Bài giảng sức bền vật liệu nguyễn danh trường

Mục lục MỤC LỤC MỤC LỤC - Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN HỌC - Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT - §1 Khái niệm ứng suất, trạng thái ứng suất - 1.1 Ứng suất - 1.2 Khái niệm trạng thái ứng suất - 1.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp - 1.4 Công thức xoay trục - §2 Ứng suất chính, phương – Tenxơ ứng suất - 11 2.1 Ứng suất – Phương - 11 2.2 Tenxơ ứng suất - 15 §3 Trạng thái ứng suất phẳng - 16 §4 Trạng thái ứng suất cầu, trạng thái ứng suất lệch - 20 §5 Mặt ứng suất pháp - 21 §6 Phương trình vi phân cân - 22 Chương 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - 23 §1 Các khái niệm ban đầu - 23 1.1 Chuyển vị - 23 1.2 Biến dạng dài - 23 1.3 Biến dạng góc - 25 §2 Biến dạng - phương biến dạng - Tenxơ biến dạng - 27 2.1 Tenxơ biến dạng - 27 2.2 Biến dạng phương biến dạng - 28 §3 Vịng trịn Mo biến dạng - 31 §4 Tenxơ biến dạng cầu, tenxơ biến dạng lệnh - 32 §5 Phương trình tương thích biến dạng - 32 Chương 3: QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG - 35 §1 Các số đàn hồi - 35 1.1 Chứng minh phương ứng suất trùng với phương trình biến dạng - 35 1.2 Hệ số đàn hồi vật liệu đẳng hướng - 36 1.3 Hệ số đàn hồi trạng thái ứng suất đơn - 38 1.4 Hệ số đàn hồi trạng thái ứng suất khối - Định luật Hooker tổng quát - 39 - Ngun Danh Tr-êng -1- Mục lục §2 Thế biến dạng đàn hồi - 40 §3 Các phương pháp giải toán đàn hồi - 41 Chương 4: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG - 47 §1 Các định nghĩa - 47 1.1 Mômen tĩnh - 47 - 1.2 Mơmen qn tính - 47 §2 Cơng thức chuyển trục song song - 48 §3 Cơng thức xoay trục - 49 §4 Ví dụ tính đặc trung hình học số hình đơn giản - 50 4.1 Hình tam giác vng - 51 4.2 Hình nửa hình trịn - 52 4.3 Hình quạt - 53 4.4 Hình chữ nhật - 53 4.5 Hình trịn - 53 4.6 Xác định trọng tâm, hệ trục quán tính trung tâm hình phẳng ghép từ hình phẳng có trọng tâm - 54 Chương 5: THANH, NỘI LỰC TRONG THANH - 55 §1.Một số định nghĩa thanh, liên kết - 55 §2 Nội lực - 56 §3 Tương quan nội lực ứng suất - 57 §4 Tương quan nội lực cường độ tải trọng phân bố toán phẳng 57 §5 Biểu đồ nội lực - 58 5.1 Trường hợp thẳng - 58 5.2 Trường hợp khung phẳng - 60 5.3 Trường hợp cong - 61 5.4 Trường hợp khung không gian - 63 Chương 6: THANH CHỊU UỐN - KÉO(NÉN) - 64 §1 Trạng thái ứng suất chịu uốn – kéo(nén) - 64 §2 Các trường hợp riêng - 66 2.1 Thanh chịu kéo(nén) tâm - 66 - 2.2 Uốn túy - 66 2.3 Uốn xiên - 67 2.4 Kéo (nén) lệch tâm - 68 §3 Thí nghiệm kéo nén vật liệu - 69 - NguyÔn Danh Tr-êng -2- Mục lục 3.1 Thí nghiệm kéo - 69 - 3.2 Thí nghiệm nén - 71 - §4 Các điều kiện dẻo điều kiện bền - 73 4.1 Điều kiện dẻo Culong-Tơretska - 73 - 4.2 Điều kiện dẻo Vông Midet - 73 - 4.3 4.4 Biểu diễn hình học điều kiện dẻo - 74 Đường nội – Thuyết bền Mohr - 76 - Chương 7: UỐN NGANG PHẲNG - 78 §1 Ứng suất dầm chịu uốn ngang phẳng - 78 1.1 Định nghĩa - 78 1.2 Công thức ứng suất tiếp - 78 §2 Áp dụng với số mặt cắt thường gặp - 80 §3 Điều kiện bền dầm chịu uốn ngang phẳng - 83 §4 Dầm chống uốn dầm có mặt cắt hợp lý - 84 Chương 8: ĐƯỜNG ĐÀN HỒI - 87 §1 Định nghĩa nhận xét - 87 §2 Phương trình vi phân đường đàn hồi - 87 §3 Các phương pháp xác định đường đàn hồi - 88 3.1 Phương pháp tích phân không định hạn - 88 3.2 Phương pháp thông số ban đầu - 89 3.3 Phương pháp dầm giả tạo - 91 Chương 9: XOẮN THUẦN TÚY - 93 §1 Khái niệm chung - 93 §2 Xoắn túy tiết diện tròn - 93 2.1 Thí nghiệm - 93 2.2 Giả thuyết