ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Kì thi Học sinh giỏi Môn thi Toán 9 Thời gian làm bài 150 phút Họ và tên Mai Văn Thi Đơn vị Trường trung học cơ sở Văn Lý Lý Nhân – Hà Nam Nội dung đề thi Bài 1 (5 điểm)a) Tính (không d[.]
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Kì thi: Học sinh giỏi Mơn thi: Toán Thời gian làm 150 phút Họ tên: Mai Văn Thi Đơn vị: Trường trung học sở Văn Lý - Lý Nhân – Hà Nam Nội dung đề thi: Bài 1: (5 điểm)a) Tính (khơng dùng máy tính bỏ túi): b) Chứng minh số sau số hữu tỉ Bài 2: (2 điểm) Chứng tỏ số nghiệm phương trình x3 + 3x - 4=0 Bài 3: (2 điểm) Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = Bài 4: (2 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 5: (3 điểm) Cho đường thẳng y = (1 – 4k)x + k – (d) a) Tìm k để đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc có số đo 60o b) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định Tìm điểm cố định Bài 6: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A với OA = 2R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) (với B, C là các tiếp điểm) Từ A vẽ cát tuyến APQ đến đường tròn (O) (cát tuyến APQ không qua tâm O) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng PQ; BC cắt PQ tại K a) Chứng minh AP.AQ = 3R2 b) Cho , tính độ dài đoạn thẳng HK theo R Bài 7: (2 điểm) Cho đường trịn (O), đường kính AB = 2R Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB, I trung điểm MN a) Từ A kẻ Ax MN, tia BI cắt Ax C Chứng minh tứ giác CMBN hình bình hành b) Chứng minh C trực tâm tam giác AMN -HẾT - Đáp án Bài Bài Nội dung Điểm a) Ta có 0,5 Do 0,5 0,5 0,5 b) Ta có: 1,0 Do đó: 0,5 Cho k = 3, 4, 5, 6,…, 2012, 2013 Ta có: 0,5 1,0 Ta có: 0,5 Bài 0,5 0,5 Vậy số nghiệm phương trình 0,5 x3 + 3x - 4=0 Bài Ta có: Þ = 0,5 Þ 0,5 Tương tự ta có: Þ P£ 0,5 = = Dấu “=” xảy Từ giá trị lớn P đạt 0,5 Vì 0,5 Bài 0,5 0,5 0,5 a) Vì đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc có số đo 60 o 0,5 nên a = – 4k > Vì đường thẳng (d) tạo với trục Ox góc có số đo 60 o 1,0 góc nhọn nên b) Giả sử đường thẳng (d) qua điểm M(x 0; y0) cố định Khi Bài ta có: y0 = (1 – 4k) x0 + k – (1 - x0)k + x0 – y0 – = 0,5 với k với k 0,5 Vậy đường thẳng (d) qua điểm Bài a) Xét và là góc chung cố định có (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn một cung) 0,5 Do đó B O Q A K H P C Mặt khác vuông tại B, theo định lí Pytagor, ta có 1,0 Từ (1) và (2) c/ vuông tại H, theo định lí Pytagor Ta có 1,0 Xét và ta có: là góc chung AB = AC (tính chất của tiếp tuyến cắt nhau) cân tại A Mặt khác OHAB 0,5 C thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác (góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHAB) Do đó Vậy 0,5 0,5 0,5 Lời giải a) Ta có I trung điểm MN (gt) OI MN I (quan hệ vng góc đường kính dây Bài cung) Ta có Ax MN (gt) OI // Ax hay OI // AC O trung điểm AB OI qua trung điểm cạnh BC 0,5 I trung điểm BC, Mặt khác, ta có I trung điểm MN (gt) Suy CMBN hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường ) b) Ta có tứ giác CMBN hình bình hành (chứng minh trên) 0,5 MC // BN Mà (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BN AN MC AN MC đường cao tam giác AMN Mà Ax MN (gt) hay AC MN AC đường cao tam giác AMN 0,5 C trực tâm tam giác AMN 0,5 ( Chú ý: Thí sinh làm cách khác mà cho điểm tương đương) Đề thi đề xuất Kì thi: vào trung học phổ thơng ( khơng chun) Mơn thi: Tốn Thời gian làm 120 phút Họ tên: Vũ Hồng Văn Đơn vị: Trường trung học sở Văn Lý - Lý Nhân – Hà Nam Nội dung đề thi: Câu (3 điểm):( Khơng sử dụng máy tính bỏ túi): a) Giải phương trình hệ phương trình sau: ) x2 – 5x + = ) b) Tính giá trị biểu thức sau: A = Câu (1,5 điểm): (Giải toán sau cách lập phương trình) Hai bến sơng X Y cách 80km Một ca nơ xi dịng từ X đến Y ngược dòng từ Y X 8giờ 20 phút Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dòng nước 4km/h Câu (1,5 điểm): Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P x = Câu (4,0 điểm): Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến MA MB (A,B tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C (C khác A, B) Vẽ CD AB, CE MA CF MB Gọi I giao điểm AC DE, F giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các Tứ giác AECD, BFCD nội tiếp b) c) CD2 = CE.CF d) CD IK _HẾT _ (Giám thị coi thi khơng giải thích thêm) ĐÁP ÁN+ BIỂU ĐIỂM: Câu Ý Câu a Đáp án Biểu điểm 2,0đ 1,0đ Giải phương trình: x2 – 5x + = = b2 - 4ac = (-5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = > =1 0,5đ phương trình có nghiệm phân biệt: 0,5đ Vậy pt có nghiệm : Giải hệ phương trinh sau: 1,0đ 0,5đ 0.5đ b Tính giá trị biểu thức sau: A= 0,5đ 0,5đ + Đổi 20 phút = (h) + Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h) (đk: x > 4) 0,25đ + Vận tốc ca nơ xi dịng : x + (km/h) + Thời gian ca nô xuôi dòng từ X đến Y là: + Vận tốc ca nơ ngược dịng là: x – (km/h) (h) + Thời gian ca nơ ngược dịng là: (h) Theo ta có phương trình: + 0,5đ = Câu 240.(x-4) + 240.(x + 4) = 25.(x2 - 16) 240x – 960 + 240x + 960 = 25x2 – 400 25x2 - 480x – 400 = 5x2 - 96x – 80 = = (b’)2 – ac = (-48)2 – 5.(-80) = 2304 + 400 = 2704 > = 52 Phương trình có nghiệm phân biệt: (tm điều kiện x > 4) (loại ) a Vậy vận tốc riêng ca nô 20km/h Rút gọn biểu thức P ĐKXĐ: x 0;x 0,5đ 0,25đ 1đ 0,25đ P= P= P= Câu P= P= b Thay x = vào biểu thức P ta được: P= 0,5đ 0,25đ 0,25đ P= A E 1 O D K a b Câu M I C F B Vẽ hình, ghi GT- KL 0,25đ Chứng minh tứ giác ADCE nội tiếp + Ta có: (CD AB); (CE MA) Tứ giác ADCE nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 1800) Chứng minh: + Ta có: (vì MA tiếp tuyến) (vì MB tiếp tuyến) Tứ giác MAOB nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 1800) (2 góc nội tiếp chắn ) c Chứng minh CD2 = CE.CF + Vì tứ giác AECD nội tiếp (chứng minh trên) Hay (1) + Vì tứ giác BFCD nội tiếp (chứng minh trên) Hay (2) Lại có: MA = MB (Định lý tiếp tuyến cắt nhau) cân M (3) Từ (1);(2);(3) (4) + Trong tg AECD có : (Góc nội tiếp chắn ) + Trong tg BFCD có: (Góc nội tiếp chắn ) Mà : (Góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn ) Nên: (5) 1đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ 0,25đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Từ (4) (5) d (gg) CD2 = CE.CF CD IK + Theo chứng minh trên: Chứng minh tương tự: 0,25đ 1đ Hay Tứ giác IDKC nội tiếp (tứ giác có tổng góc đối 1800) (Góc nội tiếp chắn ) 0,25đ Mà góc vị trí đồng vị IK IK 0,25đ 0,25đ IK // AB 0,25đ ( Chú ý: Thí sinh làm cách khác mà cho điểm tương đương) -HẾT - Đề thi đề xuất Kì thi: vào trung học phổ thơng (chun) Mơn thi: Toán Thời gian làm 120 phút Họ tên: Mai Văn Thi Đơn vị: Trường trung học sở Văn Lý - Lý Nhân – Hà Nam Nội dung đề thi: Bài 1: (1 điểm) Tính (khơng dùng máy tính bỏ túi): Bài 2: (1,5 điểm) Giả sử m n hai nghiệm phương trình: x2 + ax + = (1) Giả sử p q hai nghiệm phương trình: x2 + bx + = (2) Chứng minh rằng: Bài 3: (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): điểm M(0; 2) Gọi (d) đường thẳng qua M có hệ số góc k a) Vẽ đồ thị (P) b) Chứng tỏ với k, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt P Q Tìm tập hợp trung điểm I PQ c) Với giá trị k PQ ngắn ? Tìm giá trị ngắn ? Bài 4: (1 điểm) Chứng minh rằng: với n Bài 5: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AC > AB Gọi I điểm cung nhỏ BC, M giao điểm AB CI Tiếp tuyến đường tròn C cắt tiếp tuyến đường tròn I, cắt AI E, N a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp b) Gọi F giao điểm AI BC Chứng minh rằng: Bài 6: (1 điểm) Cho số a1 , a2 , a3 ,…………,a2000 Biết an = với n ; n = 1,2,…,2000 Tính S = a1 + a2 + a3 + + a2000 -HẾT - Đáp án Bài Nội dung Điểm Ta có: 0,25 0,25 0,25 Suy A – = (1) A + A + = (2) Từ (1) suy A = Từ (2) ta có Do (2) vơ nghiệm 0,25 Vậy A = Áp dụng định lý Vi-ét, từ (1) suy ra: Từ (2) suy ra: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy: 0,25 a) Bảng số giá trị: x -4 -2 4 1 0,25 Vẽ đồ thị y = x2 0,25 (d) b) Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = kx + b Vì đường thẳng (d) qua điểm M(0; 2) nên ta có: = k.0 + b b=2 0,25 Vậy (d): y = kx + Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: (1) Ta có: 0,25 với m Phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt P Q Vì I trung điểm PQ nên I (d) 0,25 Mà Ta có hệ: Vậy I thuộc Parabol (PI): 0,5 c) Ta có: 0,25 Ta có: 0,25 Ta có ; 0,25 Vậy PQ2 = (16k2 + 32) + (16k2 + 32)k2 = (16k2 + 32).(k2 + 1) Ta có: Do Suy PQ = k = k = 0,5 Ta có: 0,25 …… Giả sử: với k (1) Ta chứng minh rằng: (2) Ta có Do từ (1) suy (1’) 0,25 Cộng (k+1)3 vào hai vế (1’), ta được: Vậy đẳng thức (2) chứng minh Do đó: với n 0,5 a) Ta có: ( Định lí góc có đỉnh bên 0,25 ngồi đường trịn) Ta có: ( Định lí góc có đỉnh bên ngồi 0,25 đường trịn) Mà (Vì I điểm cung nhỏ ) 0,25 Vậy Mà hai điểm M N nhìn AC góc nằm phía so với AC Do tứ giác AMNC nội tiếp đường trịn 0,25 b) Ta có Mà hai góc Do đó: vị trí so le nên IE // BC ( Định lí Ta-lét) Mà IE = CE ( Định lí hai tiếp tuyến cắt nhau) 0,25 0,25 Suy 0,25 Do 0,5 0,25 Vậy Ta có: an = Do đó: 0,5 a1 + a2 + a3 + + a2000 = 0,5 ( Chú ý: Thí sinh làm cách khác mà cho điểm tương đương)