TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG MÔ ĐUN TRÊN CÁC MIỀN IDEAL CHÍNH

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC o0o Tiểu luận môn học đại số đại cương: Modun trên miền các ideal chính Người phụ trách: TS Nguyễn Viết Đông Người thực hiện: Nguyễn Quang Huy Khóa 2008 – lớp Cử Nhân Tài Năng THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Tháng 12- 2009 2 MỤC LỤC 1. Giới thiệu……………………………………………………………………….3 2. Kiến thức chun bị……………………………………………………………3 A. Số học trên PID………………………………………………………………….3 B. Lý thuyết modun………………………………………………………………5 3. Cấp của một phần tử trong modun trên PID 7 4. Hạng của modun tự do……….…………………………………………… 16 5. Cấu trúc của modun hữu hạn sinh trên PID……………………………… 22 6. Sự phân tích p-nguyên sơ của modun trên PID………………………… 30 7. Tài liệu tham khảo……………………………………………………………35 3 1. Giới thiệu Ta biết rằng mỗi nhóm Aben có thể xem như một modun trên ℤ, mà ℤ là một PID đặc biệt, vì vậy việc khảo sát tính chất của modun trên một PID cho ta các tính chất tổng quát của tính chất nhóm Aben. Mặt khác trong một nhóm, ta đã định nghĩa thế nào là cấp của một phần tử, vì vậy để tổng quát hóa ta cũng đưa ra định nghĩa cấp của một phần tử trong modun và xem xét các tính chất còn được bảo toàn trong trường hợp modun. Đó là nội dung của bài tiểu luận này. 2. Kiến thức chun bị Trong phần này ta sẽ trình bày các định nghĩa và định lý cần thiết cho các phần sau mà không có phần chứng minh, các chứng minh cần thiết có thể tham khảo trong [2], [3]. Trước hết ta trình bày một số kết quả về số học trên một PID. A. Số học trên PID Trong phần A này ta kí hiệu R là một PID với phần tử đơn vị là 1và R* là nhóm các phần tử khả nghịch trong R. Định nghĩa 2.1. với a ,b là các phần tử trong R (i) ta nói a chia hết cho b hay b là ước a hay b chia hết a và viết b │a nếu tồn tại c ∈ R sao cho a = bc. (ii) ta nói a và b liên hợp và viết a ∼ b nếu a = ub với u ∈ R*. 4 (iii) phần tử a ≠ 0 được gọi là nguyên tố nếu a ∉ R* và từ a│bc luôn suy ra a│b hoặc a│c. Nhận xét: quan hệ ∼ trong (ii) là một quan hệ tuong đương thật sự. Ghi chú: nếu a = bc thì ta có thể viết một cách hình thức: a/b = c hay a/c = b. Mệnh đề 2.2 với a, b ∈ R, ta có (i) a ∼ b khi và chỉ khi a│b và b│a. (ii) a│b khi và chỉ khi <a> ⊆ <b> . (iii) a ∼ b khi và chỉ khi <a> = <b>. Định nghĩa 2.3. Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử d ∈ R là ước chung lớn nhất của A và kí hiệu d = ƯCLN (A) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) d│a, ∀ a ∈ A. (ii) nếu e ∈ R và e│a, ∀ a ∈ A thì e│d. Nếu ƯCLN(A) = 1 ta nói các phần tử trong A nguyên tố cùng nhau. Định nghĩa 2.4. Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử m ≠ 0 của R là bội chung nhỏ nhất của A và kí hiệu m = BCNN(A), nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) a│m, ∀ a ∈ A. (ii) nếu e ∈ R và a│e, ∀ a ∈ A thì m│e. 5 Định lý 2.5. Hai phần tử a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại x và y trong R sao cho 1 =ax + by Hệ quả 2.6. Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau, khi đó: (i)nếu a│bc thì a│c. (ii)nếu a│e và b│e thì ab│e. Định lý 2.7. (định lý căn bản của số học trong PID). Cho R là một PID, khi đó mọi phần tử 0 ≠ a ∈ R đều được phân tích thành dạng: ܽ = ݑ݌ ଵ ௡ భ ݌ ଶ ௡ మ …݌ ௞ ௡ ೖ trong đó u ∈ R*, p i là các phần tử nguyên tố khác nhau. Hơn nữa sự phân tích trên là chủ yếu duy nhất theo nghĩa nếu ܽ = ݒݍ ଵ ௠ భ ݍ ଶ ௠ మ …ݍ ௞ ௠ ೗ thì k = l và tồn tại phép thế ߪ trên {1, 2,…n} sao cho n i = ݉ ఙ(௜) , p i ~ ݍ ఙ(௜) , với mọi i = 1,2,…,n. Tiếp theo ta trình bày về lý thuyết modun B. Lý thuyết modun Định nghĩa 2.8. cho vành R có đơn vị (kí hiệu bởi 1). Nhóm cộng aben (X, +) sẽ được gọi là modun trên R ( hay R-modun) nếu trên X ta xác định một tác động trái từ R, tức có ánh xạ f: R×X → X mà f(r, x) được kí hiệu bởi rx (gọi là tích của hệ tử r với phần tử x). Ngoài ra các tiên đề sau phải được thỏa mãn: ܯ1: 1ݔ = ݔ ܯ2: (ݎݏ)ݔ = ݎ(ݏݔ) 6 ܯ3: ݎ(ݔ + ݕ) = ݎݔ + ݎݕ ܯ4: (ݎ +ݏ)ݔ = ݎݔ + ݏݔ Với mọi r, s ∈ R, với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 2.9. cho X là một R-modun, một tập con khác rỗng A của X được gọi là modun con của X nếu A với các phép toán cảm sinh trên X cũng là một modun, một cách tương đương, một tập con khác rỗng A của X là modun con của X nếu và chỉ nếu: ܣ + ܣ ⊆ ܣ và ܴܣ ⊆ ܣ. Định nghĩa 2.10. cho X là một modun và ܵ ⊆ ܺ, giao của tất cả các modun con của X có chứa S là một modun con của X và gọi là modun con sinh bởi S, kí hiệu bởi <S>, S được gọi là hệ sinh của <S> và nếu S hữu hạn ta nói <S> hữu hạn sinh (finitely generate). Định lý 2.11. modun con sinh bởi tập S ⊆ X là modun con (submodun) gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của S. Định nghĩa 2.12. cho ܵ ⊆ ܺ với X là một modun, ta nói S là độc lập tuyến tính (linearly independent) nếu với mọi x 1, x 2 ,…., x n ∈ S mà r 1 x 1 + r 2 x 2 +…+ r n x n = 0 thì r 1 = r 2 =…=r n . Một hệ không độc lập tuyến tính thì gọi là phụ thuộc tuyến tính ( linearly dependent). Định nghĩa 2.13. một hệ sinh độc lập tuyến tính của một modun được gọi là cơ sở (base) của modun đó. 7 Định lý 2.14. một tập con S của X là cơ sở của X khi và chỉ khi mọi phần tử trong X đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua S. Định nghĩa 2.15. modun có cơ sở được gọi là modun tự do ( free modun). Định lý 2.16. modun con của modun tự do trên vành chính là modun tự do. 3. Cấp của một phần tử trong modun trên PID Trong phần này ta sẽ định nghĩa cấp của một phần tử trong modun để làm cơ sở cho các phần phía sau. Trong phần này ta hiểu ( X, +) là một R-modun với R là một PID. Để định nghĩa cấp của một phần tử trong modun trên PID , trước hết ta đưa ra các định nghĩa và bổ đề sau: Định nghĩa 3.1. với mọi phần tử x ∈ X, ta xét tập ann(x) = { r ∈ R│rx = 0} Khi đó dễ thấy ann(x) là một idean của R và ta gọi ann(x) là linh hóa tử (annihilator) của x. Định nghĩa 3.2 (i) một phần tử x trong modun X được gọi là xoắn ( torision) nếu : ann(x) ≠ {0}. 