Không gian vector

www.hoasen.edu.vn uu 1 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR www.hoasen.edu.vn uu 2 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 1.Định nghĩa không gian vector. Không gian vector con 2.Độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính 3.Hệ sinh, cơ sở, số chiều của không gian vector 4.Hạng của hệ các vector 5.Ma trận chuyển cơ sở Nội dung www.hoasen.edu.vn uu 3 Faculty of Science and Technology Linear Algebra V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 phép toán: 1. Phép cộng: u, v ϵ V, u + v ϵ V 2. Phép nhân vô hướng: u ϵ V, r ϵ R, ru ϵ V. 1. Định nghĩa không gian vector (vector space) www.hoasen.edu.vn uu 4 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: V được gọi là không gian vector trên trường số thực R nếu đối với 2 phép toán đó thỏa mãn các tiên đề: (a) u,v ϵ V: u + v = v + u (b) u,v, w ϵ V: (u + v) + w = u + (v + w) (c) 0 ϵ V: u + 0 = 0 + u = u, u ϵ V (d) u ϵ V, tồn tại vector đối -u ϵ V: u + ( - u) = 0 (e) r ϵ R, u,v ϵ V: r(u + v) = ru + rv (f) r, s ϵ R, u ϵ V: (r + s)u = ru + su (g) r, s ϵ R, u ϵ V: r(su) = rs(u) (h) 1 ϵ R, 1u = u , u ϵ V 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 5 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định lý: V là không gian vector, u ϵ V, r ϵ R: (a) 0u = 0 (b) r0 = 0 (c) (-1)u = - u (d) Nếu ru = 0 thì hoặc r = 0 hoặc u = 0 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 6 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: 1. Tập các số thực R với 2 phép toán cộng và nhân là không gian vector. 2. Tập R 2 = {(x,y): x, y ϵ R} với 2 phép toán cộng và nhân vô hướng (x,y) + (x’,y’) = (x + x’,y + y’) r(x,y) = (rx,ry) là không gian vector Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 7 Faculty of Science and Technology Linear Algebra  Tập các ma trận cấp m.n, kí hiệu M mn là một không gian vector. Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 8 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của một không gian vector V (trên trường số thực R) là một tập con W của V thỏa mãn các tính chất: (a) Nếu u ϵ W và v ϵ W thì u + v ϵ W (b) Nếu u ϵ W và r ϵ R thì ru ϵ W 1. Không gian vector con (subspace) www.hoasen.edu.vn uu 9 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Ví dụ: 1. Chứng minh tập W = {(x,0) ϵ R 2 } là không gian vector con của R 2 . 2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không gian vector con của các không gian tương ứng? 1. Không gian vector con (tt)   2 2 ( ) [ ]/ 0M x t at bt c P t a b c          2 ( , ) / 2 1W x y R x y      3 ( , , ) / 2 3 0U x y z R x y z     www.hoasen.edu.vn uu 10 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: V là không gian vector trên R. Cho các vector v 1 , v 2 , …,v n là n vector trong V. Vector bất kỳ v trong V có dạng v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + … + α n v n trong đó α i ϵ R, được gọi là tổ hợp tuyến tính (linear combination) của các vector v 1 , v 2 , …,v n 2. Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính [...]... Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector Định nghĩa: Hệ các vector {v1, v2, …, vn} gọi là hệ sinh của không gian vector V nếu  x ϵ V: 26 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 27 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 28... và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 29 www.hoasen.edu.vn Trong không gian Rn, cơ sở S0 = {e1, e2, …, en} với e1 = (1,0,0,…,0) e2 = (0,1,0,…,0) … en = (0,0,0,…,1) thì S0 được gọi là cơ sở chính tắc uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) Định nghĩa: Hệ vector S = {e1, e2, …, en} trong không gian vector V được gọi... kiện cần và đủ để hệ các