- Ngoµi ra tõ bµi nµy cã thÓ më réng cho c¸c bµi to¸n nh: Ngoµi c¸c d÷ kiÖn mµ bài toán cho trên có thể cho biết thêm độ dài của đoạn MD tính độ dài các đáy và chiều cao của hình thang A[r]
(1)CHUY£N ĐỀ CHUY£N M¤N Tên chuyên đề: Hớng dẫn học sinh giải các bài toán hình có liên quan đến diện tÝch tam gi¸c Mục đích: Nâng cao kiến thức cho giáo viên và giáo viên có thể áp dụng để bồi dỡng cho học sinh khá giỏi lớp Néi dung Trong quá trình học toán nói chung và nâng cao nói riêng cho học sinh đợc tiếp xóc víi nhiÒu bµi to¸n mÉu víi c¸c d¹ng kh¸c nhau, c¸c c¸ch gi¶i kh¸c cã thÓ có, mức độ cao dần để nhằm rèn luyện kỹ vẽ hình và óc t tởng tợng nhìn nhËn c¸c mèi liªn quan gi÷a c¸c yÕu tè Gi¸o viªn gi¶ng thËt kü c¸c bµi to¸n mÉu ®a và sau đó mở rộng số dạng tơng tự thuộc mẫu đó để học sinh có thể dựa vào mẫu đó mà biết cách làm các dạng bài đó Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, hãy nêu và giải thích cách vẽ thêm các đoạn thẳng để chia tam giác đó: a Thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng b Thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng Gîi ý: Hai tam gi¸c nh thÕ nµo th× cã diÖn tÝch b»ng nhau? - VÏ h×nh vµ t×m c¸c c¸ch chia - Gäi mét sè ngêi nªu c¸ch chia vµ gi¶i thÝch Gi¸o viªn tæng hîp c¸c ý kiÕn vµ nªu bµi gi¶i: a C¸ch 1: Gi¸o viªn vÏ h×nh nh sau: A Đặt vấn đề: Giả sử AM chia tam giác ABC thành phần cã diÖn tÝch b»ng lµ tam gi¸c ACM vµ tam gi¸c ABM Vậy các em có suy nghĩ xem điểm M có gì đặc biÖt kh«ng? V× tam gi¸c ACM vµ ABM cã diÖn tÝch b»ng mµ chúng lại chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy CM và C M B BM b»ng VËy M lµ ®iÓm chia c¹nh CB thµnh phÇn b»ng Từ đó rút cách chia thứ là dùng thớc đo cạnh BC lấy điểm M chia đôi cạnh đó thành phần Nối AM ta đợc phần có diện tích ( Lu ý: §iÓm M còng cã thÓ trªn c¹nh AB hoÆc AC) C¸ch 2: (2) A N - LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn BC Nèi AM - Đo cạnh AM, chia đôi độ dài AM - §Æt N lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña AM - Nèi CN, BN §êng gÊp khóc CNB chia tam gi¸c ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng C M B Gi¶i thÝch: SABN = SNBM ( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy AN=MN) (1) SACN = SCNM ( Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AN=MN) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: SABN +SACN = SCNB ( phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau) ( Lu ý: §iÓm M cã thÓ lÊy trªn c¹nh vµ c¸ch chia t¬ng tù) C¸ch 3: - Dïng thíc cã v¹ch mi li mÐt chia c¹nh AB thµnh A phÇn b»ng AB - §Æt M lµ ®iÓm trªn c¹nh AB cho: BM= - T¬ng tù chia c¹nh AC thµnh phÇn b»ng AC M §Æt N lµ ®iÓm trªn c¹nh AC cho: CN= N - Nèi MN th× ®o¹n MN sÏ chia tam gi¸c ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng C B Gi¶i thÝch: Nèi BN ta cã: 1 SCBN = SABN ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh B, đáy CN = đáy AN) (1) 1 SBNM = SABN ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = đáy AB) (2) Tõ (1) vµ (2) suy diÖn tÝch Δ CNB = diÖn tÝch Δ BNM (cïng b»ng diÖn tÝch Δ ABN ) 1 MÆt kh¸c tõ (2) ta cã: SBMN = SABN hay SBMN = SAMN VËy: SBMN + SCNB = SAMN hay diÖn tÝch tø gi¸c CNMB = diÖn tÝch tam gi¸c AMN ( phÇn cã diÖn tÝch b»ng nhau) ( Lu ý: ta cßn cã thÓ t×m nhiÒu c¸ch chia t¬ng tù) b C¸ch 1: - VÏ h×nh nh sau: A - Đặt vấn đề: Giả sử Δ ABC đã đợc chia thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng lµ tam gi¸c : CAD, DAE, EAF, FAB VËy chóng ta thö suy nghÜ g× xem c¸c ®iÓm D,E,F có gì đặc biệt không? C D E F B VËy D, E, F lµ c¸c ®iÓm chia c¹nh BC thµnh phÇn b»ng Từ đó rút cách chia thứ là: Dùng thớc có vạch mi li mét đo cạnh BC chia thµnh phÇn b»ng §Æt D, E, F lÇn lît lµ c¸c ®iÓm chia trªn BC cho CD = (3) DE = EF = FB Nối AD, AE, A F ta đợc các đoạn thẳng chia diện tích tam giác ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng ( Lu ý: Có thể chia theo các cạnh AB, AC đợc ) C¸ch 2: A - LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn BC Nèi AM - Dïng thíc ®o ®o¹n AM, chia AM thµnh phÇn b»ng nhau: AD = DE = EF = FM - Nèi BD, BE, BF, CD, CE, CF Các đờng gấp khúc CDB, CEB, CFB chia diện tích tam gi¸c ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng D E F C M B C¸ch 3: A FB - Dïng thíc ®o CB, lÊy F trªn CB cho CF = - §o c¹nh AB, chia thµnh phÇn: AD = DE = EB - Nèi AF, FD, FE C¸c ®o¹n th¼ng AF, FD, FE chia diÖn tÝch Δ ABC thµnh phÇn b»ng D E C F C¸ch 4: A B E F C D C¸ch 5: B A D - Dïng thíc ®o c¸c c¹nh cña tam gi¸c chia mçi c¹nh cña tam gi¸c thµnh phÇn b»ng - D, E, F lÇn lît lµ c¸c ®iÓm chÝnh gi÷a cña c¸c c¹nh BC, AB, AC - Nối AD, DE, DF ta đợc các đoạn thẳng chia tam gi¸c ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng - Dïng thíc ®o c¹nh AB, lÊy D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a AB §o c¹nh CB, lÊy ®iÓm E, F cho: CB CF = FE = - Nối ED, AE, AF ta đợc các đoạn thẳng chia tam gi¸c ABC thµnh phÇn b»ng C F E B Lu ý: Từ các cách chia trên ta có thể mở rộng đợc nhiều cách chia khác Chẳng h¹n nh c¸ch chia sau: (4) A ( BE = BC, AD = AC, EF = FC) v v…… D B E F C Mở rộng: - Từ bài toán ví dụ 1, ta dễ dàng làm đợc các bài toán dạng nh: chia tam gi¸c thµnh c¸c phÇn (3 phÇn, phÇn, phÇn….) tuú ý cã diÖn tÝch b»ng - Cao h¬n còng cã thÓ dÔ t×m c¸ch gi¶i bµi to¸n nh sau: Bµi tËp: Chia tø gi¸c ABCD thµnh phÇn ( phÇn, phÇn….) cã diÖn tÝch b»ng VÝ dô 2: Cho tam gi¸c ABC, trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M cho AM < MB H·y t×m ®iÓm N trªn BC cho nèi MN th× ®o¹n MN chia tam gi¸c ABC thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng A - §o c¹nh AB, P lµ ®iÓm chÝnh gi÷a AB M - SACM < SBCM ( vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy: CM < BM ) P - SACP = SBCP ( chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AP = BP ) - Từ đỉnh P kẻ đờng song song với CM cắt BC C N B N Khi đó tứ giác MPNC chính là hình thang nên: SCMP= SMNC đó SAMNC = SMBN Vậy MN đã chia tam giác ABC thành phần có diện tích Më réng: c¸c bµi tù gi¶i: Cho tø gi¸c ABCD cã diÖn tÝch tam gi¸c ABC nhá h¬n diÖn tÝch tam gi¸c ACD H·y t×m ®iÓm E trªn DC cho nèi AE th× ®o¹n AE chia tø gi¸c ABCD thµnh phÇn cã diÖn tÝch b»ng Cho tam giác ABC trên cạnh AB lấy điểm M Nối CM ta đợc tam giác CAM, t×m ®iÓm N trªn c¹nh AC cho nèi BN ta cã: SCAM = SBNC Ví dụ 3: Cho hình thang ABCD có đờng chéo AC và BD H·y chøng tá r»ng: a, SACD = SBCD b, SDAB = SCAB Sau gîi ý híng dÉn gi¶i bµi to¸n ë vÝ dô 3, gi¸o viªn më réng cho HS gi¶i c¸c bµi thuéc d¹ng nµy nh: 1.Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD Hãy chứng tỏ diện tích tam giác AID b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BIC ( hoÆc h·y so s¸nh diÖn tÝch tam gi¸c AID vµ BIC ) biết I là điểm chung đờng chéo AC và BD Trong h×nh vÏ sau, ABCD lµ h×nh thang, biÕt diÖn tÝch tam gi¸c APD lµ 12cm 2, diÖn tÝch tam gi¸c BQC lµ 13 cm2 TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c PMQN? (5) A M P D B Q N C Cho tứ giác ABCD Hai đờng chéo AC và BD cắt I có: 1 IB = ID, IA = IC H·y chøng tá r»ng: a Tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang b Cạnh đáy AB = đáy CD VÝ dô 4: Cho tam gi¸c ABC cã c¹nh BC dµi cm Trªn BC lÊy mét ®iÓm D c¸ch B 1cm Nèi AD, trªn AD lÊy mét ®iÓm E råi nèi E víi B vµ E víi C a H·y so s¸nh diÖn tÝch hai tam gi¸c AEB vµ AEC b Cho biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng cm2 vµ E lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña AD H·y tÝnh chiÒu cao cña tam gi¸c EBC h¹ tõ E xuèng BC C¸c d¹ng t¬ng tù: - §iÓm D cã thÓ ch¹y trªn BC víi tØ lÖ gi÷a BD vµ CB kh¸c - §iÓm E còng cã thÓ ch¹y trªn AD víi tØ lÖ gi÷a ED vµ AD kh¸c - Bµi to¸n còng cã thÓ cho chiÒu cao h¹ tõ E xuèng CB cña tam gi¸c CEB vµ yªu cÇu tÝnh ®o¹n CB Lu ý: Các bài dạng này có liên quan đến kiến thức hai tam giác có chung đáy ( Δ ACE vµ Δ ABE hoÆc Δ CED vµ Δ BED ) th× diÖn tÝch vµ chiÒu cao lµ đại lợng tỉ lệ thuận C¸c bµi më réng cña d¹ng nµy nh: Cho h×nh vÏ sau: A E O C D 1 BiÕt AE = AC, CD = BC a So s¸nh BO vµ OE b TÝnh SAOE biÕt SBOD = 800 cm2 B Lu ý: Hoµn toµn t¬ng tù víi c¸c bµi to¸n cho tØ lÖ gi÷a AE víi AC vµ CD víi CB kh¸c Cho tam gi¸c ABC Trªn AC lÊy ®iÓm N cho AN = AC Trªn BC lÊy ®iÓm M cho BM = MC Nèi M víi N kÐo dµi c¾t AB t¹i P BiÕt SAPN = 100 cm2 a TÝnh SABC b So s¸nh PN víi MN (6) Lu ý: C¸ch gi¶i t¬ng tù víi c¸c bµi to¸n cho tØ lÖ gi÷a AN víi AC vµ BM víi CB kh¸c trªn VÝ dô 5: Cho h×nh thang vu«ng ABCD vu«ng ë A vµ D cã diÖn tÝch b»ng 16 cm 2, AB = CD, AB là đáy bé, CD là đáy lớn Kéo dài DA và CB cắt M Tính SMAB Më réng: - C¸c d¹ng bµi cã thÓ gi¶i t¬ng