(TIỂU LUẬN) tài liệu hỗ trợ học tập môn học toán dùng trong tin học

Tài liệu hỗ trợ học tập mơn học Tốn Dùng Trong Tin Học Chủ biên: Đoàn Thiện Ngân Tham gia: Huỳnh Văn Đức Hồng Anh Tuấn Nguyễn Cơng Trí Năm 2016 Lời nói đầu Đây tài liệu hỗ trợ học tập mơn Tốn dùng tin học cho sinh viên khoa Hệ thống thông tin kinh doanh Nội dung tài liệu có chương đề cương chi tiết môn học Khoa CHƯƠNG Logic – Các phương pháp chứng minh CHƯƠNG Tập hợp - Các phép toán tập hợp CHƯƠNG Số nguyên – Biểu diễn số nguyên qua hệ đếm CHƯƠNG Quan hệ Hàm CHƯƠNG Đồ thị CHƯƠNG Cây CHƯƠNG Đại số Bool Mỗi chương có cấu trúc tương tự gồm phần: Tóm tắt lý thuyết, Ví dụ Bài tập để sinh viên làm thêm nhà sau tham khảo ví dụ Dù chúng tơi tập trung nhiều cơng sức thời gian, chắn sai sót tài liệu Kính mong độc giả thông báo cho biết lỗi sai sót nhận thấy, để lần tái tài liệu tốt Chúng chân thành tiếp nhận góp ý để có tài liệu tốt cho sinh viên sử dụng Mọi liên hệ xin email địa ngan@ueh.edu.vn Tp HCM, tháng năm 2016 Nhóm tác giả Mục lục Mục lục Chương 1: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Một số khái niệm logic 2.Các phương pháp chứng minh 3.Ngụy biện 4.Vị từ lượng từ 5.Các phương pháp chứng minh định lý 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 2: 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Một số khái niệm tập hợp 2.Mơ tả qua tính chất tập hợp 3.Mô tả qua giản đồ Venn 4.Những tập hợp số quan trọng 5.Các phép toán tập hợp 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 3: 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Tính chia hết 2.Thuật toán chia 3.Số học đồng dư 4.Ứng dụng đồng dư 5.Các thuật toán liên quan đến số nguyên 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 4: 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Quan hệ hàm 2.Tính chất quan hệ 3.Tổ hợp quan hệ 4.Quan hệ n–ngôi 5.Các phép tốn quan hệ n – ngơi 6.Biểu diễn quan hệ ma trận 7.Biểu diễn quan hệ đồ thị có hướng 2.Ví dụ 3.Bài tập Mục lục Chương 5: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Đồ thị 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Khái niệm 2.Các loại đồ thị 3.Các phương pháp biểu diễn đồ thị 4.Tính liên thơng đồ thị 5.Đường Euler đường Hamilton đồ 6.Bài tốn tìm đường ngắn đồ thị 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 6: Cây 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Một số khái niệm 2.Cây nhị phân 3.Cây định 4.Các phương pháp duyệt 5.Phương pháp duyệt theo mức 6.Cây bao trùm – Cây khung 7.Thuật tốn tìm bao trùm nhỏ 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 7: Đại số 1.Tóm tắt lý thuyết 1.Một số khái niệm 2.Các đẳng thức đại số Boole 3.Phương pháp biểu diễn hàm Boole 4.Mơ hình hố sơ đồ mạch đại số Boole 5.Bộ cộng 6.Phương pháp cực tiểu hoá mạch 2.Ví dụ 3.Bài tập Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Chương 1: 1 Logic – Các phương pháp chứng minh Tóm tắt lý thuyết Một số khái niệm logic 1 a Mệnh đề Một mệnh đề câu phát biểu hoặc sai Ta dùng chữ viết thường , , , , … để ký hiệu mệnh đề dùng Đ (Đúng), S (Sai) để ký hiệu chân trị mệnh đề 1 b Các phép nối Các phép nối cho phép ta tạo mệnh đề gọi mệnh đề phức hợp Ta thường dùng chữ hoa P, Q, E, F, … để mệnh đề phức hợp Định nghĩa 1.1 Cho hai mệnh đề p, q: Câu “không phải p” mệnh đề phủ định mệnh đề p, ký hiệu p hay Mệnh đề " ", ký hiệu , p q đúng, sai trường hợp lại Mệnh đề gọi mệnh đề nối liền (hay hội) p q Mệnh đề “p hay q”, ký hiệu , sai p q sai, trường hợp lại Mệnh đề gọi mệnh đề nối rời (hay tuyển) p q Mệnh đề “p loại trừ q”, ký hiệu , hai mệnh đề p q đúng, sai trường hợp lại Mệnh đề gọi tuyển loại p q (một số tài liệu khác gọi p q) 1 c Các mệnh đề suy diễn Tất mệnh đề suy diễn liên quan đến mệnh đề kéo theo, loại mệnh đề đóng vai trị cốt yếu suy luận tốn học, chúng cho phép ta xây dựng nên lập luận đắn Định nghĩa 1.2 Cho hai mệnh đề p, q a) b) c) d) e) Mệnh đề kéo theo → mệnh đề sai p q sai, trường hợp lại Khi p gọi giả thiết q gọi kết luận Mệnh đề đảo p → q mệnh đề → Mệnh đề phản p → q mệnh đề→ Mệnh đề phản đảo p → q mệnh đề q → p Mệnh đề tương đương ↔ mệnh đề p q có chân trị Thuật ngữ “p q” thường dùng để mệnh đề tương đương Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Một số diễn đạt tương đương khác: “p q”, “p cần đủ q”, “nếu p q ngược lại”, … 1 d Độ ưu tiên phép toán Trong mệnh đề phức hợp, ta dùng dấu ngoặc để định thứ tự thực phép tốn Ví dụ, (p q) ( r) hội (p q) r Như p q ( p) q, p q r (p q) r p p → r (p p) → r Tuy nhiên ta dùng dấu ngoặc mục đích rõ ràng Phép toán Bảng 1-1 Độ ưu tiên phép toán logic 1 e Các phép toán bít Một bít nhận hai giá trị Bít dùng để biểu diễn chân trị Thông thường, giá trị biểu diễn chân trị (Đ, True) giá trị để biểu diễn chân trị sai (S, False) Một biến gọi biến Boole giá trị hoặc sai Do đó, dùng bít để biểu diễn biến boole Các phép tốn bít máy tính tương ứng với phép tốn logic (các ngơn ngữ lập trình thường dùng ký hiệu OR, AND XOR thay cho phép toán logic , ) x y 0 1 1 Bảng 1-2 Các phép tốn bít OR, AND, XOR Định nghĩa 1.3 Một xâu bít (xâu nhị phân – chuỗi bít) dãy gồm khơng nhiều bít Chiều dài xâu số bít xâu Khi chiều dài ta gọi chuỗi rỗng Thông tin thường biểu diễn cách dùng xâu bít, dãy số Khi ấy, phép tốn xâu bít dùng để xử lý thông tin Các phương pháp chứng minh a Tương đương logic Một bước quan trọng dùng lập luận toán học thay mệnh đề mệnh đề khác có chân trị Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Định nghĩa 1.4 a) Một mệnh đề phức hợp chân trị mệnh đề thành phần gọi Một mệnh đề phức hợp sai gọi mâu thuẫn b) Mệnh đề Q gọi hệ logic P Ký hiệu c) Các mệnh đề P Q gọi tương đương logic nếulà Ký hiệu → ⇒ hay ⇔ Một số tương đương logic quan trọng TƯƠNG ĐƯƠNG p Đ p; p S p p Đ Đ; p S S p p p; p p p ( p) p p q q p; p q q p (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) (p q)pq; (p q)pq p (p q) p; p (p q) p pp Đ; pp S Bảng 1-3 Tương đương gồm phép nối logic Tương đương có phép kéo theo p → qp q p → qqp p qp → q p p(p → q) (p → q) pq (p → q) (p → r) p → (q r) (p → r) (q → r) (p q) → r (p → q) (p → r) p → (q r) (p → r) (q → r) (p q) → r Bảng 1-4 Một số tương đương logic khác b Quy tắc suy diễn Các quy tắc suy diễn phương tiện rút kết luận từ điều khẳng định khác, chúng liên kết bước chứng minh lại với Các quy tắc suy diễn đắn dựa Chương 1: Logic – Các phương pháp chứng minh Hằng (p (p q)) q sở quy tắc suy diễn Modus ponens (kí hiệu có nghĩa “vậy thì”) p p q q Hằng p(p q) (p q)p ((p) (q))(p q) [(p (pq)]q [((pq) p]q [ q (pq)]p [(pq)q]p [(pq) (qr)](pr) [(p q)p]q [(p q) ( p r)](q r) Bảng 1-5: Các quy tắc suy diễn c Lập luận Một lập luận gọi đắn kết luận phải tất giả thiết Một lập luận đắn dẫn đến kết luận sai mệnh đề dùng lập luận sai d Hợp giải Nhiều chương trình máy tính xây dựng để tự suy luận chứng minh định lý Chúng dùng quy tắc suy diễn hợp giải: [(p q) ( p r)] (q r) Hơn nữa, dùng để xây dựng hệ thống chứng minh định lý tự động Với chứng minh dùng hợp giải quy tắc suy diễn, giả thiết kết luận phải biểu diễn dạng mệnh đề tuyển phủ định biến Ngụy biện Một số dạng suy luận sai thường gặp gọi ngụy biện, chúng giống quy tắc suy diễn không dựa a Ngụy biện chấp nhận kết luận Mệnh đề [(p q) q] p khơng sai p sai q Dựa mệnh đề này, suy luận sai đuợc gọi ngụy biện chấp nhận kết luận Chương 7: Đại số Bool Cổng OR nhận liệu vào giá trị từ hai biến Boole trở lên xuất liệu tổng Boole giá trị nhận vào Cổng AND nhận liệu vào giá trị từ hai biến Boole trở lên xuất liệu tích Boole giá trị nhận vào Cổng nghịch đảo Cổng OR Cổng AND với n biến đầu vào Cổng AND Cổng OR với n biến đầu vào Bộ cộng Chúng ta minh họa cách biểu diễn phép cộng hai số nguyên dương qua biểu diễn dạng nhị phân Định nghĩa 7.10 Ta thiết kế mạch cộng hai bit x y, đầu vào hai biến x y đầu hai biến bit s c (bit nhớ) Mạch đươc gọi mạch đa đầu ta gọi mạch nửa cộng (bán cộng) khơng quan tâm đến bit nhớ trước Mạch nửa cộng cho hai biến bit Inp x 1 0 Từ bảng ta thấy c = xy s = xy + xy = (x + y)(xy) Bộ nửa cộng 140 Chương 7: Đại số Bool Định nghĩa 7.11 Bộ cộng đầy đủ nhận đầu vào gồm ba biến bit x, y ck (bit nhớ vào) đầu hai biến bit s ck+1 (bit nhớ ra) Hai giá trị đầu s = xyck + xyck + xyck + xyck xyck Ta thường có khuynh hướng dùng mạch nửa cộng biểu diễn cho mạch cộng đầy đủ Bộ cộng biểu diễn qua nửa cộng Cuối ta thiết kế mạch cộng hai số nguyên bit x 2x1x0 y2y1y0 để tạo số nguyên tổng s3s2s1s0 Chú ý s3 có từ bit nhớ c2 141 Chương 7: Đại số Bool Mạch cộng số nguyên bit từ nửa cộng hai cộng Phương pháp cực tiểu hoá mạch Hiệu mạch tổ hợp tùy thuộc vào số cổng xếp cổng Quy trình thiết kế mạch xuất phát từ bảng giá trị đầu cho tổ hợp giá trị biến đầu vào, từ bảng giá trị ta ln tìm khai triển tổng từ tối tiểu cho mạch tổ hợp Tuy nhiên khai triển cung cấp nhiều cổng nhu cầu, Có mạch tổ hợp có bốn cổng (một cổng NOT, hai cổng AND với cổng OR) dạng thu gọn sử dùng cổng AND F(x, y, z) = xyz + xyz = xz(y + y) = xz Ta trinh bày hai phương pháp thu gọn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc Mục tiêu phương pháp tìm biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc thành tổng phần tử chứa số từ đơn nhất, quy trình gọi cực tiểu hóa hàm Boole Quy trình cực tiểu hóa hàm Boole giúp xây dựng mạch tổ hợp sử dụng cổng số biến đầu vào, điều giúp tiết giảm chi phí xây dựng mạch a Phương pháp Karnaugh Karnaugh đưa phương pháp đồ họa trực quan dùng biểu đồ tìm từ kết hợp tạo từ chứa biến Boole đơn giản Các biểu đồ thường gọi biểu đồ Karnaugh hay biểu đồ K Phương pháp Karnaugh phương pháp đồ họa trực quan nên khơng thích hợp cho việc xây dựng chương trình máy tính Định nghĩa 7.12 n n Biểu đồ Karnaugh dùng bảng có để biểu diễn từ tối tiểu tương ứng Mỗi ô thường gọi tế bào Khi biểu diễn hàm Boole tương ứng, từ tối tiểu xuất triển khai dạng phân ly chuẩn tắc hàm tương ứng ghi giá trị Biểu đồ Karnaugh có số dịng cột đươc tổ chức tùy theo số biến n Ví dụ với n=2, biểu đồ Karnaugh có dịng cột; với n = 3, biểu đồ Karnaugh có dịng cột với n = 4, biểu đồ Karnaugh có dịng cột Hai tế bào gọi liền kề hai từ tối tiểu biểu diễn tương ứng khác từ đơn Ví dụ xy tế bào liền kề biểu đồ K hai biến 142 hai Chương 7: Đại số Bool Để tìm kết hợp thành từ biến Boole đơn giản hơn, ta cần ý đến k khối lớn chứa ô liền kề Các dịng biên hay cột biên có liền kề theo kiểu tròn theo dòng hay theo cột thành hình trụ trịn xoay tương ứng hàm Boole ba biến Ta nhìn ô liền kề cách thêm vào cột sau dịng biên hàm Boole ba biến để có bảng mở rộng gồm cột với dòng Nhận xét rằng: Hai ô liền kề cho phép kết hợp hai từ tối tiểu thành từ từ đơn Bốn liền kề cho phép kết hợp bốn từ tối tiểu thành từ hai từ đơn Tám liền kề cho phép kết hợp tám từ tối tiểu thành từ ba từ đơn Mười sáu liền kề cho phép kết hợp thành hàm Khi số biến lớn ta khó dùng biểu đồ K, bảng K có nhiều người dùng khó biểu diễn Việc vẽ chọn liền kề khơng cịn tính trực quan dễ dàng nhiều thời gian công sức Một phương pháp khác giúp làm việc cách tổng quát chuyển phương pháp thành dạng tốn lập trình để chạy máy tính, phương pháp Quine–McClusKey b Phương pháp Quine–McCluskey Phương pháp Quine–McClusKey chia hai giai đoạn, giai đoạn đầu tìm từ ứng viên cho việc rút gọn giai đoạn sau xác định xác từ rút gọn Ta biểu diễn từ tối tiểu chuỗi bit (chiều dài số biến), giá trị từ đơn liên kết biến Boole b ấn định theo quy ước: Từ đơn b b Xây dựng bảng giá trị chuỗi bit tương ứng từ tối tiểu, xếp thứ tự số bit giảm dần Từng bước kết hợp tìm dạng tối tiểu Thuật toán Quine–McClusKey Đầu vào: khai triển dạng phân ly chuẩn tắc hàm Boole Đầu ra: dạng thu gọn đơn giản hàm Boole Biểu diễn từ tối tiểu chứa n từ đơn thành dãy n bit tương ứng với giá trị cho b cho b Nhóm dãy bit theo thứ tự giảm dần số bit dãy bit Xác định cặp từ giống (n−1) bit để có tổng rút gọn cịn n−1 từ đơn, tính tổng để ghi lại kết đồng thời dùng dấu − đánh dấu vị trí biến thu gọn 143 Chương 7: Đại số Bool Từ kết có bước 3, xác định cặp từ giống (n−2) bit để có tổng rút gọn cịn n−2 từ đơn, tính tổng để ghi lại kết đồng thời dùng dấu − đánh dấu chỗ biến thu gọn Tiếp tục so sánh thu gọn tích Boole thành từ đơn giản có biến Boole cách tương tự Tìm tất từ xuất mà dùng cho việc rút gọn thành từ biến Boole Tìm tập nhỏ chứa từ khơng cịn khả rút gọn, tổng từ tạo thành biểu thức biểu diễn hàm Boole Đây bước khó xác định nhất, phải đảm bảo từ tối tiểu biểu diễn khai triển dạng phân ly chuẩn tắc phủ từ tập nhỏ từ Ví dụ Ví dụ 7.1 Tìm giá trị ∙0+(0+1) Giải: Ta có 1∙0+(0+1)=0+(1)=0+0=0 Nếu xem giá trị F (FALSE) T (TRUE) ba phép tốn Boole ba phép tốn luận lý tương ứng: ¬ (phủ định – đảo − bù), ᴠ (tuyển − hay) ᴧ (hội − và) Trở lại với ví dụ nêu Trong số trường hợp không sợ bị nhầm lẫn, ta bỏ dấu ∙ phép nhân Ví dụ 7.2 Xét hàm Boole F: B → B với ( , )= Giải: Lập bảng giá trị ta dễ thấy kết Ta có: F(0, 0) = 0; F(0, 1) = 1; F(1, 0) = 0, F(1, 1) = Ví dụ 7.3 Cho Giải: + Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F ( , ,)= x 0 144 x 0 1 Chương 7: Đại số Bool 1 1 Ví dụ 7.4 Cho + Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F ( , ,)= Giải: F(x, y, z) = (x, y, z) nhận giá trị (0,0,0), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,0) (1,1,1) Tơ đậm đỉnh có giá trị hình vẽ Ví dụ 7.5 Với n = 2, số hàm Boole cấp 222 = 16 Giải biến x 0 1 y 1 F1 0 0 Ví dụ 7.6 Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole biến F G với giá trị cho bảng kế bên Giải: 1) F = ￢ (x, y, z) = (1, 0, 1) nên dễ thấy ( , , ) = 2) G = ￢ (x, y, z) có giá trị (1, 1, 0) hay (0, 1, 0) nên dễ thấy ( , ,)= + Ví dụ 7.7 Tìm từ tối tiểu biến có giá trị x1 = x3 = x2 = x4 = x5 = 145 x 1 1 0 0 Chương 7: Đại số Bool Giải: Dễ thấy từ đơn liên kết kết xx Ví dụ 7.8 Tìm dạng phân ly chuẩn tắc hàm ( , , ) = ( + ) Giải: PP1: F(x, y, z) = (x + y)z = = = = xz + yz x(y + y)z + (x + x)yz xyz + xyz + xyz + xyz xyz + xyz + xyz PP2: Lập bảng giá trị hàm F, xác định từ tối tiểu, lấy tổng hàm F x y 1 1 0 0 0 F(x, y, z) = xyz + xyz + xyz Ví dụ 7.9 Một bóng đèn cầu thang cần điều khiển hai công tắc điện Hãy thiết kế mạch cho công tắc Giải Gọi x biến Boole diễn tả trạng thái công tắc thứ (1: đóng; 0: mở) Gọi y biến Boole diễn tả trạng thái công tắc thứ hai (1: đóng; 0: mở) Gọi F hàm Boole theo hai biến x y, hàm F diễn tả trạng thái bóng đèn theo hai cơng tắc (1: đèn sáng; 0: đèn tắt) Bảng giá trị x 146 Chương 7: Đại số Bool Ví dụ 7.10 Tìm dạng tối tiểu hàm Boole ( , ,)= + Giải Ta có F(x, y, z) = xyz + xyz = xz(y + y) = xz Dạng thu gọn sử dùng cổng AND Dạng thu gọn cổng Dạng gốc có cổng Dạng gốc ( , , ) = + có bốn cổng Ví dụ 7.11 Cho hàm ( , ) = + ( , ) = + + Tìm biểu đồ K hai biến biểu diễn hàm tương ứng Giải F2 x Do ( ,)= ( ,)= + 147 Chương 7: Đại số Bool Ví dụ 7.12 Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole ba biến ( , , ) = + + + + Giải Với biến, ta dùng biểu đồ có dịng cột biểu diễn = ô yz x + Vậy F(x, y, z) = xy + z + + + = + Ví dụ 7.13 Tìm biểu đồ K biểu diễn hàm Boole bốn biến ( , , , ) F = wxyz+ wxyz+ wxyz + wxyz+ wxyz+ wxyz + wxyz+ wxyz+ wxyz + wx z + wxyz Giải Với biến, ta dùng biểu đồ có dịng cột biểu diễn 24 = 16 wx wx wx wx Vậy F(w, x, y, z) = wxy + wx + z Ví dụ 7.14 Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole biến F(x, y, z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz Giải Lập bảng chuỗi bit xếp thứ tự theo số bit giảm dần STT T 148 Chương 7: Đại số Bool xyz xyz xyz xyz F(x, y, z) = xy + z(rõ ràng {1,2,3,4,5} có đủ từ tổng này) Vậy F(x, y, z) = xy + z Ví dụ 7.15 Dung phương pháp Quine–McClusKey cực tiểu hóa hàm Boole biến F = wxyz+ wxyz+ wxyz + wxyz+ wxyz+ wxyz + wxyz+ wxyz+ wxyz + wx z + wxyz Giải Lập bảng chuỗi bit xếp thứ tự theo số bit giảm dần STT T.T.T wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz wxyz 10 wxyz 11 wxyz 149 Chương 7: Đại số Bool Bước (1,4,5,9) (1,4,7,10) (1,5,7,8) (2,6,7,8) (3,4) (4,9,10,11) (5,8,9,11) (7,8,10,11) Nhận xét: qua bước 2, có nhiều từ trùng nên ta lược bớt để dễ thấy từ rút gọn wxy xuất phát từ không kết hợp với từ khác nên ta phải giữ lại để tránh việc thiếu sót, có số từ trùng sau bước thu gọn ta loại bớt Kết cho thấy sau bước ta tìm hàm Boole rút gọn ba từ phủ khắp 11 từ tối tiểu cho ( , , ,)= + + Bài tập Bài 7.1 Hãy xây dựng bảng giá trị hàm F ( , , ) a) ( , , ) b) ( , ,)= c) ( , , ) d) Bài 7.2 Hãy dùng hình lập phương biểu diễn giá trị hàm F Bài 7.1 Tơ đậm đỉnh mà hàm F có giá trị Bài 7.3 Chứng minh + + = + + 150 Chương 7: Đại số Bool Bài 7.4 Tìm biểu thức Boole biểu diễn hàm Boole biến F G với giá trị cho bảng kế bên x 1 1 0 0 Bài 7.5 Tìm dạng phân ly chuẩn tắc hàm a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ( , ,)= + + ( , ,)=(+) ( , ,)= ( , , )= ( , ,)= + ( , ,)= + ( , ,)= + ( , ,)= + ( , ,)= + ( , ,)= + Bài 7.6 Tìm đầu mạch logic sau Hình 7-1 Hình 7-2 Bài 7.7 Tìm đầu mạch logic sau 151 Chương 7: Đại số Bool Hình 7-3 Hình 7-4 Bài 7.8 Tìm biểu đồ K (Karnaugh) biểu diễn hàm Boole F suy dạng tối tiểu hàm F a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) ( , )= + ( , )= + ( , )= + ( , )= + ( , )= + + ( , ,)= + ( , , ) =+ ( , ,)= ++ ( , ,)= ++ ( , ,)= + ++ ( , , )= + + ++ ( , , , ) =++++ ( , , , ) =++++ o) ( , , , )= + + + + + + + ( , , , )= + + + + + + + Bài 7.9 Dùng phương pháp Quine–McCluskey tìm dạng tối tiểu hàm F Bài 7.8 Bài 7.10 Cho hàm Boole ( , ,)= + a) Lập bảng giá trị hàm b) Tìm dạng phân ly chuẩn tắc hàm c) Tìm dạng tối tiểu hóa hàm Nhận xét gì? 152 Tài liệu tham khảo [1] Giáo trình Tốn rời rạc Đồn Thiện Ngân, Huỳnh Văn Dức, Hồng Anh Tuấn, Nguyễn Cơng Trí, Khoa Tin học quản lý 2010 [2] Discrete Mathematics And Its Applications, Seventh Edition, Kenneth H Rosen, McGraw-Hill, 2012 153 ...Lời nói đầu Đây tài liệu hỗ trợ học tập mơn Tốn dùng tin học cho sinh viên khoa Hệ thống thơng tin kinh doanh Nội dung tài liệu có chương đề cương chi tiết môn học Khoa CHƯƠNG Logic –... đọc tài liệu khác) ℤ = {…, –2, –1, 0, 1, 2, …}, tập số nguyên (tương đối) ℤ+ = {1, 2, …}, tập số nguyên dương 33 Chương 2: Tập hợp – Các phép toán tập hợp ℚ = { : ∈ ℤ, ∈ ℤ, 0}, tập số hữu tỉ ℝ tập. .. A B ≠ B A 34 Chương 2: Tập hợp – Các phép toán tập hợp Các phép toán tập hợp Định nghĩa 2.5 Cho A, B hai tập hợp tập vũ trụ U Hợp A B tập A B = {x U | x A x B} Giao A B tập A B = {x U | x A x