8 (ii) một phần tử x trong modun X được gọi là không xoắn (torision-free) nếu: ann(x) = {0}. (iii) modun X được gọi là xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều xoắn. (iii) modun X được gọi là không xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều không xoắn. Ghi chú: ta có 0 luôn luôn là phần tử xoắn. Định nghĩa 3.3. Modun con Y của X gọi là cyclic nếu Y có dạng Y = Rx với x trong X. Lúc đó x được gọi là phần tử sinh của Y hay Y là modun cyclic sinh bởi x, kí hiệu bởi Y = <x> R , nếu không sợ nhầm lẫn với nhóm con cyclic sinh bởi x trong (X, +) ta viết Y = <x>. Nhận xét: do định nghĩa ta có: (i) modun cyclic sinh bởi x là modun xoắn khi và chỉ khi x là phần tử xoắn. (ii) modun cyclic sinh bởi x là modun không xoắn khi và chỉ khi x là phần tử không xoắn. Mệnh đề 3. 4 với X là một R-modun, ta đặt : X t = { x ∈ X│ann(x) ≠ 0} Tức X t là tập hợp tất cả các phần tử xoắn của X, khi đó : (i) X t là modun con của X mà ta gọi là thành phần xoắn của X. (ii) X/X t là modun không xoắn. Chứng minh. 9 (i) Ta kiểm tra các tiêu chuNn của nhóm con: 1) rõ ràng 0 ∈ X t nên X t ≠ Ø. 2) với mọi x, y trong X t , tồn tại r, s ∈ R\{0} sao cho rx = sy = 0. Khi đó rs(x + y) = srx + rsy = 0 + 0 = 0, rs ≠ 0 vì thế x + y ∈ X t . 3) với mọi x trong X t và r trong R, ta có: tồn tại s ∈ R sao cho sx = 0 khi đó s(rx) = r(sx) = 0 nên rx ∈ X t . Vậy X t là modun con của X. (ii) Nếu X/X t = {0}thì có điều cần chứng minh. Trường hợp X/X t ≠ {0} giả sử phần tử x + X t ≠ 0 là xoắn thì tồn tại r trong R\{0} sao cho r(x + X t ) = rx + X t = 0 hay rx ∈ X t , do đó tồn tại s trong R\{0} sao cho srx = 0, mà sr ≠ 0 nên x ∈ X t hay x + X t = 0, mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh.  Vì ann(x) là một ideal của miền các ideal chính R nên ann(x) có dạng: ann(x) = Rr = <r>, với r ∈ R. từ đó ta định nghĩa Định nghĩa 3.5. Với mọi x trong modun X nếu ann(x) = Rr = <r>, ta nói cấp ideal của x bằng r (nếu không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt là cấp của x), kí hiệu o(x) = r ( order ideal of x). Nếu Y là modun cyclic sinh bởi x, ta cũng nói Y có cấp ideal bằng o(x). Từ định nghĩa ta có: 10 (i) x là phần tử xoắn nếu và chỉ nếu o(x) ≠ 0. (ii) x là phần tử không xoắn nếu và chỉ nếu o(x) = 0. Nhận xét: phần tử r trong định nghĩa trên xác định sai khác một thừa số khả nghịch vì vậy cấp ideal của một phần tử cũng xác định sai khác một thừa số khả nghịch. Do đó khi nói cấp của một phần tử bằng d ta hiểu đó là một lớp tương đương các phần tử liên hợp với d. Mệnh đề 3.6 Với mọi x trong X, ta có o(x) = r khi và chỉ khi r thỏa mãn 2 điều kiện sau: (i) rx = 0. (ii) với mọi s ∈ R, nếu sx = 0 thì r│s. Chứng minh. (⟹) (i) ta có ann(x) = Rr = <r> nên r ∈ ann(x) kéo theo rx = 0. (ii) nếu sx = 0 thì s ∈ ann(x) do đó r│s. (⟸) giả sử ann(x) = <d>, do (i) ta có r ∈ ann(x) do đó <r> ⊆ <d>. Mặt khác nếu s ∈ ann(x) thì sx = 0 từ (ii) suy ra r│s hay s ∈ <r>, do đó <d> ⊆ <r>. Vậy ann(x) = <r> hay o(x) = r.  Mệnh đề trên cho ta một tính chất đặc trưng của cấp ideal của x, ta thấy nó hoàn toàn tương tự như đặc trưng của cấp một phần tử trong nhóm, và định nghĩa cấp ideal của một phần tử trong modun là sự tổng quát định nghĩa cấp của một phần tử [...]... là các phần tử khác không và không khả nghịch trong R thỏa điều kiện q1│q2│…│qk-1│qk 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Nguyễn Viết Đông – Trần Ngọc Hội, Đại số đại cương, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2004 [2] Nguyễn Viết Đông – Trần Huyên, Đại số đồng đều, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2006 [3] Bùi Xuân Hải – Trịnh Thanh Đèo, Đại số hiện đại, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2002 [4] Các. .. ta cách phân tích một modun xoắn trên PID thành các thành phần p-nguyên sơ: Định lý 6.4 Mỗi modun xoắn T trên PID là tổng trực tiếp của các thành phần pnguyên sơ Tp T = ⊕p Tp, với các p nguyên tố Chứng minh Với mỗi x ∈ T thì x xoắn nên tồn tại a ≠ 0 sao cho ax = 0 suy ra x ∈ Ta , ta phân tích a thành dạng tích của lũy thừa các số nguyên tố khác nhau theo định lý căn bản của số học trên PID, vì các. .. đại của M trong ℜ, ta có I’ = M Vậy M là ideal tối đại của  R chứa I Hệ quả 4.7 Trong vành R có đơn vị luôn tồn tại ideal tối đại Chứng minh định lý 4.5 Giả sử X là một R-modun tự Theo hệ quả 4.9 trên tồn tại ideal tối đại I của R, nếu S1, S2 là các cơ sở của X thì p(S1), p(S2) là các cơ sở của R/I-modun tự do X/IX 19 Mặt khác R/I là trường vì I là ideal tối đại và R giao hoán có đơn vị, vì vậy X/XI... khác trên internet 35 Lời ngỏ: em cảm ơn thầy vì đã cho em có cơ hội dùng đề tài này như một bài thi kết thúc môn học và đã hướng dẫn em rất tận tình trong môn học đại số đại cương Với em đây là một đề tài hay, chứa đựng nhiều kết quả đẹp, sâu sắc Tuy nhiên với số lượng tài liệu tham khảo cũng như vốn kiến thức hạn chế và thời gian không cho phép em chỉ có thể dừng lại ở đây Sự duy nhất trong các định... ideal I ≠ R của vành có đơn vị R đều nằm trong một ideal tối đại nào đó của R Chứng minh Xét tập hợp các ideal J của R: ℜ ={J│I ⊆ J ≠ R} Rõ ràng ℜ ≠ Ø vì I ∈ ℜ Nếu J1 ⊆ J2 ⊆…Jn ⊆…là một dây chuyền tiến trong ℜ thì ‫ڂ‬ஶ ‫ܬ‬n ≠ R, do đó (ℜ, ⊆) thỏa điều kiện của bổ đề Zorn Vậy