Untitled ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MA THỊ YẾN VỀ GIẢ THIẾT CỦA JESMANOWICZ LIÊN QUAN ĐẾN BỘ BA SỐ PYTHAGORAS NGUYÊN THỦY Chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - MA THỊ YẾN VỀ GIẢ THIẾT CỦA JESMANOWICZ LIÊN QUAN ĐẾN BỘ BA SỐ PYTHAGORAS NGUYÊN THỦY Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Đỗ Minh Châu THÁI NGUYÊN - 2021 LỜI CẢM ƠN Luận văn "Về giả thuyết Je´smanowicz liên quan đến ba số Pythagoras nguyên thủy" thực Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hoàn thành hướng dẫn TS Trần Đỗ Minh Châu Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cơ, Người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa họa - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Tác giả Ma Thi Yến ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đồng dư thức 1.2 Ký hiệu Legendre 1.3 Ký hiệu Jacobi 17 Chương Giả thuyết Je´ smanowicz liên quan đến ba số Pythagoras nguyên thủy 23 2.1 Bộ ba số Pythagoras nguyên thủy 24 2.2 Một trường hợp a khơng có ước nguyên tố đồng dư với theo modulo 29 2.3 Một trường hợp b bội 38 KẾT LUẬN 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 iii MỞ ĐẦU Cho a, b, c số nguyên dương Bộ ba số (a, b, c) gọi ba số Pythagoras nguyên thủy a2 + b2 = c2 a, b, c nguyên tố Bộ ba số Pythagoras xuất nhiều vấn đề nghiên cứu Tốn học, đặc biệt phương trình Diophantine Cho a, b, c số nguyên dương đơi ngun tố Bài tốn tìm nghiệm nguyên dương phương trình Diophantine ax + by = cz (1) quan tâm từ năm 1950 Đầu tiên, toán giải cho vài ba a, b, c cụ thể phép biến đổi đồng dư sơ cấp luật tương hỗ bậc hai Một số nhà tốn học tìm nghiệm đầy đủ phương trình (1) giá trị số a, b, c nhỏ Hiện nay, lý thuyết xấp xỉ Diophantine, ta kiểm tra nghiệm (1) Sử dụng lý thuyết dạng tuyến tính logarit Baker, ta cịn đưa chặn tốt độ lớn nghiệm (1) Đặc biệt có kết số nghiệm (1) không vượt 236 Trong trường hợp có thêm giả thiết tính chia hết x, y, z , ta liên hệ phương trình (1) với phương trình Diophantine khác, chẳng hạn phương trình Fermat suy rộng Hầu hết kết gần phương trình (1) liên quan đến giả thiết khác a, b, c, có trường hợp (a, b, c) ba số Pythagoras Nếu (a, b, c) ba số Pythagoras phương trình (1) ln có nghiệm (x, y, z) = (2, 2, 2) Một câu hỏi tự nhiên đặt ngồi nghiệm phương trình (1) có cịn nghiệm ngun dương khác khơng? Năm 1956, W Sierpi´ nski [11] chứng minh phương trình (1) khơng có nghiệm khác (a, b, c) = (3, 4, 5) Sau đó, Je´smanowicz [8] đưa câu trả lời phủ định cho trường hợp (a, b, c) (5, 12, 13); (7, 24, 25), (9, 40, 41); (11, 60, 61) Từ đó, Je´smanowicz đưa giả thuyết "Nếu a, b, c ba số Pythagoras nguyên thủy phương trình (1) khơng có nghiệm ngun dương khác ngồi nghiệm (2, 2, 2)" Nhiều nhà toán học chứng minh giả thuyết Je´smanowicz dừng lại vài trường hợp riêng lẻ Chú ý theo Euclid, tồn số nguyên m, n cho a = m2 − n2 , b = 2mn c = m2 + n2 , m > n > 0, gcd(m, n) = m 6≡ n( mod 2) Năm 1959, Lu[10] chứng minh giả thuyết cho trường hợp n = Năm 1965, Dem’janenko [3] đưa chứng minh m − n = Tuy nhiên, nhìn chung tốn chưa giải cho trường hợp tổng quát Khó khăn thứ chứng minh giả thuyết khẳng định nghiệm (x, y, z) chẵn Để giải vấn đề này, [2, 4], tác giả giả thiết a, b, c có ước nguyên tố định sử dụng biến đổi đồng dư sơ cấp với luật tương hỗ bậc hai để chứng minh x, y, z chẵn Đặc biệt, x, y, z chẵn ước thực mn y/2 = giả thuyết ln (xem [9]) Chẳng hạn, m ≡ (mod 8) n ≡ (mod 8) ln kéo theo (x, y, z) = (2, 2, 2) Khó khăn thứ hai chứng minh lập luận "nếu (x, y, z) chẵn (do viết x = 2X, y = 2Y, z = 2Z) ước mn (X, Y, Z) = (1, 1, 1)" Trong tình này, quan trọng cần xác định tính chẵn, lẻ X, Y, Z Ngay có giả thiết tính chẵn, lẻ X, Y, Z khó chứng minh giả thuyết Hầu hết kết giả thuyết xoay quanh giả thiết ước thực mn Rất kết xét trường hợp mn chia hết cho (xem [4]) Mục đích luận văn trình bày lại kết Takafumi Miyazaki báo On the conjecture of Je´smanowicz concerning Pythagorean triples đăng tạp chí Bull Aust Math Soc năm 2009 Trong báo này, ông xem xét giả thuyết b chia hết cho chứng minh giả thuyết a khơng có ước ngun tố đồng dư với theo modulo Ông kiểm tra tính chẵn, lẻ biến x, y, z đưa (a, b, c) thỏa mãn giả thuyết b chia hết cho Về kỹ thuật chứng minh, ông chủ yếu sử dụng đồng dư sơ cấp kết phương trình Fermat suy rộng Darmon Merel [5] Nội dung luận văn chia làm hai chương Chương trình bày kiến thức chuẩn bị đồng dư thức, ký hiệu Legendre, Ký hiệu Jacobi, Luật tương hỗ bậc hai Trong chương này, khái niệm minh họa ví dụ cụ thể tính chất chứng minh cách rõ ràng, chi tiết Nội dung chương gồm tính chất ba số Pythagoras nguyên thủy, chứng minh giả thuyết Je´smanowicz trường hợp a khơng có ước ngun tố đồng dư với theo modulo trường hợp b bội Thái Nguyên, tháng 01 năm 2021 Chương Một số kiến thức chuẩn bị Mục tiêu chương trình bày cách chi tiết khái niệm tính chất đồng dư thức, ký hiệu Legendre, Ký hiệu Jacobi, luật tương hỗ bậc hai Đây kỹ thuật dùng để chứng minh kết chương Nội dung chương trình bày dựa theo [6] 1.1 Đồng dư thức Lý thuyết đồng dư nhà toán học Gauss bắt đầu xây dựng phát triển từ đầu kỷ XIX Đây nội dung quan trọng số học Theo lịch sử, nhiều nhà Tốn học Trung Quốc có khái niệm đồng dư vận dụng việc giải nhiều tốn từ nhiều kỷ trước Việc hiểu biết khái niệm tính chất đồng dư thức giúp ta giải nhiều tốn khó số học cách nhẹ nhàng, ngắn gọn Định nghĩa 1.1.1 Cho số nguyên a, b, m Ta nói a đồng dư với b theo modulo m m | (a − b) Nếu a đồng dư với b theo modulo m ta viết a ≡ b (mod m) Nếu m ∤ (a − b) ta viết a 6≡ b (mod m) ta nói a b khơng đồng dư theo modulo m Sử dụng định nghĩa đồng dư thức, ta dễ dàng chứng minh tính chất sau đồng dư thức Mệnh đề 1.1.2 Nếu a, b số nguyên a ≡ b (mod m) tồn số nguyên k cho a = b + km Mệnh đề 1.1.3 Cho m số nguyên dương Quan hệ đồng dư theo modulo m thỏa mãn tính chất sau (i) Phản xạ: a ≡ a (mod m) với số nguyên a (ii) Đối xứng: Nếu a, b số nguyên cho a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) (iii) Bắc cầu: Nếu a, b, c số nguyên cho a ≡ b (mod m) b ≡ a (mod m) Cho số nguyên a số nguyên dương m Theo thuật toán chia với dư, ta viết a = bm + r với ≤ r ≤ m − Đẳng thức chứng tỏ a ≡ r (mod m) Vì số nguyên đồng dư với số nguyên 0, 1, , m − 1, phần dư có chia cho m Do hai số số 0, 1, , m − không đồng dư với theo modulo m nên có tất m số nguyên cho số nguyên đồng dư theo modulo m với m số Định nghĩa 1.1.4 Một hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m tập hợp số nguyên cho số nguyên đồng dư theo modulo m với số ngun tập hợp Ví dụ 1.1.5 (i) Thuật toán chia với dư chứng tỏ tập số nguyên {0, 1, , m − 1} hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m Hệ gọi hệ thặng dư không âm bé theo modulo m (ii) Cho m số nguyên dương lẻ Khi tập số nguyên − m−1 m−3 m−3 m−1 ,− , , −1, 0, 1, , , 2 2 hệ thặng dư đầy đủ Đồng dư thức có nhiều tính chất tương tự đẳng thức Trước hết, quan hệ đồng dư bảo toàn cộng, trừ nhân hai vế đồng dư thức với số nguyên Định lý 1.1.6 Nếu a, b, c, m số nguyên với m > cho a ≡ b (mod m) (i) a + c ≡ b + c (mod m), (ii) a − c ≡ b − c (mod m), (iii) ac ≡ bc (mod m) Chú ý quan hệ đồng dư chưa bảo toàn chia hai vế đồng dư thức cho số nguyên khác Chẳng hạn, 14 = 7.2 ≡ 4.2 = (mod 6) 6≡ (mod 6) Tuy nhiên, Định lý sau cho ta kết phép chia hai vế đồng dư thức cho số nguyên khác Định lý 1.1.7 Nếu a, b, c m số nguyên cho m > 0, d = gcd(c, m) ac ≡ bc (mod m), a ≡ b (mod m/d) Hệ 1.1.8 Nếu a, b, c m số nguyên cho m > gcd(c, m) = 1, ac ≡ bc (mod m) a ≡ b (mod m) Ví dụ 1.1.9 Vì 42 ≡ (mod 5) gcd(5, 7) = nên 42/7 ≡ 7/7 (mod 5) hay ≡ (mod 5) Định lý 1.1.10 Nếu a, b, c, d m số nguyên cho m > 0, a ≡ b (mod m) c ≡ d (mod m) (i) a + c ≡ b + d (mod m), (ii) a − c ≡ b − d (mod m), (iii) ac ≡ bd (mod m) Ví dụ 1.1.11 Vì 13 ≡ (mod 5) ≡ (mod 5) nên sử dụng Định lý 1.1.10 ta 20 = 13 + ≡ + ≡ (mod 5), = 13 − ≡ − = (mod 5), 91 = 13.7 ≡ 8.2 = 16 (mod 5) Định lý 1.1.12 Cho b ∈ Z Nếu r1 , r2 , , rm hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m a số nguyên dương cho gcd(a, m) = ar1 + b, ar2 + b, , arm + b hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m Chứng minh Trước hết, ta chứng minh khơng có hai số số nguyên ar1 + b, ar2 + b, , arm + b đồng dư với theo modulo m Thật vậy, arj +b ≡ ark +b (mod m) theo Định lý 1.1.6(ii) ta có arj ≡ ark (mod m) Vì gcd(a, m) = nên theo Hệ 1.1.8 ta có rj ≡ rk (mod m) Do rj 6≡ rk (mod m) j 6= k nên ta suy j = k Vì tập ar1 + b, ar2 + b, , arm + b gồm m số nguyên đôi không đồng dư với theo modulo m nên tập hệ thặng dư đầy đủ theo modulo m Định lý sau khẳng định đồng dư thức bảo toàn qua phép nâng lũy thừa Định lý 1.1.13 Nếu a, b, k m số nguyên cho k > 0, m > a ≡ b (mod m), ak ≡ bk (mod m)