biến dạng - 94 2.3 Ứng suất chịu xoắn - 94 - 2.4 2.5 Biến dạng chịu xoắn - 97 Điều kiện bền điều kiện cứng chịu xoắn - 97 - 2.6 Các dạng toán - 98 - 2.7 Các ví dụ - 98 - §3 Xoắn mặt cắt - 101 3.1 Công thức ứng suất biến dạng - 101 3.2 Một số trường hợp cụ thể - 103 - Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP - 105 - Ngun Danh Tr-êng -3- Mục lục §1 Uốn xoắn đồng thời - 105 1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời - 105 1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời - 106 §2 Uốn cộng kéo(nén) xoắn đồng thời - 107 2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) xoắn đồng thời - 107 2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) xoắn đồng thời - 107 §3 Tính lị xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn - 108 - NguyÔn Danh Tr-êng -4- Bài Mở đầu Bài Mở đầu: MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MƠN HỌC Một kỹ sư chế tạo máy thiết kế chi tiết máy, kỹ sư xây dựng thiết kế kết cấu dầm chịu lực…Những chi tiết máy hay dầm chịu lực làm việc đạt yêu cầu đặt ra, đề cần quan tâm chúng làm việc đạt yêu cầu bao lâu? Đó đề tuối thọ Giải vấn đề nhiệm vụ môn học Sức bền vật liệu Mục địch mơn học cung cấp cho người học kiến thức phương pháp tính tốn độ bền, độ cứng ổn định kết cấu chịu lực Cụ thể tính tốn cho hệ thanh, dầm, tấm, vỏ, thành mỏng… Từ người học phân tích thiết kế kết cấu chịu lực đảm bảo: - Độ bền: tức đảm bảo cho kết cấu có kích thước hợp lý làm việc thời gian dài mà không bị hỏng - Độ cứng: tức đảm bảo cho kết cấu chịu lực có biến dạng nằm giới hạn cho phép - Ổn định: tức đảm bảo cho kết cấu làm việc trạng thái cân ban đầu Đối tượng môn học Cơ lý thuyết vật rắn tuyệt đối cịn đối tượng nghiên cứu mơn học Sức bền vật liệu vật rắn thực, có biến dạng làm từ cật liệu thực như: sắt, thép, gỗ, bê tong…với giả thuyết vật liệu có tính liên tục đồng - Tính liên tục có nghĩa nơi vật thể có vật liệu - Tính đồng nhât nghĩa tất nơi vật thể, vật liệu có tính chất cơ, lý, hóa - Ngồi hai giả thuyết ta cịn thừa nhận khơng có tác dụng ngoại lực lịng vật thể khơng tồn ứng suất, nói khác vật thể khơng có ứng suất ban đầu trước chịu tác dụng ngoại lực NguyÔn Danh Tr-êng -5- Chương1: Trạng thái ứng suất Chương 1: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT §1 Khái niệm ứng suất, trạng thái ứng suất 1.1 Ứng suất Xét vật thể đàn hồi chịu tác dụng ngoại lực ? Ứng xử bên lòng vật thể xảy nào?  Để tìm hiểu, ta lấy điểm M thuộc vật thể tưởng tượng cắt qua M mặt cắt π Mặt cắt π chia vật thể làm hai phần: A B P1 A P2 P1 P4 B A P2 P5 P3 P3 Hình 1.1 Tưởng tưởng vứt bỏ phần B xét cân cho phần A: Phần A trạng thái cân phần B tác dụng lên phần A hệ lực phân bố toàn mặt cắt, hệ lực cân với ngoại lực tác dụng lên phần A Hệ lực gọi nội lực hay ứng lực lòng vật thể Xét phân tố diện tích ∆F bao quanh điểm M, phần diện tích có lực  P (thuộc hệ nội lực trên) Khi đó:  p lim F  P F  dP dF (1.1) gọi ứng suất toàn phần điểm M mặt cắt Ta dựng hệ trục tọa độ Oxyz với Oz vng góc với mp Gọi véc tơ đơn vị tương ứng trục Ox, Oy , Oz Khi ứng suất M biểu diện sau: (1.2) Trong biểu thức (1.2) ta gọi ứng suất pháp, ứng suất tiếp Ứng suất tiếp có số đầu phương pháp tuyến mặt cắt, số thứ hai phương song song ứng suất tiếp Ngun Danh Tr-êng -6- Chương1: Trạng thái ứng suất 1.2 Khái niệm trạng thái ứng suất Qua điểm M có vơ số mặt cắt, ứng với mặt cắt khác nhau, ta có véc tơ  ứng suất p khác Vậy có vơ số véc tơ ứng suất qua điểm lòng vật thể  Tập hợp tất véc tơ ứng suất p mặt cắt qua điểm gọi trạng thái ứng suất điểm ? Tập véctơ ứng suất điểm tập độc lập hay phụ thuộc lẫn nhau?  