tù lµ tØ lÖ gi÷a AB vµ CD kh¸c trªn - Ngoµi tõ bµi nµy cã thÓ më réng cho c¸c bµi to¸n nh: Ngoµi c¸c d÷ kiÖn mµ bài toán cho trên có thể cho biết thêm độ dài đoạn MD tính độ dài các đáy và chiều cao hình thang ABCD Hoặc cho biết thêm đoạn AB Tính độ dài đoạn AM, MD…(Từ bài mẫu trên ta tính đợc SMBD, đáy MD => tính đợc chiều cao AB => tính đợc DC = AB x 3; Diện tích hình thang ABCD biết, đáy AB, CD tính đợc => tính đợc chiều cao AD cho biết đoạn AB => tính đợc đáy DM Δ MBD) VÝ dô 6: Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch lµ 97 cm Ngêi ta lÐo dµi c¹nh CB vÒ phÝa B mét ®o¹n BB’ dµi b»ng CB, kÐo dµi c¹nh BA vÒ phÝa A mét ®o¹n AA’ dµi b»ng BA vµ kÐo dµi c¹nh AC vÒ phÝa C ®o¹n CC’ b»ng AC TÝnh SA’B’C’ Lu ý: Hoµn toµn t¬ng tù víi c¸c bµi to¸n cho tØ lÖ gi÷a c¸c ®o¹n kÐo dµi thªm víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c kh¸c trªn Më réng: Tõ bµi to¸n nµy ta cã thÓ dÔ dµng t×m c¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n nh: Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch 123cm KÐo dµi AC vÒ phÝa C mét ®o¹n CE dµi b»ng AC KÐo dµi CB vÒ phÝa B mét ®o¹n BF dµi b»ng CB Nèi AF, EF TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AEF Cho tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch 96cm2 KÐo dµi AC vÒ phÝa C mét ®o¹n CE dµi b»ng hai lÇn AC KÐo dµi CB vÒ phÝa B mét ®o¹n BF dµi b»ng CB TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c AEF Lu ý: Víi c¸c bµi cho tØ lÖ c¸c ®o¹n kÐo dµi thªm víi c¹nh cña tam gi¸c ABC kh¸c hai bµi më réng trªn hoµn toµn cã c¸ch gi¶i t¬ng tù Ví dụ 7: Cho tam giác ABC I là điểm tam giác Từ I hạ IE, IK, IL lÇn lît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB, BC, AC H·y chøng tá r»ng: IE + IK + IL = AH; đó AH là đờng cao tam giác ABC Më réng: Tõ bµi trªn cho häc sinh lµm c¸c d¹ng bµi t¬ng tù nh: Cho ®iÓm I n»m trªn c¹nh cña tam gi¸c Cho tam giác ABC cạnh băng 10 cm, diện tích 90cm I là điểm bất kì tam gi¸c, tõ I kÎ IE, IK, IN lÇn lît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh AB, BC, AC H·y tÝnh tæng: IE +IK + IN Hoµn toµn t¬ng tù bµi2 víi c¸c bµi sau: a, Cho tam giác ABC biết độ dài cạnh và cho điểm I nh trên và biết tổng IE + IK + IN yªu cÇu tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC b, Cho tam giác ABC, cho biết diện tích tam giác, biết tổng IE = IK = IN yêu cÇu tÝnh c¹nh cña tam gi¸c ABC (7) Kết luận: Để HS đạt kết tốt việc học các dạng toán nâng cao nói chung và dạng hình chuyên đề trên thì trớc hết HS phải nắm vững kiến thức và các kiến thức mở rộng tiếp xúc với nhiều bài mẫu từ dễ đến khó các em chủ động các tình huống, biết nhận dạng các hình nhanh và tự tin xử lý các số liệu đề Mặt khác quá trình giảng dạy giáo viên cần đầu t thời gian thích đáng việc tìm hiểu bài dạy, su tầm phân dạng bài tập để hớng dÉn HS gi¶i mang l¹i hiÖu qu¶ cao (8)