Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ tài liệu 16 dạng toán trọng tâm (câu 35 đến câu 50) trong đề tham khảo của Bộ giáo dục năm 2023. Hy vọng với bộ tài liệu này, các bạn học sinh sẽ đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp sắp tới. Cảm ơn tác giả đã viết ra bộ tài liệu hay như vậy.
Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 DẠNG A Phan Nhật Linh TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ Biểu diễn hình học số phức ( ) biểu diễn điểm M (a;b ) Số phức z = a + bi a, b ( ) hay u = a;b mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy Tập hợp điểm biểu diễn số phức Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • ax + by + c = tập hợp điểm đường thẳng B • • x = tập hợp điểm trục tung Oy y = tập hợp điểm trục hoành Ox • ( x − a ) + (y − b ) • x − a + y − b = R2 tập hợp điểm đường trịn có tâm I a;b , bán kính x + y − 2ax − 2by + c = ( 2 ) ( ) ( ) R2 tập hợp điểm hình trịn tâm I a;b , bán kính R ( ) • • R = a + b2 − c x tập hơp điểm miền bên phải trục tung y tập hợp điểm miền phía trục hồnh • • x tập hợp điểm miền bên trái trục tung y tập hợp điểm phía trục hồnh • y = ax + bx + c tập hợp điểm đường Parabol • x y2 + = tập hợp điểm đường Elip a b2 • x y2 − = tập hợp điểm đường Hyperbol a b2 BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA Câu 35 – Đề tham khảo 2023 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A ( 0; ) B ( −2;0 ) C ( 0; −2 ) D ( 2;0 ) Lời giải Chọn C Đặt z = x + yi , với x, y Từ giả thiết z + 2i = x + ( y + ) = Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 C Câu 1: BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = Câu 2: B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn Câu 3: A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) Câu 4: D I (1; −2 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 Câu 5: B S = A B 3 C D 3 Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = D I ( 2; −3) Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) Câu 8: 10 1 = + Diện tích tam giác z+w z w đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( −2; −3) C I ( −2;3) Câu 7: D S = Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh lại biểu diễn hai nghiệm phương trình Câu 6: C S = −2 D I ( 3;4 ) Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 Câu 9: B C 16 D Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi ( x, y ) + z = i − z A x − y = 2| Biên soạn: Phan Nhật Linh B x + y − = C x − y + = D x + y = thỏa mãn Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 B S = Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 D S = 18 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh 9 3 9 A I − ; − B I ; 2 2 2 33 C I ; − 4 3 9 D I ; − 2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến A B 2 C D Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn iz + − 2i = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −2; −1) B I ( −2;1) C I ( 2;1) D I ( 2; −1) Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + − i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 2;3) B I ( 2; −3) C I ( −2; −3) D I ( −2;3) Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( 7; −1) B I ( −7;1) C I ( −7; −1) ( z +1+ i = − 4i D I ( 7;1) ) Câu 18: Cho số phức z có z − = w = + 3i z + Tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) A I ( −3; ) , R = w = + 3i z + đường tròn, tâm bán kính đường trịn ( ) B I 3; − , R = C I ( ) ( ) 3; , R = D I 3; , R = Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − = , biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 − i ) z + i đường trịn Tính bán kính đường trịn Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 A B 2 C D Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − + 2i = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z mặt 1− i phẳng tọa độ Oxy đường trịn có tâm 3 A I − ; 2 1 3 B I ; − 2 2 1 C I − ; − 2 Câu 21: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 3 1 D I ; 2 2 z + − 2i = z − + 3i A Đường trịn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 17 B Đường tròn tâm I ( −5;8 ) bán kính 17 C Đường trịn tâm I ( 5; ) bán kính D Đường tròn tâm I ( −5 ; ) bán kính Câu 22: Cho z1 z hai số phức z thỏa mãn z − − 3i = , đồng thời z1 − z2 = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn có phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r ( r ) Tính giá trị biểu thức T = ( a + b ) r A T = 96 B T = 64 C T = D T = 12 Câu 23: Biết phương trình z + mz + m − = ( m tham số thực) có hai nghiệm phức A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 z0 = i Có giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC 1? A B 4| Biên soạn: Phan Nhật Linh z1 , z2 Gọi C D Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn iz − = + 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) Tọa độ tâm I bán kính R đường tròn ( C ) A I ( 0;1) ; R = B I ( 0;1) ; R = C I ( 0; − 1) ; R = D I ( 0; − 1) ; R = Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi ( x; y ) Theo ra: iz − = + 2i i ( x + yi ) − = + 2i −1 − y + xi = x + ( y + 1) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; − 1) , bán kính R = Câu 2: Cho số phức z thoả mãn z + − 2i = Biết tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z đường trịn Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường trịn A I ( −6; ) , R = 16 B I ( 6; −2 ) , R = C I ( 6; −2 ) , R = 16 D I ( −6; ) , R = Lời giải Chọn D Đặt z = x + yi ( x, y ) Theo đề ta có: x + yi + − 2i = ( x + ) + ( y − ) i = ( x + 6) + ( y − 2) 2 = ( x + ) + ( y − ) = 16 2 Vậy tập điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −6; ) , bán kính R = Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 2i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −1;2 ) B I ( −1; −2 ) C I (1;2 ) D I (1; −2 ) Lời giải Chọn A Gọi z = x + yi (với x; y ( x + 1) + ( y − ) i = ) Ta có: z + − 2i = ( x + 1) + ( y − ) = ( x + 1) + ( y − ) = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; ) điểm M ( a; b ) biểu diễn số ( ) phức z Biết số phức w = ( z + 2i ) z − số thực M nằm trung trực AB Tổng S = a + b A S = −14 B S = C S = −2 D S = 10 Lời giải Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A Ta có: AB ( −5;5 ) −1 Đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm I ; có phương trình 2 (d ) : x − y + = M d M ( a; a + ) z = a + ( a + ) i ; z = a − ( a + ) i Khi w = a + ( a + ) i a − − ( a + ) i = a ( a − ) − a ( a + ) i + ( a − )( a + ) i + ( a + )( a − ) w số thực −a ( a + ) + ( a + )( a − ) = − a − 2a + a − 16 = a = −8 b = −6 a + b = −14 Câu 5: Cho số phức w có w = Một tam giác có đỉnh điểm biểu diễn w hai đỉnh cịn lại biểu diễn hai nghiệm phương trình A B 3 1 = + Diện tích tam giác z+w z w C D 3 Lời giải Chọn C z Điều kiện: w 1 = + z.w = ( z + w ) w + ( z + w ) z z + z.w + w2 = Ta có z+w z w z z z i w = z1,2 i z = − + +1 = = − w 2 2 w w Lúc z1 = z2 = − i w = w = w + z1 + z2 = 2 Suy w , z1 , z biểu diễn ba điểm A , B , C tạo thành tam giác nằm đường trịn tâm O bán kính R = Tam giác ABC có đường cao h = Diện tích tam giác S ABC = 6| Biên soạn: Phan Nhật Linh 2 3 3 h = =3 , độ dài cạnh a = R= 2 3 a.h = Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 6: Phan Nhật Linh Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + − 3i = đường tròn Tâm đường trịn có tọa độ B I ( −2; −3) A I ( 2;3) C I ( −2;3) D I ( 2; −3) Lời giải Chọn B Gọi z = x + yi (với x; y ) Suy z = x − yi Ta có: z + − 3i = ( x + ) + ( − y − 3) i = ( x + 2) + ( y + 3) = ( x + ) + ( y + 3) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( −2; −3) , bán kính R = Câu 7: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = đường trịn Tâm đường trịn có tọa độ A I ( −3;4 ) B I ( −3; −4 ) C I ( 3; −4 ) D I ( 3;4 ) Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi (với x; y ) Ta có: z + (1 + 2i ) = z − + 4i = ( x − 3) + ( y + ) = ( x − 3) + ( y + ) = 16 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = Câu 8: Cho Gọi (C ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − + z − z = Diện tích hình phẳng giới hạn (C ) A 24 B C 16 Lời giải D Chọn D Đặt z = x + iy, x, y Khi đó, đẳng thức z + z − + z − z = x − + 2iy = x −2 +8 y = x −2 + y = Ta đồ thị hình vẽ bên dưới: Đây hình thoi có độ dài hai đường chéo ; nên diện tích (2.8) : = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 9: ( x, y ) Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi thỏa mãn + z = i − z A x − y = B x + y − = C x − y + = D x + y = Lời giải Chọn D Ta có + z = i − z + x + yi = i − x − yi (1 + x ) + y = x + ( y − 1) x + y = 2 Câu 10: Gọi H hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy cho z − z , số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình H A 2 B 5 C 5 D 5 Lời giải Chọn C Gọi z = x + yi, ( x, y , x ) x2 y + Ta có ( x + yi ) − ( x − yi ) x + 25 y x + 25 y 25 25 2 2 x2 y = , có tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền Elip với Xét elip ( E ) : + 25 x 0 5 Ta có a = 5, b = , nên diện tích hình H S = a.b = 2 Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z (1 + i ) mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) hình phẳng ( H ) có diện tích A S = 9 C S = 18 Lời giải B S = D S = 18 Chọn C Ta có z − + 2i = z (1 + i ) + ( −1 + 2i )(1 + i ) = + i w − + i Giả sử w = x + yi ( x, y ) x − + ( y + 1) i ( x − 3) + ( y + 1) 18 2 Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình trịn ( H ) tâm I ( 3;1) bán kính R = 18 Khi diện tích hình trịn S = R = 18 Câu 12: Xét số phức z thỏa mãn ( z −1 + i ) z + z i +1 số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z parabol có đỉnh 9 3 9 A I − ; − B I ; 2 2 2 33 C I ; − 4 Lời giải Chọn D Gọi z = a + bi ( a, b 8| Biên soạn: Phan Nhật Linh ) Khi z −1+ i ( z + z )i +1 = (a − 1) + (b + 1)i 2ai + 3 9 D I ; − 2 2 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh z −1 + i Vì số thực nên ( ( a − 1) + ( b + 1) i ) (1 − 2ai ) số thực hay −2a ( a − 1) + ( b + 1) =0 z + z i +1 ( ) Suy 2a − 2a − b − = (*) a = Mà w = z , gọi w = x + yi , suy ra: b = x thay vào biểu thức (*) ta y x y x − − − = y = x2 − x − 3 3 3 3 9 Do đó, tập hợp biểu biễn w parabol có đỉnh I ; − 2 2 Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + với + iz = z − 2i Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường thẳng Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến A B 2 C D Lời giải Chọn B w−2 , thay vào + iz = z − 2i ta được: 1+ i Ta có w = (1 + i ) z + z = i ( w − 2) + + i w −2 w −2 w − − 2i − 2i 1+ i = − 2i = i ( w − ) + + i = w − 2i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i iw − 2+ = w − 2i w − + − i = w − 2i w − − i = w − 2i i Gọi w = x + yi ( x, y ) , từ (1) (1) ta có x + yi − − i = x + yi − 2i ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − ) i ( x − 1) + ( y − 1) = x + ( y − ) x − y + = 2 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w mặt phẳng phức đường thẳng : x − y + = Khi d ( A, ) = − ( −2 ) + 1 + ( −1) 2 = 2 Câu 14: Cho phương trình z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z , m tham số thực Số giá trị tham số m để phương trình có nghiệm phức phân biệt cho điểm biểu diễn nghiệm mặt phẳng phức tạo thành tam giác cân A B C D Lời giải Chọn D Xét phương trình: z = z − ( m + 1) z + ( m + + mi ) z − − mi = z − mz + + mi = Biên soạn: Phan Nhật Linh | Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Phan Nhật Linh Có tất giá trị nguyên tham số m 0;23 để hàm số y = f ( x ) − 2m2 x + m − đồng biến khoảng ( −3;0 ) ? Biết tọa độ điểm cực tiểu hàm số y = f ( x ) ( −3;5 ) ? A B 22 C D 20 Lời giải Chọn A Đặt g ( x ) = f ( x ) − 2m x + m − có g ( x ) = f ( x ) − 2m Do hàm số y == f ( x ) có điểm cực tiểu ( −3;5 ) nên ta có f ( −3) = Để hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( −3;0 ) xảy