Xét điểm, ta thấy cần biết véctơ ứng suất mặt cắt bất kỳ, ứng suất mặt cắt thứ phải cân với ứng ứng suất Vì sao? z Vì mặt cắt tạo nên phân tố  C Px  bao quanh điểm xét Mà vật thể  Px p4 nằm cân nên phân tố phải  p1  nằm cân suy tổng véctơ ứng suất Px  mặt phải khơng, tức chúng p2  Px phụ thuộc lẫn  Vậy điểm có véctơ O Px  ứng suất độc lập với Px B Để thuận tiện ta xét mặt cắt qua  A y  Px   M vng góc với cặp Giao x Px P p3 x Px mặt cắt tạo nên hệ trục Oxyz Hình 1.2:  Phân tố tứ diện Px Xét thêm mặt cắt thứ có cosin phương hệ trục Oxyz (l,m,n) Mặt cắt thứ cắt trục Ox A, Oy B, Oz C Vậy mặt cắt tạo nên tứ diện vuông OABC, vuông O Trên mặt cắt ban đầu có véctơ ứng suất chiếu lên trục tọa độ là:  OBC : p1  OCA : p2  OAB : p3  i x  i yx  i zx  k xz  k yz  k z  j xy  j y  j zy (1.3)    i , j , k véctơ đơn vị hệ trục Oxyz Gọi ứng suất mặt thứ là:  p4   Xi Yj  Zk (1.4) Trong X, Y, Z tọa độ véctơ ứng suất p4 chiếu lên trục Tứ diện vng OABC nằm cân nên ta có:  p1.FOBC NguyÔn Danh Tr-êng  p2 FOAC  p3 FOAB -7-  p4 FABC  (1.5) Chương1: Trạng thái ứng suất Chiếu (1.5) lên trục tọa tọa độ ta có: X FABC x FOBC yx FOAC zx Y FABC xy FOBC Z FABC xz FOBC FOAB y FOAC zy FOAB yz FOAC z FOAB (1.6) Trong Fi diện tích mặt i tương ứng Chia vế (1.6) cho FABC với ý: FOBC FABC l; FOAC FABC m; FOAB FABC n cosin phương mặt nghiêng với mặt Oxy, Oyz, Ozx Viết lại (1.6): X x l yx m zx Y xy l Z xz l n y m zy n yz m z n σ x τ yx τ zx l (1.7) Viết (1.7) dạng ma trận ta có: X Y = τ xy σ y τ zy m Z τ xz τ yz σ z (1.8) n Trong ta ký hiệu: σ x τ yx τ zx T τ xy σ y τ zy (1.9) τ xz τ yz σ z chứa thành phần véctơ ứng suất mặt cắt vng góc với Tς đặc trưng cho trạng thái ứng suất điểm xét Kết luận: Khi biết véctơ ứng suất mặt qua điểm véctơ ứng   suất pu mặt cắt thứ có véctơ phương u l , m, n xác định thông qua biểu thức (1.8) z  Px ? Các thành phần Tς có đặc biệt khơng? 1.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp Xét phương trình cân mơmen qua trục qua trọng tâm tứ diện vng góc với cạnh phân tố Ví dụ: phương trình cân mơmen qua trục Gx’ có yz , zy gây mơmen:  yz  Px -8-  Px x’ x NguyÔn Danh Tr-êng G  Px  Px  zy  Hình 1.3 Px y  Px Chương1: Trạng thái ứng suất F yz OAC Trong đó: FOAC h FOAB h' h F zy OAB h' V thể tích tứ diện Suy ra: Tương tự với ứng suất tiếp lại, ta có: xy yx ; yz zy ; zx (1.10) xz Kết luận: Xét hai mặt cắt vng góc với Nếu mặt xuất ứng suất tiếp bề mặt xuật ứng suất tiếp với trị số nhau, có chiều hướng vào hướng khỏi cạnh chung  Định luật đối ứng ứng suất tiếp ? Tiếp tục ta xét tiếp thành phần Tς ta chọn mặt cắt vng góc khác hay nói cách khác, thành phần thay đổi hệ trục tọa độ mới? 1.4 Công thức xoay trục Xét hệ trục với gốc cũ: Ouvw Các cosin phương trục hệ trục tọa độ xác định hệ trục cũ sau:  Ou : n1 n11 , n12 , n13  Ov : n2 n21 , n22 , n23  Ow : n3 n31 , n32 , n33 (1.11) Theo cơng thức (1.8) véctơ ứng suất tồn phần mặt Ovw là: σ x τ yx τ zx n11 τ xy σ y τ zy n12 p1' τ xz τ yz σ z (1.12) n13  ứng suất pháp mặt Ovw hình chiếu p1' lên trục Ou : σ x τ yx τ zx u T n11 n11 τ xy σ y τ zy n12 n12 τ xz τ yz σ z n13 n13 (1.13)  ứng suất pháp mặt Ovw hình chiếu p1' lên trục Ov,Ow: σ x τ yx τ zx uv T n11 n21 τ xy σ y τ zy n12 n22 τ xz τ yz σ z n23 n13 σ x τ yx τ zx ; uw Tương tự thành phần lại ta có: Ngun Danh Tr-êng -9- T n11 n31 τ xy σ y τ zy n12 n32 τ xz τ yz σ z n33 n13 (1.14) Chương1: Trạng thái ứng suất T σ x τ yx τ zx v w n21 T σ x τ yx τ zx n21 τ xy σ y τ zy n22 n22 ; τ xz τ yz σ z n23 n23 σ x τ yx τ zx n31 n31 τ xy σ y τ zy n32 n32 τ xz τ yz σ z n33 vw n21 n31 τ xy σ y τ zy n22 n32 ; τ xz τ yz σ z n33 n23 T n33 (1.15) Vậy Tσ hoàn toàn xác định hệ trục tọa độ qua cá biểu thức (1.13-1.15) Một cách tổng quát ta có công thức xoay trục: T T' T n j n j i, j 1, 2,3 , 1, 2,3 với (1.16) (1.16) công thức tổng quát cho phép ta xác định tất thành phần Tς hệ trục tọa độ z Ví dụ1.1: w v Cho trạng thái ứng suất điểm hệ trục tọa độ Oxyz đặc trưng bởi: 1 T 450 2 O y Xác định Tς điểm hệ trục Ouvw cách xoay hệ trục Oxyz quanh Ox x u góc 450(quay ngược chiều kim đồng hồ) Giải: Với cách xoay hệ trục ta có véctơ phương hệ Ouvw hệ trục Oxyz là:  ou : (1, 0, 0)  2 ov : (0, , ) 2  2 ow : (0, , ) 2 Dùng công thức xoay trục (1.16) ta có: u T 1 1 0 0 NguyÔn Danh Tr-êng uv 1 1 0 - 10 - T 2 2 Chương9: Xoắn túy r rz zt rt tz Mz t z Hình 9.5:Biến dạng TTƯS phân tố chịu xoắn - Theo giả thuyết (1) mặt cắt ngang khơng biến dạng, khơng chèn ép lên ln vng góc với trục nên ứng suất tiếp rz =0 theo định luật đối ứng ứng suất tiếp nên : - zr =0 Theo giả thuyết (4) thớ dọc khơng chèn ép lên q trình biến dạng (ln song song va có khoảng cách khơng đổi với nhau)nên ta có: rt = tr =0 - Chỉ tồn ứng suất tiếp zt = tz Theo định luật Húc biến dạng trượt ta có ứng suất tiếp là: zt Do biến dạng góc zt =G.γ zt =G ρdυ dz (9-1) nhỏ nên ta tính biến dạng góc tính sau: (xem Hình 9.4) γ zt CC' ρdυ = CD dz ρdυ zt =G.γ zt =G dz tgγ zt = Kết luận: Phân tố có ứng suất tiếp zt = tz (9-2) (9-3) nên trạng thái ứng suất phân tố chịu xoắn túy TTƯS - trượt túy - Ứng suất tiếp zt nằm mặt cắt ngang vng góc với trục thanh: +) Có phương theo trục t vng góc với bán kính +) Có chiều chiều với mômen Mz zt cách tâm mặt cắt bán kính nên ứng suất tiếp zt gọi ứng suất tiếp +) Độ lớn tính sau: *) Xét cân cho phân tố dz ta cú: M z = dF= G F Bài giảng Søc bỊn vËt liƯu F dυ ρ dF dz - 95 - (9-4) NguyÔn Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy Xét mặt cắt có mơđun trượt G góc xoắn tỷ đối θ d dz số mặt cắt nên đưa ngồi dấu tích phân ta có: Mz Trong đó: J P G dυ dυ ρ dF G JP dz F dz (9-5) ρ dF gọi mơmen qn tính độc cực mặt cắt ngang đối F với tâm tiết diện Từ ta rút được: Mz GJ P dυ dz (9-6) Thay (9-6) vào (9-2) ta có: Mz GJ P G Mz JP (9-7) công thức xác định ứng suất tiếp điểm có bán kính ρ nằm mặt cắt ngang tròn chịu xoắn túy Trong đó: Mz mơmen gây xoắn túy ρ khoảng cách từ điểm xét tới tâm tiết diện, G mô đun trượt JP mơmen qn tính độc cực mặt cắt ngang xét *) Biểu đồ ứng suất tiếp - ứng suất tiếp lớn tỷ lệ thuận với có phương vng góc với bán kính (Hình 9.6) Mz ρ Hình 9.6: Biếu đồ ứng suất tiếp Ta thấy τρ lớn xa tâm tiết diện đạt giá trị lớn điểm thuộc chu vi vủa mặt cắt ( R ) : max Wp Bài giảng Sức bền vật liệu Jp R R Mz R JP Mz WP gọi mômen chống xoắn mặt cắt - 96 - NguyÔn Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy π(D -d ) πD Jp = = (1-α ) 0.1D (1-α ) 32 32 Với tiết diện trịn ta có: J p 0.1D (1-α ) Wp 0.2D3 (1-α ) D R (9-8) Trong đó: D đường kính ngồi, d đường kính d tỷ số đường kính đường kính ngồi D α=0 với tiết diện đặc (d=0) 2.4 Biến dạng chịu xoắn Từ biểu thức (9-6) ta có: dυ dz Mz GJ P d Mz dz GJ P l Mz dz GJ P (9-9) Công thức (9-9) cho ta xác định biến dạng xoắn có chiều dài l Khi có Mz khơng đổi ta có: GJ P M zl GJ P (9-10) φ có đơn vị radian 2.5 Điều kiện bền điều kiện cứng chịu xoắn a Điều kiện bền Muốn