Thùc hµnh CHUY£N ĐỀ CHUY£N M¤N Tªn chuyªn ®Ò Híng dÉn häc sinh gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh cã liªn quan ®Õn diÖn tÝch tam gi¸c Môc ®Ých N©ng cao kiÕn thøc cho gi¸o viªn vµ gi¸o viªn cã thÓ ¸p dông ®Ó båi[.]
CHUYÊN CHUYÊN MÔN Tên chuyên đề: Hớng dẫn học sinh giải toán hình có liên quan đến diện tích tam giác Mục đích: Nâng cao kiến thức cho giáo viên giáo viên áp dụng ®Ĩ båi dìng cho häc sinh kh¸ giái líp Nội dung Trong trình học toán nói chung nâng cao nói riêng cho học sinh đợc tiếp xúc với nhiều toán mẫu với dạng khác nhau, cách giải khác có, mức độ cao dần để nhằm rèn luyện kỹ vẽ hình óc t tởng tợng nhìn nhận mối liên quan yếu tố Giáo viên giảng thật kỹ toán mẫu đa sau mở rộng số dạng tơng tự thuộc mẫu để học sinh dựa vào mẫu mà biết cách làm dạng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hÃy nêu giải thích cách vẽ thêm đoạn thẳng để chia tam giác đó: a Thành phần có diện tích b Thành phần có diện tích Gợi ý: Hai tam giác nh có diện tích nhau? - Vẽ hình tìm cách chia - Gọi số ngời nêu cách chia giải thích Giáo viên tổng hợp ý kiến nêu giải: a Cách 1: Giáo viên vẽ hình nh sau: A Đặt vấn đề: Giả sử AM chia tam giác ABC thành phần có diện tích tam giác ACM tam giác ABM Vậy em có suy nghĩ xem điểm M có đặc biệt không? Vì tam giác ACM ABM có diện tích mà chúng lại chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy CM vµ C M B BM b»ng VËy M lµ điểm chia cạnh CB thành phần Từ rút cách chia thứ dùng thớc đo cạnh BC lấy điểm M chia đôi cạnh thành phần Nối AM ta đợc phÇn cã diƯn tÝch b»ng ( Lu ý: Điểm M cạnh AB AC) Cách 2: AM A N - Lấy điểm M BC Nối - Đo cạnh AM, chia đôi độ dài AM - Đặt N điểm cđa AM - Nèi CN, BN §êng gÊp khóc CNB chia tam giác ABC thành phần có diện tích b»ng C M B Gi¶i thÝch: SABN = SNBM ( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN=MN) (1) SACN = SCNM ( V× chung chiỊu cao hạ từ đỉnh C, đáy AN=MN) (2) Từ (1) (2) ta cã: SABN +SACN = SCNB ( phÇn cã diƯn tÝch b»ng nhau) ( Lu ý: §iĨm M lấy cạnh cách chia tơng tự) Cách 3: - Dùng thớc có vạch mi li mét chia cạnh AB thành A phần - Đặt M điểm cạnh AB cho: BM= - Tơng tự chia cạnh AC thành phần M Đặt N điểm cạnh AC cho: CN= N - Nối MN đoạn MN chia tam giác ABC thành phần có diƯn tÝch b»ng C B Gi¶i thÝch: Nèi BN ta cã: SCBN = SABN ( v× chung chiỊu cao hạ từ đỉnh B, đáy CN = đáy AN) (1) SBNM = SABN ( chung chiều cao hạ từ ®Ønh N, ®¸y BM = ®¸y AB) (2) Tõ (1) vµ (2) suy diƯn tÝch CNB = diƯn tÝch BNM (cùng diện tích ABN ) Mặt khác từ (2) ta cã: SBMN = SABN hay SBMN = SAMN VËy: SBMN + SCNB = SAMN hay diÖn tÝch tø gi¸c CNMB = diƯn tÝch tam gi¸c AMN ( phÇn cã diƯn tÝch b»ng nhau) ( Lu ý: ta tìm nhiều cách chia tơng tự) b Cách 1: - Vẽ hình nh sau: A - Đặt vấn đề: Giả sử ABC đà đợc chia thành phần có diện tích tam gi¸c : CAD, DAE, EAF, FAB VËy chóng ta thư suy nghĩ xem điểm D,E,F có đặc biƯt kh«ng? C D E F B VËy D, E, F điểm chia cạnh BC thành phần Từ rút cách chia thứ là: Dùng thớc có vạch mi li mét đo cạnh BC chia thành phần Đặt D, E, F lần lợt điểm chia BC