( −3 −5 −1 −4 ) 𝑚 Giải Bằng vài đường :v , ta tính được: det(𝐴) = 4𝑚 + 17 ⇒ 4m + 17 = ⇔ m = − 15 Câu 3: Trong 𝑅3 với tích vơ hướng (𝑥, 𝑦) = ((𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ), (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 )) = 3𝑥1 𝑦1 + 2𝑥1 𝑦2 + 𝑥1 𝑦3 + 2𝑥2 𝑦1 + 5𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 − 𝑥3 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦3 , cho không gian 𝐹 = {𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 )|𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = 0} a) Tìm sở số chiều khơng gian 𝐹 ⊥ Giải Ta tìm sở 𝐹 cách giải hệ 𝑥1 − 2𝑥2 − 𝑥3 = Nghiệm hệ có dạng 𝛼 (0) + 𝛽 (1) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Một sở không gian nghiệm {𝑒1 = (0) , 𝑒2 (1)} Giả sử có vector 𝑥 ∈ 𝐹 ⊥ ⇒ 𝑥 ⊥ 𝑒1 , 𝑥 ⊥ 𝑒2 ⇒ (𝑥, 𝑒1 ) = (𝑥, 𝑒2 ) = ⇒{ 4𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 = 8𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = −11 Giải hệ ta tìm sở 𝐹 {𝑒3 = ( )} dim(𝐹 ⊥ ) = ⊥ b) Tìm hình chiếu vng góc vector 𝑣 = (2, −1,1) lên không gian 𝐹 Giải Ta tìm hình chiếu 𝑣 lên 𝐹 ⊥ là: (𝑣, 𝑒3 ) −11 Pr⊥ (𝑣) = 𝑒 =− ( ) (𝑒3 , 𝑒3 ) 𝐹 12 (𝑣) = ( ⇒ Pr(𝑣) = 𝑣 − Pr ⊥ 𝐹 𝐹 13 19 ,− , ) 12 12 Câu 4: Cho AXTT 𝑓: 𝑅3 → 𝑅3 Giả sử 𝑓(1; 1; −2) = (2; 1; −2), 𝑓(2; 3; −5) = (1; 2; −3), 𝑓(3; 4; −6) = (5; 4; −7) Tìm sở số chiều ker 𝑓 Giải Dễ thấy 𝐸 = {𝑒1 = ( ) , 𝑒2 = ( ) , 𝑒3 = ( )} sở 𝑅3 −2 −5 −6 Ma trận 𝑓 sở tắc là: −1 𝐴0 = 𝑓(𝐸)𝐸 −1 = ( 1) −5 −1 −2 𝑥1 = −𝛼 7𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑥 ∈ ker 𝑓 ⇒ 𝑓(𝑥) = ⇒ { 2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = ⇔ {𝑥2 = −𝛼 𝑥3 = 3𝛼 −5𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = −1 ⇒ 𝑥 = 𝛼(−1; −1; 3) Một sở ker 𝑓 là: {(−1)} dim(ker 𝑓) = Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Câu 5: Cho AXTT 𝑓: 𝑅3 → 𝑅3 , biết 𝐴 = (2 𝐸 = {(1,1,1), (2,1,1), (1,2,1)} −3 −4) ma trận ánh xạ 𝑓 sở −7 a) Tính 𝑓(2, −1,3) Giải Ma trận 𝑓 sở tắc là: 𝐴0 = 𝐸𝐴𝐸 −1 11 −26 = (12 −30 −20 11 −26 𝑓(2; −1; 3) = (12 −30 −20 23 27) 18 23 27) (−1) = (117; 135; 90) 18 b) Tìm sở số chiều 𝐼𝑚 𝑓 Giải 𝑓(𝑥1 ; 𝑥2 ; 𝑥3 ) = (11𝑥1 − 26𝑥2 + 23𝑥3 ; 12𝑥1 − 30𝑥2 + 27𝑥3 ; 8𝑥1 − 20𝑥2 + 18𝑥3 ) = 𝑥1 (11; 12; 8) − 𝑥2 (26; 30; 20) + 𝑥3 (23; 27; 18) ⇒ 𝐼𝑚 𝑓 =< (11; 12; 8), (26; 30; 20), (23; 27; 18) > Lập ma trận: 11 (26 23 12 30 27 11 20) → ( 18 12 2) 0 Vậy sở 𝐼𝑚 𝑓 {(11; 12; 8), (0; 3; 2)} dim(𝐼𝑚 𝑓) = Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho ánh xạ tuyến tính 𝑓 phép quay quanh trục 𝑂𝑧 góc 𝜃 = 𝜋 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục 𝑂𝑧 Gọi 𝐴 làma trận ánh xạ tuyến tính sở 𝐸 = {(1; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1)} Chéo hóa (nếu được) ma trận A Giải Do 𝑓 phép quay quanh trục 𝑂𝑧 góc 𝜃 = 𝜋 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương trục 𝑂𝑧 nên ta có: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−𝑥, −𝑦, 𝑧) Ma trận 𝑓 sở tắc là: −1 0 2 −1 𝐴0 = ( −1 0) ⇒ 𝐴 = 𝐸 𝐴0 𝐸 = ( 2) 0 −2 −2 −3 Ta để ý 𝐴0 ma trận chéo, 𝐴 chéo hóa được: 𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 , với: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ −1 −1 𝑃 = 𝐸 −1 = (−1 ) , 𝐷 = 𝐴0 = ( −1 1 −1 0 0) Câu 7: Đưa dạng toàn phương 𝑄(𝑥) = 𝑄(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = 6𝑥12 + 9𝑥22 + 6𝑥32 + 4𝑥1 𝑥2 − 2𝑥1 𝑥3 − 4𝑥2 𝑥3 dạng tắc nêu rõ phép đổi biến (thí sinh dùng biến đổi trực giao biến đổi Lagrange) Giải Cách 1: Biến đổi Lagrange 1 11 𝑄(𝑥) = (𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ) + (5𝑥2 − 𝑥3 )2 + 𝑥32 Đặt { 𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 𝑦1 5𝑥2 − 𝑥3 = 𝑦2 𝑥3 = 𝑦3 1 𝑥1 = 𝑦1 − 15 𝑦2 + 10 𝑦3 ⇒ { 𝑥 = 1𝑦 + 1𝑦 5 𝑥3 = 𝑦3 Dạng tắc là: 𝑄(𝑥) = 𝑃(𝑦) = 6𝑦12 + 𝑦22 + 11 𝑦32 Cách 2: Biến đổi trực giao Ma trận dạng toàn phương là: −1 𝐴=( −2) −1 −2 𝜆 = (BĐS = 2) Xét đa thức đặc trưng 𝑃(𝜆) = −𝜆3 + 21𝜆2 − 135𝜆 + 275 = ⇔ { 𝜆2 = 11(BĐS = 1) − √2 Với 𝜆1 = ta có: 𝑃1 = ( ) , 𝑃2 = √3 1 √2 ( − √3 √3 ) √6 −2 Với 𝜆2 = 11 ta có: 𝑃3 = √6 ( √6 ) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN √2 Ma trận trực giao 𝑃 = (√2 − √3 √3 √3 Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ − − √6 ⇒ phép biến đổi 𝑥 = 𝑃𝑦 √6 √6 ) Dạng tắc là: 𝑄(𝑥) = 𝑅(𝑦) = 5𝑦12 + 5𝑦22 + 11𝑦32 - Hết - Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang