Chương 8 chuyển vị của dầm chịu uốn

Chöông 7 Bài giảng sức bèn vật liệu Chương 8 chuyển vị của dầm chịu uốn 1 GV Lê đức thanh Chương 8 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính một dầm chịu uốn ngang phẳng, ngoài điều kiện b[.]

Bài giảng sức vật liệu Chương CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN I.KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính dầm chịu uốn ngang phẳng, ngồi điều kiện bền cịn phải ý đến điều kiện cứng.Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng dầm.Dưới tác dụng ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong nầy gọi đƣờng đàn hồi dầm (H.8.1)  P P z  Đường đàn hồi K K ’ z  v P K ’ Đường đàn hồi v y(z) P  z u K y y H.8.1 H.8.2  01 V(z) 02  u Xét điểm K trục dầm trước biến dạng.Sau biến dạng, điểm K di chuyển đến vị trí K/ Khoảng cách KK’được gọi chuyển vị thẳng điểm K Chuyển vị nầy phân làm hai thành phần: Thành phần (v) vng góc với trục dầm (song song với trục y) gọi chuyển vị đứng hay độ võng điểm K Thành phần (u) song song với trục dầm (trục z) gọi chuyển vị ngang điểm K Ngoài ra, sau trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang K bị xoay góc, ta gọi chuyển vị góc (hay góc xoay) mặt cắt ngang điểm K.Tại K/ vẽ tiếp tuyến với đường đàn hồi hợp với trục chưa biến dạng dầm góc  ta dễ thấy  góc xoay mặt cắt ngang Ba đại lượng u, v,  ba thành phần chuyển vị mặt cắt ngang điểm K Trong điều kiện biến dạng dầm bé thành phần chuyển vị ngang u đại lượng vơ bé bậc hai so với v, bỏ qua chuyển vị u xem KK’ v, nghĩa vị trí K’ sau biến dạng nằm đường vng góc với trục Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu dầm trước biến dạng (H.8.2) Góc xoay  lấy gần đúng:   tg  dv dz Nếu chọn trục dầm z, trục y vng góc với trục dầm, chuyển vị v tung độ y điểm K’.Tung độ y độ võng điểm K Ta thấy rõ K có hịanh độ z so với gốc chuyển vị y,  hàm số z phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình góc xoay là:  z   dv dy   y' z  dz dz Phƣơng trình góc xoay đạo hàm phƣơng trình đƣờng đàn hồi Quy ƣớc chuyển vị: - Độ võng y dương hướng xuống - Góc xoay  dương mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, tính tốn dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn dầm không vượt qua giới hạn định để đảm bảo yêu cầu làm việc, mỹ quan cơng trình , điều kiện nầy gọi điều kiện cứng Nếu gọi f /L độ võng lớn dầm điều kiện cứng thường chọn là: 1 f  L   300  1000   : L - chiều di nhịp dầm Tùy loại cơng trình mà người ta quy định cụ thể trị số  f L II PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƢỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm K trục dầm Trong chương (công thức7.1) ta lập mối liên hệ độ cong trục dầm K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx K là: Mx  (a)  EI x Mặt khác, đường đàn hồi biểu diễn phương trình hàm số y(z) hệ trục (y0z) nên độ cong đồ thị biểu diễn hàm số điểm K có hồnh độ z tính theo cơng thức:  (a) va (b)   y  1  y  y  1  y'   (b) Mx EI x (c) Đó phương trình vi phân tổng quát đường đàn hồi, nhiên phải chọn cho Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu hai vế phương trình thỏa mãn Khảo sát đoạn dầm bị uốn cong hai trường hợp H.8.3 Trong trường hợp mômen uốn Mx đạo hàm bậc hai y” ln trái dấu, phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng: z Mx z Mx Mx Mx > y” < y y Mx Mx < y” > H.8 y' ' 1  y'    Mx EI x Với giả thiết chuyển vị dầm bé bỏ qua (y’)2 so với phƣơng trình vi phân đƣờng đàn hồi có dạng gần sau: y' '   Mx EI x (8.1) đó: Tích số EIx độ cứng uốn dầm III LẬP PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHƠNG ĐỊNH HẠN Vế phải phương trình vi phân (8.1) hàm số z nên (8.1) phương trình vi phân thường Tích phân lần thứ (8.1)  phương trình góc xoay:   y'    Mx dz  C EI x (8.2) Tích phân lần thứ hai  phương trình đường đàn hồi:   M y      x dz  C dz  D EI x   (8.3) Trong (8.2) (8.3), C D hai số tích phân xác định điều kiện biên Các điều kiện nầy phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm A yA = A A = a) Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn yA = H 8.4 C b) B yB = GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Đối với dầm đơn giản, có điều kiện sau: + Đầu ngàm dầm console có góc xoay độ võng khơng (H.8.4a): yA =  A = + Các đầu liên kết khớp độ võng không (H.8.4b): yA = yB = + Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng góc xoay bên trái với độ võng góc xoay bên phải ( điểm C H.8.4b): P tr ph tr ph y C = yC ;  C =  C z B A Thí dụ Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm son (console) H.8.5.Từ suy độ võng góc xoay lớn Cho EIx = số Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z (gốc A) Mx = –Pz (a) vào (8.1)  phương trình vi phân đường đàn hồi : y' '   tích phân hai lần,  Mx Pz  EI x EI x L y H.8.5 Mx P z (b)   y'  y yB = B = z Pz C 2EI x Pz  Cz  D 6EI x (c) (d) C D xác định từ điều kiện biên độ võng góc xoay ngàm: z = L;  = v y = thay điều kiện nầy vào (c) (d)  PL2 PL3 C ; D 2EI x 3EI x Vậy phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y Pz PL2 PL3  z ; 6EI x 2EI x 3EI x Pz PL2   2EI x 2EI x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có ( thƣờng dùng cần nhớ) y max PL3 PL2  ;  3EI x 2EI x ymax > độ võng điểm A hướng xuống Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  < góc xoay điểm A ngược kim đồng hồ Thí dụ 2: Tính độ võng góc xoay lớn dầm (H.8.6) Cho EIx = số Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt có hồnh độ z là: ( gốc A) qz2 Mx   q B A (a) yB = B = z L vào (8.1),  y' '  qz 2 EI x tích phân hai lần,  qz   y'   C (c) 6EI x (b) y H.8.6 y z qz C z D 24EI x q Mx z (d) hai điều kiện biên đầu ngàm z = L;  = v y = cho : qL3 C ; 6EI x qL4 D 8EI x Vậy phương trình đàn hồi góc xoay là: qz qL3 qL4 y  z ; 24 EI x EI x 8EI x  qz qL3  EI x EI x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có: y max qL4  8EI x A   qL3 6EI x Thí dụ Tính độ võng góc xoay lớn dầm đơn giản chịu tải phân bố (H.8.7).Độ cứng EIx dầm không đổi Giải Phương trình mơmen uốn mặt cắt ngang có hồnh độ z là:  qL qz2 q Mx  z  Lz  z2 2  z A qL/2 B L/2 L y q Mx (a) thay vào (8.1),  phương trình vi phân đường đàn hồi sau: Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn q qL z H.8.7 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu y' '   q Lz  z 2EI x   (b) Tích phân hai lần,    y'   q y 2EI x q 2EI x  Lz z      C 3  (c)  Lz z      C z  D 12   khi : z  0; y  điều kiện biên gối tựa trái phải dầm: khi : z  L; y   qL3 D  0; C  24EI x  Như phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y qL3 24EI x   y'   z z3  z 1  2   L L   qL3 24EI x (e)  z2 z3  1    L L   (g) Độ võng lớn dầm mặt cắt ngang nhịp ứng với: z= L (tại y’= 0), thay z = L vo (e), y max  y L  z   2  5qL4 384EI x Góc xoay lớn nhất, nhỏ (y’max , y’min) mặt cắt ngang có y” = (hay Mx = 0), tức gối tựa trái phải dầm Thay z = z = L vào (g)   max  y' max qL3  24 EI x   y' qL3   24 EI x Góc xoay mặt cắt gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay mặt cắt gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ Thí dụ (tự đọc) Lập phương trình độ võng góc xoay dầm hai gối tựa chịu lực tập trung P H.8.8 cho biết EIx = số P B A C z1 z2 a z b L Y H.8.8 Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn Pab/L GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Giải Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn hai đoạn AC CB khác nên biểu thức góc xoay độ võng hai đoạn khác Viết cho đoạn biểu thức Mx, y’’, y’, y sau: Mômen uốn Mx đoạn sau: Đoạn AC (0  z1  a): M x(1)  Pb z1 L (a) Đoạn CB (a  z2  L): M x(2)  Pb z2  Pz2  a L (b) Phương trình vi phân đường đàn hồi đoạn: Đoạn AC: y1 ' '   Pb z1 LEI x (c) Đoạn CB: y2 ' '   Pb P z2  a z2  LEI x EI x (d) Tích phân liên tiếp phương trình trình, ta được: Đoạn AC (0  z1  a): y1 '   Pb z1  C1 2LEI x (e) y1   Pb z1  C1 z1  D1 6LEI x (g) Đoạn CB (a  z2  L): y2 '   Pb P z2  a  C2 z2  2LEI x 2EI x (h) y2   Pb P z2  a  C2 z2  D2 z2  6LEI x 6EI x (i) Xác định số tích phân C1, D1, C2, D2 từ điều kiện biên - Ởgối tựa A, B độ võng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng góc xoay hai đoạn phải  khi: z1 = 0; y1 = z2 = 0; y2 = z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện nầy : Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  D1    Pb L3  P L  a   C L  D  6EI x  6LEI x  Pb Pb  3  6LEI a  c1 a  D1   6LEI a  c a  D x x  Pb Pb  2  2LEI a  c1   2LEI a  c x x  Giải hệ phương trình trên,  D1 = D2 = 0; C1  C  Pb L2  b 6LEI x   Vậy phương trình góc xoay độ võng đoạn là: Đoạn AC (0  z1  a):  Pb  L2  b z12 '   1  y1  LEI x    z13  Pb  L2  b     y1  LEI  z1   x    Đoạn BC (a  z2  L):     Pb  z22 L z2  a  L2  b '     y  LEI x  2b   z23  Pb  z2  a  L2  b   y  L  z   LEI  6b  6 x        Tính độ võng lớn dầm cách dựa vào điều kiện y’ = 0, Giả sử a > b Trước hết ta xét độ võng lớn đoạn  Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: 1 A  C (z1 = a):  b2  1     L  PbL a  b   3EI x PbL 6EI x 1C Như vậy, hai điểm A C góc xoay 1 đổi dấu, nghĩa bị triệt tiêu lần Điều cho thấy độ võng có giá trị lớn đoạn AC Để tìm hồnh độ z1(0) mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình  = 0: 0,500L E A B D z 0,577L H.8.9 Pb  L  b z1 0  1 z1 (0)    0 LEI x   Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu  z1 (0)  L2  b2 (o) Sau đưa vào biểu thức (l) độ võng, giá trị lớn độ võng y max  y1z1( )    3Pb L2  b 27 EI x   b2  1    L  (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt nhịp dầm b  L / 2 , từ (o) (p) , ta được: L PL3 z1 (0)   0,500L ; y max  48EI x - Khi P gần gối B, tức b  ta có: z1(0) = (thƣờng dùng cần nhớ) L = 0577L Như vậy, tải trọng di chuyển từ trung điểm D nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) hồnh độ z1(0) biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức từ điểm D đến điểm E Trong thực tế người ta thường quy ước tải trọng P tác dụng vị trí coi độ võng lớn nhịp dầm Thí dụ: tải trọng P tác dụng vị trí H.8.8 độ võng nhịp dầm y l   bằng: Pb 3L2  4b 48EI x  So sánh hai giá trị ymax yl  thấy  hai giá trị nầy khác Nhận xét: Nếu dầm có nhiều đoạn, cần phải lập phương trình vi phân đường đàn hồi cho nhiều đoạn tương ứng Ở đoạn phải xác định hai số tích phân, dầm có n đoạn phải xác định 2n số, toán trở nên phực tạp số đoạn n lớn, phương pháp nầy dùng tải trọng phức tạp hay độ cứng dầm thay đổi VI XÁC ĐỊNH ĐỘ VÕNG VÀ GÓC XOAY BẰNG PHƢƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƢƠNG PHÁP ĐỒ TỐN)  Phần trước có liên hệ vi phân nội lực ngoại lực: dQ y dz  q(z ) , dM x d 2M x  Qy ,  q( z ) dz dz (a)  Đối với việc khảo sát đường đàn hồi dầm, có phương trình vi phân: M d2y d /  y  x dz EI x dz (b) Đối chiếu phương trình (a) (b), ta thấy có tương tự sau: Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu y Mx d 2M x d  Q y  q( z ) dz dz Mx d2y d  y '   dz EI x dz Ta nhận thấy muốn tính góc xoay y’ độ võng y phải tích phân liên tiếp hai lần Mx hàm số Tương tự muốn có lực cắt Qy mơmen uốn Mx phải tích phân liên EI x tiếp hai lần hàm số tải trọng q Tuy nhiên phần trước (nội lực), ta tính lực cắt Qy mơmen uốn Mx theo tải trọng q từ việc khảo sát phương trình cân bằng, phương pháp mặt cắt Như vậy, ta tính góc xoay y’ độ võng y mà khơng cần tích phân Nếu đặt q gt   d M gt d Mx Mx  Q  q   Ta có: Ta có tương quan gt gt dz EI x EI x dz sau y’ = Qgt ; y = Mgt Đó phƣơng pháp tải trọng giả tạo  Phƣơng pháp tải trọng giả tạo: Tưởng tượng dầm giả tạo có chiều dài giống dầm thật có tải trọng giả tạo q gt giống biểu đồ  Mx dầm thật, lúc muốn tính góc xoay y’ EI x độ vong y dầm thật (DT)(dầm khảo sát) cần tính lực cắt Qgt mơmen uốn Mgt tải giả tạo tác dụng DGT gây Tuy nhiên, để có đồng đường đàn hồi y Momen uốn Mgt điều kiện biên chúng phải giống nhau: y’ = Qgt ; y = Mgt điểm hai DT DGT  Cách chọn dầm giả tạo (DGT) DGT suy từ DT với điều kiện nơi DT khơng có độ võng góc xoay điều kiện liên kết DGT nơi phải tương ứng cho qgt không gây Mgt Qgt Bảng 8.1 cho số DGT tương ứng với số DT thường gặp Bảng 8.1 Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 10 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Dầm thực A Dầm giả tạo y =   y =   A B y=0 =0 y0 0 A y  A B B y=  tr= ph y =   B Mgt = Qgt  Mgt = Qgt  A B Mgt  Qgt  Mgt = Qgt = A B Mgt  Qgt  Mgt = Qgt  Qtr = Qph Mgt = Qgt   Cách tìm tải trọng giả tạo qgt Mx Vì q gt   , nên qgt ngược dấu với mơmen uốn Mx Do đó: EI x - Nếu: Mx > qgt < 0, nghĩa biểu đồ Mx nằm phía trục hồnh (theo qui ước Mx > vẽ phía dước trục thanh) qgt hướng xuống - Nếu: Mx < qgt hướng lên  qgt ln có chiều hƣớng theo thớ căng biểu đồ mô men Mx q q >0 Ngịai q trình tính nội lực Mgt, Qgt DGT, cần phải tính hợp lực lực phân bố qgt chiều di khác Do đó, để tiện lợi ta xác định vị trí trọng tâm diện tích  hình giới hạn đường cong bảng 8.2 đây: Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 11 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Hình vẽ h Diện tích ( ) C x1 Vị trí trọng tâm x1 x2 Lh L 2L Lh L 3L 2Lh 3L 5L x2 L h Bậc C đỉnh x2 x1 L đỉnh h Bậc C x1 x2 L Thí dụ 5: Tính độ võng góc xoay đầu tự B dầm công xon chịu tải trọng phân bố q.Độ cứng dầm EIx = const Giải + Biểu đồ mômen uốn Mx DT có dạng đường bậc + DGT tương ứng với lực phân bố qgt + Độ võng góc xoay B DT mơmen uốn Mgt lực cắt Qgt B y B  M gtB  qL2 qL4  L L  2EI x 8EI x qL qL L  ; 2EI x 6EI x  B  QgtB   q A a) L b) qL qL2 c) EI x Mx DGT Thí dụ 6: Tính chuyển vị đứng B Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 12 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu y B  M gtB  PL L L L PL3   (   ) 2 EI x 2 64 EI x P A L/2 a) b) PL c) PL EI x A K B L/2 Mx K B DGT Thí dụ 7: Tính chuyển vị đứng K,cho EIxhằng số A Thực mặt cắt qua K xét bên phải Chia diện a) tích hình thang hai hình tam giác hình chữ nhật để biết trọng tâm b) PL yK  M K gt L/2 B K L/2 Mx PL L L       2 EI x PL EI x c) PL L L PL3 PL3 PL3      EI x 24 EI x 16 EI x 12 EI x  K  QgtK  ( P Thí dụ 8: Tính chuyển vị đứng góc xoay K cho EIx số PL EI x t M A B K Tính phản lực gỉaL/2tạo A M / B   RgrA  L  M L Mo  L  L  RgtA  EI x 3EI x DGT Mg PL EI x PL PL L 3PL2  )  8EI x EI x EI x B K A L/2 M M0 L L M0 L L y K  M gtK   (        ) 2 EI x 2 EI x M0L L M L3 M L3 M L2      12 EI x EI x 12 EI x 3EI x Góc xoay k phản lưc giả tạo K Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 13 M0 EI x R gtB R gtA M gtK R A gt M0 EI x GV: Lê đức H.8.12 Bài giảng sức vật liệu K  Q K gt M L2 R  3EI x K gt VI BÀI TỐN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự tốn chịu kéo, nén tâm, ta cịn có BTST uốn Đó tốn mà ta khơng thể xác định tồn nội lực phản lực với phương trình cân tĩnh học,vì số ẩn số phải tìm tốn lớn số phương trình cân tĩnh học có Để giải BTST, cần tìm thêm số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng dầm Thí dụ Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm H.8.12a.Biết EI = số Giải q q B a) B h) L VB  q b ) B A VB c) qL2 EI x qL i) qL Q qL y k) qL2 M x 9qL2 128 VB L d) EI x + Dầm cho có bốn phản lực cần tìm (ba ngàm gối tựa B) Ta có ba phương trình cân tĩnh học, nên cần tìm thêm phương trình phụ điều kiện biến dạng dầm + Tưởng tượng bỏ gối tựa đầu B thay vào phản lực VB (H.8.12b), ta hệ Hệ nầy làm việc giống hệ VB phải có trị số chiều để độ võng B, tải trọng q VB sinh ra, phải không  Điều kiện biến dạng (chuyển vị): yB (q, VB ) = + Ta tính độ võng B phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp khác) Biểu đồ mômen uốn dầm H.8.12b tải trọng