hai trường hợp sau: f ( x ) − 2m g ( x ) , x ( −3;0 ) Trường hợp 1: g ( −3) f ( −3) + 6m + m − 2m f ( x ) 2m m=0 2 m + m + m + m + 2 g ( x ) f ( x ) − 2m 2m f ( x ) Trường hợp 2: 2 f ( −3) + 6m + m − g ( −3) 6m + m + Do 6m + m + 0, m nên trường hợp không thỏa mãn Kết hợp điều kiện m m 0;23 suy m 0 Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Biết f (1) = Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m −2023;2023 để hàm số y = f ( ln x ) − ln x + − 2m nghịch biến khoảng (1;e ) A 2023 B 2014 C 2026 Lời giải D 4042 Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f (ln x) − ln x + − 2m với x 1 ln x t Ta có g ( x ) = f ( ln x ) − 2ln x ; g ( x ) = f ( ln x ) = Đặt t = ln x ta có f ( t ) = x x 2 t có ba nghiệm t = b −1; t = t = a Suy g ( x ) = có ba nghiệm x = eb ; x = x = ea e e Bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) Dựa vào đồ thị phương trình f ( t ) = m ; m −2023;2023 Yêu cầu toán g ( e ) = − 2m m ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−2023 m Suy có tất 2026 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn Câu 27: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục 28| Biên soạn: Phan Nhật Linh có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m −23;23 để hàm số y = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m nghịch biến khoảng (1;3) ? A 43 B 41 C D Lời giải Chọn D Xét hàm số g ( x ) = f ( − x ) − mx + ( 3m + 1) x + m Ta có: g ( x ) = −2 f ( − x ) − 2mx + ( 3m + 1) = − f ( − x ) − mx + 3m + 1 Khi đó: g ( 3) = f ( −1) − 9m + ( 3m + 1) + m = 10m + Đặt t = − x t ( −1;1) Để hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng (1;3) xảy hai trường hợp sau: g ( 3) − f ( − x ) − mx + 3m + 0, x (1;3 ) Trường hợp 1: 10m + g ( 3) m ( − x ) + m + f ( − x ) , x (1;3) m − m ( −1) + m + 1 2m + m Xét phương trình mt + m + f ( t ) , t ( −1;1) m ( −1) + m + m Từ suy (vơ lý) m − g ( 3) − f ( − x ) − mx + 3m + 0, x (1;3 ) Trường hợp 2: 10m + g ( 3) m ( − x ) + m + f ( − x ) , x (1;3) m − Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 m ( −1) + m + 1 Xét phương trình mt + m + f ( t ) , t ( −1;1) m 2m + m m ; m −23;23 Từ suy ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→− m m {0} m − Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ln dương có đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Hỏi có tất giá trị nguyên dương tham số m 20 để hàm số y = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 đồng biến khoảng (1;2 ) ? A B C Lời giải D Chọn C Xét hàm số g ( x ) = f ( x − m ) + x − 2mx + 2023 = f ( x − m ) + ( x − m ) − m + 2023 ( Đạo hàm: g ( x ) = ( x − m ) f ( x − m ) + x − m Theo giả thiết f ( x ) 0, x ) m 0;20 ) suy g ( x ) 0, x ( *) Để hàm số y = g ( x ) đồng biến (1;2 ) g ( x ) g ( x ) 0, x (1;2 ) ( ) Mặt khác g ( x ) g ( x ) ( x − m ) f ( x − m ) + x − m 0, x (1;2 ) x − m x − m m x(1;2 ) ⎯⎯⎯→ m f x − m + x − m f x − m + x − m x − m ) ) ( ( x − m x − m m 2m5 4f ( x−m )+2 x−m 0 4f ( x−m )+2 x−m 0 x − m Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = − x − x + với x ( Số giá trị nguyên tham ) số m thuộc −10;10 để hàm số g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + đồng biến 2 5 ; A 30| Biên soạn: Phan Nhật Linh B C 14 Lời giải D 11 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn D ( Phan Nhật Linh ) Ta có: g ( x ) = f sin x + 3sin x − m + m2 + 1 3 2 5 Đặt t = sin x với x ; t ; 2 2 5 Xét hàm số g ( t ) = f t + 3t − m + m + Để hàm số g ( x ) đồng biến ; ( ) 1 3 7 3+ hàm số g ( t ) phải nghịch biến ; Đặt u = t + 3t với u ; 2 4 7 3+ Xét hàm số h ( u ) = f ( u − m ) + m + nghịch biến ; 4 Đạo hàm: h ( u ) = Với u m , ta có f ( u − m ) (u − m) u−m f ( u − m )( u − m ) (u − m) 7 3+ 0, u ; 4 7 3+ f ( u − m ) 0, u ; 4 + 15 + m − m u − m −3 u m − u − m 1 u m +1 m + m m 4 7 m m 7 4 m m f ( m − u )( m − u ) 0 7 3+ u − m) ( , u ; Với u m , ta có: 3+ 4 m m −1 u m − f ( m − u ) 1 m − u 7 3+ 