KỸ THUẬT GIẢIHỆ PHƢƠNG TRÌNHBẰNG PHƢƠNG PHÁPĐẠOHÀM A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương phápđạohàm ( hàm số) Định hướng cách tiếp cận 1 bài hệbằng phương phápđạohàm B. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN Tính chất 1: Giả sử hàm số ()y f x là đơn điệu trên khoảng ( , )ab và , ( , )x y a b thì ( ) ( )f x f y x y . Tính chất 2: Giả sử ()fx là hàm số đồng biến trên khoảng ( , )ab và ()gx là hàm số nghịch biến trên khoảng ( , )ab , khi đó nếu phươngtrình ( ) ( )f x g x có nghiệm trên khoảng ( , )ab thì nghiệm đó là duy nhất. Nhận xét: Nếu ()fx là hàm số đơn điệu trên khoảng ( , )ab thì phươngtrình ()f x c nếu có nghiệm trên khoảng ( , )ab thì nghiệm đó là duy nhất. Tính chất 3: Cho hàm số ()y f x trên khoảng ( , )ab . Nếu phươngtrình '( ) 0fx có 1n ()nN nghiệm thuộc ( , )ab thì phươngtrình ( ) 0fx có nhiều nhất n nghiệm thuộc ( , )ab . C. PHÂN LOẠI HỆ SỬ DỤNG ĐẠOHÀM Dạng 1: Giảihệbằng phƣơng pháp sử dụng hàm đặc trƣng Kiểu 1: Một phƣơng trình của hệ có dạng phƣơng trình đặc trƣng Ví dụ 1: Giảihệphươngtrình sau 22 3 3 3 ( 1)( 1) 1 ( 1)( 1) 3 ( 4) (( 1) 0 x y x x y y x x x y x y Giải: Ta viết phươngtrình 2 về dạng sau: 3 3 3 3 1 ( 1) 3 ( 1) ( ) 3( )x y x y x y x x (*) Xét hàm đại diện 3 ( ) 3 ( )f t t t t R , khi đó f’(t) = 3t 2 + 3 > 0. Vậy hàm số đồng biến trên R. Phươngtrình (*) tương đương với 3 3 3 2 ( 1) ( ) 1 1( 0)f x y f x x y x y x x x Ví dụ 2: Giảihệ phƣơng trình 2 22 (4 1) ( 3) 5 2 0 ( , ) 4 2 3 4 7 x x y y x y R x y x Bài tập tự luyện: Giải các hệphươngtrình sau: 1. 22 2 1 . 4 2 ( , ) 3 1 4 x x y y x y R x y x 2. c) 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 1 0 x y y x x x y y Đs: (1, 2), (1, 0), ( 1, 2), ( 1, 0). 3. 3 2 3 2 22 3 9 22 3 9 ( , ) 1 2 x x x y y y x y R x y x y 4. 3 2 2 . log log 4 10 2 xy e e x y x y Đs: 2;2 . 5. 5 4 10 6 2 4 5 8 6 x xy y y xy Đs: 1; 1 . 6. 4 4 22 1 1 2 ( , ) 2 1 6 1 0 x x y y x y R x x y y y 7. Kiểu 2: Biến đổi 2 phƣơng trình của hệ để đƣa về hàm đặc trƣng Ví dụ 3: Giảihệphương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y xy e e x e x y Lời giải Lấy phươngtrình (4) –(5) theo vế ta có hệphươngtrình ban đầu tương đương với 1 (4') 1 (5') xy xy e x y e x y Lấy (4’)-(5’) theo vế, ta được ( ) ( ). x y x y e x y e x y (6) Xét hàm số ( ) ( ) t f t e t t R , ta có '( ) 1 0 t f t e nên ()ft là hàm số đồng biến trên R Theo tính chất 1, phươngtrình (6) ( ) ( ) 0.f x y f x y x y x y y Với 0y thay vào (4), ta có : 10 x ex (7) Xét hàm số ( ) 1, x g x e x với '( ) 1 x g x e thì '( ) 0 0.g x x Lập bảng