THÔNG TIN TÀI LIỆU
Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2x x2 2 x x 3x A ( ):( ) 2 x x 2x x x3 a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho a b c x y z x2 y z 1 0 Chứng minh : 1 x y z a b c a b c Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a 2 3x – 7x + = 3x – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) b a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) Điểm 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Năm học: 2011-2012 0,5 5,0 3,0 x 0 x 0 x 0 x 3x 0 x x 0 x 0 x 2 x 3 1,0 x 4x2 2 x x 3x (2 x) x (2 x) x (2 x) A ( ):( ) x x x x x3 (2 x)(2 x) x( x 3) 1,0 x2 8x x(2 x) (2 x )(2 x) x 0,5 x( x 2) x(2 x) 4x2 (2 x )(2 x)( x 3) x 0,25 4x Vậy với x 0, x 2, x 3 A 0,25 x b 1,0 Với x 0, x 3, x 2 : A 4x 0 x x 30 x 3(TMDKXD) Vậy với x > A > c x 4 x 4 x x 11(TMDKXD ) x 3( KTMDKXD ) Với x = 11 A = 121 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a 5,0 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x 1)2 0;( y 3) 0;( z 1) 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b Từ : a b c ayz+bxz+cxy 0 0 x y z xyz Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán Ta có : Năm học: 2011-2012 ayz + bxz + cxy = x y z x y z 1 ( ) 1 a b c a b c 2 x y z xy xz yz 2( ) 1 a b c ab ac bc 2 x y z cxy bxz ayz 2 1 a b c abc x2 y2 z 1(dfcm) a b c 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a Ta có : BE AC (gt); DF AC (gt) => BE // DF Chứng minh : BEO DFO( g c g ) => BE = DF Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành b Ta có: ABC ADC HBC KDC Chứng minh : CBH CDK ( g g ) CH CK CH CD CK CB CB CD b, Chứng minh : AFD AKC ( g g ) AF AK AD AK AF AC AD AC Chứng minh : CFD AHC ( g g ) CF AH CD AC CF AH AB AH CF AC Mà : CD = AB AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 ĐỀ SỐ Câu1 a Phân tích đa thức sau thừa số: x4 x x 3 x x 24 b Giải phương trình: x 30x 31x 30 a b c a2 b2 c2 c Cho 1 Chứng minh rằng: 0 b c ca a b b c ca a b Câu2 Cho biểu thức: 10 x x A : x x 2 x 2 x x2 a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị A , Biết x = c Tìm giá trị x để A < d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME AB, MF AD a Chứng minh: DE CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b Cho a, b dơng a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 9 a b c HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Câu Câu (6 điểm) Đáp án a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Điểm ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x 30x 31x 30 x x x 5 x 6 Vì x2 - x + = (x - ) + >0 x (*) (x - 5)(x + 6) = Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) (*) (2 điểm) (2 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 x 0 x 5 x 0 x a b c c Nhân vế của: 1 b c ca a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm) 2 10 x x : x Biểu thức: A x2 x 2 x x2 1 a Rút gọn kq: A (1.5 điểm) x 1 1 b x x x Câu 2 2 (6 điểm) 4 A c A x 1 d A Z Z x 1;3 x A HV + GT + KL A (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E B (1 điểm) F M D Câu (6 điểm) C a Chứng minh: AE FM DF AED DFC đpcm b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi ME MF a không đổi S AEMF ME.MF lớn ME MF (AEMF hình vng) M trung điểm BD (1 điểm) Câu 4: (2 điểm) a Từ: a + b + c = b c 1 a a a a c 1 1 b b b a b 1 c c c Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) (1 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán Năm học: 2011-2012 1 a b a c b c 3 a b c b a c a c b 3 9 Dấu xảy a = b = c = b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = hc b = Víi a = => b2000 = b2001 => b = hc b = (lo¹i) Víi b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 = (1 điểm) §Ị thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a3 4a2 a a a 14a a) Rót gän P b) T×m giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh nÕu tỉng cđa hai sè nguyªn chia hÕt cho tổng lập phơng chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 ®iÓm) 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13 x 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : a) Giải phơng tr×nh : A= a b c 3 b c a a c b a b c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ®Ịu ABC , gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iĨm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chøng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM lần lợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) Tuyển tập đề thi HSG Toán a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nªu §KX§ : a 1; a 2; a Rót gän P= b) (0,5®) P= a 1 a Năm học: 2011-2012 0,5 0,25 0,25 a 23 ; ta thấy P nguyên a-2 ớc 3, a a mà Ư(3)= 1;1; 3;3 0,25 Từ tìm đợc a 1;3;5 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hÕt cho 0,25 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) (a 2ab b ) 3ab = =(a+b) (a b) 3ab 0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ; Do vËy (a+b) (a b) 3ab chia hÕt cho 0,25 b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm đợc x=0 x=-5 Min P=-36 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; §KX§ : x 4; x 5; x 6; x Phơng trình trở thành : 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 1 1 ( x 4)( x 5) ( x 5)( x 6) ( x 6)( x 7) 18 1 1 1 x x x x x x 18 1 x x 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm đợc x=-13; x=2; b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Tõ ®ã suy a= 0,25 yz xz xy ; ;b ;c 2 Thay vào ta đợc A= yz xz xy 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2x 2y 2z 2 x y z x z y Tõ ®ã suy A ( 2) hay A 3 Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) 0,5 0,25 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 C©u : (3 đ) a) (1đ) Trong tam giác BDM ta cã : Dˆ 120 Mˆ =600 nên ta có Vì M : M 120 Mˆ Suy Dˆ Mˆ Chøng minh BMD ∾ CEM (1) Suy x b) (1®) Tõ (1) suy BD.CE= BC 0,5 E BD CM , tõ ®ã BD.CE=BM.CM BM CE BC Vì BM=CM= , nên ta có y A D B C M 0,5 BD MD mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD BM EM Chøng minh BMD ∾ MED 0,5 Tõ ®ã suy Dˆ D , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tơng tự ta có EM tia phân giác góc CED c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dơng ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đợc giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) ĐỀ THI SỐ Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử A a 1 a 3 a a 15 Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức: Năm học: 2011-2012 x a x 10 phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x x ax b chia hết cho đa thức B ( x) x x Caâu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vuông Câu 5( đ): Chứng minh P Câu 2ñ 1 1 1 2 1002 Đáp án biểu điểm Đáp án A a 1 a 3 a a 15 a 8a a 8a 15 15 a a a 2 8a 22 a 8a 120 8a 11 8a 12 a a a a 2ñ 2 8a 10 x a 10 x 10a x m n x mn m n a 10 m.n 10 a 1 Khử a ta có : mn = 10( m + n – 10) + mn 10m 10n 100 1 m(n 10) 10n 10) 1 m,n nguyên ta có: 1ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 8a 10 Giả sử: x a x 10 x m x n ;(m, n Z ) Biểu điểm m 10 1 n 10 1 v m 10 n 10 suy a = 12 a =8 Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + a 30 a 3 Để A( x)B ( x) b 4 0 b Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đô lương Nghệ An) 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 đ Tuyển tập đề thi HSG Tốn Năm học: 2011-2012 3đ 0,25 đ Tứ giác ADHE hình vuông Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc Hay DHE = 900 mặt khác ADH = 900 AEH Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1) AHD AHB 90 450 2 Do AHC 900 AHE 450 2 AHD AHE Hay HA phân giác DHE (2) 2đ Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vuông 1 1 P 1002 1 1 2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 2 99 100 99 1 1 100 100 ĐỀ THI SỐ Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 Bài 2: (2 điểm) 10 Học Sinh: Nguyễn Phùng Tất Hoa Trường Thcs Thuận Trung (Đơ lương Nghệ An) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
Ngày đăng: 13/04/2023, 09:14
Xem thêm: