1 ã Trần Quang Việt – BMCS – Khoa Điện – ĐHBK Tp HCM ã Tran Quang Viet – Faculty of EEE – HCMUT Semester 1/12 13 Chương 4 – Trường điện từ biến thiên [8 Use phasor techniques and apply Maxwell’s equat[.]
Chương – Trường điện từ biến thiên Lecture-9: Tính chất sóng TĐT BT & biểu diễn trường điều hòa dùng PP biên độ phức [8 Use phasor techniques and apply Maxwell’s equations to analyze uniform plane-wave propagation and attenuation in various medium Calculate Poynting vector] Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Trường điện từ biến thiên trường điện từ có đại lượng đặc trưng thay đổi theo không gian thời gian q Quan hệ đại lượng trường với mật độ nguồn tuân theo hệ phương trình Maxwell, điều kiện biên phương trình liên hệ mơi trường chất: ur ur r ¶ D H1t - H 2t = JS rotH = J + ur ¶t ur ur ur ¶B D = e E E1t - E 2t = rotE = ¶ t ur ur ur B = mH divD = r V D1n - D 2n = rs r ur ur J = sE divB = B1n - B2n = r ¶r V divJ = ¶t J1n - J2n = - ¶r s ¶t ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Để tính trường điện từ biến thiên sinh mật độ nguồn dịng điện điện tích ta dùng hàm thế: vô hướng vectơ q Định nghĩa vectơ: ur ur ur divB = ur0 Þ B = rotA div(rotA) = q Định nghĩa vơ hướng: ur ur ur ur ¶ A ¶B rotE = )=0 ị rot(E + ảt ảt rot(gradj ) = ur ur ảA ị E = - gradj ảt q Tính đa trị hàm thế: ur ur ur ur ur ur ¶f (A, j ) a (B, E) Þ (A+gradf , j - ) a (B, E ) ¶t Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Điều kiện phụ Lorentz: chọn lợi dụng tính đa trị định lý Helmholtz (một vectơ xác định biết rot & div) ur ¶j divA = - em (Điều kiện Lorentz) ¶t q Thiết lập phương trình d’Alembert cho vectơ: ur ur ur r ¶ D ur r ả E rotH = J + ị rotB =m J + em ¶t ¶t ur ur ur r ¶j ¶2 A Þ grad(divA + em ) - D A =m J - em ¶t ¶t ur ur ur r ur r ¶ A ¶ A Þ D A - em = - m J Þ DA - 2 = - m J v = em v ¶t ¶t ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Thiết lập p.trình d’Alembert cho vơ hướng: ur ur divD =r v Þ divE = r v e ur r ảA ị div( - gradj )= v ảt e ị Dj + ur r ¶ ¶ 2j r divA= - v Þ Dj - em = - v ảt e ảt e ị Dj - rv v = 1 ¶2j = em v2 ¶t e Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Giải phương trình d’Alembert cho tốn điện tích điểm q(t) § Chọn hệ tọa độ cầu gốc trùng q(t) j=j(r,t) ¶ 2j =0 v ¶t 1 ¶ ỉ ¶j ¶ 2j ị ỗ r2 ữ - 2 = , Đặt: j (r,t)= r U(r,t) r ¶r è ¶r ứ v ảt Đ PT dAlembert cho j c vit li: Dj - ị r ả 2U ả 2U ¶ 2U ¶ 2U t = = , Đặt: = (PT súng) ị v ảr v ¶t ¶t ¶t § Lưu ý: ¶ ổ ảU ả ổ ảU ỗ ữ= ỗ ữ ị ảt ố ảt ứ ảt ố ảt ứ ổ ả ả ửổ ảU ảU + ữỗ ỗ ÷= ¶t ø è ¶t ¶t øè ¶t ỉ ả ả ửổ ảU ảU + ỗ - ữỗ ÷= ¶t ø è ¶t ¶t øè ¶t ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ bin thiờn v tớnh cht súng ị ổ ảU ảU ỗ ả + ảt ữ = ố t ứ ị ổ ảU ảU ỗ ả - ảt ÷ = è t ø U= f(t - t ) U= g(t + t ) U=K1f(t - t )+K g(t+t ) Þ U=K1f t - vr +K g t + vr § Kết : j (r,t)= é K1f t - vr +K g t + vr ự ỷ rở ị Source@r=0: g(t)=f(t) Đ Nhn xét : t - wave vận tốc v g t + vr + wave vận tốc v f t - vr -r +r Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng § Do hệ tọa độ cầu nên có hướng +r: K Þ j ( r,t )= f(t-r / v ) với f(t) liên quan tới nguồn sinh j r q § Nếu q khơng thay đổi theo t thì: j ( r )= 4pe r § Vậy q thay đổi theo