cho CD = DE = EF = FB Nèi AD, AE, A F ta đợc đoạn thẳng chia diện tích tam giác ABC thành phần có diện tích b»ng ( Lu ý: Cã thĨ chia theo c¸c cạnh AB, AC đợc ) Cách 2: A AM - Lấy điểm M BC Nối phần D E F diÖn tÝch b»ng C M tam giác ABC thành phần có diện tích - Dùng thớc đo CB, lấy F CB cho D FD, FE chia b»ng nhau: AD = DE = EF = FM - Nèi BD, BE, BF, CD, CE, CF Các đờng gấp khúc CDB, CEB, CFB chia B C¸ch 3: A CF = = EB - Dïng thíc đo đoạn AM, chia AM thành - Đo cạnh AB, chia thành phần: AD = DE E - Nối AF, FD, FE Các đoạn thẳng AF, diện tích ABC thành phần C F Cách 4: A B cạnh F chia tam C D Cách 5: - Dùng thớc đo cạnh tam giác chia cạnh tam giác thành phần - D, E, F lần lợt điểm E BC, AB, AC - Nối AD, DE, DF ta đợc đoạn thẳng B A điểm giác ABC thành phần có diện tích - Dùng thớc đo cạnh AB, lấy D AB Đo cạnh CB, lấy điểm E, F cho: D CF = FE = - Nèi ED, AE, AF ta đợc đoạn thẳng chia tam giác ABC thành phÇn b»ng C F E B Lu ý: Từ cách chia ta mở rộng đợc nhiều cách chia khác Chẳng hạn nh cách chia sau: A ( BE = BC, AD = v v…… AC, EF = FC) D B E F C Mở rộng: - Từ toán ví dụ 1, ta dễ dàng làm đợc toán dạng nh: chia tam giác thành phần (3 phần, phần, phÇn….) t ý cã diƯn tÝch b»ng - Cao dễ tìm cách giải toán nh sau: Bài tập: Chia tứ giác ABCD thành phần ( phần, phần.) có diện tÝch b»ng VÝ dơ 2: Cho tam gi¸c ABC, cạnh AB lấy điểm M cho AM < MB HÃy tìm điểm N BC cho nối MN đoạn MN chia tam giác ABC thành phần có diện tích A - Đo cạnh AB, P điểm AB M - SACM < SBCM ( chung chiều cao hạ từ ®Ønh C, ®¸y: CM < BM ) P - SACP = SBCP ( chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AP = BP ) - Từ đỉnh P kẻ ®êng song song víi CM c¾t BC C N B N Khi tứ giác MPNC hình thang nên: S CMP= SMNC SAMNC = SMBN Vậy MN đà chia tam giác ABC thành phần có diện tích Mở rộng: tự giải: Cho tứ giác ABCD có diện tích tam giác ABC nhỏ diện tích tam giác ACD HÃy tìm điểm E DC cho nối AE đoạn AE chia tứ giác ABCD thành phần cã diƯn tÝch b»ng Cho tam gi¸c ABC cạnh AB lấy điểm M Nối CM ta đợc tam giác CAM, tìm điểm N cạnh AC cho nèi BN ta cã: SCAM = SBNC VÝ dụ 3: Cho hình thang ABCD có đờng chéo AC vµ BD H·y chøng tá r»ng: a, SACD = SBCD b, SDAB = SCAB Sau gỵi ý híng dẫn giải toán ví dụ 3, giáo viên mở rộng cho HS giải thuộc dạng nh: 1.Cho hình thang ABCD có đáy AB CD HÃy chứng tỏ diện tích tam giác AID diện tích tam giác BIC ( hÃy so sánh diện tích tam giác AID BIC ) biết I điểm chung đờng chéo AC BD Trong hình vẽ sau, ABCD hình thang, biết diện tích tam giác APD 12cm2, diện tích tam giác BQC 13 cm Tính diện tÝch tø gi¸c PMQN? A M B P Q D N C Cho tứ giác ABCD Hai đờng chéo AC BD cắt I có: IB = ID, IA = IC H·y chøng tá r»ng: a Tø giác ABCD hình thang b Cạnh đáy AB = ®¸y CD VÝ dơ 4: Cho tam gi¸c ABC cã cạnh BC dài cm Trên BC lấy điểm D cách B 1cm Nối AD, AD lấy ®iĨm E råi nèi E víi B vµ E víi C a H·y so s¸nh diƯn tÝch hai tam gi¸c AEB AEC b Cho biết diện tích tam giác ABC cm E điểm AD HÃy tính chiều cao tam giác EBC hạ từ E xuống BC Các dạng tơng tự: - Điểm D chạy BC với tỉ lệ BD CB khác - Điểm E chạy AD với tỉ lệ ED AD khác - Bài toán có thĨ cho chiỊu cao h¹ tõ E xng CB cđa tam giác CEB yêu cầu tính đoạn CB Lu ý: Các dạng có liên quan đến kiến thức hai tam giác có chung đáy ( ACE ABE CED BED ) diện tích chiều cao đại lợng tỉ lệ thuận Các mở rộng dạng nh: Cho hình vÏ sau: A E O C D BiÕt AE = AC, CD = BC a So sánh BO OE b TÝnh SAOE biÕt SBOD = 800 cm2 B Lu ý: Hoàn toàn tơng tự với toán cho tỉ lệ AE với AC CD với CB khác Cho tam giác ABC Trên AC lấy ®iĨm N cho AN = AC Trªn BC lÊy ®iĨm M cho BM = MC Nèi M víi N kéo dài cắt AB P Biết SAPN = 100 cm2 a TÝnh SABC b So s¸nh PN víi MN Lu ý: Cách giải tơng tự với toán cho tỉ lệ AN với AC BM với CB khác Ví dụ 5: Cho hình thang vuông ABCD vuông A D có diện tích 16 cm2, AB = CD, AB đáy bé, CD đáy lớn Kéo dài DA CB cắt M Tính SMAB Mở rộng: - Các dạng giải tơng tự tỉ lệ AB CD khác - Ngoài từ mở rộng cho toán nh: Ngoài kiện mà toán cho cho biết thêm độ dài đoạn MD tính độ dài đáy chiều cao hình thang ABCD Hoặc cho biết thêm đoạn AB Tính độ dài đoạn AM, MD(Từ mẫu ta tính đợc SMBD, đáy MD => tính đợc chiều cao AB => tính đợc DC = AB x 3; Diện tích hình thang ABCD biết, đáy AB, CD tính đợc => tính đợc chiều cao AD cho biết đoạn AB => tính đợc đáy DM MBD) Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có diện tích 97 cm Ngời ta léo dài cạnh CB phía B đoạn BB dài CB, kéo dài cạnh BA phía A đoạn AA dài BA kéo dài cạnh AC phía C đoạn CC AC Tính SABC Lu ý: Hoàn toàn tơng tự với toán cho tỉ lệ đoạn kéo dài thêm với cạnh tam giác khác Mở rộng: Từ toán ta dễ dàng tìm cách giải toán nh: Cho tam giác ABC có diện tích 123cm2 Kéo dài AC phía C đoạn CE dài AC Kéo dài CB phía B đoạn BF dài CB Nèi AF, EF TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c AEF Cho tam gi¸c ABC cã diƯn tÝch 96cm KÐo dài AC phía C đoạn CE dài hai lần AC Kéo dài CB phía B đoạn BF dài CB Tính diện tích tam giác AEF Lu ý: Với cho tỉ lệ đoạn kéo dài thêm với cạnh tam giác ABC khác hai mở rộng hoàn toàn có cách giải tơng tự Ví dụ 7: Cho tam giác ABC I điểm tam giác Từ I hạ IE, IK, IL lần lợt vuông góc với cạnh AB, BC, AC HÃy chứng tỏ rằng: IE + IK + IL = AH; ®ã AH đờng cao tam giác ABC Mở rộng: Từ cho học sinh làm dạng tơng tự nh: Cho điểm I nằm cạnh tam giác 2 Cho tam giác ABC cạnh băng 10 cm, diện tích 90cm2 I điểm tam giác, từ I kẻ IE, IK, IN lần lợt vuông góc với cạnh AB, BC, AC H·y tÝnh tỉng: IE +IK + IN Hoµn toµn tơng tự bài2 với sau: a, Cho tam giác ABC biết độ dài cạnh cho điểm I nh biết tổng IE + IK + IN yêu cầu tính diện tích tam giác ABC b, Cho tam giác ABC, cho biết diện tích tam giác, biết tổng IE = IK = IN yêu cầu tính cạnh tam giác ABC Kết luận: Để HS đạt kết tốt việc học dạng toán nâng cao nói chung dạng hình chuyên đề trớc hết HS phải nắm vững kiến thức kiến thức mở rộng tiếp xúc với nhiều mẫu từ dễ đến khó em chủ động tình huống, biết nhận dạng hình nhanh tự tin xử lý số liệu đề Mặt khác trình giảng dạy giáo viên cần đầu t thời gian thích đáng việc tìm hiểu dạy, su tầm phân dạng tập để hớng dẫn HS giải mang lại hiệu cao