TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG MÔ ĐUN TRÊN CÁC MIỀN IDEAL CHÍNH

Mặt khác trong một nhóm, ta đã định nghĩa thế nào là cấp của một phần tử, vì vậy để tổng quát hóa ta cũng đưa ra định nghĩa cấp của một phần tử trong modun và xem xét các tính chất còn đ

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN – TIN HỌC

-o0o -

Ti ểu luận môn học đại số đại cương:

Modun trên miền các ideal chính

Người phụ trách: TS Nguyễn Viết Đông

Khóa 2008 – lớp Cử Nhân Tài Năng

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Tháng 12- 2009

MỤC LỤC

1 Giới thiệu……….3

A Số học trên PID……….3

B Lý thuyết modun………5

3 Cấp của một phần tử trong modun trên PID 7

4 Hạng của modun tự do……….……… 16

5 Cấu trúc của modun hữu hạn sinh trên PID……… 22

6 Sự phân tích p-nguyên sơ của modun trên PID……… 30

7 Tài liệu tham khảo………35

1 Giới thiệu

Ta biết rằng mỗi nhóm Aben có thể xem như một modun trên ℤ, mà ℤ là một PID đặc biệt, vì vậy việc khảo sát tính chất của modun trên một PID cho ta các tính chất

tổng quát của tính chất nhóm Aben Mặt khác trong một nhóm, ta đã định nghĩa thế

nào là cấp của một phần tử, vì vậy để tổng quát hóa ta cũng đưa ra định nghĩa cấp

của một phần tử trong modun và xem xét các tính chất còn được bảo toàn trong

trường hợp modun Đó là nội dung của bài tiểu luận này

Trong phần này ta sẽ trình bày các định nghĩa và định lý cần thiết cho các phần sau

mà không có phần chứng minh, các chứng minh cần thiết có thể tham khảo trong

[2], [3] Trước hết ta trình bày một số kết quả về số học trên một PID

A Số học trên PID

Trong phần A này ta kí hiệu R là một PID với phần tử đơn vị là 1và R* là nhóm

các phần tử khả nghịch trong R

Định nghĩa 2.1 với a ,b là các phần tử trong R

(i) ta nói a chia h ết cho b hay b là ước a hay b chia hết a và viết b │a nếu tồn tại c

∈ R sao cho a = bc

(ii) ta nói a và b liên h ợp và viết a ∼ b nếu a = ub với u ∈ R*

(iii) phần tử a ≠ 0 được gọi là nguyên tố nếu a ∉ R* và từ a│bc luôn suy ra a│b

hoặc a│c

Nhận xét: quan hệ ∼ trong (ii) là một quan hệ tuong đương thật sự

Ghi chú: nếu a = bc thì ta có thể viết một cách hình thức: a/b = c hay a/c = b

Mệnh đề 2.2 v ới a, b ∈ R, ta có

(i) a ∼ b khi và chỉ khi a│b và b│a

(ii) a │b khi và chỉ khi <a> ⊆ <b>

(iii) a ∼ b khi và chỉ khi <a> = <b>

Định nghĩa 2.3 Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử d ∈ R là ước chung lớn nhất của A và kí hiệu d = ƯCLN (A) nếu các điều kiện sau được

thỏa mãn:

(i) d│a, ∀ a ∈ A

(ii) nếu e ∈ R và e│a, ∀ a ∈ A thì e│d

Nếu ƯCLN(A) = 1 ta nói các phần tử trong A nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa 2.4 Cho A là một tập con khác rỗng của R\{0}, ta nói phần tử m ≠ 0

của R là bội chung nhỏ nhất của A và kí hiệu m = BCNN(A), nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) a│m, ∀ a ∈ A

(ii) nếu e ∈ R và a│e, ∀ a ∈ A thì m│e

Định lý 2.5 Hai phần tử a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại x và y trong R sao cho 1 =ax + by

Hệ quả 2.6 Gi ả sử a và b nguyên tố cùng nhau, khi đó:

(i)n ếu a│bc thì a│c

(ii)n ếu a│e và b│e thì ab│e

Định lý 2.7 (định lý căn bản của số học trong PID) Cho R là một PID, khi đó mọi

ph ần tử 0 ≠ a ∈ R đều được phân tích thành dạng:

… 

trong đó u ∈ R*, p i là các ph ần tử nguyên tố khác nhau Hơn nữa sự phân tích trên

là ch ủ yếu duy nhất theo nghĩa nếu  =  …  thì k = l và t ồn tại phép

th ế  trên {1, 2,…n} sao cho n i = (), pi ~ () , v ới mọi i = 1,2,…,n

Tiếp theo ta trình bày về lý thuyết modun

B Lý thuyết modun

Định nghĩa 2.8 cho vành R có đơn vị (kí hiệu bởi 1) Nhóm cộng aben (X, +) sẽ được gọi là modun trên R ( hay R-modun) nếu trên X ta xác định một tác động trái

từ R, tức có ánh xạ f: R×X → X mà f(r, x) được kí hiệu bởi rx (gọi là tích của hệ

tử r với phần tử x) Ngoài ra các tiên đề sau phải được thỏa mãn:

1: 1# = #

2: (%&)# = %(&#)

3: %(# + )) = %# + %)

4: (% + &)# = %# + &#

Với mọi r, s ∈ R, với mọi x, y ∈ X

Định nghĩa 2.9 cho X là một R-modun, một tập con khác rỗng A của X được gọi

là modun con của X nếu A với các phép toán cảm sinh trên X cũng là một modun,

một cách tương đương, một tập con khác rỗng A của X là modun con của X nếu và

chỉ nếu: + + + ⊆ + và ,+ ⊆ +

Định nghĩa 2.10 cho X là một modun và ⊆ /, giao của tất cả các modun con

của X có chứa S là một modun con của X và gọi là modun con sinh bởi S, kí hiệu

bởi <S>, S được gọi là hệ sinh của <S> và nếu S hữu hạn ta nói <S> hữu hạn sinh

(finitely generate)

Định lý 2.11 modun con sinh bởi tập S ⊆ X là modun con (submodun) gồm tất cả

các t ổ hợp tuyến tính của S

Định nghĩa 2.12 cho ⊆ / với X là một modun, ta nói S là độc lập tuyến tính

(linearly independent) nếu với mọi x1, x2,…., xn ∈ S mà r1x1 + r2x2 +…+ rnxn = 0 thì r1 = r2 =…=rn Một hệ không độc lập tuyến tính thì gọi là phụ thuộc tuyến tính (

linearly dependent)

Định nghĩa 2.13 một hệ sinh độc lập tuyến tính của một modun được gọi là cơ sở

(base) của modun đó

Định lý 2.14 một tập con S của X là cơ sở của X khi và chỉ khi mọi phần tử trong

X đều được biểu diễn tuyến tính một cách duy nhất qua S

Định nghĩa 2.15 modun có cơ sở được gọi là modun tự do ( free modun)

Định lý 2.16 modun con của modun tự do trên vành chính là modun tự do

3 Cấp của một phần tử trong modun trên PID

Trong phần này ta sẽ định nghĩa cấp của một phần tử trong modun để làm cơ sở

cho các phần phía sau

Trong phần này ta hiểu ( X, +) là một R-modun với R là một PID

Để định nghĩa cấp của một phần tử trong modun trên PID , trước hết ta đưa ra các định nghĩa và bổ đề sau:

Định nghĩa 3.1 với mọi phần tử x ∈ X, ta xét tập

(ii) một phần tử x trong modun X được gọi là không xoắn (torision-free) nếu:

ann(x) = {0}

(iii) modun X được gọi là xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều xoắn

(iii) modun X được gọi là không xoắn nếu mọi phần tử khác không của nó đều

không xoắn

Ghi chú: ta có 0 luôn luôn là phần tử xoắn

Định nghĩa 3.3 Modun con Y của X gọi là cyclic nếu Y có dạng Y = Rx với x

trong X Lúc đó x được gọi là phần tử sinh của Y hay Y là modun cyclic sinh bởi x,

kí hiệu bởi Y = <x>R, nếu không sợ nhầm lẫn với nhóm con cyclic sinh bởi x trong

(X, +) ta viết Y = <x>

Nhận xét: do định nghĩa ta có:

(i) modun cyclic sinh bởi x là modun xoắn khi và chỉ khi x là phần tử xoắn

(ii) modun cyclic sinh bởi x là modun không xoắn khi và chỉ khi x là phần tử

không xoắn

Mệnh đề 3 4 với X là một R-modun, ta đặt :

Xt = { x ∈ X│ann(x) ≠ 0}

Tức Xt là tập hợp tất cả các phần tử xoắn của X, khi đó :

(i) Xt là modun con của X mà ta gọi là thành phần xoắn của X

(ii) X/Xt là modun không xoắn

Chứng minh

(i) Ta kiểm tra các tiêu chuNn của nhóm con:

Vậy Xt là modun con của X

(ii) Nếu X/Xt = {0}thì có điều cần chứng minh Trường hợp X/Xt ≠ {0} giả sử

phần tử x + Xt ≠ 0 là xoắn thì tồn tại r trong R\{0} sao cho r(x + Xt) = rx + Xt = 0 hay rx ∈ Xt , do đó tồn tại s trong R\{0} sao cho srx = 0, mà sr ≠ 0 nên x ∈ Xt hay

x + Xt = 0, mâu thuẫn này cho ta điều phải chứng minh 

Vì ann(x) là một ideal của miền các ideal chính R nên ann(x) có dạng:

ann(x) = Rr = <r>, với r ∈ R

từ đó ta định nghĩa

Định nghĩa 3.5 Với mọi x trong modun X nếu ann(x) = Rr = <r>, ta nói cấp ideal

c ủa x bằng r (nếu không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt là cấp của x), kí hiệu o(x) = r ( order ideal of x) Nếu Y là modun cyclic sinh bởi x, ta cũng nói Y có cấp ideal

bằng o(x)

Từ định nghĩa ta có:

(i) x là phần tử xoắn nếu và chỉ nếu o(x) ≠ 0

(ii) x là phần tử không xoắn nếu và chỉ nếu o(x) = 0

Nhận xét: phần tử r trong định nghĩa trên xác định sai khác một thừa số khả

nghịch vì vậy cấp ideal của một phần tử cũng xác định sai khác một thừa số khả

nghịch Do đó khi nói cấp của một phần tử bằng d ta hiểu đó là một lớp tương đương các phần tử liên hợp với d

Mệnh đề 3.6 V ới mọi x trong X, ta có o(x) = r khi và chỉ khi r thỏa mãn 2 điều kiện sau:

(i) rx = 0

(ii) v ới mọi s ∈ R, nếu sx = 0 thì r│s

Ch ứng minh

(⟹) (i) ta có ann(x) = Rr = <r> nên r ∈ ann(x) kéo theo rx = 0

(ii) nếu sx = 0 thì s ∈ ann(x) do đó r│s

(⟸) giả sử ann(x) = <d>, do (i) ta có r ∈ ann(x) do đó <r> ⊆ <d> Mặt khác nếu

s ∈ ann(x) thì sx = 0 từ (ii) suy ra r│s hay s ∈ <r>, do đó <d> ⊆ <r> Vậy ann(x)

= <r> hay o(x) = r 

Mệnh đề trên cho ta một tính chất đặc trưng của cấp ideal của x, ta thấy nó hoàn

toàn tương tự như đặc trưng của cấp một phần tử trong nhóm, và định nghĩa cấp

ideal của một phần tử trong modun là sự tổng quát định nghĩa cấp của một phần tử

trong nhóm, ta hoàn toàn có thể dùng 3.3 để định nghĩa cấp của một phần tử trong

nhóm

Mệnh đề 3.7 V ới mọi x, y trong X ta có

(i) o(-x) = o(x)

(ii) n ếu o(x) = r, o(y) = s và (r, s) = 1 thì o(x + y) = rs

(iii) n ếu o(x) = r, o(y) = s và <x> ∩ <y> = {0} thì o(x + y) = [r, s]

Ch ứng minh

(i) hiển nhiên vì rx = 0 khi và chỉ khi r(-x) = 0

(ii) Ta có (rs)(x+y) = s(rx) + r(sy) = 0 + 0 = 0

Giả sử e(x + y) = 0, ta có er(x + y) = 0 hay ery = 0 suy ra s│er, mà (r, s) = 1 nên

s│e, tương tự ta có r│e lại vì (r, s) = 1 ta được rs│e

Từ đó mệnh đề 3.3 cho ta điều phải chứng minh

(iii) giả sử [r, s] = rr’= ss’ Khi đó [r, s](x +y) = r’rx + s’sy = 0

Mặt khác nếu t(x +y) = 0 thì tx = -ty ∈ <x> ∩ <y> = {0} nên tx = ty = 0 từ đó ta

có: r│t và s│t suy ra [r, s]│t Vậy o(x +y) = [r, s] 

Mệnh đề 3 8 cho o(x) = d ≠ 0, với x trong X, khi đó với mọi r ≠ 0 trong R, ta có: (i) o(rx) = d/e v ới e = (d, r)

(ii) <rx> = <x> khi và ch ỉ khi (r, d) = 1

(iii) v ới mọi ước e của d tồn tại duy nhất một modun con cyclic của <x> có c ấp e

Ch ứng minh

(i) Giả sử d = ed’, r = er’ ta có (d/e)(rx) = e’dx = 0

Mặt khác nếu t(rx) = 0 thì d│tr, suy ra (d/e)│t(r/e) mà (d/e, r/e) = 1 nên (d/e)│t

