Chuyên đề về hình học không gian

Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 1 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM CHUN ĐỀ 3: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN A. LÝ THUYẾT I. HÌNH HỌC PHẲNG 1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vng Cho ABC  vng tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: 2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường a) Định lí hàm số cosin b) Định lí hàm số sin c) Cơng thức tính diện tích của tam giác A C B R b c a A B C b c a – nửa chu vi – bán kính đường tròn nội tiếp     A B C b c a A B C H M      Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 2 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM d) Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác 2 2 2 2 2 4 AB AC BC AM     . 2 2 2 2 2 4 BA BC AC BN     . 2 2 2 2 2 4 CA CB AB CK     . 3/ Định lí Talet 4/ Diện tích của đa giác a/ Diện tích tam giác vng  Diện tích tam giác vng bằng ½ tích 2 cạnh góc vng. b/ Diện tích tam giác đều  Diện tích tam giác đều: . 3 4 S    Chiều cao tam giác đều: . 3 2 h   c/ Diện tích hình vng và hình chữ nhật  Diện tích hình vng bằng cạnh bình phương.  Đường chéo hình vng bằng cạnh nhân 2 .  Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. d/ Diện tích hình thang  Diện tích hình thang: S Hình Thang 1 2  .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc  Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc nhau bằng ½ tích hai đường chéo.  Hình thoi có hai đường chéo vng góc nhau tại trung điểm của mỗi đường. A B C N K M A B C N M A C B A B C A B C D O A B H C D A B D C (cạnh) 2 đều (cạnh) đều Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 3 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Lưu ý : Trong tính tốn diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác. II. HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 1. Quan Hệ Song Song a/ Chứng minh đường thẳng // ( ) d mp  với   ( ) d    Chứng minh: // ' d d và ' ( ) d    Chứng minh: ( ) d   và   // ( )   b/ Chứng minh   // ( )mp mp    Chứng minh ( ) mp  chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với   mp  .  Chứng minh ( ) mp  và   mp  cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vng góc với 1 đường thẳng. c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau  Hai   ( ), mp   có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song , a b thì   // // ( ) Sx a b     .      // // ( ) ( ) a mp b a a mp                  . 2. Quan Hệ Vng Góc a/ Chứng minh đường thẳng   d mp    Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong ( ) mp  .  Chứng minh:   // ' ' d d d mp               d mp    Chứng minh:       // d mp mp mp                 d mp    Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vng góc với mặt phẳng thứ 3:               P P d P d                        b/ Chứng minh đường thẳng ' d d   Chứng minh   d   và   ' d   .  Sử dụng định lý ba đường vng góc.  Chứng tỏ góc giữa d và ' d bằng 0 90 . c/ Chứng minh     mp mp     Chứng minh         d mp mp d                  (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vng góc với mp kia)  Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 0 90 . Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 4 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM 3/ Góc Và Khoảng Cách. a/ Góc giữa hai đường thẳng  Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:   // // ' ( , ) ( ', ') ' a a a b a b b b            b/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   mp   Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.     , ( , ')d d d             (với ' d là hình chiếu vng góc của d lên ( ) mp  ). c/ Góc giữa hai   mp  và   mp   Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u , 2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên 2 mặt phẳng và cùng vng góc với giao tuyến.       ( ); ( , )a b      d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:  Là độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng   , d M MH   e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng) này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia. f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song  Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng. g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  Là độ dài đoạn vng góc chung của 2 đường thẳng đó.  Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến   mp  chứa ' d và song song với d .  Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song     ,   lần lượt chứa d và ' d .      M M M  d’ Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 5 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM 4/ Hinh Chóp Đều a/ Định nghĩa. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét:  Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. b/ Hai hình chóp đều thường gặp * Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều . S ABC . Khi đó:  Đáy ABC là tam giác đều.  Các mặt bên là các tam giác cân tại S .  Chiều cao: SO .  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:    SAO SBO SCO   .  Góc giữa mặt bên và mặt đáy:  SHO .  Tính chất: 2 1 3 , , 3 3 2 AB AO AH OH AH AH   .  Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. + Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. + Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. * Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đều . S ABCD .  Đáy ABCD là hình vng.  Các mặt bên là các tam giác cân tại S .  Chiều cao: SO .  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:     SAO SBO SCO SDO    .  Góc giữa mặt bên và mặt đáy:  SHO . 5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp a/ Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vng góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp . S ABC có cạnh bên   SA ABC  thì chiều cao là SA . b/ Hình chóp có một mặt bên vng góc với mặt đáy: Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vng góc với đáy. Ví dụ: Hình chóp . S ABCD có mặt bên   SAB vng góc với mặt đáy   ABCD thì chiều cao của hình chóp là chiều cao của SAB  . c/ Hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy: Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vng góc với đáy. Ví dụ : Hình chóp . S ABCD có hai mặt bên   SAB và   SAD cùng vng góc với mặt đáy   ABCD thì chiều cao là SA . d/ Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy. Ví dụ : Hình chóp tứ giác đều . S ABCD có tâm mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vng ABCD thì có đường cao là SO . Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 6 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM 6/ Thể Tích Khối Đa Diện 1/ Thể tích khối chóp: 1 . 3 V B h  : B Diện tích mặt đáy. : h Chiều cao của khối chóp. 2/ Thể tích khối lăng trụ: . V B h  : B Diện tích mặt đáy. : h Chiều cao của khối chóp. Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên. 3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: . . V a bc   Thể tích khối lập phương: 3 V a  4/ Tỉ số thể tích: . ' ' ' . ' ' ' . . S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC  5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC   ' ' 3 h V B B BB    Với , ', B B h là diện tích hai đáy và chiều cao. C D S O C A B B A C A B C A B C a b c a a a S A ’ B ’ C ’ A B C Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 7 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM CHÚ Ý: CÁCH VẼ HÌNH + CÁCH LÀM CÁC BÀI TỐN ĐƠN GIẢN Khối tứ diện đều: Khối chóp tứ giác đều Vẽ hình: kích thước hình phải cân đối, khơng q lớn cũng khơng q nhỏ. Thường là 6 ơ tập cho cạnh dài hình bình hành, 3 ơ cho cạnh ngắn và 5 ơ cho chiều cao SA. (hoặc SO đối với hình chóp đều) Vẽ hình chóp có cạnh bên vng góc với đáy A C D M O O C D B A S + Tất cả các cạnh đều bằng nhau +Tất cả các mặt đều là các tam giác đều + O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO (BCD) + Tất cả các cạnh bên bằng nhau + Đa giác đáy là hình vng tâm O + SO (ABCD) B C D A S B C D A S B C D A Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 8 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Vẽ hình chóp đều S B A C B A C S B A C B C D A O B C D A S O B C D A S O B C D A S O I K Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 9 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Cách xác định góc Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ: Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P) Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d / B C A O B C A O B C A S O I K S B C D A Góc gi ữ a SC và B C D A S O Góc gi ữ a SC và S Góc gi ữ a SC và B A C B C A S O I K Góc gi ữ a SA và Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian 10 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ : Xác định giao tuyến d của (P) và (Q) Tìm trong (P) đường thẳng a  (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b  (d) Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b S B C A O I Góc gi ữ a m ặ t bên và đáy S B A C Góc gi ữ a (SBC) và đáy S B A C Góc gi ữ a (SBC) và đáy S B A C Góc gi ữ a SC và (SAB) B D A S O Góc gi ữ a m ặ t bên và đáy C S B C D A Góc gi ữ a (SBC) và đáy [...]...Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian Mặt cầu ngoại tiếp S S S c O A A A D C I B B B C C Hình chóp đều S S K K I I A D A C O O B B C - Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: + SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vng đáy + Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu cần tìm + Bán... ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 7 (Đề khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) 31 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian Bài giải ………………………………………………………………………………………………………………………... Bài 10 (Đề khối A, A1 năm 2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB Góc giữa đường thẳng SC với mặt đáy (ABC) bằng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a Bài giải 34 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian. .. ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 11 (Đề khối B năm 2012) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA  2a, AB  a Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Bài giải 35 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 5 (Đề cao đẳng năm 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy một góc bằng 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) 29 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian Bài giải ………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 6 (Đề khối A, A1 năm 2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A,   300 , SBC là tam giác đều ABC cạnh a và mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách 30 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 từ C đến mặt phẳng (SAB) Hình học không gian Bài giải ………………………………………………………………………………………………………………………... XỨNG TẦM M Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97  Mặt khác: S ABCD  BC 2  2a   4a 2 2  Thế 2, 3 vào 1  VABCD  Hình học không gian 3 1 2 4a 3 3 4a a 3  (đvtt) 3 3 C BÀI TẬP Bài 1 Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 Tính thể tích của hình chóp Giải ……………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 8 (Đề khối D năm 2013)  Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, BAC  1200  , M là trung điểm BC và SMA  450 Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) Bài giải 32 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian ………………………………………………………………………………………………………………………... (Đại học khối B năm 2014) Cho hình lăng trụ ABC.A' B' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vng góc của A' lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của cạnh AB , góc giữa đường thẳng A' C và mặt đáy bằng 600 Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A' B' C ' và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC' A'  Bài giải 27 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không. .. ……………………………………………………………………………………………………………………… Bài 4 (Đại học khối D năm 2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA,BC 28 | Trang NOON.VN: TẬN TÂM – XỨNG TẦM Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Hình học không gian Bài giải ………………………………………………………………………………………………………………………