vector v1, v2, …,vn phụ thuộc tuyến tính là một trong các vector đó là tổ hợp tuyến tính của các vector khác Hệ quả: 1 Trong các vector v1, v2, …,vn có 1 vector 0 thì các vector này phụ thuộc tuyến tính 2 Nếu một phần của các vector v1, v2, …,vn phụ thuộc tuyến tính thì tất cả các vector đó thuộc tuyến tính 3 Hệ bất kỳ các vector n thành phần có số vector lớn hơn n thì phụ... hệ sinh và độc lập tuyến tính 30 www.hoasen.edu.vn Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) uu Linear Algebra 31 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) Chứng minh một hệ vector S = {e1, e2, …, en} là cơ sở của không gian vector V:  Dùng định nghĩa  Dùng định thức: - Với ei = (ai1 , ai2 , …, ain ), i = 1, 2,…, n a11 uu S là cơ sở của... www.hoasen.edu.vn Ví dụ: 1 Hệ vector nào các hệ sau là cơ sở của R3 : a) S1 = {(1,2,3),(0,2,3),(0,0,5)} b) S2 = {(1,1,2),(1,2,5),(0,1,3)} uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 33 www.hoasen.edu.vn 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) a) Ta có: 0 2 3  10  0  S1 là cơ sở của R3 0 0 5 b) 1 1 2 1 2 5  0  S2 không là cơ sở của... Trong cho các hệ vector: S1 = {e1, e2, e3}; S2 = {e1’, e2’, e3’} với e1 =(1,1,1), e2 = (1,1,2), e3 = (1,2,3), e1’ = (2,1,-1), e2’ = (3,2,5), e1’ = (1,-1,m) a) Chứng minh S1 là cơ sở của R3 b) Tìm m để S2 là cơ sở của R3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 35 www.hoasen.edu.vn 3 Hệ sinh, cơ sở và số chiều của không gian vector (tt) 1... độc lập tuyến tính (tt) uu Linear Algebra 11 www.hoasen.edu.vn Ví dụ: 1 Cho các vector: v1 = [1,1,0], v2 = [1,2,1], v3 = [2,3,1] và v = [m,1,1] Tìm m để v là tổ hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3 2 Cho hệ 4 vector v1 = [1,2,3], v2 = [4,5,6], v3 = [7,8,9] và v = [a,b,c] Tìm a, b, c để v là tổ hợp tuyến tính của các vector v1, v2, v3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc... vector v1, v2, v3 uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 12 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) Định nghĩa: V là không gian vector trên R Hệ các vector v1, v2, …,vn được gọi là độc lập tuyến tính (linearly dependent) nếu: α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0 (*) chỉ thỏa mãn khi α1= α2 = … = αn = 0 Ngược lại, nếu tồn tại αi ≠ 0 sao cho (*)... tuyến tính (tt) 18 www.hoasen.edu.vn Phương pháp xét sự độc lập tuyến tính của hệ các vector v1, v2, …,vn: 1 Xét đẳng thức: α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0 2 Đưa đẳng thức về dạng hệ phương trình tuyến tính 3 Tìm hạng của ma trận hệ số của hệ (r(A)) - Nếu r(A) = n thì hệ các vector độc lập tuyến tính - Nếu r(A) < n thì hệ các vector phụ thuộc tuyến tính uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2... Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 22 www.hoasen.edu.vn a  b  c  d  0  2b  2c  2d  0   3c  3d  0   4d  0  Ta có r(A) = 4 = số vector  hệ các vector đã cho độc lập tuyến tính uu Linear Algebra Faculty of Science and Technology 2 Phụ thuộc tuyến tính – độc lập tuyến tính (tt) 23 www.hoasen.edu.vn X  x1  (1, 1,0); x2  (2,3, 1); x3 . minh tập W = {(x,0) ϵ R 2 } là không gian vector con của R 2 . 2. Kiểm tra xem các tập sau có phải là không gian vector con của các không gian tương ứng? 1. Không gian vector con (tt)   2 2 (. Technology Linear Algebra Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR www.hoasen.edu.vn uu 2 Faculty of Science and Technology Linear Algebra 1.Định nghĩa không gian vector. Không gian vector con 2.Độc lập tuyến. không gian vector. Chứng minh:… 1. Định nghĩa không gian vector (tt) www.hoasen.edu.vn uu 8 Faculty of Science and Technology Linear Algebra Định nghĩa: Ta gọi không gian vector con của một không