biến thiên x 0 '( )gx - 0 + ()gx Từ bảng biến thiên, ta suy ra ( ) 0gx , dấu xảy ra khi và chỉ khi 0.x Vậy nghiệm của hệphươngtrình là (0; 0) . Ví dụ 4: Giảihệphương trình: 23 23 log (1 3cos ) log (sin ) 2 (8) log (1 3sin ) log (cos ) 2 (9) xy yx Lời giải Điều kiện: cos 0 sin 0 x y Lấy phươngtrình (8) trừ (9) theo vế, ta có: 2 3 2 3 log (1 3cos ) log cos log (1 3sin ) log sinx x y y (10) Xét hàm số 33 ( ) log (1 3 ) log ( 0)f t t t t , ta có: 0 ' 31 ( ) 0 ( 0) (1 3 )ln2 ln3 f t t tt Vậy theo tính chất 1, phươngtrình (cos ) (sin ) cos sinf x f y x y . Thay sin cosyx vào (8), ta có: 23 23 log (1 3cos ) log (cos ) 2 log (1 3cos ) log (9cos ) (11) xx xx . Đặt 2 3 3cos 2 1 3cos 2 1 log (1 3cos ) log 9cos 9cos 3 t t t x x xt xt x . Vậy phươngtrình (11) tương đương với 1 3(2 1) 3 3 2 1 0 t t t t (12) Xét 1 ( ) 3 2 1 tt gt , ta có '1 ( ) 3 ln3 2 ln2. tt gt Khi đó 3 2 3 3ln2 3ln2 '( ) 0 log ( ) 2 ln3 ln3 t g t t . Theo tính chất 3, phươngtrình (12) có nhiều nhất hai nghiệm. Dễ thấy (12) có hai nghiệm là 1 2 t t . +) Nếu 1t thì 2 1 log (1 3cos ) 1 cos 3 xx , từ đó 1 sin 3 y . Trong trường hợp này hệ có 4 nghiệm 1 1 1 1 (arccos 2 , arcsin 2 ), (arccos 2 , arcsin 2 ) ( , 3 3 3 3 k m k m k m Z ) 1 1 1 1 ( arccos 2 , arcsin 2 ), ( arccos 2 , arcsin 2 ) ( , ) 3 3 3 3 k m k m m k Z +) Nếu 2t thì 2 log (1 3cos ) 2 cos 1,xx từ đó sin 1y . Trong trường hợp này hệ có nghiệm ( 2 , 2 ) ( , ). 2 k m k m Z Bài tập luyện tập: Giải các hệ phƣơng trình sau 1. 21 21 2 2 3 1 2 2 3 1 y x x x x y y y Đs: (1,1) 2. Dạng 2: Đƣa một phƣơng trình của hệ về phƣơng trình 1 ẩn và sử dụng đạohàm Ví dụ 5: (Thi thử trƣờng Ams-lần 2) Giảihệ phƣơng trình 2 1 43 1 1 9( ) 2 1 42 2 x xy x y x y x y Ví dụ 6: Giảihệphươngtrình 12 2 (1 4 )5 1 3 (6) 1 3 1 2 (7) x y x y x y x y y y x Lời giải Biến đổi phươngtrình (6) về dạng: 14 5[ ] 1 9.3 55 xy xy xy Đặt t x y , khi đó phươngtrình trên có dạng: 14 5 1 9.3 55 tt t Dễ thấy vế trái là hàm số nghịch biến và vế phải là hàm số đồng biến nên theo tính chất 2 phươngtrình có nghiệm duy nhất 0t . Vậy yx , thay vào (7), ta có: 2 1 3 1 2x x x x x Chia cả hai vế cho x ta được 11 3 2 0xx xx (8) Đặt 1 ( 0)u x u x , thì 2 1 (8) 3 2 0 2 u uu u Với 15 2 1 15 2 x u x . Với 25 2 25 x u x Vậy hệ có 4 nghiệm 1 5 1 5 1 5 1 5 ( ; ), ( ; ), (2 5; 2 5), (2 5; 2 5) 2 2 2 2 Bài tập luyện tập tổng hợp Giải các hệ phƣơng trình sau 1) Giảihệphương trình: 2 1 43 1 1 9( ) 2 1 42 2 x xy x y x y x y 2) Giảihệphươngtrình 2 1 1 ( , ) 3 2 4 x y x y x y R xy 3) Tìm các giá trị của a để hệphươngtrình sau có nghiệm duy nhất 2 2 2 2 2 2 6 4 13 4 10 8 4 40 x y a x y x y a x y a 4) Giảihệphươngtrình 4 3 1 0 4 (1 )(1 ) 6 1 1 0 x y y x y x 5) Giảihệphươngtrình 7 2 4 2 2 5 8 2 x y x y x y x 6) Giảihệphươngtrình 22 2 1 . 4 2 ( , ) 3 1 4 x x y y x y R x y x 7) giảihệphươngtrình 22 2 2 11 x y x y x xy y x x y x 8) Giảihệphươngtrình 3 2 3 2 22 3 9 22 3 9 ( , ) 1 2 x x x y y y x y R x y x y 9) Giảihệphươngtrình 2 2 22 3.4 6 2.3 ( , ) 4 6 3 log log 3 x x x y y y x y R xy 10) Giảihệphươngtrình 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y 11) Giảihệphươngtrình 2 1 1 4( ) 3 3 2 2 x y x y x y xy 12) Giảihệphươngtrình 3 2 3 2 2 3 5.6 4.2 0 ( 2 )( 2 ) x y x x y x y y y x y x 13) giảihệphươngtrình 10 6 5 4 2 22 5 2 1 6 x x y x y xy 14) giảihệphươngtrình 2 22 30 ( , ) ( 1) 3( 1) 2( 2 ) 0 x xy x x y P x y xy x y y 15) 2 2 2 2 2 ( )( 3) 3( ) 2 ( , ) 4 2 16 3 8 x y x xy y x y x y R x y x 16) Giải Hpt 2 2 2 3 3 3 log 3 log log log 12 log log x y y x x x y y 17) 2 32 3 2 2 4 8 3 12 4 0 4 3 4 36 0 x y xy y x x xy y 1 10 2 18) 1 22 1 xy xy xy xy 22 22 6 6 8 19) 3 8 6 x x y x y y x y x y 20 3 6.2 11 4 2 4.3 7 9 x y y y x x 21 2 1 1 1 6 2 1 4 x x y y x x y 22 2 1 2013 1 ( 0, 0) 2 4 .log 0 xy y x y xy x 18) 2 2 3 2 22 5 4 3 2 0 ( , ) 2 x y xy y x y x y R xy x y x y 19) 4 19 20 22 y x y x x y 20) 2 2 1 2 1 ( , ) 2 2 3 2 4 xy xy x y R x y x y x y 21) 2 2 2 2 1 0 2 4 5 0 y x y x x y y m 22) 2 22 4 4 4 51 3 0 ( , ) 2 7 1 0 x xy y x y x y R x x y 23) 2 2 2 2 2 .3 3 6 3 ( , ) log 1 log 2 2 2 1 log x x x x x y R x xy y 24) 23 23 log 3 5 log 5 3 log 1 log 1 xy xy 25) 22 22 14 15 4 24 12 0 7 12 4 36 8 32 6 x xy y x y x x xy x x 26) 22 4 8 2 3 3 2 1 xy y x x x y y 27) 22 1 1 1 ( , ) 6 2 1 4 6 1 x x y y x y R x x xy xy x 28) 2 2 2 log 2 4 1 4 0 y x x xy y 29) 22 22 2 12 12 x y x y y x y 30) 22 1 1 1 2 1 1 3 x x y y x y x 31) 32 42 42 ( , ) 3 4 2 3 x x y x y R x y x y x 32) 3 2 4 3 1 2 1 0 2 2 1 0 x x y y x x y y 33) 2 33 1 2 4 2 4 2 6 2 xy x y x y x y x y 34) 22 3 23 4 1 2 12 10 2 2 1 x x y y y y x . THUẬT GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐẠO HÀM A. MỤC TIÊU BÀI GIẢNG Dành cho các học sinh ôn thi ĐH, ôn thi HSG Tổng kết các dạng bài tập về hệ sử dụng phương pháp đạo hàm ( hàm số). phƣơng trình của hệ để đƣa về hàm đặc trƣng Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: 2( 1) (4) 1 (5) x y x y xy e e x e x y Lời giải Lấy phương trình (4) –(5) theo vế ta có hệ phương. 10) Giải hệ phương trình 2 3 2 2 3 5 3 3 3 x y x xy x x y y 11) Giải hệ phương trình 2 1 1 4( ) 3 3 2 2 x y x y x y xy 12) Giải hệ phương trình