Chương 6 đặc trưng hình học của mặt cắt ngang

Chöông 5 Bài giảng sức bền vật liệu Chương 6 Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang Lê đức Thanh 1 Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG I KHÁI NIỆM Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chịu ké[.]

Bài giảng sức bền vật liệu Chương ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG I KHÁI NIỆM Ở chương 3, tính độ bền chịu kéo (nén) tâm, ta thấy ứng suất phụ thuộc vào độ lớn diện tích mặt cắt ngang A.Trong trường hợp khác, chịu uốn, xoắn… ứng suất khơng phụ thuộc vào diện tích A mà cịn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghĩa cịn yếu tố khác như: momen tĩnh, momen quán tính mà người ta gọi chung đặc trưng hình học mặt cắt ngang P P y z y z a) x b) H.6.1 Dầm chịu uốn a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang Xét chịu uốn hai trường hợp có mặt cắt ngang A đặt lực khác H.6.1 Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), chịu lực tốt trường hợp b) Như vậy, khả chịu lực cịn phụ thuộc vào hình dáng vị trí mặt cắt ngang phương tác dụng lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần) Cho nên chịu lực phụ thuộc A, mà cần phải nghiên cứu đặc trưng hình học khác mặt cắt ngang để tính tốn độ bền, độ cứng, độ ổn định để thiết kế mặt cắt cho hợp lý II MÔMEN TĨNH – TRỌNG TÂM Xét hình phẳng có mặt cắt ngang A hình vẽ Lập hệ tọa độ vng góc Oxy mặt phẳng mặt cắt.Gọi M(x,y) điểm hình Lấy chung quanh M diện tích vi phân dA  Mơmen tĩnh mặt cắt A với trục x (hay trục y) tích phân: S x   ydA , S y   xdA (6.1) A A x, y âm dương nên mơmen tĩnh có trị số âm dương Thứ nguyên mômen tĩnh [(chiều dài)3],thí dụ: cm3, m3,  Trục trung tâm trục có mơmen tĩnh mặt cắt A trục khơng  Trọng tâm giao điểm hai trục trung tâm  Mômen tĩnh trục qua trọng tâm không _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu  Cách xác định trọng tâm C mặt cắt A: Dựng hệ trục xo Cyo song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2) Ta có x  xC  xo; y  yC  yo với C(xc,yc) Thay vào (6.1),  S x   ( yC  yo )dA  yC  dA   yo dA  yC A  S xo Nếu A A A y y0 C trọng tâm xo trục trung tâm nên S xo  , tương tự S yo  ta được: S x  yC A , : S y  xC A Sy S ; yC  x Từ (6.2)  x C  A A (6.2) y0 (6.3) A M y dA C yc x0 x0 Kết luận: Tọa độ trọng tâm C ( xC , yC ) xác x xc định hệ trục xOy ban đầu theo mômen tĩnh Sx , Sy diện tích A theo (6.3) x Ngược lại, biết trước tọa độ trọng tâm, sử dụng (6.2), (6.3) để xác định mơmen tĩnh Nhận xét: Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trục mơmen tĩnh trục đối xứng khơng Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm giao điểm hai trục đối xứng y y C y C x C x x Mặt cắt có trục đối xứng Thực tế, gặp mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp ghép từ nhiều hình đơn giản Khi tính mơmen tĩnh hình phức tạp cách tính tổng mơmen tĩnh hình đơn giản Với hình đơn giản chữ nhật, trịn, tam giác (trọng tâm diện tích biết) mặt cắt loại thép định hình I, U, V, L… tra theo bảng phần phụ lục) để biết diện tích, vị trí trọng tâm, từ dễ dàng tính mơmen tĩnh hình phức tạp gồm n hình đơn giản: S x  A1 y1  A2 y   An y n  n A y i S y  A1 x1  A2 x2   An xn  n Ax i (6.4) i i đó: Ai , x i , yi : diện tích tọa độ trọng tâm hình đơn giản thứ i, _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu n : số hình đơn giản  Toạ độ trọng tâm hình phức tạp hệ tọa độ xy n xC  Sy  A A x i 1 n i y i A A i i 1 C1 n S yC  x  A  Ai yi C y1 i 1 n C2 yc y2 (6.5) A i 1 xc x1 i x A2 x2 Thí dụ 1: Xác định trọng tâm mặt cắt chữ L gồm hai hình chữ nhật Tọa độ C trọng tâm hình (hình1 có diên tích A1,toạ độ trọng tâm C1(x1, y1,) hình có diện tích A2,và C2(x2,y2) Sx y A  y A2 Sy x A  x A2  1 xC   1 ; yC  A A1  A2 A A1  A2 Thí dụ 1cm 1cm Tìm trọng tâm cho mặt cắt ngang hình chữ U Chọn trục x qua đáy mặt cắt (trục y trục đối xứng, trọng tâm nằm trục y) 15,5cm 20cm a) Có thể tính cho ba hình chữ nhật nhỏ 2(1x20cm) x 20x2cm cộng lại: yC  S x 20  1  2(20 112)   6,5cm A (20  2)  2(20 1) 6,5cm 2cm y 20cm b) Hay lấy hình chữ nhật lớn ngồi A1 = 20x22cm trừ hình chữ nhật A2 = 18x20cm H 6.12 S x1  S x2 (24  22 12)  (18  20 12) yC    6,5cm A1  A2 (20  22)  (18  20) Thí dụ 3: Tìm trọng tâm hình chữ T Chọn trục x ban đầu qua đáy mặt cắt 4a (Tương tự cho hai hình cịn lại) 10 cm y Y 1,5a cm 12 cm 6,87cm C 2a X 1,13cm X x 9,2cm 16cm X 6a 6cm x cm cm y 8cm a _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu yC  S x1  S x2 A1  A2  (10  13)  (12   6)  9,2cm (10  2)  (12  2) III MƠMEN QN TÍNH - HỆ TRỤC QN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 1- Mơmen qn tính (MMQT) Mơmen qn tính độc cực (đối với 1điểm) MMQT mặt cắt A với điểm O định nghĩa biểu thức tích phân: I     dA (6.6) y M y I y   x dA ; I x   y dA A A  A với :  : khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O, Mơmen qn tính trục y x mặt cắt A định nghĩa: dA x x (6.7) A Mơmen qn tính ly tâm mặt cắt A (đối với hệ trục x,y) định nghĩa: I xy   xydA (6.8) A Từ định nghĩa mơmen qn tính, ta nhận thấy: - MMQT có thứ nguyên [chiều dài]4 - Ix , Iy , Ip  (luôn dương) - MMQT ly tâm Ixy dương, âm khơng 2 - Vì   x  y nên I  Ix  Iy (6.9) MMQT độc cực tổng MMQT hai trục vng góc x, y có gốc điểm cực Theo định nghĩa MMQT, ta có: Tính chất: Mơmen qn tính hình phức tạp tổng mơmen qn tính hình đơn giản 2- Hệ trục qn tính trung tâm (QTCTT) Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâm hệ trục khơng gọi hệ trục quán tính y Hệ trục quán tính qua trọng tâm mặt cắt (gốc đặt dA1 trọng tâm) gọi hệ trục quán tính trung tâm (mọi dA tính toán sau dùng hệ trục nầy) A1 A2 Đối với hệ trục này, ta có: S x  ; S y  ; I xy  x Tính chất: Khi mặt cắt A có trục đối xứng hệ trục vng góc với trục đối xứng hệ trục qn tính Hình có trục đối xứng _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu mặt cắt Thật vậy: xét mặt cắt A có trục đối xứng y H.6.7 Ta ln tìm cặp vi phân diện tích đối xứng để: I xy   yxdA  A  A1  A2 yxdA   ( xy  yx )dA1  A1 Nhận xét: MMQT trục trung tâm gọi mơmen qn tính trung tâm mặt cắt A 3.Bán kính quán tính rx  Ix ; A ry  Iy A thứ nguyên chieudai  Bán tính quán tính trục gọi bán kính quán tính VI MƠMEN QN TÍNH CỦA CÁC HÌNH ĐƠN GIẢN 1- Hình chữ nhật Tìm mơmen qn tính trung tâm hình chữ nhật b  h (H.6.8) y y h/2 dy h y C h/2 dy x x y x x b H.6.9 H.6.8 Hệ có hai trục đối xứng x,y hệ trục QTCTT Để tính Ix, lấy diện tích vi phân dA dải bề rộng b, bề dày dy, khoảng cách đến trục y h Ta có bh I x   y dA   y bdy  12 h A 2  (6.10) hb Tương tự, đổi vai trò x y, b h, ta được: I y  (6.11) 12 2- Hình tam giác(tự đọc) Tính MMQT hình tam giác trục x qua đáy (H.6.9) Diện tích dA dải vi phân song song với đáy, có chiều dày dy, khoảng cách đến trục x y có bề rộng b y tính sau: by  b(h  y) h _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu h h b( h  y ) b b  hy y  bh   I x   y dA   y dy   y (h  y )dy    h ho h  o 12 A o h 2 (6.12) Hình trịn - Hình vành khăn (tự đọc) y y x C x C  R d d D D H 6.10 a) b) a) Hình trịn b) Hình vành khăn Tính MMQT hình trịn trục x (hay y) đường kính Hệ trục (x,y) hệ trục trung tâm Trước tiên tìm mơmen qn tính độc cực trọng tâm Xét vịng trịn bán kính R H.6.10a Lấy phân tố diện tích dA dạng vành trịn mảnh bán kính  bề dày d Như vậy, dA  2d Mơmen qn tính độc cực tồn hình trịn: R I     dA   2 d  A R o  D 32  0,1D Do đối xứng, ta có: I x  I y I   I x  I y  2I x  2I y Theo (6.10), ta có:  Ix  Iy  R 4  D 64  0,05D (6.13) Theo tính chất MMQT trục biết mục 6.3,  MMQT mặt cắt hình trịn rỗng (hình vành khăn) (H.6.10b) hiệu MMQT hai hình trịn đường kính D d: I y  I x  I x( D )  I x( d )  Ip  D 32 D 64  d 64  D 64 (1   ) với   1    (6.14) d D V CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC SONG SONG CỦA MMQT Nếu biết momen qn tính hình phẳng A hệ trục tọa độ Oxy Xác định MMQT hình phẳng hệ trụcO1XY song song với hệ trục cho (H.6.11) Gọi a b tọa độ O hệ tọa độ O1XY _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu X  a  x, Y  b  y Ta có :  Theo định nghĩa: I X   Y dA   (b  y ) dA   y dA  2b  ydA   b dA A A A A Y y A  I x  2bS x  b A y Y (6.15) tươngtự: I Y  I y  2aSy  a A (6.16) M ° x x b  Đối với mômen quán tính ly tâm: X 01 a X I XY   XYdA   (a  x )(b  y)dA   xydA  b  xdA  a  ydA  ab  dA A A A A A A  I xy  bS x  aS y  abA (6.17)  Nếu hệ trục Oxy hệ trục trung tâm hình A cơng thức có dạng: I X  I x  b A ; I Y  I y  a A ; I XY  I xy  abA (6.18) Cơng thức (6.18) thường sử dụng để tính mơmen qn tính trung tâm hình phức tạp biết mơmen qn tính trung tâm hình đơn giản Từ cơng thức này, ta nhận thấy: tất trục song song mơmen qn tính trục trung tâm ln có giá trị nhỏ Momen qn tính tăng dần di chuyển trục song song xa dần trọng tâm mặt cắt (a,b tăng) Thí dụ: Tính mơmen qn tính trục BB qua đáy hình chữ nhật (H.6.8) Giải Dùng công thức chuyển trục song song để tính IBB: bh  h  bh h = Ix +   A     hb  12   2 IBB b  h3 > 12 Thí dụ 4: Tìm MMQT trung tâm mặt cắt chữ U hình vẽ Giải Tìm trọng tâm C: 1cm Chọn hệ trục ban đầu qua đáy (trục y trục đối xứng, C nằm trục y) yC  S x 20  1  2(20 112)   6,5cm A (20  2)  2(20 1) Tính MMQT hệ trục trung tâm IX, IY I X  I X(1)  2I X( 2)  3766,67cm Trong Với I 1X  20   5,5 (20  2)  13,333  1210 12 1cm 15,5cm 20cm x 6,5cm 2cm y 20cm H 6.12 _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu IX ( 2)  I X(3)  I Y1  I Y2   20  (1  20)  5,5  666,67  605 12  20  13   20  2   9,5 (20  1)  13,333   (1,666  1805) 12  12  Ixlớn_Ixnhỏ=( 20  22 18  20  (20  22)  4,5 )  (  (18  20)  5,53 )  3766,67cm ) 12 12 22  20 20  183   4946,67cm 12 12 YY  YYLƠN  I YNHO  Thí dụ 5: Tìm trọng tâm momen qn tính trung tâm I X  I X(1)  I X( 2)  I x(1)  b12 A1  I x( 2)  b22 A2  2.12 10.2  (3,2)  24   (3,8)  20  829,227cm 12 12 I Y  I Y(1)  I Y( 2)  12  2 103   174,76cm 12 12 10cm Y 10 cm y 15cm cm x C 12 cm x 15cm 12,9cm cm 9,2cm x X 12cm cm Thí dụ Tìm trọng tâm momen qn tính trục nằm ngang.(hê trục qua đáy) S yC  x  A IX  I (1) X I ( 2) X 30  12  15   10  22,5  12,91cm  10 30  12  I (1) x  b A1  I ( 2) x Y D  b A2 X 2 D  12.30  10 10  (2,09) 30.12  (  (9,59)  )  20862,4cm 12 64 4 Thí dụ 7.Tìm momen qn tính trung tâm IX _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu    D  D  D  5D D I X  2 I x     A  2      2  64 2    64   I X  2I x  D D 64 X Tóm tắt: - Nếu mặt cắt ngang có trục đối xứng Tìm momen quán tính trung tâm sau: -Tìm toạ độ trọng tâm mặt cắt ngang ,tìm momen qn tính hình -Dùng cơng thức chuyển trục song song để tìm momen qn tính trung tâm I X  I x  b A ; I Y  I y  a A ; I XY  I xy  abA với x//X (cách b), y//Y(cách a) - Nếu mặt cắt ngang khơng có trục đối xứng dùng công thức xoay trục phần sau: VI CÔNG THỨC XOAY TRỤC CỦA MMQT- XÁC ĐỊNH HỆ TRỤC QN TÍNH CHÍNH (HTQTC) : Cơng thức xoay trục: Biết MMQT Ix , Iy , Ixy A hệ trục tọa độ Oxy Tính MMQT Iu , Iv , Iuv hệ trục Ouv ; Hệ trục Ouv hình thành từ việc xoay hệ trục Oxy góc  ngược kim đồng hồ ( H.6.13) Tọa độ điểm hệ trục hệ tọa độ cũ liên hệ sau: u  y sin   x cos  y v u dA M x · v u y a A a O x H 6.13 v  y cos   x sin  Theo định nghĩa, MMQT trục u, v là: I u   v dA ; I v   u dA ; I uv   uv dA A  Tính Iu Iu  v aÂI A A dA   y cos   x sin   dA A  cos   y dA  sin   x dA  sin  cos   xydA 2 A A A I u  I x cos   I y sin   2I xy sin  cos  2 (a) _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh Bài giảng sức bền vật liệu Sử dụng công thức lượng giác: 1 cos2   1  cos 2  ; sin2   (1  cos 2) ; 2 sin  cos   sin 2 (a) trở thành: Iu  Ix  Iy  Ix  Iy cos 2  I xy sin 2  Tính Iv : Tương tự tính MMQT I u , ta mơmen qn tính I v (hoặc cách trực tiếp    90o phương trình (6.21)): Ix  Iy Iv   Ix  Iy cos 2  I xy sin 2 (6.21)  Tính Iuv : (6.20) Juv M Juv Jxy P  Mo Jmax Jmin A O H 6.14 xIy C Iu Ix Ju B Vòng tròn Mohr quán tính I uv   uv dA   ( y sin   x cos  )y cos   x sin   dA A A  sin  cos   y dA  sin   xy dA  cos   xydA  sin  cos   x dA A A A I uv  (I x  I y ) sin  cos   I xy cos 2 I uv  Ix  Iy A (b) sin 2  I xy cos 2 (6.22) 2- Hệ trục quán tính chính- Cách xác định  Hệ trục QTC: Theo định nghĩa mục 6.3, hệ trục qn tính hệ trục có MMQT ly tâm không Để xác định hệ trục này, cho I uv =  tg 2   2I xy Ix  Iy (6.23) đó:  - góc xác định trục qn tính Phương trình (6.24) ln có hai nghiệm  sai khác góc 180o  có hai nghiệm  sai biệt góc 90o , nghĩa ln tìm hai trục vng góc với  MMQT cực trị : Để tìm góc  cho mơmen qn tính có trị số lớn nhỏ nhất, lấy đạo hàm Ju theo  cho không: Ix  Iy dI u  2 sin 2  2I xy cos 2  d (c) Dễ thấy nghiệm  (c) nghiệm (6.24) Như hệ trục vng góc, mơmen qn tính có giá trị lớn nhỏ nhất, gọi mơmen qn tính Thế ngược lại 2 từ (6.24) vào (6.21) (6.22), ta trị số mơmen qn tính chính: _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh 10 Bài giảng sức bền vật liệu I max  I  và: Ix  Iy Ix  Iy   (I x  I y )  4I xy (6.24) (I x  I y )2  4I xy (6.25)  Cách xác định hệ trục QTCTT hình phẳng Trong trường hợp tổng qt, diện tích A khơng có trục đối xứng, hệ trục QTCTT xác định theo trình tự sau: - Chọn hệ trục Oxy ban đầu Xác định trọng tâm hình hệ trục - Chuyển trục song song trọng tâm hình Tính mơmen qn tính hệ trục trung tâm - Xoay trục để tìm trục qn tính qua trọng tâm Việc xác định hệ trục QTCTT tính tốn mơmen qn tính cần thiết việc tính tốn ứng suất, chuyển vị chịu uốn, xoắn… mà ta nghiên cứu chương sau Thí dụ Tính momen qn tính trung tâm Ix,của hai thép C.30 có h =30cm, b =10cm d=6,5cm, A =40,5cm2, t =1cm Ix=5810cm4, Iy=327cm4, z0=2,52cm ghép với hai thép đối xứng 40x1cm b=10 cm Y Giải: Trọng tâm C hình đối xứng Tính : I X  2I (1) X  2( I ( 2) X  b A2 ) 2 cm Ix1là moment quán tính thép hình Ix2 moment qn tính thép zo c h=30cm 40 13 I X   5810  2(  (15,5) 1 40  12 30846,67cm X cm Thí dụ 8: Từ bỏ bớt thép phía Tìm lại trọng tâm moment quán tính trung tâm IX ,IY x b=40cm b=10 cm Y t=1 cm zo h=30cm Chọn hệ trục ban đầu x0Yqua trọng tâm thép Yc   2(40,5  15,5)  10,38cm 40    40,5 c X cm x b=40cm _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh 11 t=1 cm Bài giảng sức bền vật liệu 40  13 IX   (10,38)  40  1)  2(5810  (15,5  10,38)  40,5)  18056,5cm 12 1 403 IY   2(327  (20  10  z0 )  40,5)  18684,11cm 12 Thí dụ Đọc thêm Tính momen qn tính trung tâm hình phẳng sau (khơng có trục đối xứng nào) Chọn hệ trục ban đầu xoy(qua tâm h.1) xc   3a  2a  2a a 6a  6a yc  Imin  3a  2a  2a a 6a  6a y 2a c I X  I X(1)  I X( 2)  ( I x(1)  b12 A1 )  ( I x( 2)  b22 A2 ) ( Y 4a X 6a 01 a  ( 6a ) 3a  (2a)  ( a  6a ) a )  (  (3a  2a)a )  32a 12 12 -290 x Imax I Y  I Y(1)  I Y( 2)  ( I y(1)  a12  A2 )  ( I y( 2)  a22 A2 ) ( a  ( a) 2a  (3a)  (a  6a)a )  (  (3a  2a)a )  17a 12 12 a (1) ( 2) I XY  I XY  I XY  I xy(1)  a1b1 A1  I xy( 2)  a2b2 A2  (0   a)  (a 6a )  (0  (a  a  6a  12a Tìm hệ trục chính: tan 2   I xy Ix  Iy     12a  1,6 (32  17)a  o(1)   29o ,  o( 2)   61o , cho a=1cm ta được: I max  I  Ix  Iy Ix  Iy  (I x  I y )  4I xy = 38,65cm ,với (  o(1)   29o )  (I x  I y )2  4I xy =10,35cm , Cách tìm momen qn tính : -Nếu mặt cắt ngang khơng có trục đối xứng -Tìm toạ độ trọng tâm mặt cắt ngang,tìm momen qn tính trục song song cho hình cơng thức chuyển trục song song I X  I x  b A ; I Y  I y  a A ; I XY  I xy  abA Dùng công thức xoay trục (đã biết trục qn tính chính) để tìm momen quán tính trung tâm _ Chương 6: Đặc trưng hình học mặt cắt ngang Lê đức Thanh 12