q phản lực VB gây vẽ H.8.12c,d, DGT qgt H.8.12 e, g Ta có: Độ võng yB hệ 8.12b Mơmen giả tạo B DGT yB = M B gt qL  L EI = L– L VB L  L Điều kiện độ võng yB = 0,  VB = qL EI Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 14 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Sau tìm VB, dễ dàng vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H.8.12 i, k VII PHƢƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MƠMEN (Tự đọc thêm) Nội dung phƣơng pháp Xét dầm có biểu đồ Mx H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) H.8.10a EI x A a) B z  ĐĐH yA zA yB y z z dz zB LAB zC zC A b) B Mx EI x C S AB Mx dz EI x H.8.10 Phương pháap diện tích mơ men A dz B yA A B yB  AB d d t d tAB B d M Xét đoạn dầm AB: d   x dz , suy ra: EI x  ZB ZA zZ d    B ZA Mx dz EI x  B   A   AB  S AB với S AB diện tích biểu đồ (8.18) Mx gồm hai mặt cắt A v B EI x Định lý Độ thay đổi góc xoay hai mặt cắt dầm (thí dụ A v B) dấu trừ diện tích biểu đồ Mx hai mặt cắt EI x Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 15 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu Từ hình 8.10d: dt  zd   z Mx dz suy ra: t BA  EI x  ZB ZA ZB dt    z ZA Mx dz   z C S AB (8.20) EI x z C l khoảng cách từ trọng tâm diện tích S AB đến B Định lý Độ sai lệch tiếp tuyến điểm B đường đàn hồi với tiếp tuyến điểm A khác đường đàn hồi với dấu trừ mơmen tĩnh diện tích biểu đồ Mx đường thẳng đứng EI x qua B Từ H.8.10d ta cĩ: yB = yA + ALAB + tBA = yA + A(zB – zA) + tBA yB = yA + A(zB – zA) – z C S AB (7.21) cơng thức dùng để xác định độ võng điểm B biết độ võng điểm A (zB > zA) v biểu đồ Mx hai điểm nầy EI x Từ (8.21 tính độ võng điểm A biết độ võng điểm B (zB > zA) z C  L AB  z C với:  P A B a ) a b L P b ) (8.21) A B V c Pa ) EJ x B Mx EJ x VB L EJ x  A   B  S AB v H.8.13  y A  y B   B  S AB L AB  L AB  z C  S AB ta viết: Khai triển rút gọn, ta được: yA = yB – BLAB – zC S AB zC - khoảng cách từ trọng tâm C S AB kể từ A Thí dụ 8: Tính phản lực VB dầm siu tĩnh H.8.13a Cho biết : EJx = Giải Tương tự thí \ dụ trên, có điều kiện yB = Tính yB phương pháp diện tích mơmen Biểu đồ Mx/ EJx tải trọng P v phản lực VB vẽ H.8.13c áp dụng cơng thức (8.5), ta có: yA = yB – AL + z S AB (8.22)  a Pa V L  = yB – 0L +   L   a  L L B    yA = – Pa 2 EJ  EJ EJ   3L  a  VB L      3EJ Điều kiện yB = cho ta 0=– Pa 2 EJ  3L  a  VB L     3EJ Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 16 GV: Lê đức Bài giảng sức vật liệu suy VB = Pa (3L  a) L3 Thí dụ Dùng phương pháp diện tích mơ men xác định góc xoay đầu tri A v độ võng điểm D dầm (H.8.14) EIx = số Giải Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) v D (z = L/2)  D   A  S AD Chú ý D = bi tốn đối xứng S AD phân chia thành S  S  S ta suy ra:  A  (S  S  S )   A  S1  S  S  Góc xoay mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ áp dụng công thức (8.21), ta viết yD  y A   A 13 qL3  648 EI x   1 2  3  qL2 77 13 qL3 L L    zC S1  zC S  zC S    z C S AD   648 EI x 11664 EI x q A B D L/3 L/3 S1 S2 qL2 72 EI x Chương 8: chuyển vị dầm chịu uốn 17 L/3 qL2 72 EI x Mx EI x GV: Lê đức