Tính chất ưl OLS

KTL

TÍNH KHÔNG CHỆCH VÀ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA ƯỚC LƯỢNG OLS

1-Các giả thiết của phương pháp

Xét mô hình hồi qui tuyến tính:

Y = β1 + β2X + u

với đưa ra các giả thiết sau đây :

Gỉa thiết 1 : Mô hình được ước lượng trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên kích thướt n :

{(Xi, Yi), i = 1,2,…n}

Khi đó mô hình trên có thể viết chi tiết cho từng quan sát mẫu như sau:

Yi = β1 + β2Xi + ui (i = 1,2 , n)

Trong đó ui là sai số ngẫu nhiên cho quan sát thứ I, bao hàm các yếu tố có ảnh hưởng đến

Yi ngoài Xi Các Xi và các Yi độc lập với nhau

Gỉa thiết 2 : Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên với X bằng 0:

E(u|X) = 0

=> E(ui|xi) = 0 với mọi i

Khi đó ta có:

E(u) = 0

Cov(X,u) = 0

Tại mỗi giá trị của X = Xi bất kì thì trung bình và do đó tổng ảnh hưởng của các yếu tố bên ngoài X lên Y là bằng 0

Gỉa thiết này trước hết nhằm đảm bảo ý nghĩa cho hệ số β2 : tác đọng của sự thay đổi biến

X một đơn vị lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc

Gỉa thiết 3 : Phương sai của sai số ngẫu nhiên là như nhau tại mọi giá trị Xi :

Var(u|x) = ϭ2

Tại mỗi giá trị của X thì sai số ngẫu nhiên u có phương sai cùng bằng một hằng số nào đó

Về mặt hình học giả thiết này minh họa cho 2 trường hợp là :

Phương sai của sai số ngẫu nhiên bằng nhau tại mọi giá trị của X Hàm mật độ phân phối của u tại các giá trị khác nhau của X là khá đòng nhất vơi nhau Vạy giả thiết 2 được thỏa mãn

Phương sai sai số lớn dần theo giá trị của X Khi X càng lớn thì phương sai sai số càng lớn

2-Tính không chệch của ước lượng OLS

Định lí 1.1 : Khi giả thiết 2 thỏa mãn thì các ước lượng β1 ,β2 là các ước lượng không chệch của β1 ,β2, nghĩa là :

E(^β1) = β1 ; E(^β2) = β2

Chứng minh:

Gỉa định rằng X là không hoàn toàn giống nhau trong mẫu Với mẫu {(Xi, Yi) i = 1,2, ,n}

ta có thể viết lại như sau:

Yi = β1 + β2Xi + ui với (i = 1,2, n)

=> Y1 = β1 + β2X´ + u´

Do đó: y1 = β2xi + ui - u´

Thay yi vào

i=1

n

xiyi / ∑

i=1

n

xi2

i=1

n

xi(β2xi + ui - u´) / ∑

i=1

n

xi2

i=1

n

xiui - u´∑

i=1

n

xi)/( ∑

i=1

n

xi2)

Mặt khác ta có:

i=1

n

x1 = (X1 + + Xn -nX´) = 0

=> ^β2 = β2 + ( ∑

i=1

n

xiui )/( ∑

i=1

n

xi2 )

= β2 + ∑

i=1

n

kiu1

Trong đó : k1 =

xi

∑

i=1

n xi2

Lấy kỳ vọng có điều kiện của 2 vế, vói điều kiện giả thiết 2 thỏa mãn, ta có:

E(´β2) = β2

Ngoài ra ta có : Y´ = β1 + β2X´ +u´

Lúc đó ta có :

´β1 = Y´ - ^β2X´ = (β1 + ^β2X´ + u) - ´ ^β2X´ = β1 + (β2 - ^β2)X´ +u´

Từ đó ta suy ra :

E(^β1) = β1

=> đpcm

3.Độ chính xác của các ước lượng OLS

- Tính không chệch là một tính chất tốt của của ƯL : cho biết TB của sai lệch

Tuy nhiên ta lại không biết được cac sai lêch này có thể lớn thế nào Sai lệch nhỏ

=> Độ chính xác cao

tương ứng :

E( j - j )2

- Khi j là ƯL không chệch của j :

j = E( j)

=> Độ chính xác = phương sai của các ƯL :

E( j - j )2 = E[( j – E( j))2] = var( j)

=>Xác định độ chính xác của các ƯL = tìm phương sai của chúng Với pp OLS , phương sai của các ƯL thể hiện qua định lý sau:

(1)

(2)

a) Chứng minh công thức (1)

●Do Xi đã biết =>

Hay

của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập + GT3 về sự đồng đều của phương sai ( Var

u l x)=σ2 )

Ta có:

b) Chứng minh công thức (2)

Ta có :

●Lấy phương sai (có đk) 2 vế của biểu thức trên, ta có :

●Khi GT3 tm + các ui độc lập => Var(u)= σ n + công thức (1) :

,biểu thức trên :

(*)

● Thay vào (*) ta có:

(Đccm)

động càng cao thì việc đánh giá tác độg của 1 biến độc lập cụ thể lên biến phụ thuộc sẽ kém chính xác

+ Var( 2) phụ thuộc vào độ phân tán của biến độc lập xung quanh giá trị

hiện được tác động của X lên Y => ƯL càng chính xác hơn

ƯL của phương sai sai số ngẫu nhiên :

● Từ GT3 ta có :

σ 2= Var(u l Xi )

= E( u 2 lxi ) – E(E(u l xi )2)

● Khi GT2 thỏa mãn

σ 2= Var(u l Xi )

= E((ulxi)2)

=>Với mẫu kíchthước n ,ƯL của phương sai sai số :

√Var ( j) với σ2 được thay bởi ƯL không chệch của nó là 2 :

Một số tính chất đại số của hàm hồi quy mẫu :

Khi mô hình có hệ số chặn ,các ƯL OLS thỏa mãn 1 số tính chất sau:

TC1: Tổng các phần dư bằng 0

TC2: hiệp phương sai mẫu giữa biến độc lập và phần dư bằng 0

Cov(X,e)=0

Trong đó : e =(e 1,…,en), X=(X 1,…,Xn )

TC3: Đường hồi quy mẫu luôn đi qua giá trị trị trung bình mẫu

TC4: Trung bình của giá trị ƯL của biến phụ thuộc bằng trung bình mẫu của nó