chịu xoắn đủ bền ứng suất tiếp lớn không vượt qua ứng suất tiếp cho phép [τ]: max τ = max Mz τ WP (9-11) [τ] xác định theo phương pháp sau: 1) Từ thí nghiệm trực tiếp ta tìm ứng suất tiếp nguy hiểm τ0 sau ta chia cho hệ số an tồn n >1: n (9-12) 2)Dựa vào thuyết bền ứng suất tiếp lớn ta lấy: (9-13) 3)Dựa vào thuyết bền biến đổi hình dáng ta có Ví dụ với thép (9-14) KN/cm2 b Điều kiện cứng Bµi gi¶ng Søc bỊn vËt liƯu - 97 - Ngun Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy Muốn cho chịu xoắn không bị phá hủy cần thỏa mãn điều kiện cứng điều kiện góc xoắn tỷ đối khơng lớn góc xoắn tỷ đối cho phép [θ]: max Mz = max (9-15) GJ P [θ] có đơn vị radian/[chiều dài] 2.6 Các dạng toán a Bài toán kiểm tra điều kiện bền Bài toán yêu cầu kiểm tra điều kiện bền tiết diện ống với tải trọng cho max τ = max max =max Mz τ WP (9-16) Mz GJ P b Bài toán thiết kế Bài toán yêu cầu phải chọn tiết diện ống cho chịu tải trọng đặt max( M z ) Theo điều kiện bền ta có: WP Và điều kiện cứng ta có: J P Ta chọn D max D , D τ max( M z ) D G max( M z ) D 0.2 τ max( M z ) 0.1 G D D (9-17) (9-18) c Bài toán chọn tải trọng cho phép Bài tốn u cầu tìm tải trọng cho phép tiết diện cho trước Mz WP τ Mz Mz GJ P Mz Mz max M z , M z (9-19) 2 2.7 Các ví dụ Ví dụ 9.1: Cho chịu xoắn hình vẽ: M 3M A C B 1m 1m M + 2M Mz Hỡnh 9.7 Hỡnh cho vớ d Bài giảng Søc bỊn vËt liƯu - 98 - Ngun Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy a Tìm kích thước mặt cắt ngang để đảm bảo làm việc TH1: Thanh hình trụ đặc TH2: Thanh hình trụ rỗng mặt cắt ngang hình vành khăn với b Tính góc xoắn mặt cắt B Biết: 4,5.107 ( N m2 0, 25 ( dô ), G=8.1010 N/m2 , M m ), 0, 250 Nm Giải: Thanh có tiết diện khơng thay đổi tồn chiều dài, mơmen xoắn lớn đoạn AB với max(Mz)=2M=500 Nm a Để làm việc bình thường cần đảm bảo đủ bền đủ cứng: Khi chọn D max D , D với D max( M z ) 0.2 τ TH1:Thanh hình trụ đặc ( D1 250 0.24,5.107 0) D max( M z ) 0.1 G suy ra: cm D 250 0.1.0.25 5,17 cm 10 180 8.10 Ta chọn D=5,2 cm Tiết diện mặt cắt trường hợp là: 21,24 cm2 TH2:Thanh hình trụ rỗng, tiết diện hình vành khăn với D 250 0.24,5.107 (1 0, ) 0, suy ra: 3,32 cm Và: D 250 0.1.0.25  5,54 cm 10 180 8.10 (1 0, ) Ta chọn D=5,6 cm Tiết diện mặt cắt trường hợp là: 12,56 cm2 Vậy trường hợp tiết diện hình vành khăn cho ta hiệu trụ đặc b Tính góc xoắn mặt cắt B B BA 2Ml GJ p Ml GJ p Ml GJ p TH1: Thanh tr c: J p 0,1D4 B Bài giảng Sức bỊn vËt liƯu BA Ml GJ p 250 8.10 0,1.(5, 2.10 )4 10 - 99 - 4, 27.10 rad NguyÔn Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy TH2: Thanh trụ rỗng: J p 0,1D4 (1 B BA Ml GJ p ) 250 8.10 0,1.(5, 6.10 )4 (1 0, ) 4,18.10 rad 10 Ví dụ 9.2 : Một mũi khoan chịu mômen xoắn M=8.104 Nm Sức cản đất thân mũi khoan tạo thành mômen xoắn phân bố theo quy luật bậc với cường độ độ sâu h là: mc= h (với =0.03.104 N/m) Mômen xoắn tác dụng lưỡi định hướng đầu mũi khoan M 1=2.104 Nm Cho biết AB=2.5m, BC=20m Đường kính thân mũi khoan d=0,2m, G=8.105N/cm2 Xác định góc xoắn tồn chiều dài AC mũi khoan M=8.104 Nm A M B mc= C Hình 9.8:Hình cho ví dụ 2.104 Nm Giải: Trên đoạn AB ta có: MAB=M=8.10 Nm Trên đoạn BC ta có: Góc xoắn tồn chiều dài mũi khoan là: CA 20 M AB h1 GJ p1 M BC dh GJ p 8.104.2,5 GJ p1 GJ p 20 8.104 150h dh Thay số: J p 0,1d 0,1.0, 24 16.10 CA 8.104.2,5 8.1010.2.16.10 Bài giảng Sức bền vật liệu 10 8.10 16.10 8.10 h 150h3 20 - 100 - 0, 0947 rad 5,430 Ngun Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy §3 Xoắn mặt cắt 3.1 Công thức ứng suất biến dạng Khác với