tồn tại một phần ௡ୀଵ tử tối đại của ℜ mà ta kí hiệu là M, khi đó M ≠ R Nếu I’ ≠ R là một ideal của R chứa M thì do tính tối đại. .. lý 5.8 với chú ý T* (trong chứng minh định lý 5.8) cũng là modun hữu hạn sinh p-nguyên sơ 31  Kết hợp các định lý 6.4 và 6.5 ta có: Định lý 6.6 nếu T là một R-modun hữu hạn sinh xoắn, với R là PID, thì tồn tại các phần tử nguyên tố ‫݌‬௜ , ݅ = 1, … ݉ (với m là số phần tử sinh ít nhất của T) và các số nguyên dương 1 ≤ ݊௜௞೔ ≤ ⋯ ≤ ݊௜ଶ ≤ ݊௜ଵ (ứng với mỗi i) sao cho: ௡ ௞ ೔ ܶ ≅ ⊕௠ ⊕௝ୀଵ ܴ/< ‫݌‬௜ ೔ೕ > ௜ୀଵ Áp... sinh không xoắn trên một PID là modun tự do Chứng minh Theo định lý 5.3 mỗi modun hữu hạn sinh không xoắn trên PID đẳng cấu với modun con của một moun hữu hạn sinh tự do, mặt khác theo định lý 4.9 modun con của modun hữu han sinh tự do trên PID là modun tự do vậy ta có điều  phải chứng minh Đoạn tiếp theo ta sẽ chứng minh định lý về sự phân tích của modun hữu hạn sinh xoắn trên PID Các bổ đề sau là... minh điều này còn đúng đối với modun tự do trên vành giao hoán có đơn vị và ta sẽ lấy lực lượng đó làm một đại lượng đặc trưng (hạng) của modun tự do Cuối mục này ta chứng minh một định lý về mối liên quan hạng của một modun trên PID với hạng modun con của nó Trước hết ta cần một số mệnh đề sau: Định lý 4.1 Cho R là một vành có đơn vị, X là một R-modmodun trên PID, khi đó 16 (i) X có một cơ sở không... ∈ I, xj ∈ X, mặt khác S là cơ sở của X nên với mỗi j, xj = ∑kbjksk (ta có thể giả sử tập chỉ số của k giống nhau với các j khác nhau), vậy ta có biểu diễn: ∑irisi = ∑jaj∑kbjksk = ∑j∑kajbjksk = ∑k∑jajbjksk 18 Đồng nhất hệ tử của các si ở 2 vế ta có ri = ∑jajbji ∈ I hoặc ri = 0 nên ri + I = I với mọi i Ta kết luận p(S) độc lập tuyến tính Ta chứng minh p│S: S→p(S) là song ánh Hiển nhiên p│S là toàn ánh,... vành có đơn vị, X là một R-modun, I là một ideal của R, khi đó IX := { ∑aixi : ai ∈ I, xi ∈ X} là một modun con của X Hơn nữa X/IX là một R/I- modun bằng cách xem (r + I)(x + IX) = rx + IX Định lý 4.3 Cho R là một vành có đơn vị, R ≠ I ⊲ R, I là một ideal, X là một Rmodun tự do với cơ sở S Khi đó X/IX là một R/I-modun tự do với cơ sở p(S), p là phép chiếu chính tắc từ X vào X/IX Ngoài ra p│S: S → p(S) . <r>, ta nói cấp ideal của x bằng r (nếu không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt là cấp của x), kí hiệu o(x) = r ( order ideal of x). Nếu Y là modun cyclic sinh bởi x, ta cũng nói Y có cấp ideal bằng o(x) independent) nếu với mọi x 1, x 2 ,…., x n ∈ S mà r 1 x 1 + r 2 x 2 +…+ r n x n = 0 thì r 1 = r 2 =…=r n . Một hệ không độc lập tuyến tính thì gọi là phụ thuộc tuyến tính ( linearly dependent) ta cần thêm kết quả sau: Bổ đề 4.6. Mọi ideal I ≠ R của vành có đơn vị R đều nằm trong một ideal tối đại nào đó của R. Chứng minh. Xét tập hợp các ideal J của R: ℜ ={J│I ⊆ J ≠ R} Rõ ràng ℜ