aia
(0 par LY pal CUONG — TAP T-
ae
NGUYEN HOU
NGUYEN | VĂN
NHĂ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC VĂ 1 TRUNG HỌC CHUYÍN NGHIỆP
HĂ NỘI - 1985 Mă
Trang 3
LỜI NỔI ĐẦU
Bộ giâo trình « Vật lý đại cương», do câc cân bộ giảng dạy vật lý của trường Đại học Tông hợp Hă nội biín soạn, gồm nhiều quyền đê lần lượt xuất bản trong những năm _ từ 1970 — 1976, đến nay đê qua -khoảng 10 năm Trong thời gian đổ bộ sâch đê được sử dụng lăm sâch giâo khoa cho sinh viín vật lý trường Đại học Tồng hợp Hă Nội Trong
quâ trình sử dụng sâch, một số vấn đề nội dung cũng như phương phâp trình băy đê được v
xem xĩt lại theo hướng lăm cho sâch phù hợp tốt nhất với yíu cầu đăo tạo Mặt khâc
trong thời gian qua nhiều phât minh vật lý mới đê được ứng dụng rộng rêi trong kỹ thuật, ` | cần được bồ sung văo chương trình giảng dạy vật lý đại cương °
Xuất phât từ tình hình trín, bộ sâch đê được viết lại, nhiều chương trình mới được _“ | bồề sung, nội dung nhiều chương được sắp xếp lại,
Quyền Cơ học xuất bản lần năy có 11 chương, bao gồm toăn bộ nội dung của chương trình Cơ vật lý giảng dạy ở năm thứ nhất khoa vật lý trường Đại học Tổng bợp Hă Nội
Phần một gồm câc chương từ I — V trình băy câc khâi niệm vă định luật cơ ban
_ về chuyền động của chất điềm Riíng chương V trình băy tính chất tương đối của chuyền -
động, đề cập đến một vấn đề cơ bản vă sđu sắc của vật lý học Nội dung chương năy phần
năo đê được đề cao so với nội dung chương trình vật lý đại cương ¬
Phần hai gồm câc chương VI, VỊI, VIII trình băy câc khâi niệm vă đinh luật eơ bản về chuyền động của vật rắn, Phần năy được bắt đầu bằng câc khâi niệm mômen động -
lượng, mômen lực, mơmen qn tính Với câc khải niệm năy việc chuyền từ câc định luật
vă tính chất chuyền động của chất điềm sang câc định luật vă tính chất chuyền động của
vật rần được thực hiện khâ tự nhiín, ‘
Phần ba gồm câc chương IX, X, XI trình băy cơ học câc môi trường liín tục: chuyền động dao động vă sóng, biến dang cia vat ran, co hoc chất lưu
Nội dung câc vấn đề trong phần hai vă phần ba được trình băy khâ ngắn gọn trong
khuôn khồ chương trình vật lý đại cương ae
Cuốn sâch sẽ được dùng lăm sâch giâo khoa cho sinh viín khoa vật lý trường Đại
học Tông hợp Hă Nội, tuy nhiín sâch cũng có thể dùng lăm tăi liệu tham khảo cho sinh viín câc ngănh khoa học kỹ thuật có bọc vật lý cao cấp
Vì khả năng có hạn cuốn sâch khó có thề trânh khỏi những sai sót, chúng tơi mong - câc bạn đọc đóng góp cho nhiều ý kiến phí bình, nhận xĩt, đề lần xuất bản sau được
tốt hơn °
Hă Nội, ngăy 01 thang 2 ndm 1985
Trang 5
PHIN I
€ẤC KHÂI NIỆM VĂ ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN
VỀ CHUYỀN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỀM
CHUONG I
ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỀM
§1 Chuyền động của chat điềm _
1 Chuyền động cơ học,
Chuyển động cơ học lă sự thay đồi vị trí của vật năy đối với vậi khâc Í~
hoặc của phần năy đối với phần khâc của cùng một vật
- Dễ đăng quan sât thấy chuyền động cơ học có ở khắp mọi nơi xung quanh
_ta: người di, xe chạy, tín lửa bay Tuy nhiín xem một vật cụ thể năo đó lă _“:
đứng yĩn hay chuyền động cũng chỉ lă xĩt một câch tương đối Thật vậy, nếu xem
quả đất lă đứng n thì sẽ thấy người, xe, tín lửa chuyển động đối với quả đất - y
(cả mặt trời cũng trở thănh chuyền động tương đối quanh quả đất!) Trâi lại nếu ˆ
xem mặt trời lă đứng n, thì phải thừa nhận quả đất vừa tự quay vừa dịch chuyền _`
quanh mặt trời '
—„ Khâi niệm đửng yín cũng chỉ có tỉnh chất tương đối, cho đến nay người ta
chưa: tìm được vật năo đứng yín tuyệt đối cả Ngay mặt trời cũng chuyền động _
xung quanh (đm thiín hă của chúng ta vă thiín hă năy cũng chuyền động tương ` đối so với câc thiín hă khâc trong vũ trụ bao la ST Ô
Chuyền động cơ học lă đối tượng của môn cơ học Trong cơ học, phần nghiín -
_ cứu tính chất của câc chuyền động mă không xĩt đến câc nguyín nhđn gđy racâc
chuyền động đó gọi lă Động học, Như vậy động học chỉ nghiín cửu những tính chất hình học của chuyền động, tức lă sự thay đồi vị trí tương đối của câc vật
mă thôi -
Đề mô tả chuyền động của một vật có kich thước, cần biết rổ chuyền động
của mọi điềm trín vật Tuy nhiín khi kích thước của vật bĩ so với khoảng câch
dịch chuyển mă ta xĩt đến, mọi điểm trín vật dịch chuyền như nhau hoặc gần như nbau, thì có thề mơ tả chuyền động của vậi như chuyển động của một điềm vă a
_ vật đó được gọi lă hạt hay chất điềm
Trong chương năy chúng ta chỉ nghiín cứu chuyền động của một chất điểm
-$ Hệ quy chiếu | :
Như ta đê biết, chuyền động cơ học có tính chất tương đối, vì vậy khi xĩ, _ chuyền động của một điềm, cần xâc định rõ điềm ấy chuyền động so với những -
vật năo được xem lă đứng yín, — _ số
| Hệ vật mă ta qui ước lă đứng yến vă dùng lăm căn cứ, lăn mốc xâc định ` vị trí của điềm chuyền động được gọi lă hệ qủ chiếu
Trang 6
ape
_ động tròn đối với xe vă chuyều động của xe đối với mặt đường +
đường; có thề xâc định được: chuyền động của một điềm trín vănh se dap dĩ imei vie
Khi khảo sât chuyền động ta có thề chọn hệ quy chiếu năy hay hệ quy chiếu
_ khâc Chuyển động sẽ được mô tả một câch khâc nhau đối với câc hệ quy chiếu ”,
khâc nhau Thí dụ, xĩt chuyển động của một điềm lrín vănh xe đạp đang chạy ˆ nếu chọn hệ quy chiếu lă xe đạp thì mỗi điềm trín vănh xe đạp đều thực hiện một,
chuyền động tròn; nếu chọn hệ quy chiếu lă mặt đường †hì mỗi,điền trín vănh
sẽ tham gia một chuyền động phức tạp, lă tổng hợp ĩủa hai chuyền động: chuyển © + ‘ Khi xĩt một chuyển động cụ thể, người ta thường chọn hệ quy chiến sao _
cho việc mô tả vă nghiín cửu tính chất chuyền động được đơn giản hơn cả số
Đề mô tả chuyền động trện trâi đất, người ta thường chọn hệ quy chiếu lă -
Irâi đất hay lă một hệ vật năo đó khơng chuyển động đối với trải đất, ví dụ, đề
nghiín cứu chuyển động của một quả đạn phâo, ta có thề chọn hệ duy chiếu lă ”?
mặt đất hoặc chính khẩu phâo , ¬— Si Tn
Đối với hệ quy chiếu trâi đất, chuyền động của câc hănh tỉnh có vẻ phức | 2 tạp đến nỗi trong nhiều thế kỷ câc nhă thiín văn khơng, sao tìm ,đyyyc một tâch ©
chính xâc quy luật chuyền động của câc hănh tỉnh Mêi đến đầu thế kỷ thứ 17' sản nhờ sử dụng hệ quy chiếu mặt trời (hệ quy chiếu Copernie), Kepler triới”tlm đước - › quy luật đúng đắn mô tẢ chuyền động của câc hănh tỉnh trong hệ mặt trời "Vĩ vậy đề xĩt nhiều chuyển động trong vũ trụ người ta thường dùng hệ quy chiếu:
Copernic, Cần chú ý thím rằng, chuyền động tuy được: mơ.tả khâc nhau;trịng:cắc
hệ quy chiếu khâc nhau, nhưng nếu biết chuyền động tương đối của câc hệ quy: :
Chiếu có thể từ câch mơ tả chuyển động đối với.hệ,quy chiếu năy suy¿ra câch mô;
tả chuyín động đối với hệ quy chiếu khâc Ví dụ biết chuyền dong tron cia! mot
điềm trín vănh xe đạp đối với xe đạp, biết chuyỀn động, cha, xe đạp đối với mặt s2
mặt đường
.3 Hệ tọa độ , TU ng hi
, Dĩ mĩ tA vi tri tcong mot hĩ quy chiĩu người ta oòn phải đưa: văo đơu:9{‹sii -
đề đợ độ đăi, đơn vị năy có thể lă kích thước của một vật thể chuẳn: hoặe khoảng,
câch chuẩn giữa hai vật thể Đơn vị đề đo thời gian có thề lă độ đăi của chu ky ici
hoặc mật phần chu kỳ của một q trình chuẩn năo đó; Trong hệ SỊ,đợn vị độ dăi ˆ -ˆ được chon lă mĩt (m) vă đơn vị thời gian được chọn lă giđy (see) cụ ĐỒ lăn vũ
sau khi đê đưa văo đơn vị độ dăi, đơn vị thời gian yi tri của một điền
trong không gian được mơ tả một câch hình học Mỗi điểm trong không ,gian được ;iu
đặc trưng bởi tập hợp của ba số (Ví dụ x, y, z trong bệ tợa độ đícac) vă ngƯỢđ: nịc- — lại tập hợp của ba số trín xâc định vị trEela` -'
một điềm trong không giản .Tập hợp của ba, số, ,-,
đó gọi lă tọa độ của điểm đê cho - oụ
Sau đđy chúng ta: xĩt một số' hệ tọa: độ:
thường dùng trong cơ học cũng: như trong xất:
ly noi chung, - ~ ee,
a) Hệ lọa độ Đícac Hệ'toa độ đícac gồm "
ba ,truc toa d6, Ox, Oy, Oz vng !góe: với nhau `
từng đôi một, hợp: thănh một tan điện thuận:: 5 Oxyz, trong do O gọi:lă gốœlọa d§ (hints }1) Vy
,trí của một điền bất kỳ M năo đó được đặc dđrưng hoặc bằng vectơ bân kính z hoặcthằng bu ¡ý
Trang 7
OCR, CEE TR
Ỳ
” "số x,y,z gọi lă tọa độ của, điềm -đê cho Gọi ez,ey, e lă che vecto don
bj Be
sic
ete
I
trín ba truc toa 46 Ox, Oy, Oz, ta thấy Ting â , ơ_
| Ơ = Yer yey + Zee AA
như ‘way cac toa do x, y, 2 của điỀm-đê“:cho chính lă câc thănh phần của vectt -
bân kinh ¿ : `
bì Hệ tọa độ trụ
Trong hệ tọa độ trụ, vị trí của điềm Bất kỳ M' được xâc định bởi bâ tọa độ
— -ø, „# (hình 1.2), treng đó ọ lă hình chiếu của r trín mặt phẳng (xOy) 9 lă gọi
_- giữa trụ Ox vă pe, cĩn z lă hình chiếu đủa ‘r trĩn tru Oz Cac vecto đơn vị trong
hệ tọa độ trụ lă Xă Trong đó eo lă veclơ đơn vị dọc theo trục ø, ®ạ 1ă -
As
vectơ đơn vị vuông góc với trục p vă trục Öz vă.htrớrig thếo chiều tăng của ợ, ® _
lă veotơ đơn vị đọc theo truc’Oz Nhu vay vecto bặn kính r của: điềm M:cớ thí Na
được viết dưới dạng - TS Vă at
ï So r= P&, + ZOz- ` " :
' (12}-.,: / 7 Sod
Biết bartoa độ trụ của một điểm ta'có thể xâo :định' được ha tọa'86:đêếgo bí 2
của điềm ấy bằng câc phĩp biển đồi sau: - : an
ca : x= p00se, ! ÿ = gšỈng,"'2=2 - _ (8
ngược: lại ta có
' eo) Hệ tọh độ cầu °Ý số ee
Trong hệ tọa độ cầu, vị trí của điềm M bất kỳ được xâc định bằng tợâ “ấp *”- r, 9, ọ (hình 3), trong đó r lă độ dăi của vectơ bản kinh r, 9 lă góc giữa trục Oz' ˆ
_ vă r cịn g6 đượp địt *âgBÍu°BtfecLDngMH:foađĨ trục năn
Câc veetơ đơn vị trong hệ tọa độ cầu lă e„; săi: Sự) trong đó:ỉ; lă'vepơ đơn
‘y] dgĩthea truer; eg la ivecto! don ¥pnĩin trong “init: phing kish tuyĩn €PQWMAM s
vă vướng đóc với e, vă có phường! theo tHiều tăng của 8; ey được đính gHfa Khử”
trong hệ tọa độ trụ Nhu vay vectơ''Bên kinñ Eửa điềm M bó đạng'” "` \ `
rare G8)
Trang 8
¬ “ ẽ ie oe _ đôi một
- điềm ấy dại những thời điểm khâc, nhau, Nói một câch khâc, chúng ta cần biết, -
- vectơ bản kinh của chất điềm lă hăm của thời gian ¬
-_ viết dưới đạng tọa độ, Trong hệ tọa độ đícac ta có
vậy ta nói rằng trong 'hậ tọa độ ‘tra, mĩt chuyển động bất ky được phđn tính,
e
_Biểi bê ọa độ cầu cửa một điểM ta có thề xâc định được ba tọa độ đ$cắc - Ý wo weg ` _ vad " “3 9 Hă x
của điềm ấy bằng câc phĩp biến đồi sau? ¬"
- ` *'x =rsinôtose:
TT ky Ẫ a sheet ai „ ` a , y= rsinOsing : :
: | " " TỐ (1:8) tới
si Z = rcos0 cất 3 nổ
ngược lại †a có
4 |
Wood, ply T=fx+ y?+? Meo ĐỢC:
Male
Do Thông ny Poy ae @ = arccos————— i oo LT
yt yx? + y2 +22 to o opt on na ee re rt t 7 ; y 7 = arcig— "be
¬— - Nhận xĩt:'1., Tùy theo tínH' chất của chuyển động, người ta có thể chọn một ° " By | , hi TÔ NT
trong câc hệ tọa độ khâc nhau một câch thích hop dĩ mĩ tả chuyền “động Thòng' °!”: thường nếu chất điểm chuyền động theo một đường thẳng ta chọn hệ tọa độ đícac,
nếu chất điểm 'chuyền động quanh một trục: ta chọn hệ tợa độ trụ,:còn nếu chất |
điềm chuyín động quanh một lđm ta chọn hệ tọa độ cầu - : : ¬ BS
° 3, Nếu chất điềm chuyển động trong một mặt phẳng người ta thường xĩt tron§-
mặt phẳng z== 0 Khi đó hệ tọa độ đícac có hai tọa độ lă x vă y, con câc hệ tọa: độ trụ vă cầu suy biến thănh hệ Lọa độ cực, tức lă hệ có hai tọa độ r vă 9, "
3 Cac hĩ tọa độ đícac, trụ vă cầu đều lă câc hệ tọa độ trực giao, tức lă câc.” hệ tọa độ rong đó câc veelơ đơn-vị đọc theo câc trục đều vng góe với nhau từng
Tey hy a ae : "
§2 Phương trình chuyền động vă phương trình qu? đạo ¿
1 Phương trình chuyền động củ *y "¬ tt tệ sa
ĐỀ xâc định chuyển động của một-chất điềm, chủng ta cần biết vị tri whee
r=r(t) | ` (1.8)
Phương trình trín biểu điễn vị trí của chất điềm theo thời gian vă gọi id -
phương lrình chuyền động của chất điềm, Phương trình chuyền động (1.8) có thể = | k=x(), y=y(t), z= z(t), LO
Ba phương trình trín mơ tả ba chuyền động thẳng đọc theo ba trực lọa độ Ox, Oy, Oz Vi vay ta nói rằng trong hệ tọa độ dĩcac một chuyền động bất kỳ
được phđn tích thănh ba chuyền động thẳng đọc theo ba trục tọa độ, | Trong hệ tọa độ trụ ta có l "¬
_p=o(), @=s(, z=¿z(), có (I0)
phương trình thứ, nhất trong (1.10) mô tả chuyền động thang doc theo truge phương trình thứ hai to-t4 chuyĩn dong tron trong mit phẳng (xOy) xung quaảhh ' tđm O, còn phương trình thứ ba mơ tả chuyển động thẳng doc theo truc Oz “Vi -
gy
thănh hai chun động thŸđg vă một chuyền động tròn,
Trang 9
Sempre SO ae gers: (np Torney gre 8 er em
ĩ lộ cầu la có - | ot An
Trong hệ tọa độ cầ , a, 99), o =o) : (19 x
Phương trình thứ nhất trong (1.11) mơ tả chun động thẳng đọc theo trụer; '
câc phương trình thứ hai vă thử ba tương ứng mô tả câc chuyển động tròn dọc -
theo câc kinh tuyến vă vĩ tuyến Vì vậy trong hệ tọa độ cầu, một chất điềm chuyền
động bất kỳ có thể xem đồng thời tham gia văo một chuyền động thẳng vă haji,
chuyền động tròn ; =
2 Phương trình quỹ đạo, co , ¬
Khi chuyền động vi trí của chất điềm ln luôn thay đồi, vạch thănh một ES đường liín tục trong khơng gian, đó lă guỹ đạo của chất điềm chuyền động.1=>-71 `
Biết hệ phương trình chuyển động có (hề suy ra được phương trình quỹ 'ˆ- -
đạo Thật vậy, về mặt toân học nếu xem t lă một tham 86 thì câc phương trình SH (1.9) — (1.11) chính lă câc phương trình tham số của quỹ đạo Khử t khỏi câc cả sả phương trình đó ta được hệ hai phương "
trình mơ tả quỹ đạo của chất điềm Chẳng `, #I > hạn, trong hệ tọa độ đícac, khử t khỏi OLA A fp Pr +
hệ phương trình (1.9) ta được
f\(x,y)=0, fy,z=0 (42
f¿(x, y)— 0 lă phương trình đường cong
C¡ năo đó trong mặt phẳng (xOy) Trong LT | ~
không gian fi(x, y) =0 lă phương trình mặt trụ có đường chuần lă đường cong |
C: va dwong sinh song song với trục z cu
(hình l4) —- ¬ | % LLY NG
Tương tự fa(y, z) = 0 lă phương v có “ng — me
trình đường cong Ca năo đó trong mặt Emh 14 md bse _—
phẳng (yOz) đồng thời cũng lă phương trình mặt trụ có đường chuẩn lă đường -:
cong ¿ vă đường sinh song song với trục x ¬ Quỹ đạo của chuyển động mă hệ phương trình (1.12) mơ tả lă đường cắt e của hai mặt trụ trín, a
Như vậy hệ phương trinh mĩ ta quf dao chuyĩn dong cia chat diĩm gdm’
hai phương trình vơ hướng độc lập, mỗi phương trình mô tả một mat cong trong - không gian Quỹ đạo của chất điềm chính lă đường cắt của hai mặt cong đó, ˆ
Trong câc hệ tọa độ khâc nhau, câc phương trình quỹ đạo nói chung có - dang khâc nhau, nhưng chủng cùng mô tả một quỹ đạo xâc định Nếu quỹ đạo cia |
một chất điềm năo đó lă một đường tron trong hệ tọa độ đícac thì nó cũng lă :.- ›
đường tròn trong câc hệ lọa độ trụ hoặc cầu gắp với cùng một hệ quy chiếu Tuy : nhiín trong mỗi hệ quy chiếu, quỹ đạo của một chất điểm chuyển đơng lại có một hình ˆ'-.-: đạng xâc định, chẳng hạn trong một toa tầu chuyển động đều, nếu ta buông cho:
một vật rơi tự đo thì quỹ đạo đối với hệ toa tău lă một đường thẳng, trong khi -
đó đối với hệ quy chiếu mặt đường, quỹ đạo của vật đó lại lă một đường parabol :
_ Quỹ đạo lă một trong những đặc trưng cơ bản của chuyền động Tuy nhiín - trín cùng một quỹ đạo, chất điềm có thể chuyền động theo những quy luật khâc - nhau Khi chuyển động, ở những thời điềm khâc nhau chất điềm tồn tại ở những - ' -
vị trí khâc nhau trín quỹ đạo Chất điềm cũng có thể tồn tại ở cùng một vị trị: - năo đó tại những thời điềm khâc nhau Vì vậy bín cạnh phương trình quỹ đạo: - - chung ta cần phải biết quy luật' chuyền động của chấtđiềm trín quỹ đạo đó, Bọi - ˆ
Trang 10SOLE TR PRES TATE
— giă độ dai ¢ của quỹ đạo tính từ gốc O11 năo đó Chiều đương của s lấy theo chiều ˆ
_- chuyền động của chất điềm Khi đó quy luật chuyền động của chất điểm ''tiín quỹ -
đạo sẽ được cho bởi phương trình
- fạo ab va nim trong mặt những z=Ú
"trong đó R, wo, A = const
- trong đó % = const 10 2 s = a(t) aay
Vi dụ 1 ;Cho phương trình chuyền.động của chất điềm ¬
căy x = Reoset Co
y = Rsinat ¬ q.14)”
z=0 ,
trong do R, w = const
Ta phải tìm phương trinh quy dao va quy luat chuyền động của chất điểm ˆ si
trín quÿ đạo do tự
Khử t khỏi (1.12) ta được
x? 4 y? — R?
'2= 0
Trong Soin thời gian dt, chất điềm chuyền dịch được: quêng đường: tt = Vdx? + dy? = wRadt, hay las=s,4+oRt, -
trong dĩ s, = const ‘
Vậy chất điểm chuyền động đều trín đường trịn với:tốc' độ v=>aR: dì %
Ví đụ 2 Cho phương trình chuyển động của chất điềm trong hệ tọa độtrụi imp i
e=R, 9 =at, z= At ' (115)
_— Đề tìm phương trình quỹ đạo vă: quy luật chuyền động của a chit điểm twit :
lăm như sau Khử t khỏi (1.15) ta được:
p=R, z a= Re ' ,
@ hot ó
Như vậy quỹ đạo lă một đường xoắn trín mặt trụ bân kính' Ried trục đếtêno
xứng: lă trục O,
Trong khoảng thời gian 1 dt, chất điềm dich chuyền quing đường * _ ds = Vdx? + dy? + dz? = VaR? + A® dt,:
ie `
từ đó suy ra —
s=s,+ Vo?R2 + A?t
Vậy chất điểm chuyền động đều dọc theo đường xoắn với tốc độ,
v= Yo°R) + At "
"§3 Vận tốz ` Pte
1; Định nghĩa x£n tốc thờ
Ngoăi vị trí, chuyẻ‹ động của chất aitm còn được đặc trưng bling: vận Wes -
của nó Trong chuyền động thang đều vận tĩc duoc xac dinh bang ty 86 gittaiqaang - be
đường dich chuyền của chất điềm vă khoảng thời gian mă chất điềm dịch chuyền _- hết quảng đường ‹ đó Trong chuyển động thẳng không đều, hạt chuyềnrđời hie nhanheA.'
lúc chậm vă ở mỗi thời điềm, chuyền: động được đặc trưng bằng một xín.tốc (khâc ‹i
nhau Nấu trong khoảng thời gian vỏ cùng bĩ di kề từ một: thời điền 1 năơ đó,, : E: hat dgch chuyín được một đoạn đường vô cùng bĩ dx, thì trong khoảng thời gian a ‹
vô cùng bẻ aye chuyĩn động có thề xem lă đều vă vận tốc tại thời điền đó: _
Trang 11_ v6 cling bĩ ds của hạt
— đx học Se
v= 1 (1.16) - Nhu vay vận tốc bằng đạo hăm của tọa độ theo thời gian vă nói chung lă - -
hăm của thời gian v= vq):
Biết biều thức của vận lốc, ta có thí xâc định được quêng đường đi cia hat trong một khoảng lhời gian cho trước Nếu chọn gốc tọa độ x — 0 lă vị trí của-
chat & thoi diĩm t— 0, thì vị trí của hạt ở thời điềm ! được xâc định bằng câch ẹ Hai lấy tích phđn :
dx = vdt
t
x(t) = fro | " 0,
°
Trong trường hợp tông quât, khi chuyền động khơng đều vă có phương thay đồi, thì vận tốc của hạt được định nghĩa lă một vectơ, bằng tỷ số của vectơ độ
đời wô cùng bĩ ds.của bạt chia cho khoảng thời gian vô cùng bĩ dt đề hạt đi được
độ dời ấy Gọi v lă veclơ vận lốc, ta có
ds
dt
>= (118)
chiều của veclơ vận lốc v trùng với chiều của vector độ đời ds, tức lă:ở mỗi thời
diam, van tốc hướng theo phương kiếp tuuến uới quỹ đạo oă lheo chiều chuuền a
động của hạt
Bđy giờ ta lấy hai vị trí vơ cùng gần nhau của hạt, ứng với câc veclơ bân
_ kinh r vă r + đr (hình: 1.5) Rõ răng lă vi phđn của vectơ bân kính dr bằng'độ đời -
dr = ds,
‘Vi ¡vậy có thề viết biều thức của vận tốc lă
dr oo x
=—= —- 1.19
T “at (1.19)
Vậy vận tốc của chất điểm tại một điểm năo đó
bằng đạo hăm bậc nhất theo thời gian ctia vecto
bân kinh tại điềm đó
Từ câc cơng thức (1.18) hoặc (1.19) ta thấy - Hình 1,5 `
rằng thứ nguyín của vận tốc bằng mĩt trín giđy (m/s)
' 2 Bitu thire cla van tĩc trong cdc hệ tọa độ đícae, trụ vă cầu 8) Trong hệ tọa độ đícac độ dịch chuyển vi phđn của chất điềm:
: : ds = dx @x + dy 2 Cy + dz " (1.20) wee sẽ Theo (1.18) ta có: : số ds dr , = ex — wT Gz 2 ` Tât di +3 *y +4 ° - a0
: Nĩu goi Vz, Vy, V, lacic thanh “yt a của vecto vận tốc trín cÂc trục toa
ộ ta có
_yv=wez+ N yey + Vse®: (1.32)
“il
Trang 12
TH Te Sr RR EO DPR eager Sr HE ch tin em TƯ
§o sânh với (1.21) ta được
Như vậy thănh phần vận tốc của mot chất điểm trín một trục tọa độ đang
bằng đạo hăm bậc nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng
Vì trong hệ tọa độ đícac câc thănh phần của vận tốc vng góc với nhau
từng đơi một, nín ta đễ dăng xíe định được giả trị vă hướng của vectơ vận tốc „
theo ‹ câc thănh phần của nó
SR g
cos(Ox, v) ak, cos (oy, vy) =—% , cos (Oz, v) = FEB) cet
Y x ey EAE dị
_ b) Trong hệ tọa độ trụ, độ dịch chuyta vi phan của chất điềm; a
ds = dp So + pđẹ e; + 'đz.e: , ae), "
Thay văo (1.18) ta được - Cp oy
vaqierte = co + fees 2, ee
Te đó suy ra câc thănh phần: của vectơ vận tốc trong hệ tọa ay trụ” " vo
do ° coe
Vo = =
ea ¬
= pat = 69 wưr : | ¬ (U28 —
dz
ŸYưZ—— 7= /
dt
Dua trĩn tinh chat trực giao của hệ tọa độ trụ ta dễ dăng suy ra "giâ trị của
sectơ vận tốc : _
v = Vy + vệ -L vì = Võ? + p?¿2 +z? ho (1.38, 5 c) Trong hệ tọa độ cầu, độ dich chuyền vi phđn của chất điềm: ¬
ds = dr.e, +rdg.eg + rsinidp.e, - _ (1801, oa,
Thay văo (1.18) ta được , oS
re) St: +
v= she, +r eg + rsind Leg 31)
Từ đó suy ra câc thănh phần của vectơ vận tốc trong hệ tọa độ cầu
Trang 13
pee gee oe “¬" "anh a me mee pee OO eee
Dura tríu Hình trực giao của hệ tọa độ cầu ta suy ra được giâ trị của vec lơ vận lốc - °
w = VvỆ + vệ - VỆ = Vị? -} 2g? + r'sin?0g? | (138) cac
3 'Yận tốc góe vă vận tốc diện tích 5
oe Trong mục trín chúng ta đê đưa văo câc đại lượng đặc trưng cho sự thay đồi nhanh chậm của tọa độ góc (heo thời gian lă 9 vă 9, câc đại lượng năy được -
gọi lă pận tốc góc ĐỀ xâc định chiều của vận tốc góc, người ta quy woc nhw sau: Nếu vectơ bân kinh r quay một góc 6 theo chiều 7 1 - "găn đỉnh ốc thuận thì đỉnh ốc tiến theo chiều của veotơ
- vận tốc góc œ (hình 1.8) Nếu gọi n lă vettơ đơn vị đọc theo, vectơ vận tốc góc ta có
oa pate (1.34)
đt x
, — Rư răng lă khi đó veetơ vận tốc góc ø, veclơ bân,
“kinh r vă vectơ vận tốc của chất điềm chuyền động họp © _ thănh một tam điện thuận vă ta có hệ thức
¬ mS _ vor (1.35) ¬ -
— Ngoăi vận tốc góc, cịn thường sử dụng khâi niệm vận lốc điện tích, Vận - tốc diện lích lă một đại lượng có giâ trị bằng điện tích mă vectơ bân kính quĩt
được trong một đơn vị thời gian vă có cùng chiều với vận tốc góc Thần
Bink 1.6
| Vs == a | | ; (1.36
Tir hinh 1.5 ching ta nhận thấy:
aS = > ( + dr)rsin(d9)
BS qua câc số hạng vô cùng bĩ bậc hai ta được: dS = Tin |
Thay văo (1.36) ta được
Yg == 1 2 it een
2 dt
Kết hợp cơng thức trín với (1.34) ta cd:
| Vg ==— ro
` + : 2 `
Cơng thức trín cũng có thể viết đưởi đạng:
Vg = i, K [ox |
+
Kết hợp với (1.35) ta được: |
Trang 14— nen, mem ea TƯ nha ah ng Cae er gee sự “ : Ệ 4 Gia lốc
1, Do cong va bân kinh chính khúe oo
Xĩlmot chấtđiềm chuyển động theo mội đường cong (Ö) Gia st “PP;
vung’ he bất kỳ của: đường cong do Qua Pi, Pz vă một điềm Bait, ky P
d6.ta vĩ mĩt vong tron thì cũng Bp, ; CĨ do dinh em
gần đúng lă một cung của: vịng - trín ¬ vă cơng
đúng nếu P¡ vă Pạ căng gần nhau, tức lăăbkưnng Ba, Py căng nhỏ " atl
"Khi P;¿ tiến đến' P_ thbwông trờ8: z Hiền (HIỂU, đến một vị tri giới hạn gọi lă đường tròn: mật tiếp : với đường cong (C) tại P¡ (hình 1.7) Nếu gọi R: Ỉ bản kinh của đường tròn mật tiếp ấy thi:
aS 'Rdge 0 1
Đại lượng nghịch đảo của R gol lă, 46 tong: của đường cong () tại Ðạ Nếu gọi: K ‘la độc gon
-Hình 1.7 thì ta có: So, " 1: cdp - Ồ % cẻ * 1 " =e _ 143 TR as ăo s4
Mặt phẳng chứa đường tròn mật tiếp với đường cong gọi lă mặt Lphẳng mật :
- tiếp với đường cong tại điềm tương ứng Phâp tuyến với đường cong tại điềm: vă nằm trong mặt phẳng mật tiếp được gọi lă phâp tuyến chính vă bản kính cya”
đường tròn mật tiếp tương ứng gọi lă bân kính chính: 'kRúe lảy bản kinh đ : cong tại điềm đê cho
2 Gia tóc tiếp tuyến vă gia tốc phâp tuyến :
_._ Trong trường hợp-ehung, vận tốc của một het Tuba tude biến đổi che độ
lớn lẫn phương chiều Đại lượng đặc trưng cho sự biến thiín của vận tốc theo thời: t!©:gian gọi lă gia tốc của hạt vă: được xẩ' định bằng đạo hăm của van ta theo
thot gian
dv z :
a= n củ co, tly, : Như vậy gia tốc cha hat bằng độ biến thiín của tốc đệ trong một đơn ¥
thời gian — no
Mặt khâc ta lại có v = đs/dt: Nếu gọi + lă eđfớ đơn ý đặc: theo phường
' tiếp tuyến của a ally đạo chuyền động thì: : ee
ds
Y——-.Tr—-Vt
dt Thay (1.45) văo (1.44) ta được:
ca a= wv + ye `
Trang 15Sa ss ag orp ree ee 8
#
Trong đó dsjdt lă vận tốc v của hạt, do/ds lă đại lượng nghịch đảo của bân _
kinh độ cong R của quỹ đạo tại điềm đang xĩt Như vậy lacó es
atv de a8
' dt R dg a are
| ¬ Gọi tạ vă z; lă hai vectơ tiếp tuyến đơn vị ở rất gần nhau, ta có dĩ = — =+;-¬z¡ (hình 1.7), ĐỀ đễ so sânh chúng ta tịnh tiến vectơ x¡ lại gần vectở +, _ sao cho chúng có chung một gốc (hình 1.8) ˆ ae
Vi dx la mot vecto vo cing bĩ va |z:| = |*zÌ =
_° > [se] =1 nĩn ta co:
i - fdt| = do (1.49) ©
_ mặt khâc vi-bình phương của vĩutơ +? = +” = 1 nĩn
de? = Arde ` — (150)
Hish 1.8
an Hệ: thứo: trín chứng tổ: vectơ dt vng góc với ¬
.vectơ œ„ Nếu ta gọi m lă vectơ đơn vị vng góc với tiếp tuyến vă hưởng văo lđm
, eủa; đường tròn mật tiếp đọc theo bân kính chính khúc của quỹ đạo, thÌta có `
_ thí viết To nu
dt = ndg “L541 oe
Kết hợp cơng thức trín với (1.46) vă (1.44) ta được eA
-_ dv , vw : ay THỂ
ae Wt Mn (182
S ea TR Joe 527,
Trong cơng thức trín thănh phần : " x
dv oe Am
mo, a, seo dt + ¬ ( : 5) : 1.53 aa
hưởng theo tiếp tuyến gọi lă gia ốc tiếp tuyến, còn thănh phần
- = a + ở (1.64), hướng theo tiếp tuyến chính gọi lă gia tốc phap tuyĩn s
Gia tốc tiếp tuyển a„ có thể đm hoặc dương tùy thuộc văo hướng của veoclơ ~ gia tốc Nếu v = const-thì gia tốc tiếp tuyến bằng không va ta co chuyền động: ` đều, Nếu v tăng đầnotbeo thời gian thì gia tốc tiếp tuyến lớn hơn không vă cùng ~ ,auotướng với vận tốc Chuyển động của chất: điềm trong trường hợp năy lă chuyển a
-.ø động nhanh đầne Nếu.w.giảm đần theo thời gian thì gia tốc tiếp tuyĩn am va)” 2
hướng ngượo:chiềun xới vectơ vận tốc, Chuyền động của chất điềm trong trường _ hợp năy lă chuyển động chậm dần Như vậy gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự -
thay đồi về tốc độ lớn của veclơ vận lốc - :
Gia tốc phâp tuyến a bao giờ cũng hưởng về phía lỗm của quÿ đạo, về ` phía tđm của vòng tròn mật tiếp tại điềm đang xĩt Độ lớn của nó tỷ lệ với bình: phương vận tốc vă tỷ lệ nghịch với bân kinh độ cong Gia tốc phâp tuyến xâc định -
sự thay đồi về phương của vận tốc
— Trong trường hợp riíng, chuyểền.động thẳng, bản kính độ cong bằng vô -
cực, gia tốc phâp tuyến triệt tiíu vă vectơ gia tốc chỉ có một thănh phần lă thănh
phần tiếp tuyến vă hướng dọc theo phương của chuyền động thẳng Khi hạt chuyển
Trang 16oe + SE Te re ae
—P của chất điểm chuyền động (hình 1-9) Trục tọa, độ thứ nhất củng hướng với
động tron đều, độ lớn của vận tốc không đồi, gia tốc tiếp tuyến bằng không,: ala OSS
tốc phâp tuyến sẽ có độ lớn không đồi, tỷ lệ nghịch với bản kính quỹ đạo vă SA luôn hướng văo lđm đường trịn Vì vậy gia lốc phĩp tuyến trong chuyển: động ù
tròn còn gọi lă gia iốc hướng tđm _
3 He tọa độ tự nhiín Frĩne — Serrơ ,
_ Hệ tọa độ tự nhiín gồm ba trục tọa độ vng góc Gốc ida độ đặt ở vị, Ay tiếp tuyến đương của quỹ đạo tại vị trí ấy vă có veotơ:: đơn lvị z Trục tọa độ thứ hai cùng "hướng với phâp
tuyến chỉnh tại P veclơ đơn vị lă n Hai vectơ evăm ` nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại P Trục:
tọa độ thứ ba vng góc với mặt phẳng mật tiếp tại BP,
vecto đơn vị lă b—{x X n] Ba trục tọa độ trín tạo
High 1.9 thănh một tam điện thuận Như vậy hệ tọa độ tự nhiề
` aa thay đổi theo vị 'trí của chất điềm chuyển động P v phan ảnh một phần tính chất hình học của quỹ đạo °
Trong hệ tọa độ tự nhiín, vectơ vận tốc v vă giả tốc tiếp tuyến a ln, ln nằm trín trục tọa độ thứ nhất, còn gia tốc phâp tuyến a› ln lưín niin trín trục tọa độ thử hai
§5- Băi tập tg
11 Tính bình phương phần tử độ đăi trong câc hệ tọa độ đícac, trụ 7 ¬ vă cầu |
Dap sĩ a) biện = dx? + dy? + dz? :
b) == dp? + p2do? + dz?
c) we = dr? + r2d62 + r?sin2@dg?
1.2 Cho phương Lrình chuyển động của chất điềm có dạng X = Acosot, y — Basinot, z = 0 ;
trong do A, B, o = const Hêy tìm phương trình quỷ đạo, tốc độ vă gia tốc on :
chất điềm h
ố Xu =O 7 7
Đâp số a) FC + PB 1, z 0 ¬
b) v == Awsinat ex + Bucosat.ey
c) © a=— Aacosat.er — Bu*sinat.ey
13 Cho mật chất điềm chuyền động với gia tốc tiếp ¬ khơng
đồi œ¿ =a Tính vận tốc vă phương trình chuyền động của chất điềm trong hệ
toa’ độ tự nhiín Biết rằng tại thời điềm t=0 tốc độ v —=v, vă s= a
Đâp số b) a) Vi=V, + at s=s, et
1.4, Biu điễn gia tốc của chất điềm theo tốc độ góc -
Pap so Stabe] [ex]
Trang 174
1.5 Mot vidn dai phao ditoc bắn lĩn với tốc độ ban đầu v„ vă lăm với - phương ngang một góc bằng œ Xâc định phương trình quỷ đạo của chuyền động Tỉnh độ cao vă tầm xa của viín đạn Biết rằng sức cản của không khí lă khơng
đâng ke Đâp số — a) | ee a eas 2v2cos2z ¡ nẺ 2 b) he v£sin“a — Yo 2g _ 8
— 1.6, Cho một bânh xe bân kinh R lăn đều theo một đường thắng với tốc
độ góc œ khơng đồi, Tính vận tốc vă gia tốc của một điềm trín vănh bânh xĩ $0
với mặt đường
_ Đâp SỐ -a) Y=oR(l — f0sof)ex + cosat.ey
b) a= wo R(sineot « ex + cosut ey) có nă
1.7 Cho một hạt chuyền động đọc theo một nửa đường thing OA với vận aoe
tốc tỷ lệ với khoảng câch v —kR Nửa đường thẳng OA quay quanh tđm O với Vận tốc góc w khơng đồi trong mặt phẳng ngang Xâc định phương trình quÿ đạo, vận tốc vă gia tốc của hạt đối với mặt phẳng đê cho Biết rằng lúc t0 hạt ở °
vị trí R—R
ke
Đâp số — a) R= R,e ©
b) v= kRett en + wkRet eg a =z (k? — w?)Ren + 2kwRee |
1.8 Tỉnh gia tốc của một chất điềm trong câc hệ tọa: độ đđoAo, trụ, cầu,
Đâp số a) water tb yey tier
` b) a=(o— pee to ae g)ey + zes
c) a =(r— rt? ~ _ + R a (r? 8) — rsindcos0.¢ a gt + [ 1L _Ởđ raýng, oles rsinO dt CHUONG II
DONG LUC HOC CHAT DIEM
Trong chương trước, chúng ta đê nghiín cứu phương phâp mớ tẢ- chuyền - động của một chất điềm Trong chương năy chúng ta sẽ nghiín cứu đến câc tÂC nhđn lăm thay đồi chuyền đông vă câc quy luật chỉ phối chuyền động
2—413 | oe 17
Trang 18
car
gE
een
EE
_thi coi viín đạn lă một chất điềm lă hoăn toăn hợp lý, nhưng nếu chú ý đến viện 7
một vật có kích thước
Quan sât vă nghiền cửu chuyển động của câc vật thể, chúng ta nhận thay
bâc vật chỉ bắt đầu chuyền động cũng như chỉ thay đồi chuyền động khi chịu tâc ' đụng của những vật khâc Xe bò bất đầu chuyển động khi có người đđy Đoăn - tău bắt đầu chuyền bânh, khi bânh xe động lực của đầu mây tâc dụng văo — ray (nói đúng hơn khi đường ray tâc dụng văo bânh xe) Trâi đất vă câc hănh ?' tỉnh chuyín động quanh Mặt trời theo sự chi phối của lực hấp dẫn của: mat 4
IỜI V.V., ;
Câc định luật động lực học xâc định mối quan hệ giữa chuyển động vă nguyín nhđn gđy ra hoặc lăm thay đồi chuyển động Nói câch khâc, câc định luật động lực học lă những định luật về quan hệ giữa lực tâc dụng lín mội vật vă - chuyển động của vật Trong số câc định luật ấy, thì cơ bản hơn cả lă ba định, luật Niufơn Trong chương năy, chúng la sẽ nghiín cửu ba định luật năy trong ` trường hợp chất điềm, vă sẽ âp dung ching đề giải một số băi toân về động lực :
học chất điểm Trước hết ta cần lăm sâng tỏ câc khâi niệm cơ bản lă chất điềm, =
lực vă khối lượng §1, Văi khâi niệm cơ bản
1, Chất điềm
Chuyĩn động của một vật thường khâ phức tạp, mỗi aitm t trín vật có the
chuyĩn dong theo những quỹ đạo khâc nhau đề đơn giản việc nghiín cứu, chúng ˆ ta co thĩ nghiín cứu chuyển động của một điểm xâc định trín vật sau đó nghiín :
cứn chuyền động của câc điềm khâc đối với điềm đặc biệt ấy Như thế chúng _ ta đê phđn tích chuyền động phức tạp của vật thănh hai chuyền động đơn giản ˆ hơn ; chuyền động của một điềm xâc định, chọn một câch đặc biệt trín vật, lă: ”-ˆ
chuyền động chung của cả vật vă chuyền động của vật quanh điềm ấy, coi như mot
điềm cố định
Trong đa số trường hợp, chẳng hạn chuyín động của xe ơiơ trín đường, ` của trải đất quanh mặt trời, v.v Kích thước của vật lă nhỏ, không đâng kỀ so - với quêng đường chuyền động, sự khâc nhau về chuyền động của câc điểm trín ˆ` oo vật khơng đâng chủ ý bằng chuyền động chung của ca vật, vì vậy có thệ bổ qua, :
_ nếu chủng la chỉ ch # đến những đặc điểm chủ yếu trong chuyền động cha val '*-; :
Khi đu nghiín cửu chuyền động của vậi, ta co thể coi no như một «điềm hình -ˆ
học», man toăn bộ khối lượng của vật Điềm như thế gọi lă một chất điềm”
Vay: Chẽt! điem lă mol điềm mang khối lượng của oật Noi câch khâc, chất `
điềm lă một vật, mă kích thước có thể bồ qua so với những khoảng câch mă ta :
nghiín cứu `
- Có thể eoi một vậi:năo đó lă một chất điểm được hay không, điều đó phụ ` thuộc văo vấn đ3 cụ thể phải giải quyết Chẳng hạn, khi nghiín cửu chuyền động -
của một viín dan phâo tầm xa, nếu chỉ chủ ý đến tầm xa cổ hăng chục kilômẻt,
bắn cho trúng một mục tiíu co kích thước văi chục mĩt, thì phải coi viín đạn lă -
2 Lực tương tâc
Khi người công nhđn đđy xe goòng, đầu may xe lửa kĩo đoăn tău chạy, người xạ thủ giương câi cung, chúng ta nói, người cơng nhđn tâc dụng văo xe, đầu _
mây tâc dụng văo đoăn tău, người xạ thủ tâc dụng văo câi cu: g những lực cơ học, Lực
Trang 19
(co học) lả một đại lượng vat ly dae truhg cho tương lâc cỡ học giữa câc vat Chính lực cơ học tâc dụng vdo cdi xe, năo đoăn tău đê lăm thay đồi trạng thải chuyền động của chúng, vă cũng chính lực cơ học tĩc dụng văo câi cung đê lăm,
_ biến dạng câi cung Ta có thề định nghĩa: Lực cơ bọc lă nguyín nhđn oật lý lăm: - a biến dạng hoặc lăm thay di trang thai chuyĩn dĩng cia cde vat » :
Lực thề hiện sự tương tâc giữa câc vật - ve Tương tâc giữa câc vật có thề xảy ra khi câc vật tiếp cận với nhau ( người: đầy xe, mặt đường tâc đụng văo bânh xe ) Tuy nhiín tương tâc giữa câc vật cũng co thĩ xđy ra khi câc vat không tiếp cận với nhau (tương tâc hấp dẫn; tương tâc:
điện từ ) Vì lẽ trín, về mặt cơ học người ta phđn câc lực lăm bai loại; loại thứ - +
nhất gồm câc lực xuất hiện kbi có tiếp cận giữa câc vật tương tâc như lực đăn hồi,: lực ma sât; loại thứ hai gồm cóc lục xuất hiện: khi câc vật tương tâc không tiếp cận với nhau như lục hấp dẫn vạn vật, lực điện từ
Câc vật tương tâc Liếp cận với nhau thường gđy biến dạng; chính sự biến - „ đạng của câc vật lă nguyín nhđn lăm xuất hiện lực đăn hồi Trong tự nhiín khơng có, những vật rắn tuyệt đối, không chịu biến đạng, tuy nhiíu sự biến dạng thường - khâ bẻ vă không phải bao giờ cũng dễ dăng nhận thấy nếu không sử dụng những thiết bị đặc biệt đề phât hiện Một chiếc lò xo khi bị biến dang (nĩn hay kĩo) sẽ tâc dụng lín vật nĩn hay kĩo nó một lực đăn hồi Tương tự như vậy, mọi vật -
“khâc trong một chừng mực nhất định cũng có thể bị biến dạng vă khi ở trạng thâi
biến đạng sẽ tâc đụng những lực đăn hồi lín vật đê lăm nó bị biến dạng Độ lớn, của lực đăn hồi phụ thuộc văo tính chất vă mức độ biến dạng
[are ma sât không chỉ phụ thuộc văo đặc trưng biến dang ma con phu thuộc,
nhiều yếu tố khâc như vận tốc tương đối, trạng thâi bề mặt của câc vật tiếp cận
nhau vă cọ sât lín nhau
Câc lực loại hai xuất hiện khi câc vật tương tĩc ở xa nhau Ta noi lă giữa :
_ câc vật tương tâc có một trường lực, hay vật năy được đặt trong trường lực của vat kia Chang hạn, mọi vật thể đều tạo ra trong không gian xung quanh một trường hấp dđn, vật tích điện tạo ra trong không gian xung quanh một điện trường, câc
hạt tích điện khi chuyền động còn tạo ra một từ trường Bất kỳ vật năo đặt trong Tă :
một trường hấp dẫn cũng chịu tâc dụng của lực hấp dẫn Vật tích điện đặt trong: : ` một điện trường chịu tâc dụng của lực điện Từ trường tâc dụng lín điện tích: me
chuyền động một lực điện từ
Sự phđn chia câc lực cơ học thănh hai loại chỉ có tỉnh chất quy tước Thật vậy, tâc dụng của câc lực loại một thực ta cũng thông qua một loại trường tồn
tại giữa câc nguyín tử hay phđn tử của câc vật tiếp cận nhau Tuy nhiín, đặc
điềm của loại trường năy lă giảm rất nhanh theo khoảng câch, vì vậy ảnh “hưởng, của nó chỉ phât hiện thấy ở những khoảng câch rất bĩ giữa câc phđn tử của một vật hay của hai val tiĩp cận nhau Như vậy mọi loại lực tương tâc đều thông qua
trường, tâc dụng giữa trường vă vật chịu tâc dụng lă trực tiếp ¬ Bản chất câc loại lực tương tâc sẽ được nghiín cứu trong câc lĩnh vực khâc
nhau của vật lý Trong cơ học chúng ta chỉ chủ y xĩt xem {rong từng trường hop
cu thĩ đê có những lực năo xuất hiện, độ lớn của c1e lực đó vă vai Lrò của chúng" đối với chuyền động
Tâc đụng của lực được đặc trưng bởi bốn yếu tố: -điểm đặt, phương, chiều vă cường độ Vậy lực lă một đại lượng vectơ, có thí biều điễn bằng một vecto, vă tuđn theo câc quy tắc tính toân biến đồi về vectơ
Trang 20hs name : Y3 SS, ERT Ome SR ray Thư *
_ dưới vă đặt văo irọng iđm của vật Chúng ta đều biết rằng trọng lượng của một
lượng thường được đo một câch chính xâc hơn nhiều, bằng cđn Cđn cho phĩp ta _
_ quốc tế lă một khối hình trụ tron bing bach kim pha Indi, đường kính đây vă đường
Muốn xâc định cường độ một lục, lă phải đo nó, lức lă phải so sảnh đă lớn
tủa nó với độ lớn của một lực được chọn lăm đơn vị Có hai phương phâp đe lực Phương phâp động lă phương phâp căn cứ văo khả năng lăm thsy đồ? chuyền động của mội vật mă đânh giâ độ lớn của lực tâc dụng Phương phâp đơ lực năy vă đơn vị đo lực sể được nói rõ sau khi trình băy định luật ‡hử haŸ,
của Niutơn it
Phương phâp tĩnh lă phương phâp dựa trín sự so sânh tâc đụng của đực
@ần đo vă của lực chuẩn văo một vật thứ ba Vật thứ ba thường dùng lă lực kế: ˆ :
Hộ phận chủ yếu của lực kế lă một lò xo bằng thĩp đăn hồi, miệt
đầu được giữ cố định, ở đầu kia có gắn một kim đi động doc theo:
thước chia độ (hình 21), a
Độ đẫn AI của lò xo tỷ lệ với tâc đụng E Nếu AI khơng
q lớn, thì ta có thể coi E = kAI, với k lă một hằng số Hang sd - k phải được xâc định đối với mỗi hrc kế riĩng biĩt Mudu-do một lực Ez năo đo, ta cho tâc đụng văo lò xo, lăm xuất hiện độ-dđn
Alx Bo Alx, ta tinh được lực Fx==kAl,/ Trong thực tổ, lực kế: được chia độ trực tiếp theo câc lực F¿ lăm đần lò xo câc đoạn Ai)
đề khi đó ta đọc ngay được trị số lực Ex ứng với độ dan Aly eda:
lò: xo chỗ kim dừng lại , ¬
Kinh nghiệm cho thấy rằng lực kế lò xo Hoạt động tất,
chính xâc nếu lực F, cần đo bĩ hơn lực giới hạn đăn hỏi nhiều Khi F vượt quâ _
giới hạn ấy, thì sau khi F ngừng tâc dụng, lò xo vẫn giữ một độ biến dạng còn cu Als, lực kế không trở về được vị trí số khơng vă không đùng được nữa - -
Lực kế lỏ xo có độ chính xâc khơng cao (chỉ văi phần trăm) nín khơng -:
thích hợp cho câc phĩp đo chính xâc Tuy nhiín, vì đơn giản vă sử dụng thuận ¿ -”
tiện, nín lực kế lò xo cũng được dùng phô biến trong kỹ thuật, với điều kiện 1ă phải đượy kiềm tra thường xuyín vă khơng địi hỏi độ chỉnh xâc cao cos
3 Khói lượng _ : "
Mội trong những bực quen thuộc tâc dụng văo câc vật lă trọng lượng của ° chung, tie ka hye hut do trâi đất tâc dụng, hướng theo đường thẳng đứng, xuống
Hình 2.1
vật không phải lă hằng số, mă thay đồi theo độ cao vă vĩ độ của địa điềm đặt vật, |
Trọng lực mộit vật, lă một lực, nín cũng có thể đo bằng lực kế, Nhưng trọng
s© sânh trọng lượng của hai vật với mức chính xâc tới 10-8, Thí nghiệm cho thấy ”
nằng, với mức chính xâc ấy, tỷ số trọng lượng của hai vật, xâc định ở cùng một nơi, lă một hằng số chỉ phụ thuộc hai vật, mă không phụ thuộc nơi đo chúng Đó _`- cổng chính lă tỉ số của những số do một đại lượng đặc trưng có ở mọi vật lă khối _
kượng của ật âi cđn, giúp ta xâc định tỷ số trọng lượng của bai vật, cũng lă 7 dụng cụ để xâc định tỷ số khối lượng của chúng Khối lượng, đo đó lă một đại lượng có thí đo được một câch trực tiếp, chỉ cần chọn trước một đơn vị đề đo nø.~
Trong đơn vị hệ đo lường bợp phâp của ta, đơn vị khối lượng lă kilôgam, định ' nghĩa như sau: « Kiôgam lă khối lượng của chuần quốc lế oề khối lượng » Chuẩn
cao xấp xi bằng 39mn, được lưu trử ở phòng cđn đo quốc tế, -trong đỉnh (hạt -
Trang 21Rhối lượng của một vật lă một đại lượng đặc trưng cho vật, khâc hần với trọng lượng, lă lực hấp dẫn do trâi đất tâc đụng văo vật,
Khối lượng đo được bằng phương phâp cđn, dựa văo sự so sânh lực hấp dẫn
tâc dụng văo vật, đặc trưng cho khả năng hấp dẫn của vật được gọi lă khối lượng
thấp dẫn,
§2 Định luật Niutơn thứ nhât
1, Lực vă chuyền động
Khi xâc định mối quan hệ giữa lực tâc dụng vă chuyển động, câc nhă bảo
học cô Hy lạp đê từng cho ring «Lue tac dụng lín một vật căng lớn, thì vđn tốc
chuyền động của vật căng cao» Kết luận trín xuất phât từ kinh nghiệm phô biến lă khi người ta kĩo câi xe bằng một lực căng lớn thì xe chạy căng nhanh, xe đóng hai ngựa chạy nhanh hơn cũng xe ấy khi chỉ đóng một con ngựa Khi ngừng đầy
hay kĩo, thì xe đừng lại, Đúng lă ngoại hực tâc dụng văo một vật có ảnh hưởng
đến tốc độ chuyền động của vật, nhưng nói rằng vận tốc của vật tỷ lệ với lực lă khơng chính xâc Nghiín cứu quan hệ giữa lực fâc dụng 0ă chujền động Niutơn
đê phât biều ba định luật cơ bản sau đđy của động lực học, thường gọi lă ba
dink luĩt Niu ton phan anh day đủ quan hệ trín
2 Định luật Niu tơn thứ nhất
Định luật năy được Ñiutơn phât biều như sau : «Moi vật giữ ngun trạng thâi đứng yín hoặc chuyền động thẳng đều (vận tốc khơng đổi), nếu tồng hình học cíe ngoại lực tâc dụng lín vật bằng khơng», |
Định luật năy xĩt đến chuyện động của câc vật trong điều kiện không ed
ngoại lực năo tâc dụng lín vật, hoặc tơng ngoại lục tâc dụng lín vật bằng không :
Trạng thâi đứng yín hay chuyển động thẳng đều lă trạng thâi vận tốc không thay
đồi, giữ nguyín như cũ lă theo « quản tính», Vì vậy định luật năy có lín gọi lă
định luật quân tính Trong thực tế, chúng tă khơng thể bố trí được những thí nghiện:
trong đó có một vật hoăn toăn cô lập, không chịu tâc dụng của bất kỳ miột ngoại °-
lực năo
Vi vay, khong thĩ trực tiếp kiím nghiệm định luật năy bằng thực nghiệm,
Mặt khâc, phạm vi 4p dụng của định luật năy vượt ra ngoăi khn khơ của những - thí nghiệm dùng lăm cơ sở cho nó, cho nín ta nện coi định luật năy như một
nguyín lý, tương tự như một tiín đề trong toân học ta chỉ thừa nhận mă không
chứng minh hoặc kiểm nghiệm trực tiếp, rồi từ đó, sổ suy diễn ra những hệ quả có thể xâc nhận lại dược bằng thực nghiệm Thỏng thường những thí
nghiệm giân tiếp nay c2 thĩ dat độ chính xâc rất cao, Nếu hệ quả được thực nghiệm xâc nhận thì có thĩ coi lă định luật đê được xâc nhận cũng với mức chính xâc ấy Việc tính tôn chính xâc chun động của câc thiín thể, câc chu kỷ nhật thực vă nguyệt thực, quỹ đạo của lín lửa, đạn phâo v.v đựa trín việc âp dụng
định luật năy, đều lă những bằng chứng giân tiếp xâc mỉnh sự đúng đắn cửa _ định luật
Có thề níu một văi kết quả qúan sât thông thường giúp chúng ta dễ dang thừa nhận định luật Một vật nặng « đứng yín » trín băn, tiếp tục đứng yín mêi nếu khơng có một ngoại lực năo buộc nó chuyền động Sở di như vậy lă vì tuy vật nặng có - trọng lượng, tức lă chịu sức hút của trâi đất, nhưng khi đặt trín băn; vật cịn chịu tảo dụng của phản lực từ mặt băn; tổng của hai lực năy bằng không
Khi đầy cho một vật nặng trượt trín săn nhă, ta thấy vận tốc của vật giảm đầu: vă cuối cùng vật đừng lại Nhưng trín một săn nhên, vật có thề trượt rất lđu, vă t8
4
Trang 22
OAR megan rpm EE ER
_ cdng nhin vận tốc của vật giẫm cảng chậm Đó lă vì khi chuyền động, ngôi trọng lượng-
TERS) TRONS topper ee eee eee LER Te ee
vă phản lực của mặt băn như trong trường hợp trín, vật còn chịu tâc dụng của lực cần của khơng khí vă lực ma sât, cả hại đều ngược hướng chuyền động của vật Căng giảm : dần lực cẩn vă lực ma sât; thi vật duy trì căng lđu chuyền động thẳng đều của nó, mặc - dau ban đầu vật chỉ bị day trong một thời gian rất ngắn Tạ có thề tưởng tượng rằng nếu lăm trượt tiíu hoăn toăn lực can vă lực ma sât; thì vật sẽ vĩnh viễn chuyền độn
thẳng đều trín mặt săn Thực tế cho thấy đúng lă tău hỏa, ôtô chuyền động thẳng vă: đều
khi lực kĩo của động cơ cđn bằng với tồng lực cần của khơng khí vă lực ma sât của mặt đường- Trong không giau vũ trụ, con tău vũ trụ hầu như không chịu tâc dung của lực.) năo (nếu bỏ qua lực hấp dẫn nhỏ bĩ của mặt trời vă câc hănh tinh) nín khi thoât khỏi - trải đất với một vận tốc v con tău tiếp tục chuyền động theo hướng đường thẳng với vận
tốc ấy, mă không cần một lực đầy thím năo, cho đến khi bị một thiín thề khâc Hữ /VĂ buộc nó thay đồi trạng thâi chuyền động
2N
3 Hệ quy chiến quân tính
Định luật thứ nhất của Niutơn khẳng định rằng, một vậi khong chiw tac
dụng của một lực năo, sẽ đứng yín hoặc chuyền động thẳng đều Tuy nhiín, chuyền - ˆ
động của một vật, hoặc trạng thâi đứng yín của nó chỉ co tính tương đối vă:phụ ::
thuộc văo hệ quy chiếu Ngoăi ra, chúng ta còn thấy hiện tượng sau đđy : Ta đứng ˆ'
trong một toa tău đứng yín, trọng lượng của ta cđn bằng với phản hrĩ của sđn ` toa, bỗng tău đột ngột chuyền bânh, mặc dù khơng có thím lực năo tâc đụng, ta vẫn „_ Cảm thấy bị một lực vơ hình đầy về phía sau, tức lă phía ngược hướng chuyền”
_ động của đoăn tău Muốn giữ nguyín trạng thâi đứng yín, ta phải bíu văo thănh - a ghế, tức lă phải nhận thím một lực từ toa tău Vậy chúng ta tự hỏi, quỹ đạo thẳng "`
hoặc trạng thâi đứng yín nói trong định luật Niuton thứ nhất, lă đối với hệ quy - -;
chiếu năo? - - oe 8
Thời Niutơn, ông coi hệ quy chiếu tđm mặt trời còn được gọi lă hệ quy' chiếu Côpecnic lă cố định Do đó, ơng đê phât biíu định luật trín đối với hệ quy
chiếu Côpecnfc ĐỀ xâc định tọa độ một điểm trong hệ quy chiếu năy, người
thường dùng một hệ tọa độ vng góc mă gốc lă khối tđm của mặt trời vă ba trục hướng:
tới ba ngôi sao cố định Đối với hệ năy, thì mặt trời lă đứng yín, mọi hănh tỉnh đều chuyển đọng quanh mặt trời cịn câc ngơi sao, vì ở rất xa, nín cũng được co{_: - lă đứng yín Thục tế cho thấy rằng âp dụng định luật thứ nhất của Niutơn cho lệ >< quy chiếu năy không đẫn đến mau thuẫn, Hệ quy chiếu Cơpecníe được gọi lă một -:
hệ quụ chiếu quân tính lă vì vậy _
Hêy giờ ta xĩt một hệ quy chiếu X chuyển động thẳng đều với vận tốc vụ đố: `
với hệ quy chiếu Cơpecniíe Giả sử một vật M không chịu tâc dụng của một lực năo,
Theo định luật Niutơn thứ nhất, vật sẽ đứng yín hoặc chuyín động thẳng đều với
vận lốc v, đối với hệ Côpecnic Nếu vật đứng n đối với hệ Cơpecníc, thì đối với hệ quy chiếu Ơ, nó sẽ chuyển động với vận tốc — vo Nếu vật chuyền động với vận ˆ tốc không đồi v đối với hệ X, nó sẽ chun động với vận tốc không đồi (—v„ -} v), tức lă chuyển động thẳng đều Trong trường hợp — v„ + v, = 0 thi vat đứng yín
đối với hệ X Như vậy, đối với hệ quy chiếu X, vật M không chịu tâc dụng của lực
năo, cïng đứng yín hoặc chuyển động thẳng đều ¬— Định luật thứ nhất của Niutơn đúng cho mọi hệ quy chiếu chuyền động thẳng đều đối với hệ quy chiếu Côpecnio, nòi một câch khâc, mọi hệ quy chiếu '
chuyền động thẳng đầu đối với hệ quy chiếu Cơpe.níc đều lă những hệ quy chiếu: quân lính
ị -
22
Trang 23
Kế tục Niutơn, câc nhă vật lý coi hệ quy chiếu gắn với mặt trời đúng lă
một hệ quy chiếu quản tính, mặc dù họ biết rằng hệ mặt trời, cũng như một ngôi
sao, đều chuyền động trong vũ trụ : ,
Đến đđy, chúng ta có thể níu định nghĩa:
«Hệ quy chiếu quân tính lă hệ quy chiếu trong đó một vật không chịu tâc
đụng của ngoại lực sẽ giữ r guyín trạng thâi đứng yín hoặc chuyền động thẳng đều » Hệ quy chiếu « đứng yín trong vũ trụ» *) lề tất nhiín cũng lă một hệ quy
chiếu quản tính, hơn nữa, cịn lă một hệ quy chiếu đặc biệt Theo nhận xĩt năy; -
- muốn kết luận rằng mội hệ quy chiếu lă quản tỉnh, ta chi can ching minh rằng hoặc nó đứng yín, hoặc một vật đặt trong hệ quy chiếu ấy, không chịu tâc dụng
của ngoại lực, sẽ đứng yín hoặc chuyền động thẳng đều Ta thử xem hệ Côrecnic
có thỏa mên điều kiện năo trong hai điều kiện níu trín đđy hay khơng
“Trước hết, câc quan sât thiín văn liín tục hăng mấy trăm năm nay đê
chứng minh rằng, hệ mặt trời có chuyền động thắng đều, với vận tốc chừng - 20km/s về phía mội điềm của bầu trời, gọi lă điềm apex Sau nữa ngăy nay chủng
ta còn biết rằng mặt trời lă một thănh viín của thiín hă quay quanh trục của „ nó với chu kỳ T=200 triệu năm Với khoảng câch tới tđm thiín hă chừng
3 10!?tm, mặt trời có chuyển động tròn với vận tốc khoảng 300km/s vă với gia
tốc hướng tầm: TU
x a=——=- —— v R 9.104 km 3.107 s —=3.10—!9s.E 3.19716 2, km sẽ s?
nhỏ hơn gia tốc của trọng trường trín mặt đất (8 = 10 +) cỡ 3 1018 lần Nếu , an s ,
tđm thiín hă chuyền động có gia tốc — điều năy đến nay chưa thề bâc bổ hoặc _ công nhận — thì gia tốc toăn phần của mặt trời có thĩ con lớn hơn trị số trín -
chút ít, nhưng có lễ cũng không thay đồi mấy Vậy, nói cho thực dung, bit ky hĩ-
quy chiếu năo gắn liền với mặt trời cũng không thĩ được cò lă hệ quân tỉnh
Tuy nhiín, những thí nghiệm chính xâc nhất hiện nay chưa cho phĩp ta phât biện - được những gia tốc nhỏ như trín, tức lă phât hiện những sai lệch đối với định
luật thứ nhất của Niutơn đo chuyển động co gia tốc của hệ Côpecnic sinh ra, Vi
vay, trong cơ học, chúng ta liĩp tuc coi hệ Cơpecníc lă một hệ quy chiếu'
quân tính
văo vật Tuy nhiín vấn đề cũng không đơn giản như mới thoạt nhìn, Lực tâc
dụng lín một vật không chỉ xuất hiện khi vật tiếp can với câc vật khâc, mă còn xuất hiện cẢ khi những vật ấy ở xa Không kề lực điện từ tâc dụng lín những hạt tích điện, mọi vật trín trâi đất đều chịu tâc dụng của trọng lực, lực hấp dẫn
của mặt trời của câc hănh tỉnh vă câc thiín thề khâc trong vũ trụ Lực hấp: dan do’
mặt trăng tâc đụng văo một vật trín mặt đất chỉ văo khoảng 10-Ĩ trọng lượng
_ tủa vật, lực hấp dẫn của mặt trời còn nhỏ bơn chừng hai lần, lực do câc thiín
thề khâc cịn nhỏ hơn nữa Nhưng lực năy tuy nhỏ, nhưng không thĩ bo qua trong
việc tính tôn chuyền động của tín lửa của tău vũ trụ Vậy, nói cho thực đúng,
không thŠ đựa văo trạng thâi đứng yín hoặc chuyển động thẳng đều của một vật
—————_
®' Tất nhiín chỉ có thề xĩ; đến phần vũ trụ mă ngăy nay khoa hẹc đê biết den:
23
Dấu hiệu thứ bai đề nhận biết một hệ quy chiếu quân tính lă trạng thal - đứng yín hay chuyền động thẳng đều của một vật, khi khơng có ngoại lực tac dung =
Trang 24
PT NTR reg = eR eee wT EG TT,
đổi với hệ Cơpecníc đề kết luận rằng hệ Côpecnic lă một hệ quy chiếu quản tính :
Tuy nhiín, khi nghiín cứu chuyển động của một vật trín trâi đất, ta có thầ bộ - qua lực hấp dẫn do câc thiín thể (kŠ cả mặt trời, mặt trăng) tâc dụng văo vật, so: _với trọng lượng của vật Khi trọng lượng của vật vă phản lực của mặt phẳng: `
đặt cđn bằng với nhau, chúng ta thấy đúng lă vật chi co thd đứng yín hoặc chuyín
động thẳng đều trín mặt phẳng ấy Từ đó, trong phạm vi gần đúng níu trín, có thề coi hệ Cơpecnic lă hệ quy chiếu quản tính Si ỐC sẽ
4 Hệ quy chiếu trâi đất - oe
Hệ quy chiếu Côpecnic chỉ thuận tiện cho việc nghiín cứu chuyền động của | thiín thể, hoặc của con tău vũ trụ, mă khơng thích hợp cho việc nghiín cứu cae
chuyĩn động trín trâi đất Đối với những chuyền động năy, thông thường người,
_ ‡a dùng một hệ quy chiếu gắn với trâi đêi, Chủng ta hêy xem một hệ quy chiếu gắn với trải đêi trong chừng mực năo thì có thể được coi lă hệ quy chiếu
quản tính cu VẤN
Trước hết, ta xĩt một hệ quy chiếu không quay, mă chỉ chuyển động lịnh - - tiến đối với hệ Côpecnie Hệ quy chiếu năy có gốc lă tđm trâi đất vă có ba trục tọa độ hướng tới ba ngôi sao cố định, vă được gọi lă hệ quả đất không quay, Hệ - ° quả đất không quay như vậy, chỉ tham gia văo chuyền động tịnh tiến của trâi đất, °| quanh mặt trời, chuyển động tịnh tiến năy gần đúng lă chuyền động tròn với bân -
kinh lỗ 108km từ trâi đất đến mặt trời với vận tốc chừng 30km/s, gỉ”a tốc của.” trai d&t sĩ lă:
: 3
v2 30? _ |
= = py km/s = 6 10-F km ]s? = 0,6 km/s? R 15.10Ẻ ;
chưa bằng 1/1000 gia tốc trong chuyền động rơi tự do trín mặt đêi vì vậy có thệ ˆ bỏ qua trong nhiều thí nghiệm, nhiều băi tính cơ học Vậy khi thời gian chuyền- -
động của uậi, không quâ ải giờ, chuyền động tịnh tiến của trâi đất quanh mặt
trời có thề coi lă chuyển động thẳng đều, vă hệ quy chiến quả đất không quay o& ”
thể coi lă hệ quy chiếu quân tính -” cự woes
Ta lại xĩt một hệ quy chiếu cùng quay với trải đất Hệ quy chiến năy có” ?-
gốc lă một điềm cố định trín trâi đất, có ba trục tọa độ hướng tới ba điềm cố định- trín trâi đất, vă được gọi lă hệ quả đất quay Hệ quy chiếu năy lă hệ quy chiếu: : : biín thường dùng hăng ngăy; hệ quy chiếu phịng thí nghiệm chính lă một hệ quy chiếu
-l@ại năy, Hệ quy chiếu quả đất quay vừa tham gia chuyền động tịnh tiến của tral đất quanh mặt trời, vừa tham gia chuyền động tự quay ngăy — đím của trâi đất
quanh trục của nó Gia (ốc trong chuyển động tự quay của mỗi điềm trín mặt đất ˆ
taay đỏi theo vĩ độ của điểm-ấy Ở xích đạo gia tốc hướng tđm của một điềm trín =-
mặt đất lă : 3 sự
86 400
tức lă lớn hơn gần 6 lần gia lốc hướng lđm trong chuyển động quanh mặt trời ` - vă đỗ dăng phât hiện được bằng thực nghiệm, Gia lốc năy vă gia tốc Côriôi đo - - nó sinh ra (sẽ xĩt đến trong chương 5) không thể bỏ qua trong những chuyền động _
trín một quêng đường đăi (chẳng hạn chuyền động của đạn phâo tầm xa), hoặc kĩo
dăi nhiều giờ (chẳng hạn chuyền động của con lắc Pucô) Trong những chuyền `
ư
: 2
a= oR = 6,4, 108, Í ) ~ 3,4cem/s*
động thông thường, khi niă gia lốc cỡ 3;‡ cmỊs? cỏ thề bỏ qua được thì có th8 cej a hệ- quy chiếu quả đất quay ciing gin ding lă một hệ quy chiếu quân tỉnh,
on “
Trang 25
§3 Định luật Niuton ther hai
Định luật Niton thw hai mơ tƠ tâc dung của lực lín chuyền động của vat,
Băi tỉnh được xĩt trong hệ quy chiếu quân tính
1 Lực vă gìa tốc
bi chịu tac dung của ngoại lực, chuyền động của vật thay đổi, nói câch | khâc vật nhận một gia lốc
- Ta hêy xĩt xem gia tốc thay đồi như thế năo đưới tâc dụng của câc ngoại oe "
lực khâc nhau -
Hêy theo đổi chuyền động của một chiếc xe con trín một đường ray có ma sât bĩ (hình 2.2), Câc quả cđn trọng lượng P tâc dụng lín xe một lực E Thực nghiệm cho biết quêng đường mă chiếc xe đi được tỷ lệ với bình phương thời gian
chuyền động : mos
= —al? 2.1
s= 58 (2.1)
"Như vậy chuyền động của xe lă nhanh dần đều với gia tốc không đồi :a.- :ˆ-
' Bo s vat ta tinh được gia tốc a = 3 Lực F tâc dụng lín xe đo được bằng lực co
kế Thay đồi lực kĩo E bằng câch dùng những quả cđn có trọng lượng P khâc
nhau, tâc đụng những lực E khâc nhau văo xe: Ti
Thí nghiệm cho biết dưới tâc dung của một lực E xâc định, mặc di xe chuyền động nhanh dần, gia tốc a mă xe thu được lă không đồi, không.tùy thuộc văo vận tốc của xe Khi hrc F ting, gia tốc a cũng tăng tỷ lệ với lực tâc dụng To
‘a= xF _ 2.2)
Thí nghiệm sau đđy còn cho biết rõ hơn rằng khi lực tâc dụng thay đồi theo thời gian thì gia tốc mă vật thu được cũng tức thời biến đôi theo lực tâc đụng
| pao x TN- ay = _ tị — đâ Hình 2.2 Hình 2.3
, Treo một vật nặng đưới một lò xo xoắn (hình 2.3) trong trạng thâi cđn bằng, lò xo bị biến dạng đăi thím 1 đoạn AI, sao cho lực đăn hồi F, =k Al, ma
lò xo tâc đụng văo vật cđn bằng với trọng lượng p của vật (P =— F) Kĩo dăi
Trang 26SO RE SORT EE i vo
thím lỏ xo khỏi vị trí cĐn bằng một đoạn x„ theo phương trực x rồi tha te đo, vật - : nặng sẽ thực hiện chuyền động đao động Phương trình chuyền động của vật nặng lă -
Loe
X = X,coset (2.3)
Kết quả năy có thề được kiểm tra bằng thực nghiệm
Xâc định gia tốc vă lực tâc dụng lín vật lúc t Lúc t gia tốc cửa vật lă : đ?x a Eg at coset G4 7 | _ đt
Lúc.t lò xo dẫn (hoặc œ) so với lúc cđn bằng một đoạn x độ đẫn ting cong „in
của lò xo sẽ lă Al-Ƒx Tồng hop lực FE tâc dụng lín vật gồm lục đăn hồi “
F,=k(x + Al.) vă trọng lượng P của vật
= P + F,;
_F=P—F,=P— k(x + Al,) = — kx tă
F=_—kx,€@otL ˆ (2.5) So sanh ting hop lực tâc dụng lín vật lúc t theo (2.ð): với gia tốc mă vat, _ thu được lúc t (theo 2.4), chúng ta thấy : :
œ2 a= —
k
k vă ¡ lă những số đương nín hệ số tỷ lệ ⁄ cũng lă một số đương Theo (2.6)"
gia lốc mă một uật thu được tại từng thời điềm ty lĩ ouới lực tâc dụng lín vat’ ¬
lại chỉnh thời điềm dy š
2 Khối lượng
ˆ Lặp lại thí nghiệm trín bình (2.2) nhưng tăng đần lượng vật đặt lín xe, sẽ -
Thí nghiệm chứng tỏ rằng dưới tâc dụng của cùng một lực kĩo gia tốc xe thu được
giảm khi tăng hrợng vat Như vậy gia tốc mă một vật thu được đưới tâc dụnổ ˆ
của một lực không những phụ thuộc văo độ lớn của lực tâc đụng mă còn phụ thuộc 2
văo một đặc trưng vật lý năo đấy của vật được gia tốc
Dưới tâc dụng của một lực không đồi, vật thu được gia tốc không đồi a,vận =|
tốc của vậi tăng dần vă đạt đến vận tốc v sau khoảng thời gian t— ~~ Noi cach | a * a fe tă
khâc, vật không tức thời dat dĩn van tĩc v ma phải lừ từ thay đồi vận tốc Đặc one : trưng vật lý đo của câc vật thể được gọi lă !ính ÿ (không chịu thay đồi) hay quản
lính Trong thí nghiệm trín đđy khi tăng lượng vật, gia tốc vật thu được giảm, — _ khoảng thời gian t vật đạt đến vận tốc v căng lớn, tức lă vật có quân tính lớn Như, ` `
vậy quân tính của hệ vật tăng theo lượng vật Đặc trưng quân tỉnh của câc vật thể - bs được đo bằng đại lượng vậi lý gọi lă khối lượng m của vật Gia tốc mẻ bật thu được cảng bâ khi khối lượng m của oật căng lớn ¬
Đối với câc vật khâc nhau, hệ số tỷ lệ x trong công thức (2.2) lă khâc nhan ` tỷ lệ ngược với khối lượng của vật: " su
Trang 27
TE
z lă một hằng số đối với mọi vật
Giâ trị của « tùy thuộc văo đơn vị đùng đề đo lực F, gi đơn vi đùng đề đo khối lượng của vat
Gia tốc a lă một đại lượng vectơ Thực nghiệm cho thấy vectơ gia tốc a“
cùng hướng với lực tâc dụng F Như vậy theo (2.7) khối lượng lă một đại lượngvô -
hướng Cơng thức (2.7) có thề viết đầy đủ hơn dưới dang
¬
em ,
a=
Theo công ước quốc tế, người ta thừa nhận đơn v‡ khối lượng lă khối lượng
của chuẩn quốc iế về khối lượng Đơn vị khối lượng ấy lă kilôgam (viết tắt lă kg) _ Trong hệ đơn vị đo lường hợp phâp của nước ta kilôgam (kg) cũng được thừa os
nhận lă đơn vị khối lượng
'Biết đơn vị khối lượng, về ngun tắc có thề xâc định được khối lượng của _
một vật bất kỳ, bằng câch so sảnh gia tốc mă vậi ấy thu được với gia tốc mă vat
chuần thu được đưới tâc dụng của cùng một lực Thật vậy, gọi ac vă a tương ứng
lă gia tốc của vật chuần vă gia tốc mă vậi cần xâc định khối lượng thu được dưở tâc đụng của cùng một lực E theo (2.7) 1 : ae = a lkg a= F (210) + z * m
Chia về với vế (2.9) cho (2.10)
2c _™ hay m== kg nóc (2.1) |
a ikg a
Khối lượng xâc định theo gia tốc mă vật thu được dưới tac dụng của một
lực lă khối hrợng quân lính Khối lượng quản tính ă một đại lượng động lực học tin
đặc trưng cho kha năng thu gia tốc cua vat Thong thường đề ngắn gọn hơn (thay cho khối lượng quân tính) người ta chỉ cần gọi lă khối lượng Theo quan điềm cơ
học cô điền, vận lốc có giâ trị tương đối tùy thuộc hệ quy chiếu song vì khơng gian vă, “ 8 g¢ g
thời gian lă tuyệt đối nín gia tốc cũng trở thănh tuyệt đối không tùy thuộc hệ quy chiếu: Vì vậy, theo (2.21) khối lượng cũng lă một đại lượng tuyệt đối không tùy '
thuộc văo hệ quy chiếu Nghiín cứu chính xâc câc hiện tượng cơ học, người ta nhận
thấy chỉ khi vật chuyín động với vận tốc v nhỏ so với vận tốc ânh sâng trong chđn -` khơng?), thì kbối lượng của câc vậi thề lă một đại lượng không đồi Tuy nhiín
khi vật chuyền động với vận tốc rất lớn, so sânh được với vận tốc ânh sâng (như "
trường hợp chuyền động nhanh của câc hạt lĩnh điện dưới tâc dụng của trường điện từ) thì khối lượng của vật trở nín phụ thuộc văo vận lốc :
S
m= V 1 ———— ve c2
LL ‘
(*) Vận tốc ânh sâng trong chđn không lă 300.000 km/s
Trang 28bệ 2220207 By wee SBR meres: 0 nvemvrier erraerermmxrrrrrerrrree—rrrrxe che vn
th, lă khối lượng của vật khi vận tốc bằng không vă được gọi lă khối ˆ
- lượng nghỉ : SO
Kĩt qua (2.12) đê được xâc nhận bằng thực nghiệm với hạt tích điện chuyển động nhanh cũng như bằng nhiều số liệu thực nghiệm khâc Do khối lượng tùy - “
thuộc văo vận tốc, nín đối với câc hệ quụ chiếu khâc nhau giâ trị căng khâc nhau
Trong câc chuyền động cơ học thường gặp trong kỹ thuật thì v < c Vi vậy - sự
theo (2.12), với mức độ chính xâc rất cao co thd xem khĩi lượng lă không đôi vă
bằng mụ Như vậy khâi niệm khối lượng lă tuyệt đối không tùy thuộc hệ quy chiếu
chỉ lă mội khâi niệm gần dung
3 Dinh luật Niutơn thứ hai, na :
Kết quả thu được ở (2.8) chính lă nội dung định luật Ninton thy hai, |
Gia tốc mă một vật thu được đưới lâc dụng của một lực, tỷ lệ với lực tâc:
'dụng vă tỷ lệ ngược với khối lượng của vật
a= -L,-Í hay F =ema, (2.13) °°
m
œ
Trị số của ø tùy thuộc văo đơn vị dùng đề đo khối lượng, gia tốc vă lực ˆ.,:
, Trong hệ đơn vị hợp phâp, đơn vị gia lốc lă m/s° đơn vị khối lượng lă kg ˆ - _ hệ số z nhận gia tri lă 1 Công thức (2.13) nhận dạng; - eS
F—ma (214)
Theo (2.14) lực lă một đại lượng dẫn xuất, đơn vị đo lực lă Niutợn Nuiơn lă -.: -
lực truyền cao vật có khấi lượng 1kg, gia tốc Im/s? Niuton được ký hiệu lă N Thứ nguyín của đại lượng lực lă
văi
[F] =[m][a] =M.L.T-2, - (I8, Ẻ
Ngoăi đơn vị Niutơn, trong câc sâch xuất bản từ trước, ta thấy có đơn vị lă a
‘lye 1a kildgam lye (kG) Mot kilĩgam hee (kG) bing 9,8 Niuiơn, câi
- Nếu dùng đơn vị lực lă kG, đơn: vị khối lượng lă kø còn đơn vị gia lốc lă: -
m/s* thi có thể xâc định hệ số « trong cơng thức (2.13) như sau :_ -
1 Niuton = 1 kg 1 m/s? -L_RG =a.lkg, m/s? 9,81 1 %=-———- ¬¬ 9,81 Cơng thức (2.13) có dang Sử F(KG) = roe m(kg) a(ins*) 16) : -
4 Dạng khâi quât định luật thứ hai của Niutơn `
Trong trường hợp tồng quâi, khối lượng thay đôi theo vận tốc Dưởi tâc - dụng của một ngoại lực, không những vận tốc cỏa chất điềm thay đôi, mă đo vận ' -
tốc thay đồi nín khối lượng cũng thay đồi, trạng Lhâi chuyền động của chất điểm -
thay đồi, Đề đặc trưng cho trạng thâi chuyền động cơ học trong trường hẹp năy người ta dùng đại lượng «động lượng » (gọi lă xung lượng), Động lượng của một | vật chuyền động tịnh tiến lă một đại lượng 0ectơ v2 sĩ tri bang lich số của khối :
lượng oới uận tốc, có phương uă chiều trùng uởi phương 0ă chiều của van lốc,
28
Trang 29
ee cn pee RR Re eer pm TO Sm
Nĩu goi P la dĩng iong ctia mdt vai co khối lượng m chuyển động lịnh liến với
_vận tốc v thì: ,
vă P=mv l (2.17)
Bon vi dong lượng không có tín gọi riíng Trong hệ đơn vị hợp phâp, đem `
vị của động lượng lă kilôgam mĩt/giđy (ký hiệu kg.m/s) Thứ nguyín của động
lượng lă: ˆ [P) =[m][v]=M.L.T"! đưới dạng: 1 v2 Ge 2
Khi v<c, ~~ — 0 động lượng rút lại thănh:
e
P = mv (2.19)
Lấy đạo hăm hai vế (2.19) vă chủ ý răng theo định luật thứ hai của Niutơn
muộn = moa = F ching ta thu được p Oo
oP =F dt (229)
Theo (2.90) Đạo hăm của động lượng bang vĩ dĩ lĩn va cing hudng uởi
luc ide dung ; ¬
Như vậy, sử đụng khâi niệm động lượng có thề phải biểu định luật thứ bai của Niutơn đưới đạng khâi quât như sau: Độ biến thiín của động lượng trong một đơn 0ị thời gian !ÿ lệ oới lực tâc dụng va cing hướng 0ới lực -
Chúng ta đê suy ra (2.20) từ (2.14) trong trường hợp riíng khi vận lốc của' vật rất nhỏ so với vận tốc ânh sâng (v < ©c) Ở đđy, mặc dù chủng ta không suy
luận chặt chế, song cũng nhấn mạnh thím rằng biểu thức (2:20) có ý nghĩa khâi quât vă đúng với mọi vận lốc,
Trong trường hợp tổng quât, biểu thức (2.20) có đạng:
d vo ‘
F = — oo (2.20 ,
dt (™ V v2 ` 20),
l—+%z Cc
Biều thức (2.20) rõ răng lă phức tạp vă (2.14) chỉ lă một trường hợp riíng,
Đề minh họa sự khúc biệt giữa (2.20) vă (2.14) chúng ta xĩt hai trường hợp riíng
sau day
Vv
không đồi Bđy giờ có thể viết (2.20) dưới dang
t dv: m, v2 dt V 1-3 =F,
Chú ÿ đến sự thay đồi của khối lượng theo vận lốc (2.12), có thề viết (2.17)
p= _ (2.18) - % 2 a ‘ ee uk ar uA a oa “ -
Khi vật chuyển động với vận (ốc không đồi to lă một đại lượng
Trang 30SREY ee seer rene cơn D09/18ả ainc on dua non dan aR eS - g§ 22 98 khac với tỷ số
_` Módun của v khơng đổi nín as = an la gia tốc phâp luyến, lực Í có hưởng ;
của gia tốc au, nghia la F = Fa or
m 1
a v2 ay = Bee (BY
ar
Khi vật chuyền động thẳng không tần chú ý đến hướng của vận lốc, có thể ˆ
viết (2.20) dưới dạng a
PT âm ¡v92 đổ 7
V'-5 ('—5)
Vận tốc v thay đôi giâ trị nhưng khơng đổi hưởng nín a= a: lă gia tốc tiếp tuyến, lực có hướng của gia tốc tiếp tuyến, nghĩa lă E — Ea ‘
( _— 377 at = PF, | ; (2.22) = :
c?
Mối liín hệ giữa lực vă gia lốc theo (2.22) khâc với theo (2.21) cũng như, ~
khâc với (2.14), mặc dù trong trường hợp riíng khi ve (2.22) va (2,21) du
chuyền thănh (2.14) "
Trong trường hợp tổng quât khi a, vă a, đều không theo (2.21) va (2.22), tỉ
Fy
ar t
gia tốc không nhất thiết cùng hướng oới lực tâc dụng
Thực nghiệm với câc hạt chuyền động nhanh như chuyển động của câc hạt
tích điện trong trường điện lừ mạnh, xâc nhận sự đúng đắn của (2.20), tuy vậy trong câc chuyền động cơ học thường gặp với v < c (2.20) chuyền thănh (2.14), nín
trong nhiều trường hợp thực tế có thĩ âp dụng công thức (2.14) Vì vậy, cơng thức -
ấy còn được gọi lă công thức cơ bản của động lực học ế
§4 Dinh luat Niutơn thứ ba c
Trín đđy chúng ta chỉ mới xĩt đến mối liín hệ giữa lực tâc dụng vă gia tc
nă vật chịu tâc dụng thu được Trong thực tế, mọi sự thay đồi trạng thải chuyền-
động trong câc hệ quy chiếu quẩn tính đều xảy ra do kết quả tương tâc giữa câc ˆ
- vật Định luật thứ ba của Niutơn xĩt đến sự tương tâc giữa câc vật, được phât
biều như sau:
Tâc dụng luôn luôn bằng oă ngược hướng uới phần tâc dụng Nói câch - ˆ
khâc: lực lương tâc mă hai oật chịu bằng nhau oề độ lớn bă ngược hướng nhau,
- Như vậy, theo định luật thứ ba của Ñiuiơn, nến vật B chịu tâc dung tir vaj
Ă lực Fap thì vật B cũng tâc đụng lín vật A lực Epa Hai lực Fap va Fea ma hai |
vật B vă A chịu, bằng nhau về độ lớn nhưng ngược hướng, nghĩa lă _
Fan = — ba
Hiền nhiín rằng lín goi «tac dung» vA «phan tac đụng » chỉ có tính chất
quy ước, mă khơng hề có sự phđn biệt có tính chất ngun tắc năo giữa chúng.Nếu ˆ
j0 ›
Trang 31
` “tr a TS ee > Pete yo ames ` EU Q
He dung 1a hire biĩn dang, thi phan tac dụng cũng lă lực biến dạng Ñếu lâc dụng - lă lực hấp đẫn thì phản tâc dụng cũng lă lực hấp dẫn, -
Định luật thứ ba không chứa đại lượng năo mới, vì vậy vấn đề chỉ cịn lă sói kiềm tra lại trực tiếp bằng thực nghiệm
Thông qua lò xo A ta kĩo một chiếc xe có gắn lị xo B (hình 2.4) Dễ dang nhận thấy, lực Fan tâc dụng lín lò xo B lă bằng vă ngược hướng với lực Fpa ma lò xo B túc dung lín lị xo A “
Thực nghiệm xâc nhận đầy đủ sự đúng đắn của định luật Niuton thw ba,
' đặc biệt lă với câc tương tâc tiếp cận Trong câc tương tâc mă hai vật không tiếp
: thâi đứng yín, hay chuyển động thẳng đều Tuy nhiín do tính chất quan trọng của cận, tương tâc khơng thí xảy ra tức thời vì vậy tại mội thời điềm bất kỳ lực Fan có thể không bằng đúng — Fsa tuy nhiín trong trạng thâi cđn bằng cuối cùng EAp
bằng — Fba ` :
00/6 (Gặ 7777772017777 VEIT PELL EELS
Bình 2.4
Định luật thứ hai cùng với định luật thứ ba của Niulơn lă những định luật động lực học cơ bản Định luật thứ nhất của NÑiutơn có thề xem lă trường hợp riíng của định luật thử bai, thực vậy theo định luật thứ hai của Niutơn nếu lực tâc
dụng lín vật bằng khơng, thì gia tốc thu được cũng bằng không, tức lă vật ở trạng
trường hợp đặc biệt năy, mă Niuton xem nó như một định luật riíng biệt dụng khi biết chuyền động của chât điềm
Sau đđy chúng ta sử dụng câc định luật cơ bản của động lực học đí giải mội -
văi băi loân thường gặp trong khoa học vă kỹ thuậi Trong động lực học có hai
loại băi tôn sau đđy:
Băi toân thứ nhất cịn gọi lă băi tôn thuận của động lực học, có nội dung cơ bẵn lă: biết chuyển động của chất điềm, xâc định lực tâc dụng gđy ra chuyền
động ấy c a
Băi toân thử hai còn gọi lă băi toân ngược của động lục học, có nội dung
cơ bản lă: biết câc lực lâc đụng lín chất điềm vă những điều kiện ban đầu của
chuyÍn động, xâc định chuyền động của chất điềm ot
Trong chương năy, khi giải minh họa hai loại băi toân cơ bản năy, chúng la xĩt những chất điểm chuyển động với vận tốc v < c nghĩa lă xĩt những băi tôn
(khơng tương đối tính) trong khn khồ cô điền —
ĐỀ giải loại băi toân thứ nhất, cần xâc định gia tốc của chất điểm, sau đó xâc định lực tâc dụng lín chất điềm theo định luật Niutơn thứ hai dưới dạng (2.14) -
Thí dụ 1: Kĩo một vật nặng khối lượng m lín cao nhanh đần với gia tốc a
Xâc định lực kĩo (hình 2.5) Lực tâc dụng lín vật nặng gồm lực kĩo Fy va trong
lượng vật P = mẹ uo
3Ÿ 7
$5 Băi toân thứ nhất của động lực học : xâc định lực tâc:
Trang 32
TT ANE REET 22 HT" 1K —- So ary eR or Theo định luật thir hai cha Niutoti
_ Hai lực E¿ vă P ngược hướng nín có thể viết | E — mg — ma
F, = m(g + a)
Lực kĩo F rõ răng phải lớn hơn trọng lượng vật P " ek Thí dụ 2: Một người thợ sơn khối lượng M, ngồi trong một ghế treo Khai lượng m ĐỀ lín cao nhanh với gia tốc a, anh ta kĩo dậy với lực kĩo F Xâc định hye kĩo Fy va trong tải F, tâc dụng lín móc treo (hỉnh 2.6) No,
xy
P=ng
Hình 2.5 - : Hình 26
Người thợ sơn kĩo dđy bằng lực kĩo — Fx theo định luật thứ ba của Niutơn
dđy tâc dụng văo người thợ sơn luc Fy Thĩng qua rong roc, day thir hai cũng “ kĩo ghế treo với lực E„ Nhu vay theo định luật thứ hai của Niutơn:
2F¿ + (M + m)g = (M + m)a Lực Ey vă (M + m)g ngược hướng nín có thể viết
| 2+ — (M -† m)g = (M + m)a
Pe OH +m) (SES) a= OEM (1+ 2) - " ụ
Lực kĩo Fx chỉ cần lớn hơn một nửa trọng lượng của người vă ghế cling để đề đưa người vă ghế lín cao Tuy vậy muốn tín nhanh, tức lă muốn gia tốc av
căng lớn, lực kĩo căng cần phải lớn Ti
—— Trọng tải mă móc treo phải chịu lă:
F¡ =2Fš =(M + m)g (i+ +)
Trang 33
R6 rang lă tấi trọng lớn hơn trọng lượng của người vă ghế -
Thí dụ 3: Một ôtô trọng lượng ‘P qua
cầu cong bản kính R, với vận {ốc v, xâc định âp hực mă ôtô tâc dụng lín cầu (hình 2.7) lín ôtô gồm phản lực phâp tuyến N cha mit gồm 2 thănh phần P; vă Pa:
P, =Psine tao ra gia tốc tiếp tuyếp'
“ của ôtô le
/ P, = Pcosz góp phần tạo ra gia tốc phâp tuyến
Hình 27 Theo định luật thứ hat của Niuton
vì bot igh
P C0s& —~N=m— i
= mg (co a $% — —— aR ) - ,
Ap lực mă ôtô tâc dụng lín cầu về số trị bằng phản lực phâp tuyến N; luôn
luôn nhỏ hơn trẹng lượng ôtô P = mg vă tùy thuộc văo vận tốc chuyển động
của Ơtơ
_ Phần lực phâp tuyến NĐ sĩ lă
N=Pcox.-
"
Thí dụ 4: Một săng than nằm ngang chuyín động dao động theo: phương thẳng đứng với phương trình chuyền động
Z = Z,coset
Xâc dinh phah lc ma mat sang tâc dụng lín mảnh than, có bao giờ mảnh than rời khỏi mặt săng khơng ? (hình 2.8) _
Bỏ qua lực ma sât, câc lực tâc dụng, lín mảnh than
gồm trọng lượng mảnh than P, phan luc ctia mat sang lĩn ©
mảnh than N
Ýp
Giả sử mảnh than nằm trín săng than, thănh phần theo
OZ của gia tốc của mảnh than lă: Hình 2.8
đẺz 2
a, = = — WZ, coset, dt?
Theo định luật thứ hai của Niutơn
N + P = ma,
N vă P ngược hướng nền có thể viết
N — P= ma; = — mo’z, cosut
Phan lye ma săng than đặt lín mảnh than lă:
_— *z,cos(wt) )
8
Giâ trị phần lực luôn luôn thay đôi theo thời gian Mảnh than có thể rời khỏi mặt săng khi phản lực Ñ nhận giâ trị không:
N <0 —-2z,cosut > g >a >g
N=P— mw?z,cosat = mg (1
3~418 Ạ 838
Khơng tính đến lực ma sât, câc lực tâc dụng ,
cầu, trọng lượng P của ôtô Trọng lượng P
Trang 34` EY TSE IRE Ror rm ae SC ET TREE nee „
Biều kiện trín bó thí xđy ra khi:
©Ỉ2, >8
ryt Ve “ etios VE
Như vậy, với tần số đao động của săng than lă œ > œ„ = ye có lúc
săng than chuy&n dĩng voi gia tốc a >g mảnh than rời khỏi săng than, mặc cho " :
săng than chuyền động nhanh hơn ở phía trước Khi săng than chuyền động ngược `" :
lại, mảnh than lại va văo săng (han
Š 66, Băi toân thứ hai của động lực học xâc định chuyền dong oo
khi biết lực tac dụng
Đề giải câc băi toân loại thứ hai năy cần xâc định cụ thể lực tâc dụng lín -
- từng chất điềm, sau đọ xâc định gia tốc mă chất điềm thu được, Nếu biết vận tốc - vă vị trí ban đầu của chất điềm thì có thể xâc định được hăm vận tốc vă tọa độ cố
.theơ thời gian, nghĩa lă xâc định được phương trình chuyển động cũng như phương - 4mlnh quỹ đạo của chất điềm
lượng day nối không đâng kề,
Ninh 2.0
kĩo xe mị lă E, lực mă sợi day kĩo trong vat la — F, Đối với trọng vật P, chúng ta có phương trình ;
ma —=P— F,
Gọi Eì lă: lực căng của, 1 day nối giữa xe con mị vă xe con mạ, Như vậy đối
với xe mi:
mia — F _— Fy,
Đối với xe mạ
mea = Fi,
Ching ta đê thu được phương trình chuyển động đối với từng vật Tuy nhiín "
vì sợi đđy không co dần, có thí khảo sâải chuyển động của hệ 3 vật như một thĩ :
thống nhất, chúng ta.có ngay phương trình chuyền động;
—— mg m m+ m+ m, a= Thí dụ 1: Một hệ chuyền ; động : gồm hai xe con khối lượng My wage
Xâc định chuyền động của hệ dưới tig `”: dụng của trọng lượng P = me (hình, 2B) 5 |
Hệ chuyền động không co ma sat, Khoi
Gọi F 1a lực căng của đđy nối oie
trong val va xe con m1 Lực e mă sợi dđy “uy
Trang 35
ẹ Cũng cớ thề thu được kết quả năy bằng câch cổng vế với vẽ Sota b ba phương
trình chuyển động đối với từng vat
ban đầu lă s,, van (6c ban đầu vo, chúng ta thu được phường: trình chuyền động -
_ đạng: | " |
§ =8; + vạ‡+ Sat
Thí dụ 2: Một hệ gồm ba vat khối lượng r mi, m2 va
mạ, treo trín câc sợi đđy không co đẩn vắt qua câc rịng rọc như trín hình (2.10) Khối lượng day va rong roc khong
dang kề Xâc định gia tốc của mỗi vật, 7
_ Gọi sức căng của sợi dđy lần lượt lă F¡, F27Fs vă ` ay, a2, as la gia tốc của câc vậi Âp dụng công thức cơ bản, (2.14) cho ba vật chúng ta thu được ba phương trình sau:
Bay giờ chúng ta xĩt đến mối liín hệ giữa ai, a„ vă a;#Gọi lạ vă lạ lă
chiều đăi đđy vắt qua ròng rọc I vă ròng rọc 2 Chúng ta thu được:
Xị ot x, + mr=Ì
(x, —x,) + (xs — x) + ar = I
| Kết hợp hai phương trình trín ta có:
1 na
Vi phđn 2 lần phương trình trín ta có:
dˆxi đˆx¿ đ?x
2 Xs —_
at + a tat =O ¬ es ‘4 (6)
Từ câc phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), có thể xâc định đ
~ 86 la a1, a2, a3, Fi, Fe, F3 (8) e dinh droc 6 &n Lấy (1) trừ (2) vă (3) chúng ta thu được:
đ?xị “m d2x, dPxs
Chuyền động của hệ lă nhanh dan đều với gia tốc a Quy ước gọi tọa độ -
- c / - đầy _
mụai = mị a mig — F; (1)
dx, _—- a
THy82 = mạ 1 = = mạg — Fa (2)
SỐ 3 mya, 3A3 =4 2 =mg—Ea = Oxy) -F - £3) 43) Bik: xo
Rịng rọc khơng có khối lượng, đđy căng không co din nín đễ đăng Yhấy rings |
Fạ= Fs (4)
Fi=F,4+F,; (5)
a ae a = (m4 meg 6)
Lấy (2) trừ (3) chúng ta thu được |
Trang 36HOROR EY mgr res COREE re ne aa — ao = d?x, — (mim¿ — 3mm; + 4m;m;)g TỶ (10) at? 4mzm; -} m¡(m; + m;) co
Thay (1U) văo (9) văo (6) chúng ta tìm được:
a, = d? x," _ _m,(m, + mạ) — 4mym3 ` aly
“gia tấc, Trong ba nay chúng ta quy ước xem hưởng dương hướng từ trín tuống
a e
k > 0 nĩn co thề đặt k = + mk? do do F, = mk?v
Gill hệ 3 phương trình đ), (7), (8) chủng ta tìm được
d2; - _ (mymạ — 3mm; + 4m¿m;)g'
dt? 4m2m; + m;(m; + ma)
Thay (® văo (8) chúng ta tìm được:
dt? 4mm; + m;(m; + mạ)
hi giải, câc băi tính tương tự như băi năy cần chủ ý đến đấu của lực vă:
đưới Huong thực của gia tốc tùy thuộc,
văo dấu của ay, 42,- a3 thu được & (9),
(10) va (11)
Thí dụ 3 Một vật nặng trọng lượng
P = mg được nĩm lín cao với vận tốc ban 7 đầu Vạ lăm với phương nằm ngang một góc nS
a Xâc định phương trình chuyền động của -
vat Xem lực cẩn của khơng khí lă tỷ lỆ- vă ngược hướng với vận tốc F = — Ke (hinh 2.11)
Ta chọn hệ trục tọa độ vng” góc mă e
gốc tọa độ lă vi trí ban đầu của vật Vectơ vận tốc ban đầu V, nim trong mặt - ˆ”,
phẳng zox Nhu vậy tại thời điềm Đan
Bish 211 - du t= 0: ' Vox == V,cosw Voy = V, sina x,= 0 Z = Ú
Câc lực tâc dụng lín vậi gồm trong lượng P = mg lực cẩn B, = — kv vi ©
Gọi a lă gia tốc của vật theo định luật thứ hai của Niutơn ta có:
ma = F; + P —Mg — mkšy, a
Phương trinb vecto (1) tương đương với hệ 2 phương trình : ¬
dvx _
a, =m = mk? 2)
mas dt ự : @)
dv —_ ‘ c2 ân
Tích phđn phương trinh (2)
Trang 37‘“
ĂA lă một hằng số tích phđn Dùng điều kiện ban đầu ver = v,cosa ta xâc định được :
: In v,cose == InA
Thay (ð) văo (4) chúng ta thu được:
Vx == — k@t In — V ,COSe —k? Vr = — =Vv,cosa.e ~* t ° Tích phđn phương trình (6) ' dx = v,cosa ek at xX == Ỉ Vạt05đ e—*?tqt = _ — ew kt +B được B: 0= — -`sc9sz ae +B VạC0§% | OR
Thay (8) văo (7) ta thu được:
V,cOse — xz (—e kết —k2
x=
Bđy giờ ta tích phđn phương trình (3):
dv: = —~— (g + k?vz)dt == K + ve) kiât,
dv: = - k?dt
In (: + i) = — k‡t + InE
Cla một hằng số tích phđn xâc định được từ điều kiện ban đầu vụ
In | vạsina + 8 e k? = mC ` Thay (11) văo (10) : vi+ = In x = — kÝt, ị _Í_ V sina + ke (8) @-
B lă một hằng số tích phđn Dùng điềa kiện ban đầu x, = 0 ta xâc định
Trang 38SE RR es, SREP RDS Te OEE TION RTE wo COREE RROT mer aE
đạo, Quỹ đạo lă một đường cong tiệm cận với một đường thẳng song: ‘song vớt
| xuyín tđm, tỷ lệ với khoảng câch tới tđm lực tâc dụng Thiết lập phương trình ˆ
_ phẳng xOy, tđm O đặt tại tđm hực lâc dụng Vị trí M của vật được xâc định bằng
name
_ eee oe we cố Me Er = (v,sins tủ) 8 \e—k? LỘ ¬ có ha
_— đz oy g \ -xt _ 8" si nh, hố
Mi = a = (v.sin + f)e k2 " - (22) =
Tích phđn phương trình (12) một lần nữa ta được:
|#= [ft + nh — eo] (sine + =) e—kit z= (= k2) ~~ +D " (3,
Xuất phât từ điều kiện ban đầu z¿==0, ta xâc định được
_ Vạa8ine -Ƒ' ¬ | ẹ *
: D=—— ' 84)
Thay (14) văo (13) chúng ta thu được: :
(em) v,sine —— |
° 2 :
z= eo wi a — Âc - _đ8)
Hai phương trình (9) vă (15) lập thănh hệ phương trình chuyền động ' Từ hai phương trình (9) vă (15) có thề xâc định được phương trình quỷ Ỷ
trục z Thật vậy khi t —- eo thi theo (6), (9), (12):
vx —> 0 V,COSa k 8 vr — —, kẻ
Bđy giờ vật chuyền động với vận tốc gần như không đồi bằng — et theo - -
đường thẳng song song với trục oz, đường năy cắt trục ox tại vị trí |
_—_ VACO§& =:
` Thí dụ +: Một vật khối lượng m, chuyền động dưới tâc dụng của một lực 7
chuyền động vă phương trính quỹ đạo của vật TẢ
„ , Như sể chứng minh ở câc chương sau, theo định luật bảo toăn mômen động ˆ
tượng, quỹ đạo chuyền động lă phẳng Ta lấy mặt phẳng chuyền động lăm mặt -
bản kính vectơ OM — r (hình 2,12a) Lực tâc dụng xuyín tđm E được biều diễn:
dưới dạng
F = emk?r
== — 1 khi lực tâc đụng lă lực hút,
Trang 39
$
Đề đơn giẩn ta xem thời điềm ban đầu lă thời điềm nă vận tổế v„ vng
góc với bân kính veclơ r xâc định vị trí vật Như vậy lúc l—=Ú, f==rạ, V = Fo rọ | v„, chọn trục Ox hướng theo bân kính ro
Điều kiện ban đầu của băi tính sẽ lă: lúc t= 0
X,==Fo vox =O
Yor 0 Voy “= VY,
a) Trước hết chúng ta xĩt trường hợp lực tâc dụng lă lực hit F == — mk?r,
Theo định luật thứ hai của Niuton :
ma ==ink ?r :
a + k?r = Ú — q)
chiếu (1) lín hai trục tọa độ ta được -
ax kx = bay x +k?x = :
ay + ty = 0 hay y+ ey = (3)
Nhđn phương trình (2) với 2x La được: ¬
2x x -L 2k2xx — 0
ds
— 2 k?x2 =U
a PRO
x24 kx? = A, (4)
‘A ia mội hằng số tích phđn Từ câc điều kiện ban đầu x = Vor = Ova Xy == rạ la xâc định được Ă _
` kẩrẫ = - , (5)
_ Thay (5) văo (4) ta Lìm được x :
x? + k’x? = k?r? ya a yt (6) Tích phđn phương trình (6): dx = kVr? — x? dt [ nền =Í arccos += kt + B x=r “cos(kt + B) B=UƯ Như vậy , : xX =r, coskt., (7)
Giải phương trình (3) thco phương phâp tương tự chúng ta thư được:
y? + k?y? =C (8y
C lă một hằng số tích phđn Từ câc điều kiện ban đầu vay = vy, „vă yy =0
la xúc định được vs v2 =U (8) a , , ` 39 @-
Ï lă một bằng số tích phđn Từ điều kiện ban đầu x, =r,la tìm được |
Trang 40
TNS Te ee —eenteee —r
, Thay (9) văo (8) ta tìm được
y? + ky? = vệ dy v2 | re ¡ =ap =kT#Tn — Oy Tích phđn phương trình (10) | - | SE ay=t VE —ÿ# Vă#t-r arecos Ay =kt+D | v ° y= cos(kt + D)
D lă hằng số tích phđn Từ điều kiện !an đầu y, = 0 ta tim được D= = “3
Nhu vay - ho ‘ ¬ Y n = — cos [kt — y= at cos (kt +) hay y= 7 sin kt | ay ‘
Hệ phương trình (7) vă (11) chính lă hệ phương trinh chuyền động của vật -
Khử t khỏi hệ phương trình chuyền động (7) vă (11) ta thu được phương- ,
trình quÿ dao: l x? y? oy = + a = cos*kt + sin?kt =1 (12) S eR , TỐ :
(12) lă phương trình của một elip mă hai bân trục lă r, vă —®- (hình 12b) -
Vậy quỹ đạo chuyền động của vật lă một elip ¡nă câc bân trục tùy thuộc - câc điều kiện ban đầu rạ, v„ cũng như văo hệ số tỷ lệ k của lực hút cac
Trong trường hợp riíng v„ =— 0, vật thực hiện chuyền động theo trục Ox:-
x =r,coskt no
b) Trường hợp lực tâc đụng la lực đầy F = mk?r
Thay — k? = i2k?, F = mi?kr văo phương trình (1), ta được
ma = — mi*k?r ẽ ¬
a+ i2k?r — 0 _ (18) -
Giải phương trình (13) theo phương phâp giải phương trình (1) với câc điều -
kiện ban đầu t = Ú; x¿ —r,, y„ — Ú; v,=—U; V¿y —vạ, chúng ta thu được