mặt cắt ngang hình trịn, mặt cắt có hình dạng chịu xoắn mặt cắt ngang khơng cịn phẳng mà có xơ lệch Đề đơn giản ta thừa nhận xô lệch mặt cắt ngang nhau, tức mặt cắt ngang, chuyển vị theo phương z w phụ thuộc vào (x,y) Ta có: u=θzy ; v= θzx ; w=w(x,y) Từ ta tính ứng suất điểm có tọa độ (x,y,z) là: x xz yz y 0, z xy w G x w G y y x (9.20) Đạo hàm phương trình đầu (9.20) theo x, phương trình thứ hai (9.20) theo y sau trừ cho ta có: yz G xz x y (9.21a) Từ hệ phương trình vi phân cân ta có: yz xz x y (9.21b) điều kiện biên ta có: dx dy xz yz (9.21c) Để thuận tiện ta chọn hàm U cho: xz U , y U x yz (9.22) Với cách đặt (9.22) (9.21b) thỏa mãn với U Thay (9.22) vào (9.21a) ta có: U x2 U y2 G (9.23) (9.23) gọi phương trình Poatxong Thay (9.22) vào (9.21c) ta có: U dx x U dy y dU (9.24) Vậy đường biên mặt cắt U=const để thuận tiện ta chọn U=0 Xét đến tương quan ứng suất nội lc trờn mt ct ngang Bài giảng Sức bền vật liƯu - 101 - Ngun Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy Ta có: Mz ( yz x xz y )dxdy (9.25) F Thế (9.22) vào (9.25) tính tích phân ta có: Mz U (x, y )dxdy (9.26) F Từ phương trình poatxong (9.23) ta có nhận thấy U có dạng: U=Gθf(x,y) Lúc phương trình poatxong trở thành: (9.27) f x2 f y2 (9.28) Thay (7.27) vào (9.26) ta có: Mz G f (x, y )dxdy G Jd (9.29) F Với: Jd f (x, y )dxdy (9.30) F đặc trưng hình học mặt cắt ngang gọi độ cứng xoắn mặt cắt f(x,y) gọi hàm ứng suất Từ (9.26) ta suy ra: Mz (9.31) GJ d Suy ra: U Mz Jd f (x , y ) (9.32) Thế vào (9.22) ta tìm được: xz yz M z f (x , y ) Jd y M z f (x , y ) Jd x (9.33) Tóm lại để xác định ứng suất tiếp trường hợp xoắn mặt cắt bất ỳ ta làm theo bước sau: Bước1 Chọn hàm ứng suất f(x,y) thỏa mãn điều kiện số biên mặt cắt điều kiện (9.28) Bước2 Tính độ cứng xoắn Jd theo công thức (9.30) Bước3 Xác định ứng suất tiếp qua cụng thc (9.33) Bài giảng Sức bền vật liệu - 102 - NguyÔn Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy 3.2 Một số trường hợp cụ thể a) Xoắn mặt cắt ngang hình elip Chu vi hình elip xác định phương trình: x a2 y b xz y b2 yz Để thỏa mãn điều kiện biên ta chọn hàm ứng suất f(x,y) dạng: f (x, y ) D x2 a2 y2 b2 a x Hình 9.9 Để thỏa mãn phương trình poat-xơng ta có hàm ứng suất là: f (x, y ) a 2b x a b2 a y2 b2 Từ tính độ cứng xoắn là: (9.35) Jd a 3b a b2 (9.36) Thay vào cơng thức tính ứng suất tiếp là: 2M z xz ab y ; 2M z yz a 3b x (9.37) b) Xoắn có mặt cắt hình chữ nhật Ta chọn hàm số f(x,y) theo lời giải Ti-mô-xen-cô sau: f x, y n gn y cos n z a (9.38) Hàm số hoàn toàn thỏa mãn cạnh x a b Hàm gn y phải chọn cho hàm ứng suất (9.34) thỏa mãn phương trình poat-xơng điều kiện biên a y xz a yz Sau chọn hàm ứng suất ta tìm hàm ứng suất tiếp phân bố hình 9.10 Ứng suất lớn trung điểm cạnh ngắn Giả sử cạnh ngắn có chiều dài a, cạnh dài b Mz xz max a 2b ; yz max xz max ; xz max Ga Hình 9.10 Mz a 3b (9.39) Trong đó: Các hệ số α,β,γ phụ thuộc vào tỷ lệ chiều dài hai cạnh a,b cho theo bng 9.1: Bài giảng Sức bền vật liệu - 103 - NguyÔn Danh Tr-êng Chương9: Xoắn túy Bảng 9.1 a α β γ b 1,5 1,75 2,5 10 ∞ 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333 0,859 O,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742 c) Xoắn thành mỏng kín (hình 9.11) Khi bị xoắn, mặt cắt ngang có ứng suất tiếp phân bố theo chiều dày thành Ứng suất điểm A thành tính bởi: Mz A A bA (9.40) 2F *bA bA chiều dày thành A F* diện tích giới hạn đường tâm thành(đường chu vi trung gian) F’ Hình 9.11 Góc xoắn tỷ i cú cụng thc l: Mz 4GF Bài giảng Sức bỊn vËt liƯu ds *2 b - 104 - (9.41) NguyÔn Danh Tr-êng Chương10: Thanh chịu lực phức tạp Chương 10: BÀI TOÁN THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP Các dạng chịu lực mà nghiên cứu trước kéo(nén) tâm, xoắn tuý, uốn túy phẳng uốn ngang phẳng thuộc trường hợp chịu lực đơn giản Bài toán chịu lực phức tạp xét lúc chịu đồng thời trạng thái chịu lực khác Ví dụ: vừa uốn vừa xoắn, vừa uốn vừa kéo, … Ðể giải tốn đó, sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng Nguyên lý phát biểu sau: “Ứng suất biến dạng nhiều yếu tố gây đồng thời tổng ứng suất biến dạng yếu tố riêng biệt gây đó” Muốn sử dụng nguyên lý này, toán phải thỏa mãn điều kiện sau : - Vật liệu làm việc giới hạn đàn hồi, quan hệ ứng suất biến dạng bậc - Biến dạng bé, chuyển dịch điểm đặt lực tác dụng lên khơng đáng kể Khi xét tốn chịu lực phức tạp, ảnh hưởng lực cắt đến độ bền không đáng kể so với thành phần nội lực khác, nên trường hợp khơng xét đến lực cắt §1 Uốn xoắn đồng thời Là toán chịu chịu lực mà mặt cắt ngang vừa có thành phần mơmen uốn (Mx, My) vừa có thành phần mơmen xoắn Mz Đây dạng toán thường gặp thực tế Ví dụ: Trục truyền chuyển động quay chi tiết máy thường gặp nhất, trục chịu mômen xoắn mà cịn chịu mơmen uốn có trọng lượng puli lực căng dây đai… 1.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, xoắn đồng thời Xét tiết diện tròn chịu lực phức tạp uốn xoắn đồng thời, giả sử mặt cắt ngang có mơmen uốn Mu mặt phẳng Ovz mơmen xoắn Mz mặt phẳng Ovz Hình Ta tìm điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm Nhìn Hình1 ta thấy điểm A(hoặc A’) điểm nguy hiểm đồng thời có ứng suất tiếp ứng A’ suất pháp lớn với trị số là: Mu σ max = Mu ; Wu τ max = Mz Wp Trạng thái ứng suất A trạng thái ứng suất phẳng, để kiểm tra điều kiện bền ta dùng thuyết bền *) Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn ta có: σ td = σ +4τ O z u A v σ Thay trị số σmax , τmax ta cú: Bài giảng Sức bền vật liệu Mz (10-1) Hình 10.1 - 105 - Ngun Danh Tr-êng Chương10: Thanh chịu lực phức tạp σ td = Do Wp=2Wu nên ta có: σ td = Trong đó: Mtd Wu Mu Wu M u +M z = Mz +4 Wp M td Wu σ (10-2) σ (10-3) Mu +Mz xem mômen tương đương Tổng quát ta có: M td = M x +M y +M z (10-4) *) Theo thuyết bền biến đổi hình dáng ta có: σ td = σ +3τ = M td Wu σ (10-5) Với M td = M x +M y +0.75M z *) Theo thuyết bền Mohr ta có: σ1 Với M td = M x +M y = M td Wu (10-6) σ (10-7) M x +M y +M z (10-8) Vậy tổng hợp lại ta có điều kiện bền là: σ td = M td Wu σ (10-9) Trong đó: Mtd tính theo cơng thức (10-4),(10-6),(10-8) Wu =0,1D3 1-α = d tỷ số bán kính rỗng bán kính D ngồi trụ trịn rỗng(trụ trịn đặc =0 ) Từ ta tính đường kính trụ trịn để đủ bền là: D M td σ 0,1 1-α (10-10) 1.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, xoắn đồng thời max Mx My + Wx Wy (10-11) Tại A TTUS đơn nên kiểm tra bền theo công thức: max Mx My + Wx Wy (10-12) C’ A’ Mx b Xét tiết diện hình chữ nhật chịu uốn xoắn đồng thời, giả sử mặt cắt ngang có thành phần nội lực Hình 10.2 Trong trường hợp có điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm cần xét tới A, B, C Điểm A có ứng suất pháp lớn gây bời Mx My với trị số: (ứng suất tiếp 0) Mz B ’ x O z C My B A a y Hình 10.2 Điểm B có ứng suất pháp My gây với ứng suất tiếp lớn Mz gây vi cỏc tr s nh sau: Bài giảng Sức bền vËt liƯu - 106 - Ngun Danh Tr-êng Chương10: Thanh chịu lực phức tạp My max ; Wy max Mz a 2b (10-13) Điểm C gần giống điểm B với trị số: σ max = Mx ; Wx max Mz a 2b (10-14) Trong số , phụ thuộc vào cạnh a,b hình chữ nhật, xác định nhờ vào bảng rút từ thí nghiệm Kiểm tra điều kiện bền B C phải sử dụng thuyết bền Thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: σ td = σ +4τ σ Thuyết bền biến đổi hình dáng: Theo thuyết bền Mohr ta có: σ td = σ +3τ σ σ1 = σ §2 Uốn cộng kéo(nén) xoắn đồng thời Là toán chịu chịu lực mà mặt cắt ngang vừa có thành phần mơmen uốn (Mx, My) vừa có thành phần mơmen xoắn Mz lực dọc Nz Đây dạng toán thường gặp thực tế Ví dụ: Mũ khoan khoan vừa chịu lực nén tay người, chịu mômen xoắn từ máy khoan, mũi khoan không theo hướng, mũi khoan chịu thêm mơmen uốn có tác dụng bẻ cong mũi khoan Đặc biệt ta thấy mũi khoan chịu uốn lớn ta nghiêng mũi khoan nhằm tạo lỗ rộng đường kính mũi khoan 2.1 Thanh tiết diện tròn chịu uốn, kéo(nén) xoắn đồng thời Giả sử tiết diện tròn chịu lực, mặt cắt có thành phần nội lực hình 10.3 Điểm nguy hiểm điểm A với ứng suất pháp ứng suất tiếp là: σ max = Mu N z + ; Wu F τmax = Mz Wp A’ (10-15) Mu Mz Tại A trạng thái ứng suất đơn nên ta dùng thuyết bền đề kiểm tra bền cho trạng thái ứng suât A Theo thuyết bền ưng suất tiếp lớn nhất: Mu Wu σ td = Trong M u M x2 Nz F z Nz u A v Mz +4 Wp O σ Hình 10.3 M y2 2.2 Thanh tiết diện hình chữ nhật chịu uốn, kéo(nén) xoắn đồng thời Xét tiết diện hình chữ nhật chịu lực, giả sử mặt cắt ngang có thành phần nội lực Hình 10.4 Trong trường hợp có điểm có trạng thái ứng suất nguy hiểm cn xột ti l A, B, C Bài giảng Sức bỊn vËt liƯu - 107 - Ngun Danh Tr-êng Chương10: Thanh chịu lực phức tạp Điểm A có ứng suất pháp lớn gây bời Mx My với trị số: (ứng suất tiếp 0) Mx My + Wx Wy Nz F Mx Tại A TTUS đơn nên kiểm tra bền theo công thức: (10-17) max Điểm B, C có trạng thái ứng suất phẳng với trị số sau: My B Wy Nz ; F B Mz a 2b C’ A’ (10-16) (10-18) b A Mz B ’ x O z B My Nz A C a y Hình 10.4 Điểm C gần giống điểm B với trị số: σC = Mx Wx Nz ; F C Mz a 2b (10-19) Trong số , phụ thuộc vào cạnh a,b hình chữ nhật, xác định nhờ vào bảng rút từ thí nghiệm Kiểm tra điều kiện bền B C phải sử dụng thuyết bền §3 Tính lị xo xoắn ốc hình trụ bước ngắn Xét lị xị hình trụ xoắn ốc bước ngắn có hình dáng, kích thước hình 10.4 Trong đó: - h bước lò xo P P - D đường kính lị xo - d đường kính dây lị xo - α góc nghiêng vòng dây lò xo - n số vòng dây làm việc h d lò xo Tưởng tượng cắt mặt cắt qua trục lò xò, chia lò xo làm hai phần, xét cân phần suy mặt cắt có: D Mz Q P ; M P M y z Để cân với ngoại lực P D Qy Ứng suất mơmen Mz lực P Hình 10.4 cắt Qy gây nên mặt cắt ứng suất tiếp Một cách gần ta coi lực cắt Qy phân bố tồn mặt cắt, điểm mặt cắt, ứng suất tổng ứng suất lực cắt mômen xoắn gây nên Ứng suất điểm M(trờn hỡnh 10.4) cú giỏ tr ln nht Bài giảng Søc bỊn vËt liƯu - 108 - Ngun Danh Tr-êng Chương10: Thanh chịu lực phức tạp max Mz Qy Wp F 8PD d3 4P d2 8PD d3 Và thực tế D lớn d nhiều nên d 2D d 2D (10.20) Vậy công thức (10.20) viết là: max 8PD d3 (10.21) Dùng cơng thức (10.21) tức ta bỏ qua ảnh hưởng lực cắt, tính tốn ta khơng đề cập đến độ cong dây…vậy công thức (10.21) tính gần Để xác hơn, người ta đưa vào hệ số điều chỉnh K với: D K d D 0,25 d (10.22) Ta có cơng thức xác định ứng suất tiếp xác là: max K 8PD d3 (10.23) Với lị xo có tiết diện mặt cắt ngang hình vng ta có: max *) Điều kiện bền lò xo: *) Điều kiện cứng lò xo: PD a 2b (10.24) max l l Trong ∆l độ co hay giãn lị xo gây bời lực P tính cơng thức: l 8PD 3n Gd (10.25) Trong đó: n số vịng làm việc lị xo G mơduyn trt Bài giảng Sức bền vật liệu - 109 - NguyÔn Danh Tr-êng