3+ 3+ m m , u ; + 3+ 4 4 m m u m + 3 + m+3 u m khơng có giá trị m thỏa mãn Do m , m −10;10 nên suy −10 m m {-10;-9; ;0} Vậy có tất 11 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đồ thị hàm số đạo hàm y = f ( x ) sau: Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Hàm số ho hàm số g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 nghịch biến khoảng dưới đây? A ( −; −1) B (1;2) C ( −1;1) D (3; + ) Lời giải Chọn B Ta có g ( x ) = f ( x − ) + x − x − x − + 2023 2 g ( x) = f ( x − 1) + x − x − ( x − 1) + 2023 x −1 f ( x − ) + x − − 1 , x g ( x ) = f ( x − ) = − x − + g ( x ) = x −1 Đặt t = x − với t , ta phương trình f ( t ) = −t + (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( t ) đường thẳng y = −t + x = x = x −1 = t = Vì t nên f ( t ) = −t + x = −2 t = x − = x = Bảng biến thiên 32| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến (1;2 ) Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục f ( −3) = có bảng xét dấu đạo hàm sau: ( ) Hỏi hàm số g ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − đồng biến khoảng khoảng sau? A (1;2 ) B ( −1;0 ) C ( 0;1) D (1;+ ) Lời giải Chọn B ( ) Xét hàm số h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − x − x3 − x − Khi g ( x ) = h ( x ) 6 Ta có h ( x ) = ( x + 1) − ( x + 1) − f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 Suy h ( x ) = 12 ( x + 1) − 12 ( x + 1) − −4 ( x + 1) + ( x + 1) f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 4 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 + 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 2 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + 1) − 1 ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 Hay h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + ) x ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 2 Ta có − ( x + 1) + ( x + 1) − = − ( x + 1) − 1 − −2, x Từ bảng xét dấu suy f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 0, x Do đó, ( x + 1) + + f − ( x + 1) + ( x + 1) − 3 0, x x = −1 Vậy h ( x ) = 12 ( x + 1) ( x + ) x = x = −2 có bảng biến thiên: x = Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Về đích đặc biệt 9+ Từ bảng biến thiên khẳng định hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( −1;0 ) Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hàm số g ( x ) = f ( x − ) có đồ thị hình dưới đây: Gọi S tập tất số nguyên tham số a để hàm số y = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1) nghịch biến khoảng 0; Tổng phần tử tập S là: 2 A B −3 C Lời giải Chọn B x = f ' ( −2 ) = Ta có g ' ( x ) = f ' ( x − ) = x = f ' ( ) = x = f ' = ( ) Từ đó, ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) 34| Biên soạn: Phan Nhật Linh D −1 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Đặt h ( x ) = f ( sin x ) + cos x − ( a + 1) Phan Nhật Linh Khi h ' ( x ) = 4cos x f ' ( sin x ) − 2sin x cos x,sin x Với x 0; h ' ( x ) 0, x 0; sin x ( 0;1) f ' ( sin x ) 2 Suy hàm số h ( x ) nghịch biến 0; 2 Do đó, hàm số y = h ( x ) nghịch biến khoảng 0; 2 2 h ( x ) x 0; h f (1) − − ( a + 1) − ( a + 1) 2 2 a −2,73 a 0,73 ⎯⎯⎯ → a { − 2; − 1;0} Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 33: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có f ( ) f (1) = Biết hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên x x Hàm số g ( x ) = f 1 − − nghịch biến khoảng dưới đây? 2 A ( −8; −4 ) B ( 4;+ ) C ( 2;4 ) D ( −10; −8 ) Lời giải Chọn D x x2 Xét hàm số h ( x ) = f 1 − − 2 Ta có h ( x ) = − x x 1 x x f ' 1 − − = − f ' 1 − + = (3) 2 2 2 2 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35 Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 x x Đặt − = t = − t 2 Về đích đặc biệt 9+ t = −1 x = −4 Khi (3) f ' ( t ) − ( t − 1) = t = x = t = x = x = a Ta có h(0) = f (1) − = f (1) = ; suy h( x) = x = x = b(a b) Ta có bảng biến thiên hàm số −8 ( −8) Ta có h ( −8) = f 1 − − = f ( 5) − , f ( ) , suy −8 a Từ ta có hàm số nghịch biến ( −10; −8 ) Câu 34: Cho hàm số y = f ' ( x ) hàm số bậc ba có đồ thị hình vẽ dưới Gọi S tập tất số tự nhiên không 100 m cho hàm số g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx nghịch biến khoảng ( 0;1) Số phần tử tập S bằng: A 95 B 96 C 100 Lời giải D 99 Chọn B Cách 1: Ta có: g ( x ) = 2(2x − m) 2x − m f ( 2x − m ) f ( 2x − m ) + ( 2x − m) = ( 2x − m) + 1 x − m m f ( 2x − m ) x= g( x ) = ( 2x − m) + 1 = x − m f ( x − m ) + x − m = 36| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( *) Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh t Đặt t = x − m phương trình (*) trở thành f ( t ) + t = f ( t ) = − x − m = −2 ( vo nghiem ) t = − t Kẻ đường thẳng y = − với đồ thị f ( x ) ta t = x − m = ( nghiem kep ) t = m x= +2 2x − m = x = m − Bảng biến thiên g ( x ) sau: Nhận xét: x → + ( x − m ) 2x − m → + nên f ( t ) + t g ( x ) Để hàm số g ( x ) nghịch biến ( 0;1) m m 1 m − ( 0;1) −; − m m m −2 m m 1 m + ( 0;1) ; + 2 2 Kết hợp với điều kiện m m 100 nên suy m 0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Cách 2: Ta có: g ( x ) = f ( m − x ) + x − mx g ( x ) = ( x − m ) f ( m − x ) + m − x m − 2x Để hàm số g ( x ) nghịch biến khoảng ( 0;1) g ( x ) 0, x ( 0;1) Trường hợp 1: m − x x m Ta có g ( x ) = − f ( m − x ) + ( m − x ) f ( m − x ) + ( m − x ) −2 m − x m − x m + ( m − x ) m − x m − x f ( m − 2x ) − , x ( 0;1) m m Biên soạn: Phan Nhật Linh | 37 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 m − m 0 m m + m m m − m m Trường hợp 2: m − x x m Ta có g ( x ) = f ( x − m ) + ( x − m ) f ( x − m ) − ( x − m ) , x ( 0;1) m − x − m −2 m − x m 0 x − m m x m + , x ( 0;1) m m m + m m −2 m −2 m m Từ hai trường hợp điều kiện m m 100 nên suy m 0;6;7;8; ;100 Vậy có tất 96 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 35: Cho đồ thị hàm số y = f ( − x ) hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m −23;23 để hàm số y = f x3 − 3x + m + m − đồng biến khoảng ( 0;1) ? B 22 A 23 C 21 Lời giải D 20 Chọn B Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) vẽ lại sau: ( g ( x ) = f x − 3x + m + m 38| Biên soạn: Phan Nhật Linh ( 3x − g( x ) = ) )( − x3 − 3x + m x − 3x + m ).f (x ) − 3x + m + m − Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Nhận xét: x3 − 3x + m + m2 − −1, x ( ) ( Phan Nhật Linh ) 3x − = x − 0, x ( 0;1) Hàm số y = g ( x ) đồng biến khoảng ( 0;1) g ( x ) 0, x ( 0;1) ( ) ( x3 − 3x + m ) f x3 − 3x + m + m − 0, x ( 0;1) x3 − 3x + m + m − −1;9 −1 x3 − x + m + m − x3 − 3x + m x − 3x −m , x ( 0;1) − x − x + m + m − x3 − 3x + m + m − ( ) x3 − 3x + m x − 3x −m − m − m −2 −m − m x − 3x 10 − m 10 − m x − x − m − m −2 m − m − 10 x − 3x m − m − 10 x − x − m − m m m −2 − 10 m 10 m 10 m ; m −23;23 m → m −23; − 22; ; −3; 2;3 − 41 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ m m − 41 + 41 m m Vậy có tất 23 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Câu 36: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ dưới đây: ( ) Có giá trị nguyên tham số m 0;23 để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2; + ) ? A 23 B 20 C 21 Lời giải: D 22 Biên soạn: Phan Nhật Linh | 39 Về đích đặc biệt 9+ Phát triển dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Chọn A ( ) Để hàm số g ( x ) = f x − x + m + 2023 đồng biến khoảng ( 2;+ ) g( x ) = Mà ( x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( 2x − 2) ( x2 − 2x ) x2 − 2x ( ) f x − x + m 0, x ( 2; + ) ( ) 0, x ( 2; + ) f x − x + m 0, x ( 2; + ) Từ đồ thị, hàm số y = f ( x ) đồng biến −1;0 1;+ ) x2 − 2x + m x2 − 2x − m , x ( 2; + ) Suy −1 x − x + m −1 − m x − x − m Nhận xét: Ta thấy x − x 0, x ( 2; + ) − m m ⎯⎯⎯⎯⎯ →1 m 23 m ; m 0; 23 Vậy có tất 23 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn yêu cầu toán 40| Biên soạn: Phan Nhật Linh Phát triển dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023 Phan Nhật Linh Biên soạn: Phan Nhật Linh |