t thì: j ( r,t )= q(t-r / v ) 4pe r § Kết luận: điện tích điểm q(t) sinh trường biến thiên có tính chất lan truyền > sóng điện từ; vận tốc: v= em (m/s) ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.1 Trường điện từ biến thiên tính chất sóng q Nghiệm PT d’Alembert - chậm j (t)= 4pe ò V ur m A (t)= 4p ò V r (t - R/v)dV R r J(t - R /v)dV R q Ý nghĩa chậm: § Trường điện từ biến thiên có khả lan truyền khơng gian dạng sóng điện từ § Cơng cụ tốn quan trọng để tính trường điện từ xạ anten Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.2 Định lý Poynting q Áp dụng kết giải tích vectơ ta có: ur ur ur ur ur ur div(H)=HrotE-ErotH q Áp dụng hệ phương trình Maxwell: ur ur ur ur ur ¶ B ur r ¶ D rur ¶ urur ả urur div(EìH)=-H -E(J + ) =-JE- ổỗ HB ửữ - ổỗ ED ửữ ảt ảt ảt ố ø ¶t è ø q Lấy tích phân vế V: ur ur rur d æ urur d ổ urur div(EìH)dV=JEdVHBdV ữ - ç ị EDdV ÷ ç ịV ịV dt è òV ø dt è V ø ur ur uur d(Wm +We ) - ị (H)dS=Pd + S dt (Lưu ý: dS hướng khỏi V) ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.2 Định lý Poynting q Theo định luật bảo tồn & chuyển hóa NL: Pd : Cơng suất tổn hao nhiệt V d(Wm +We ) : Thay đổi NL điện từ V dt ur ur uur - ị (H)dS : Cơng suất gửi vào V qua S CS điện từ S ur ur ur P = H : Vectơ Poynting (mật độ dịng cs điện từ) uruur d(Wm +We ) - ò PdS=Pd + : Định lý Poynting S dt uruur P = PdS q Tính cơng suất điện từ qua mặt S: EM òS (W ) Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa q Quy luật biến thiên theo thời gian trường phụ thuộc vào quy luật biến thiên nguồn (mật độ điện tích mật độ dịng điện) Trong kỹ thuật ta thường gặp tín hiệu nguồn biến thiên điều hịa, mặt khác tín hiệu biểu diễn thành tổng tín hiệu điều hịa dùng chuỗi Fourier (tín hiệu tuần hồn) tích phân Fourier (tín hiệu khơng tuần hồn) khảo sát trường điều hồn thực tế q Một vectơ trường biến thiên điều hịa có dạng: ur r r r X=Xxm cos(w t+Y x )a x +X ym cos(w t+Y y )ay + X zm cos(w t+Y z )az X xm =X xm (x,y,z);Xym =X ym (x,y,z);X zm =X zm (x,y,z) Y x = Y x (x,y,z);Y y = Y y (x,y,z);Y z = Y z (x,y,z) ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa q Biểu diễn phức trường biến thiên điều hòa: ur r r r j(w t+Y y ) X=Re{X xm e j(wt+Y x )}a x +Re{X ym e }a y + Re{X zm e j(wt+Yz )}az ur r r r ur· j(w t+Y y ) j(w t+Y x ) j(w t+Y z ) X=Re{X xm e ax +X ym e ay +Xzm e az}=Re{X c } ur· r r r ur· jwt j(w t+Y y ) X c =Xxm e j(wt+Y x ) a x +X ym e a y +Xzm e j(wt+Y z ) az = Xe ur· r r r jY X=X xm e jY x a x +X ym e y a y +X zm e jY z az ur X ur· Xc Vectơ vật lý (miền thời gian) Vectơ biên độ phức tức thời ur· X Vectơ biên độ phức (miền phức – tần số) Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hịa q Ví dụ biểu diễn phức trường biến thiên điều hòa: ur r r E=3e-2 x cos(w t - 5x )a y - 2e -2 xsin(w t - 5x )a z ur r r Þ E=3e -2 x cos(w t - 5x)ay - 2e -2 x cos(w t - 5x - p2 )a z ur r r j(w t -5 x - p2 ) Þ E c =3e-2 x e j(wt -5 x) ay - 2e-2 x e az ur r r ur r r - jp Þ E c =[3e -2 xe - j5x ay - 2e -2 x e - j5x e a z ]e jwt Þ E=[3a y +j2a z ]e-2 x e- j5 x ur r r H=[j2a x +3az ]e- j6 y ur r r r r j(w t -6 y+ p2 ) H c =[j2a x +3az ]e- j6 y e jwt = 2e a x +3e j(wt -6 y ) a z ur ur r r H = Re{H c }=2cos(w t - 6y+ p2 )a x +3cos(w t - 6y)a z ur ur r r H = Re{H c }= - 2sin(w t - 6y )a x +3cos(w t - 6y )a z ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hịa q Hệ phương trình Maxwell dạng phức: ur ur ur· ur r ¶ D ur ur ur· uÃr ảE ả EC rotH = J + ị rotH = s E + e Þ rot H C = s EC + e ¶t ¶t ¶t ur· jwt u·r jwt u·r jwt ur· ur· Þ rot( H e ) = s E e + jwe E e Þ rot H = (s + jwe ) E Tương tự, ta có hệ phương trình Maxwell dạng phức: ~ u·r ur· u·r ur· (1) rot H = (s + jwe ) E (1) rot H = jw e E u·r ur· ur· ur· (2) rot E = - jwm H rot E = - jwm H (2) Hoặc u·r · u·r · (3) (3) div E = r v / e div E = r v / e ur· div H = ur· div H = (4) (4) ~ e = (e - js / w ) : độ thẩm điện phức Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa q Vectơ Poynting trung bình – Cơng suất ĐT trung bình: ur ur ur ur ur P(t)=E×H = Re{E c }´ Re{H c } ur ur ur ur Re{E c } = Re{E e jwt } = 12 ( E e jwt + E *e - jwt ) Với: ur ur ur ur Re{H c } = Re{H e jwt } = 12 ( H e jwt + H *e - jwt ) ur ur ur ur ur ur ur ur ur Þ P(t)= 14 E´ H e j 2wt + 41 E *´ H *e- j 2wt + 14 E´ H * + 41 E *´ H ur ur ur ur ur Þ P(t)= 12 Re{E´ H e j 2wt } + 12 Re{E´ H *} ur ur ur Þ= 12 Re{E´ H *} (MĐCSĐT trung bình ) W m2 ur uur Þ = ị < P >dS S W (CS điện từ trung bình) ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hịa q Mật độ CS tổn hao trung bình – CS tổn hao trung bình: rur r ur ur ur pd (t ) = JE = Re{J c }Re{Ec } = s Re{Ec }Re{Ec } ur ur ur ur Re{E c } = Re{E e jwt } = 12 ( E e jwt + E *e - jwt ) ur ur Þ p d (t ) = s4 ( E e jwt + E *e - jwt ) ur ur ur Þ p d ( t ) = s4 (E) e j 2wt + s4 (E * ) e - j 2wt + s2 | E |2 ur ur Þ p d ( t ) = s2 Re{( E )2 e j 2wt } + s2 | E |2 ur Þ
= s | E |2 d W m3 (MĐCSTH trung bình ) ur Þ = 12 ò s | E |2 dV W V (CS tổn hao trung bình) Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hịa q Ví dụ tính trường điều hịa dùng pp biên độ phức: Trong mơi trường có m=m0, tồn trường điện có vectơ cường độ trường điện: ur r E = 10p e- p z cos(2p 108 t - 3p z ) a x (V / m ) Hãy xác định vectơ cường độ trường từ gắn với trường điện trên? Tính CSĐT trung bình qua hình vng a=2m măt phẳng z=1cm ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa ur r ur E = 10p e -p z cos(2p 108 t - 3p z ) a x Þ E = 10p e -p z e- j 3p z r r ax = Ex ax Áp dụng hệ pt Maxwell dạng phức ta có: ur ur ur ur ur ur j rot E = - jwm H = - jwm0 H Þ H = - jwm rot E = rot E 80p r r r ax ay az ur ¶ Ex r ( - j ) -p z - j 3p z r j Þ H = 80p ¶¶x ¶¶y ¶¶z = 80pj ay = e e ay ¶z Ex 0 ur - jp Þ H = 0.25e e -p z e - j 3p z r ay ur r Þ H = 0.25e -p z cos(2p 108 t - 3p z - p6 ) a y Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 ã Tran Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 4.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa ur E = 10p e -p z e - j ur 3p z r ur - jp a x Þ H = 0.25e e -p z e - j 3p z r ay ur ur Re{E´ H *} ur r r jp Þ
= 1.25p e -2 p z Re{e }a z = 1.25p cos( p6 ) e -2p z a z ur r Þ
= 3.4e -2p z a z ( mW2 ) a x a a z = ò ò 3.4 e -2p z dxdy Áp dụng:
= 0 -2 p z z = 3.4 a e ur
a y = 13.6e -2p z (W ) z -2 Þ z =1cm = 13.6e -2p 10 = 12.77(W ) ã Tran Trần Quang Việt Khoa – ĐHBK Tp.HCM1/12-13 Viet –– BMCS Faculty–of EEEĐiện – HCMUT-Semester 10