MỤC LỤC Chương 1 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn và ứng dụng 1 Bài 1 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn 1 Bài 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN 7 Bài 3 Bài tập chuyên đề Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba[.]
MỤC LỤC Chương Bài Bài Bài Bài Bài Chương Bài Bài Bài Bài Bài Bài Bài Chương Bài Bài Bài Bài Hệ phương trình bậc ba ẩn ứng dụng Hệ phương trình bậc ba ẩn HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Bài tập chuyên đề - Ứng dụng hệ phương trình bậc ba ẩn (sách cánh diều) BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC VÀ NHỊ THỨC NEWTON PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nhị thức Newton PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Nhị thức Newton Nhị thức Newton BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ CTST BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ KNTT BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG ELIP Hypebol Parabol TÍNH CHẤT CHUNG CỦA BA ĐƯỜNG CONIC 1 12 16 24 31 31 40 47 54 62 68 71 75 75 85 95 101 Chương Hệ phương trình bậc ba ẩn ứng dụng Bài Hệ phương trình bậc ba ẩn A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa hệ phương trình bậc ba ẩn Định nghĩa • Phương trình bậc ba ẩn hệ thức có dạng ax + by + cz = d, x, y, z gọi ba ẩn a, b, c, d số thực cho trước gọi hệ số, thoả mãn a, b, c không đồng thời Mỗi ba số (x0 ; y0 ; z0 ) thoả mãn phương trình gọi nghiệm phương trình bậc ba ẩn • Hệ ba phương trình bậc ba ẩn hệ có dạng a1 x + b y + c z = d a2 x + b2 y + c2 z = d2 a3 x + b3 y + c3 z = d3 x, y, z ba ẩn , bi , ci , di số thực cho trước gọi hệ số Ở hệ số , bi , ci (i = 1, 2, 3) không đồng thời Mỗi ba số (x0 ; y0 ; z0 ) thoả mãn đồng thời ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình Giải hệ ba phương trình bậc ba ẩn tìm tất nghiệm ! Hệ ba phương trình bậc ba ẩn gọi tắt hệ phương trình bậc ba ẩn L Ví dụ 1: Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 2; 2), (−1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 2x − 3y + 4z = 3x − 2y + 4z = − x + 2y + z = (1) (2) 4x − 5y + 2z = −3 3x + 4y − z = 2; x + 3y − z = −1 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận L Rèn luyện 1: Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 5; 2), (1; 1; 1) (−1; 2; 3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 4x − 2y + z = x + 2z = (1) 4xz − 5y + 2z = −7 (2) 2x − y + z = −1 − x + 3y + 2z = 3; 3x − 2y = −7 Giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss Định nghĩa Để giải hệ phương trình bậc ba ẩn, ta sử dụng phép biến đổi tương đương để đưa hệ phương trình bậc ba ẩn dạng tam giác, từ tìm nghiệm hệ Cách giải gọi giải hệ phương trình bậc ba ẩn phương pháp Gauss L Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: (1) 3x − y + z = x−y+z =2 (2) y + 2z = (3) L Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: (1) x − 2y + 3z = 2x + 3y − z = (2) x + 5y − 4z = (3) Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận L Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: (1) 2x + 2y − z = −1 x + 4y + z = −8 (2) x − 2y − 2z = (3) Nhận xét Một hệ phương trình bậc ba ẩn có nghiệm nhất, vơ nghiệm vơ số nghiệm L Rèn luyện 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x − 2y = 3x − y + 2z = x − y + z = a) x + 2y − z = −2 b) x + 2y − z = c) x − 4y + 2z = −1 x − 3y + z = 3; 2x − 3y + 3z = 2; 4x − y + 3z = L Rèn luyện 3: Tìm phương trình parabol (P ) : y = ax2 + bx + c (a = 0), biết (P ) qua ba điểm A(0; −1), B(1; −2) C(2; −1) Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn Ngày nay, với phát triển khoa học kĩ thuật, người ta sản xuất máy tính cầm tay nhỏ gọn, dễ dàng sử dụng để hỗ trợ việc tính tốn Có nhiều loại máy tính cầm tay giúp tìm nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn cách dễ dàng Chẳng hạn, ta thực loại máy tính cầm tay sau: x − 3y + 2z = L Ví dụ 5: Xét hệ phương trình x + 2y − 3z = 3x − y − z = Đối với hệ phương trình bậc ba ẩn vô nghiệm vô số nghiệm, sau thực tương tự Ví dụ 5, ta nhận kết hiển thị hình máy tính cầm tay sau: ! Hệ phương trình vơ số nghiệm Hệ phương trình vơ nghiệm L Rèn luyện 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm hệ phương trình sau: 2x + y − z = −1 x + 3y + 2z = a) 3x + 3y − 3z = −5; 2x − 3y + 2z = x + 2y − 3z = b) 3x − y − z = 2; Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận x − y − z = −1 2x − y + z = −1 c) − 4x + 3y + z = L Rèn luyện 5: Ba bạn Nhân, Nghĩa Phúc vào căng tin trường Nhân mua li trà sữa, li nước trái cây, hai bánh trả 90 000 đồng Nghĩa mua li trà sữa, ba bánh trả 50 000 đồng Phúc mua li trà sữa, hai li nước trái cây, ba bánh trả 140 000 đồng Gọi x, y, z giá tiền li trà sữa, li nước trái bánh căng tin a) Lập hệ thức thể mối liên hệ x, y z b) Tìm giá tiền li trà sữa, li nước trái bánh căng tin B Bài tập Bài 1: Trong hệ phương trình sau, hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (−1; 2; 1), (−1, 5; 0, 25; −1, 25) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? −1 2x − 4y − 3z = 3x − 2y + z = −6 5x − 2y + 3z = − 2x + y + 3z = a) b) 3x + 2yz − z = c) 3x + 8y − 4z = 4x − y + 7z = 1; x − 3y + 2z = −1 2x + 3y − 2z = Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Bài 2: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: 2x + 3y = x + y + z = x − y + 5z = −2 a) x − 3y = b) x + 3y + 2z = c) 2x + y + 4z = 2x + y − z = 3; 3x − y + z = 4; x + 2y − z = Bài 3: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm hệ phương trình sau: x − 5z = 2x − y + z = x + 2y − z = a) 3x + y − 4z = b) x + 2y − z = c) 2x + y − 2z = − x + 2y + z = −1; 3x + y − 2z = 2; 4x − 7y − 4z = Bài 4: Tìm phương trình parabol (P ) : y = ax2 + bx + c (a 6= 0), biết: a) Parabol (P ) có trục đối xứng x = qua hai điểm A(1; −4), B(2; −3); Å ã b) Parabol (P ) có đỉnh I qua điểm M (−1; 3) ; Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Bài 5: Một đại lí bán ba loại gas A, B, C với giá bán bình gas 520 000 đồng, 480 000 đồng, 420 000 đồng Sau tháng, đại lí bán 1299 bình gas loại với tổng doanh thu đạt 633 960 000 đồng Biết tháng đó, đại lí bán số bình gas loại B nửa tổng số bình gas loại A C Tính số bình gas loại mà đại lí bán tháng Bài HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN A BÀI TẬP Bài 1: Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem số (2; 0; −1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc bậc ba ẩn khơng? ( x − 2y + 3z = x − 2z =4 2x + y − z = 2x − y + z = a) b) −3x + 2y = −6; x + 2y = −1 Bài 2: Giải hệ phương trình sau x − y − 3z = 20 x−z = a) b) x + 3z = −7 ( 2x − y − z = 20 x+y = −5 x = 10; Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Bài 3: Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss 2x − y − z = 2x − y − z = x − 3y − z x + 2y + z = 2x − y + 2z x+y = a) b) c) x − y + z = 2; −x + y = 2; 4x − 7y = x − 3y − z = −6 3x − y − 7z 2x − 3y − 4z 2x − y + 2z = 4x − y + z = 11 5x − y − 2z d) e) f) 4x − 7y = 3; −5x − y − 9z = −22; 7x − 4y − 6z = −6 = = −6; = −2 = = Kiểm tra lại kết tìm cách sử dụng máy tính cầm tay Bài 4: Ba người việc cho công ty với vị trí quản lí kho, quản lí văn phịng tài xế xe tải Tổng tiền lương năm người quản lí kho người quản lí văn phịng 164 triệu đồng, cịn người quản lí kho tài xế xe tải 156 triệu đồng Mỗi năm, người quản lí kho lĩnh lương nhiều tài xế xe tải triệu đồng Hỏi lương năm người bao nhiêu? Bài 5: Năm ngoái, người ta mua ba mẫu xe tơ ba hãng X, Y , Z với tổng số tiền 2,8 tỉ đồng Năm nay, lạm phát, để mua ba xe cần 3,018 tỉ đồng Giá xe ô tô hãng X tăng 8%, hãng Y tăng 5% hãng Z tăng 12% Nếu năm ngoái giá xe hãng Y thấp 200 triệu đồng so với giá xe hãng X giá xe năm ngoái bao nhiêu? a a x2 y − L Ví dụ 1: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu M (x; y) hypebol (H) : = 16 x2 y L Ví dụ 2: Tính độ dài hai bán kính qua tiêu điểm M (x; y) hypebol (H) : = − 64 36 89 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận x2 y L Ví dụ 3: Tính độ dài hai bán kinh qua tiêu đỉnh A2 (a; 0) hypebol (H) : − = a b Tâm sai C c x2 y − = Chứng tỏ > a b a Định nghĩa Tỉ số tiêu cự độ dài trục thực tâm sai hypebol kí hiệu c e, nghĩa e = Với hypebol, ta ln có e > a y2 x2 − = L Ví dụ 1: Tìm tâm sai hypebol (H) : 64 36 Bài toán Cho hypebol (H) : L Ví dụ 2: Tìm tâm sai hypebol sau a) (H1 ) : x2 y − = x2 y b) (H2 ) : − = 25 x2 y − = 3 c) (H3 ) : 90 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận √ L Ví dụ 3: Cho hypebol (H) có tâm sai Chứng minh trục thực trục ảo (H) có độ dài L Ví dụ 4: Một vật thể có quỹ đạo nhánh hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm Cho biết tâm sai (H) 1, khoảng cách gần vật thể tâm Mặt Trời 2.108 km M a) Lập phương trình tắc (H) b) Lập cơng thức tính bán kính qua tiêu vị trí M (x; y) vật thể mặt phẳng toạ độ F Mặt trời D Đường chuẩn y2 x2 Bài toán Cho điểm M (x; y) hypebol (H) : − = hai đường thẳng a b a a ∆1 : x + = 0; ∆2 : x − = e e Gọi d (M ; ∆1 ), d (M ; ∆2 ) khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆1 , ∆2 91 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận M F1 |a + ex| |a + ex| = = e = y a |a + ex| d (M ; ∆1 ) x + e e M M F2 Dựa theo cách tính trên, tính d (M ; ∆2 ) a a Định nghĩa Cho hypebol (H) có phương trình − e e x y2 x2 tắc − = có hai tiêu điểm F1 O F2 a b F1 (−c; 0), F2 (c; 0) a Đường thẳng ∆1 : x + = gọi đường chuẩn e a ứng với tiêu điểm F1 đường thẳng ∆2 : x − = ∆1 ∆2 e gọi đường chuẩn ứng với tiêu điểm F2 hypebol (H) M F2 M F1 = = e Với điểm M thuộc hypebol, ta ln có d (M ; ∆1 ) d (M ; ∆2 ) a a Chú ý: Vì −a < − < < a nên đường chuẩn hypebol khơng có điểm chung với hypebol e e x2 y − = L Ví dụ 1: Cho điểm M (x; y) hypebol (H) : 16 Ta có: a) Tìm toạ độ hai tiêu điểm viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng b) Tính tỉ số khoảng cách từ M đến tiêu điểm đến đường chuẩn tương ứng L Ví dụ 2: Tìm toạ độ hai tiêu điểm viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng hypebol sau a) (H1 ) : x2 y − = b) (H2 ) : x2 y2 − = 36 64 x2 y − = 9 c) (H3 ) : 92 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận L Ví dụ 3: Lập phương trình tắc hypebol có tiêu cự 26 khoảng cách 288 hai đường chuẩn 13 E BÀI TẬP Bài 1: Cho hypebol (H) : x2 y2 − = 144 25 ã Å 25 (H) a) Tìm tâm sai độ dài hai bán kính qua tiêu điểm M 13; 12 b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng c) Tìm điểm N (x; y) ∈ (H) cho N F1 = 2N F2 với F1 , F2 hai tiêu điểm (H) Bài 2: Lập phương trình tắc hypebol có tiêu cự 20 khoảng cách hai 36 đường chuẩn 93 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Bài 3: Cho đường tròn (C) tâm F1 , bán kính r điểm F2 thoả mãn F1 F2 = 4r a) Chứng tỏ tâm đường tròn qua F2 tiếp xúc với (C) nằm đường hypebol (H) b) Viết phương trình tắc tìm tâm sai (H) Bài 4: Trong hoạt động mở đầu học, cho biết khoảng cách hai trạm vơ tuyến 600km, vận tốc sóng vơ tuyến 300000km/s thời gian tàu nhận tín hiệu từ hai trạm bờ biển cách 0, 0012s (hai trạm vơ tuyến phát tín hiệu thời điểm) Viết phương trình tắc quỹ đạo hypebol (H) tàu F Bạn có biết? Hệ thống định vị LORAN 94 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Người ta ứng dụng tính chất đường hypebol để định vị tàu thuyền ven biển thông qua hệ thống LORAN Cách vận hành LORAN sau: Khi hai trạm phát F1 F2 phát tín hiệu thời điểm đến tàu, hiệu số hai thời điểm tàu nhận tín hiệu từ hai trạm nhân với tốc độ sóng vơ tuyến cho hiệu số khoảng cách từ vị trí tàu đến F1 F2 Do đó, tàu hypebol có tiêu điểm F1 F2 Bằng cách đưa vào trạm phát sóng thứ ba, F3 , hình thành nhánh hypebol khác với tiêu điểm F2 F3 Khi vị trí tàu giao điểm hai nhánh hypebol nêu Nguyên tắc dựa hypebol giao sử dụng hệ thống định vị tầm xa, gọi LORAN (LOng RAnge Navigation) Các trạm radar đóng vai trị tiêu điểm hypebol, tất nhiên, máy tính sử dụng cho nhiều thao tác cần thiết để xác định vị trí tàu (Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/LORAN) Bài Parabol A 95 Tính đối xứng đường parabol Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận Ta biết (P ) với phương trình tắc y = 2px có tiêu p parabol p ; có đường chuẩn ∆ : x = − Parabol (P ) nhận điểm F 2 Ox làm trục đối xứng Giao điểm parabol (P ) trục đối xứng gọi đỉnh parabol y M (x; y) − p x O F p ;0 ∆ ! • Với điểm M (x; y) thuộc parabol (P ) : y = 2px (với p > ) ta có x ≥ 0, suy (P ) thuộc nửa mặt phẳng toạ độ có x ≥ p • Vì − < nên đường chuẩn parabol khơng có điểm chung với parabol Khoảng cách từ tiêu điểm đến đường chuẩn gọi tham số tiêu parabol với elip hypebol, đường parabol có trục đối xứng, đỉnh khơng có ! Khác tâm đối xứng L Ví dụ 1: Tìm toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh, phương trình đường chuẩn trục đối xứng parabol (P ) : y = 4x Bán kính qua tiêu tâm sai parabol Cho điểm M parabol (P ) có tiêu điểm F đường chuẩn ∆ Ta gọi đoạn F M bán kính qua tiêu điểm M gọi tỉ số FM tâm sai parabol (P ) e= d(M, ∆) Mọi parabol có tâm sai e = parabol tắc (P ) : y = 2px p có độ dài bán kính qua tiêu điểm M (x; y) F M = x + y M (x; y) H p − x O F p ;0 ∆ L Ví dụ 2: Tính bán kính qua tiêu điểm M (1; 2) parabol (P ) : y = 4x 96 Gv: Vũ Ngọc Huy - THPT chuyên Lê Quý Đôn - Ninh Thuận B BÀI TẬP Bài 1: Tìm toạ độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn parabol sau √ x; c) (P3 ) : y = 2x a) (P1 ) : y = 7x; b) (P2 ) : y = Bài 2: Tính bán kính qua tiêu điểm cho parabol sau a) Điểm M1 (3; −6) (P1 ) : y = 12x; b) Điểm M2 (6; 1) (P2 ) : y = √ √ c) Điểm M3 ( 3; x; 3) (P3 ) : y = √ 3x Å ã 1 Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A ; đường thẳng d : x + = Viết phương 4 trình đường (P ) tập hợp tâm M (x; y) đường tròn (C) di động luôn qua A tiếp xúc với d 97