Lý thuyết đồ thị định nghĩa và phân loại

Lý thuyết đồ thị định nghĩa và phân loại

Bài 1

ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI

Bộ môn: Khoa học máy tínhKhoa: Công nghệ thông tin - SPHN

NỘI DUNG

1 Định nghĩa đồ thị ?

1.1 Đồ thị vô hướng1.2 Đồ thị có hướng

2 Phân loại đồ thị ?

Ví dụ: Một bản đồ giao thông là một đồ thị

với hệ thống đỉnh là các ngã ba, ngã tư Các

đường đi là các cạnh của đồ thị

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1.1 Đồ thị vô hướng

Ví dụ: Cho tập V = {2, 3, 4, 5,6} Hãy biểu diễn

quan hệ nguyên tố cùng nhau của tập trên

6

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1.1 Đồ thị vô hướng

Đồ thị vô hướng G = (V, E) Trong đó:

+ V là tập hợp, các phần tử của nó được gọi

là đỉnh

+ E là tập hợp, mỗi phần tử là một cặp

không thứ tự (v, w) của 2 đỉnh thuộc V

(v, w) được gọi là cạnh nối v và w

 (v, w )  (w, v)

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1.1 Đồ thị vô hướng

Ví dụ: Đồ thị cạnh tranh trong sinh thái học

Mỗi loài là được biểu diễn bằng một đỉnh.

Nếu hai loài cạnh tranh thức ăn với nhau thì hai đỉnh tương ứng có cạnh nối

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1.2 Đồ thị có hướng

Ví dụ: Cho tập V = {2, 3, 4, 5,6} Hãy biểu diễn

quan hệ: aRb  a là ước của b và a  b

6

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

1.2 Đồ thị có hướng

Đồ thị có hướng G = [V, E] Trong đó:

+ V là tập hợp, các phần tử của nó được gọi là đỉnh

+ E là tập hợp, mỗi phần tử là một cặp

có thứ tự [v, w] của hai đỉnh của tập V

[v, w] gọi là cung từ v đến w

 [v, w ] ≠ [w, v]

1

1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ

Một số thuật ngữ: Cạnh e=(v,w)E, vV, wV, khi đó:

+ e là cạnh liên thuộc v, w

+ v, w được gọi là kề nhau

+ v, w gọi là đỉnh đầu mút của cạnh e

+ Nếu e=[v,w] thì v gọi là đỉnh đầu (đỉnh xuất

phát), w là đỉnh cuối (đỉnh đích) của cung e

+ Nếu v  w thì e được gọi là khuyên

+ Nếu có e’ = (v,w) thì e và e’ được gọi là hai

cạnh song song (cùng liên thuộc một cặp đỉnh)

a

b d

c

e

2 1

3

a

b d

c

e

2 PHÂN LOẠI ĐỒ THỊ

Phân loại theo tính chất cạnh của đồ thị:

+ Đồ thị vô hướng là đồ thị mà tất cả các cạnh là cạnh vô hướng

+ Đồ thị có hướng là đồ thị mà tất cả các cạnh là

có hướng

+ Đồ thị hỗn hợp là đồ thị có cả cạnh vô hướng

và cạnh có hướng

Cạnh có hướng nếu là đường một chiều

Cạnh vô hướng nếu là đường hai chiều

G3 là không là đồ thị con của G

3 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH

Đường đi là dãy các cạnh ei = (vi, vi+1) (i=1, 2,…, m) dãy các đỉnh trên đường đi v1, v2, …, vm, vm +1

Ký hiệu: H = (v1, e1, v2, e2, …, em, vm+1)

Đường đi H = (v1, e1, v2, …, em, vm+1)

mà v1 vm+1 được gọi là chu trình.

Độ dài đường đi (chu trình) bằng số cạnh của nó

Khi đồ thị là đơn thì đường đi (chu trình) được ký

hiệu đơn giản bằng dãy các đỉnh.

H = (v1, v2, …, vm, vm+1)

C = (v1, v2, …, vm, v1)

3 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH

Ví dụ

A, D, C, G, E - đường đi độ dài 4

D, E, C, A – không là đường đi

B, C, G, E, B – chu trình độ dài 4

3 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH

Nhận xét:

- Khuyên là một chu trình độ dài 1

- Nếu đồ thị có cặp cạnh song song thì có chu trình

4 LIÊN THÔNG

4.1 Khái niệm

Hai đỉnh liên thông: v và w được gọi là liên

thông với nhau nếu có một dãy cạnh kế tiếp nối v

4 LIÊN THÔNG

4.1 Khái niệm

Tính chất cơ bản của quan hệ liên thông hai đỉnh:

+  v V thì v liên thông với chính nó

+ v liên thông với w thì w liên thông với v+ Nếu v liên thông w và w liên thông u thì

v và u liên thông

Quan hệ liên thông hai đỉnh là quan hệ tương đương

4 LIÊN THÔNG

4.1 Khái niệm

Đồ thị liên thông là một đồ thị mà hai đỉnh bất kỳ liên

thông với nhau

4 LIÊN THÔNG

4.2 Thành phần liên thông

Quan hệ liên thông giữa các đỉnh phân hoạch tập đỉnh V thành các tập con thoả mãn hai đỉnh bất kỳ: + Nếu thuộc cùng một tập con thì liên thông với nhau.

+ Nếu thuộc hai tập con khác nhau thì không liên thông với nhau.

4 LIÊN THÔNG

4.2 Thành phần liên thông

Mỗi tập con trong phân hoạch cùng với các cạnh nối các đỉnh của chúng tạo thành một đồ thị thành phần

Đồ thị thành phần này được gọi là thành phần liên thông của đồ thị đã cho

 Một đồ thị không liên thông được chia

thành các đồ thị thành phần liên thông

4 LIÊN THÔNG

4.3 Đỉnh cắt, cạnh cầu

Đỉnh cắt: v được gọi là đỉnh cắt nếu bỏ nó

cùng các cạnh liên thuộc sẽ làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị con

Cạnh cầu: e được gọi là cạnh cầu nếu xoá nó

thì sẽ làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị con

là đỉnh cắt

4.3 Đỉnh cắt, cạnh cầu

Ví dụ:

là cạnh cầu

4 LIÊN THÔNG

4.3 Đỉnh cắt, cạnh cầu

Ví dụ:

4.4 Chỉ số liên thông

Cho G = (V,E) liên thông, k  N, k ≥ 2

Nếu xoá đi t (t< k) đỉnh bất kỳ đồ thị thu được vẫn là liên thông thì nói G là đồ thị k-liên thông

Số tự nhiên lớn nhất k thoả mãn điều kiện:

- G là k - liên thông

- Nhưng không có (k + 1) – liên thông

Khi đó k được gọi là chỉ số liên thông của G

4 LIÊN THÔNG

d a

d a

1 ĐỒ THỊ ĐẦY ĐỦ

Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, là đơn đồ thị

vô hướng mà giữa hai đỉnh bất kỳ đều có cạnh nối

- Biểu diễn các cặp đấu trong một giải thi đấu

mà các đội thi đấu vòng tròn một lượt

2 ĐỒ THỊ VÒNG

Đồ thị vòng C n (n ≥ 3) là một đồ thị có n đỉnh v1,

v2, …, vn và có n cạnh (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn), (vn, v1).

3 ĐỒ THỊ HÌNH BÁNH XE

Đồ thị hình bánh xe: Cho chu trình Cn (n≥3) và thực hiện:

- Thêm một đỉnh vnew.

-Thêm các cạnh nối vnew với đỉnh của chu trình

Ta sẽ được đồ thị hình bánh xe Ký hiệu là Wn (n≥3).

Wn có:

-n + 1 đỉnh.

-deg(vnew) = n, deg(v) = 3,  v ≠ vnew

-2n cạnh.

4

4 ĐỒ THỊ HÌNH KHỐI

Đồ thị khối n chiều (n1), ký hiệu Qn là đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh biểu diễn bằng một xâu nhị phân độ dài n Hai đỉnh kề nhau khi và chỉ khi các xâu nhị phân biểu diễn chúng khác nhau đúng 1 bít

Bậc của mỗi đỉnh bằng n

Số cạnh là n.2n-1

4 ĐỒ THỊ HÌNH KHỐI

01 00

2

Q

011 001

6 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN

Hai tính chất của đồ thị lưỡng phân:

(1) Mỗi đồ thị con của đồ thị lưỡng phân cũng là một

đồ thị lưỡng phân

(2) Đồ thị lưỡng phân không có khuyên

Ví dụ: Xét đồ thị biểu diễn quan hệ hôn nhân của một

làng.

- Mỗi đỉnh biểu diễn một người

- Mỗi cạnh biểu diễn quan hệ vợ chồng giữa 2 người

 Đồ thị hai phía với V1 là tập gồm đàn ông, V2 là tập gồm đàn bà.

6 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN

Định lí: Một đồ thị G là đồ thị lưỡng phân khi

và chỉ khi mọi chu trình của nó có độ dài chẵn

6 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN

Với hai tập đỉnh V1 và V2 được thiết lập như trên đã phân hoạch tập đỉnh của G1 thành 2 phần thoả mãn mỗi cạnh chỉ nối một đỉnh của V1 với một đỉnh của V2

Như vậy, G1 là đồ thị lưỡng phân

 G là đồ thị lưỡng phân

6 ĐỒ THỊ LƯỠNG PHÂN

Đồ thị G = (V, E) là đồ thị lưỡng phân đầy đủ,

ký hiệu là Km,n, nếu G là đồ thị hai phía, tập đỉnh

1 0

0 0

0 0

1 0

1 1

1 1

0 1

0 0

0 0

1 0

1 0

0 1

0 1

0 1

0 1

0 0

1 1

- Xét ma trận tích Ap = A.A…A (p thừa số) Khi đó aijp là số đường đi khác nhau độ dài p từ đỉnh i đến đỉnh j.

v , (v nÕu

E )

v , (v nÕu

j

j

i

i j

i ij

) v , v (

c c

Trong đó: θ  {0, +, -}

1 2

B C D E

6 4

0 0

2 0

0 6

0 3

6 0

0 1

5 0

4 6

1 0

0 2

0 0

5 0

0 4

0 3

0 2

4 0

v thuéc n

liª kh«ng

e nÕu

v thuéc n

liª e

nÕu 0

1

3 MA LIÊN THUỘC

Ví dụ:

2 1

3

a

b d

0 1

0

0 0

1 1

1

1 1

0 0

1

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Trong hoá học, các đồ thị được dùng để tạo mô hình các hợp chất Có nhiều chất có cùng công thức phân tử nhưng cấu trúc khác nhau Chúng được biểu diễn bằng các đồ thị khác nhau.

Các đồ thị có cùng cấu trúc được gọi là các đồ thị đẳng cấu biểu diễn mô hình của cùng một chất.

Ví dụ: Xét công thức phân tử C2H4O2.

C

O H

H

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Cho hai đơn đồ thị G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2)Nếu tồn tại một song ánh

f: V1  V2

Sao cho f bảo toàn quan hệ liền kề giữa các cặp

đỉnh, tức là:

(v, w)  E1 khi và chỉ khi (f(v), f(w)) E2.

Khi đó: G1 và G2 được gọi là đẳng cấu với nhau

f được gọi là một phép đẳng cấu.

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

Nhận xét:

- Để xác định sự đẳng cấu giữa hai đồ thị là một bài toán không đơn giản, vì giữa hai đồ thị có n

- Để chỉ ra hai đồ thị không đẳng cấu với nhau

ta chỉ ra chúng không có một tính chất mà hai đồ thị đẳng cấu phải có:

+ Số lượng đỉnh

+ Số lượng cạnh

+ Bậc của các đỉnh

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

4 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI ĐỒ THỊ

I

III II

Bảy cây cầu ở thành phố

1 ĐƯỜNG MỘT NÉT EULER

Cho một đồ thị vô hướng có n đỉnh, m cạnh

Một dãy chứa tất cả m cạnh của đồ thị và có dạng:

v1, e1, v2, e2, …, vm, em, vm+1

Sao cho cạnh ei nối hai đỉnh vi và vi+1

Dãy cạnh đó gọi là đường một nét Euler.

Nếu v1  vm+1 thì gọi đường một nét Euler khép kín

Nếu v1  vm+1 thì gọi đường một nét Euler mở

mở khi và chỉ khi số đỉnh bậc lẻ của G là 2.

Đồ thị Euler được ứng dụng trong các bài toán thực tế như tìm hành trình ngắn nhất cho người đưa thư, xe thu rác, cảnh sát tuần tra

6

1 ĐƯỜNG MỘT NÉT EULER

Ví dụ:

2 G

a d

3

5 6

7

b c e

G 2 không có đường một nét Euler

1 ĐƯỜNG MỘT NÉT EULER

Thuật toán tìm đường một nét Euler khép kín

Bước 1: Chọn đỉnh a làm đỉnh bắt đầu Xây

dựng đường một nét kép kín con C’

Bước 2: Loại bỏ các cạnh trong C’ khỏi đồ thị

Loại bỏ các đỉnh cô lập (nếu có)

Bước 3: Lấy một đỉnh chung của C’ và đồ thị

còn lại để xây dựng đường một nét con tiếp theo C’’ Rồi khép vào C’ và quay lại bước 2 Lặp cho đến khi cách cạnh được đưa hết vào C’

2 CHU TRÌNH HAMILTON

Cho G = (V, E), nếu tồn tại một chu trình C đi qua tất

2 CHU TRÌNH HAMILTON

Whiney (1931): Trong đồ thị phẳng có mỗi

miền là một tam giác với điều kiện 3 cạnh bất kỳ của nó lập thành một tam giác chỉ khi tam giác

đó là một miền của đồ thị thì đồ thị là Hamilton

Tutte: Mọi đồ thị phẳng 4-liên thông đỉnh đều

có một chu trình Hamilton

Dirac (1952): Đơn đồ thị vô hướng G có n > 2

đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ thị Hamilton

G1 không chứa đường đi và chu trình Hamilton

G2 chứa đường đi Hamilton

G3 chứa chu trình Hamilton

2 CHU TRÌNH HAMILTON

Thuật toán liệt kê tất cả các chu trình Hamilton

-Thuật toán được xây dựng trên cơ sở thuật toán quay

lui cho phép liệt kê tất cả các chu trình Hamilton.

-Phát triển một dãy đỉnh x[1], x[2], …, x[k], … của đồ

thị G = (V, E) cho bởi danh sách kề Ke(v), vV

2 CHU TRÌNH HAMILTON

Ví dụ:

2 4

3

3 3

1 4

2 1

4 2 1

Bài 6

ĐỒ THỊ PHẲNG

VÀ BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Bộ môn: Khoa học máy tínhKhoa: Công nghệ thông tin – SPHN

1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ PHẲNG

Bài toán: Xây đường đi từ ba ngôi nhà với ba

giếng riêng rẽ như hình sau

Giếng 1 Giếng 2 Giếng 3

Có cách nào

mà không có các

đường cắt nhau

1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ PHẲNG

Mô hình hoá bài toán bằng đồ thị phân đôi đầy

đủ K3.3

K 3,3

Khi đó câu hỏi trên được diễn đạt như sau:

“Tồn tại hay không cách vẽ đồ thị phân đôi

đầy đủ K3,3 trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau?”

1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ PHẲNG

Một đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên một mặt phẳng sao cho không có các cạnh nào cắt nhau ở một điểm không phải là đỉnh của đồ thị

Chú ý: một đồ thị có thể được vẽ bằng nhiều cách khác nhau Nếu tồn tại một cách vẽ thoả mãn định nghĩa trên thì nó là đồ thị phẳng.

2 CÔNG THỨC EULER

Công thức Euler

Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với

m là số cạnh và n là số đỉnh Gọi f là số miền trên biểu diễn phẳng của G

2 CÔNG THỨC EULER

Ví dụ 2: Chứng minh rằng K3,3 không phải là đồ thị phẳng.

Giải: Giả sử K3,3 là đồ thị phẳng.

Mỗi chu trình của K3,3 gồm ít nhất là 4 cạnh.

Nên mỗi miền bị giới hạn bởi ít nhất 4 cạnh.

3 ĐỊNH LÝ KURATOWSKI

Ta có: K3,3 và K5 không là đồ thị phẳng

Nếu K3,3 hoặc K5 là đồ thị con của G thì G là đồ thị không phẳng

Phép nhân chia sơ cấp cạnh (u, v) trên đồ thị là:

+ Loại bỏ cạnh này khỏi đồ thị

+ Thêm vào đỉnh w và hai cạnh (u, w), (w,v)

Hai đồ thị G và H được gọi là đồng phôi nếu

chúng có thể nhận được từ cùng một đồ thị bằng một dãy các phép nhân chia sơ cấp

G

Ví dụ: G2 và G3 là hai đồ thị đồng phôi vì chúng có thể nhận được từ đồ thị G1 bằng các phép phân chia sơ cấp.

4 TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Bài toán: Để phân biệt các miền trên bản đồ ta

phải tô màu chúng bằng các màu khác nhau

Hỏi cần ít nhất bao nhiêu màu để tô một bản đồ bất kỳ sao cho các miền kề nhau không cùng một màu

G

4 T Ô MÀU ĐỒ THỊ

Mô hình hoá bài toán:

+ Mỗi miền tương ứng một đỉnh của đồ thị

+ Hai đỉnh có cạnh nối nếu chúng là hai miền có

chung biên giới

Đồ thị nhận được gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ

Đồ thị đối ngẫu của bản đồ là đồ thị phẳng

Bài toán tương đương: tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau thì được tô bởi hai màu khác nhau

4 T Ô MÀU ĐỒ THỊ

Định nghĩa: Tô màu đồ thị là việc gán màu cho

các đỉnh của đồ thị sao cho không có hai đỉnh kề nhau được gán cùng một màu

Định nghĩa: số màu của một đồ thị là số màu tối

thiểu cần để tô màu đồ thị này

Định lý 4 màu: số màu của một đồ thị phẳng bất

kỳ là một số không lớn hơn 4

Nhận xét:

- Số màu của đồ thị lưỡng phân là 2 màu.

- Số màu của đồ thị đầy đủ Kn là n màu

4 TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Ví dụ: Bài toán lập lịch thi

Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi đồng thời hai môn cùng một lúc

Giải: Mô hình hóa bài toán như sau:

- Mỗi đỉnh là một môn thi

- Hai đỉnh có cạnh nối nếu đó là hai môn mà một sinh

viên nào đó phải thi.

Thời gian mỗi môn thi ứng với một màu.

Bài toán trở thành bài toán tô màu cho đồ thị trên sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau.

1 BÀI TOÁN THỰC TẾ

Có 6 điểm du lịch trong một khu sinh thái là a,

b, c, d, e, z Giữa hai điểm có thể có hoặc không

có đường đi trực tiếp

Hãy tìm đường đi có khoảng cách ngắn nhất từ điểm a đến z

1 BÀI TOÁN THỰC TẾ

Bài toán được mô hình hoá bằng đồ thị có trọng số như sau:

+ Mỗi đỉnh biểu diễn một điểm du lịch

+ Hai đỉnh có cạnh nối nếu có đường đi trực tiếp.+ Trọng số của cạnh được gán là khoảng cách từ điểm này sang điểm kia

Đường đi ngắn nhất là đường đi có tổng trọng

số cách cạnh của nó là nhỏ nhất

2 THUẬT TOÁN DIJKSTRA

Bài toán: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến z

của đồ thị có trọng số liên thông G = (V, E).

Thuật toán Dijkstra (đề xuất năm 1959 do nhà

toán học Hà Lan E.Dijkstra)

Gọi L(v) là độ dài đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến đỉnh v.

S là tập các đỉnh đã tìm được đường đi ngắn nhất từ

a đến nó.

Pr(v) là đỉnh ngay trước đỉnh v trên đường đi ngắn nhất

2 THUẬT TOÁN DIJKSTRA

Thuật toán:

+ Bước 1: L(a) = 0, S = Ø,  vS, v  a: L(v) =  + Bước 2: Nếu z S thì kết thúc.

+ Bước 3: Chọn v S sao cho L(v) là nhỏ nhất.

4

2 1

Đường đi ngắn nhất từ a đến z là:

a – b – e – c - z

3 VÍ DỤ

Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến cách đỉnh còn lại trong đồ thị sau:

5

4

6

3 VÍ DỤ

D C

1

2

3

5 4

3 VÍ DỤ

D C

1

2

3

5 4

3 VÍ DỤ

D C

1

2

3

5 4

3 VÍ DỤ

D C

1

2

3

5 4

3 VÍ DỤ A B

D C

1

2

3

5 4

Bài 8

CÂY VÀ ỨNG DỤNG

Bộ môn: Khoa học máy tính

Khoa: Công nghệ thông tin – SPHN

1 CÂY

Định nghĩa: Cây là một đơn đồ thị vô hướng,

liên thông và không có chu trình

Cây có gốc: nếu ta chọn một đỉnh đặc biệt gọi

là gốc của cây và định hướng các cạnh trên cây

từ gốc đi ra thì ta được một đồ thị có hướng gọi

là cây có gốc

Chọn đỉnh làm gốc khác nhau sẽ tạo ra các cây khác nhau

f d

b

1 CÂY

Một số khái niệm: Cho T là một cây có gốc, v là

một đỉnh khác gốc của T

+ Cha của v là đỉnh u nếu có một cạnh có hướng

duy nhất từ u  v Khi đó, u được gọi là cha của v;

1 CÂY

+ Cây con với gốc a là đồ thị con của cây đang xét,

bao gồm a và các con cháu của nó cùng tất cả các cạnh liên thuộc với các con cháu của a.

+ Mức của một đỉnh: là khoảng cách từ gốc đến

nó.

+ Chiều cao của cây: mức lớn nhất của một đỉnh

bất kỳ trong cây gọi là chiều cao của cây.