(iii) Theo (i) thì o((d/e)x) = e, tức modun cyclic sinh bởi (d/e)x có cấp e Giả sử X

có modun cyclic con sinh bởi rx cũng có cấp e: o(rx) = e Cũng theo (i) ta có e =

d/(d, r) hay (d, r) = d/e, dẫn đến tồn tại u, v trong R sao cho ud + rv = d/e Bởi vậy

(d/e)x = udx + rvx = vrx ∈ <rx> do đó <(d/e)x> ⊆ <rx> Mặt khác (d/e)│r nên

<rx> ⊆ <(d/e)x> Vì vậy <(d/e)x> = <rx> , nghĩa là modun con cyclic cấp e là duy

Các mệnh đề sau đây về tính chất của modun cyclic hoàn toàn tương tự như tính

chất của nhóm cyclic trong lý thuyết nhóm

Mệnh đề 3.9

(i) ảnh đồng cấu của một modun cyclic là một modun cyclic

(ii) modun th ương của một modun cyclic cũng là một modun cyclic

(iii) modun con c ủa một modun cyclic cũng là một modun cyclic

Ch ứng minh

(i) giả sử G = <x> là một modun cyclic và f là một đồng cấu từ G vào G’, với G’ là

modun trên R, ta chứng minh f(G) là một modun cyclic Thật vậy mọi phần tử

trong f(G) có dạng f(rx) = rf(x) với r trong R vậy f(G) là một modun cyclic sinh

rõ ràng f là một toàn cấu , vì vậy G/H = f(G) là một modun cyclic theo (i)

(iii) giả sử G = <x> là một modun cyclic , H là modun con của G Xét

C(H) = { r ∈ R│rx ∈ H}

Ta chứng minh C(H) là ideal của R, thật vậy:

a Ta có 0 ∈ C(H) nên C(H) ≠ Ø

b Nếu r, s ∈ C(H) thì (r - s)x = rs - sx ∈ C(H) vì rs, sx ∈ H và H là nhóm

con của nhóm (G, +) Vậy r + s ∈ C(H)

c với mọi r trong R, s trong C(H), ta có: sx ∈ H suy ra rsx ∈ H vì H là

modun con của X Vậy rs ∈ C(H)

từ C(H) là ideal của R suy ra C(H) = <d>, ta sẽ chứng minh H = <dx>:

a lấy y ∈ H thì y = rx, với r trong R, suy ra r ∈ C(H) dẫn đến r = ed và y =

ta kiểm tra f là đồng cấu(xem R là modun trên chính nó), thật vậy

a với mọi r, s trong R: f(r + s) = (r + s)x = rx + sx = f(r) + f(s)

b với mọi r, s trong R: f(rs) = rsx = r(sx) = rf(s)

vậy f là đồng cấu, rõ ràng f toàn ánh nên f toàn cấu Mặt khác:

kerf = { r ∈ R│rx = 0}= ann(x) = <d> = Rd

hệ thức R/Kerf ≅ Imf cho ta:

Mệnh đề 3.10 tổng quát mệnh đề quen thuộc: mọi nhóm cyclic vô hạn đẳng cấu

với ℤ , mỗi nhóm cyclic cấp n đẳng cấu với ℤ/nℤ = ℤn

Để phục vụ cho “định lý phân tích” trong phần sau, ta sẽ khảo sát các phần tử đặc

biệt trong modun: các phần tử có cấp là lũy thừa của một phần tử nguyên tố

Định nghĩa 3.11 Cho là một R-modun, với mỗi phần tử nguyên tố p trong R, ta

xét tập:

Xp = { x ∈ X│∃ n ∈ ℕ: pn

x = 0}

ta gọi Xp là một thành phần p-nguyên sơ ( p-primary component ) của X Mỗi phần

tử của Xp cũng được gọi là phần tử p-nguyên sơ

Một modun M trên R được gọi là p-nguyên sơ nếu M = Mp

Bổ đề 3.12 Thành ph ần p-nguyên sơ Xp c ủa modun X là một modun con của X

Ch ứng minh Hiển nhiên Xp là một tập con của X và ta có:

Nhận xét: modun con của một modun p- nguyên sơ cũng là modun p- nguyên sơ

Từ mệnh đề 3.10 và bổ đề 3.13 ta suy ra ngay:

Mệnh đề 3.14 Cho Y là m ột modun cyclic trên R, nếu Y là p-nguyên sơ thì tồn tại

n ∈ ℕ sao cho:

Y ≅ R/<p n

>

Bổ đề 3.13 N ếu x là một phần tử p-nguyên sơ thì o(x) = p m

v ới một m nào đó trong ℕ

Ch ứng minh Đặt o(x) = a thì ta có ann(x) = <a>, vì x p-nguyên sơ nên tồn tại m ∈

Ta biết rằng modun là khái niệm tổng quát của không gian vector, mà trong một

không gian vector ta biết là lực lượng của mọi cơ sở là như nhau, ta sẽ chứng minh điều này còn đúng đối với modun tự do trên vành giao hoán có đơn vị và ta sẽ lấy

lực lượng đó làm một đại lượng đặc trưng (hạng) của modun tự do Cuối mục này

ta chứng minh một định lý về mối liên quan hạng của một modun trên PID với

hạng modun con của nó

Trước hết ta cần một số mệnh đề sau:

Định lý 4.1 Cho R là một vành có đơn vị, X là một R-modmodun trên PID, khi đó

(i) X có m ột cơ sở không rỗng khi và chỉ khi có một tập con không rỗng M của X

Ch ứng minh

(i)

( ⟹) giả sử X có một cơ sở không rỗng M thì mọi phần tử trong X đều được biểu

diễn một cách duy nhất qua M theo định lý 2.13, nói cách khác X = ⊕<∈=Rx

Mặt khác M độc lập tuyến tính nên với mọi x trong M nếu rx = 0 thì r = 0 suy ra

ann(x) = {0} hay o(x) = 0 vì vậy Rx ≅ R dẫn đến: X ≅ ⨁8∈9R

(⟸) từ X = ⊕<∈=Rx ta có mỗi phần tử trong X được biểu diễn tuyến tính một

cách duy nhất qua M nên M là cơ sở của X

(ii) ta sẽ chứng minh cơ sở M của X và ánh xạ nhúng i từ M vào X thỏa mãn (iii),

thật vậy, giả sử f là ánh xạ từ M vào Y

Với mọi x trong X ta có một biểu diễn duy nhất:

x = ∑ rmm, với m ∈ M, r ∈ R

khi đó với mọi ánh xạ f: M → Y, ta xét g như sau:

g: X → Y

x = ∑ rmm ⟼ ∑rmf(m)

Để chuNn bị cho định lý tiếp theo, ta cần bổ đề sau mà việc chứng minh là dễ dàng:

Bổ đề 4.2 Cho R là m ột vành có đơn vị, X là một R-modun, I là một ideal của R, khi đó IX := { ∑aixi : ai ∈ I, x i ∈ X} là một modun con của X Hơn nữa X/IX là một

R/I- modun b ằng cách xem (r + I)(x + IX) = rx + IX

Định lý 4.3 Cho R là một vành có đơn vị, R ≠ I ⊲ R, I là một ideal, X là một

R-modun t ự do với cơ sở S Khi đó X/IX là một R/I-modun tự do với cơ sở p(S), p là phép chi ếu chính tắc từ X vào X/IX Ngoài ra p │S : S → p(S) là song ánh

Ch ứng minh

(i) với mọi x + IX ∈ X/IX, ta có x = ∑risi, ri∈ R, si∈ S nên x + IX = ∑i(ri + I)(si + IX) Vậy p(S) là một hệ sinh của X/IX

(ii) ta chứng minh p(S) độc lập tuyến tính Nếu ∑i(ri + I)(si + IX) = IX thì ∑irisi +

IX = I X hay ∑irisi ∈ IX Vì vậy ta có thể biểu diễn ∑irisi = ∑jajxj, aj ∈ I, xj ∈ X, mặt

khác S là cơ sở của X nên với mỗi j, xj = ∑kbjksk (ta có thể giả sử tập chỉ số của k

giống nhau với các j khác nhau), vậy ta có biểu diễn:

∑irisi = ∑jaj∑kbjksk = ∑j∑kajbjksk = ∑k∑jajbjksk

... ann(x) ideal miền ideal R nên ann(x) có dạng:

ann(x) = Rr = <r>, với r ∈ R

từ ta định nghĩa

Định nghĩa 3.5 Với x modun X ann(x) = Rr = <r>, ta nói cấp ideal. ..

Nhận xét: phần tử r định nghĩa xác định sai khác thừa số khả

nghịch cấp ideal phần tử xác định sai khác thừa số khả

nghịch Do nói cấp phần tử d ta hiểu lớp tương đương... (nếu không sợ nhầm lẫn ta gọi tắt cấp x), kí hiệu o(x) = r ( order ideal of x) Nếu Y modun cyclic sinh x, ta nói Y có cấp ideal

bằng o(x)

Từ định nghĩa ta có: