TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ThS Đồn Vương Ngun BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP Trình độ: Đại học Thời lượng giảng dạy: 30 tiết TP HỒ CHÍ MINH – 2019 LƯU HÀNH NỘI BỘ Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh MỤC LỤC Chương VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ ……………………………………………………… 1.1 Bổ túc hàm số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Đại lượng vô bé – vô lớn 11 Bài ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TÌM GIỚI HẠN 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 15 2.2 Đạo hàm cấp cao 19 2.3 Quy tắc L’Hospital 20 Chương TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN 21 2.1 Tích phân bất định 21 2.2 Tích phân xác định 22 2.3 Tích phân suy rộng loại 33 2.4 Tích phân suy rộng loại 35 Chương CHUỖI SỐ 39 3.1 Định nghĩa chuỗi số 40 3.2 Chuỗi số dương 40 3.3 Chuỗi số có dấu tùy ý 40 Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Error! Bookmark not defined 4.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN .Error! Bookmark not defined 4.2 ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN Error! Bookmark not defined 4.3 CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 Bài giảng: Toán cao cấp Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Chương GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1 Bổ túc hàm số 1.1.1 Định nghĩa Xét hai tập khác rỗng D Y Hàm số f quy tắc (hay ánh xạ) cho tương ứng phần tử x D với phần tử y Y , ký hiệu f (x ) f : D Y x y f (x ) • Tập D gọi miền xác định (MXĐ - domain) hàm số f , ký hiệu D f • Tập f (Df ) {f (x ) | x D f } gọi miền giá trị (range) hàm f • Đồ thị (graph) hàm f có MXĐ D tập hợp điểm x, f (x ) x D mặt phẳng Oxy • Nếu hàm f thỏa mãn f ( x ) • Nếu hàm f thỏa mãn f ( x ) Bài giảng: Toán cao cấp f (x ), x f (x ), x Df f gọi hàm số chẵn D f f gọi hàm số lẻ Đoàn Vương Nguyên Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh • Hàm f gọi đồng biến (a;b) f (x ) (a;b) ; f gọi nghịch biến (a;b) f (x ) x 1, x x1 f (x ) x x với x 1, x x với f (x ) (a;b) 1.1.2 Hàm số hợp Giả sử hai hàm số h(x ) (f g )(x ) f Df Khi đó, hàm số f (g(x )) gọi hàm số hợp f g 3x g(x ) VD Xét f (x ) thỏa mãn Gg g x , ta có: • Hàm số hợp f g f (g(x )) 3(g(x ))2 3x 6x • Hàm số hợp g f g(f (x )) f (x ) 3x 1.1.3 Hàm số ngược • Hàm x1 x số f f (x ) gọi f (x ) song ánh (one-to-one function) • Xét hàm song ánh f có MXĐ D miền giá trị G Khi đó, hàm số ngược f , ký hiệu f , có MXĐ G miền giá trị D định nghĩa f 1(y ) 2x f 1(x ) VD Nếu f (x ) ▪ Chú ý • MXĐ f miền giá trị f x f (x ) y (x log2 x (x 0) D, y G) miền giá trị f , MXĐ f • Đồ thị hàm y f (x ) đối xứng với đồ thị hàm y f (x ) qua đường thẳng y x Bài giảng: Toán cao cấp Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh 1.1.4 Hàm số Lượng giác ngược 1.1.4.1 Hàm số y = arcsin x arcsin x y sin y x, y ; 2 1 cot arcsin VD Tính arcsin Giải • Ta có arcsin • Đặt arcsin Vậy, ta có cos , sin 16 , ta sin 1 ; 2 ; 2 15 , cot arcsin 4 cot cos sin 15 1.1.4.2 Hàm số y = arccos x arccos x Bài giảng: Toán cao cấp y cos y x, y 0; Đoàn Vương Nguyên VD arccos ; Trường Đại học Công Nghiệp Tp Hồ Chí Minh ; arccos arccos( 1) arccos ; 2 1.1.4.3 Hàm số y = arctan x arctan x y tan y x, y ; 2 ▪ Quy ước arctan( VD arctan( 1) ) ; arctan , arctan( ) 1.1.4.4 Hàm số y = arccot x arccot x y arccot( ) cot y x, y 0; ▪ Quy ước Bài giảng: Toán cao cấp 0, arccot( ) Đoàn Vương Nguyên VD arccot( 1) Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh ; arccot 1.2 Giới hạn hàm số 1.2.1 Giới hạn tổng quát Ta viết lim f (x ) x a L đọc “giới hạn f (x ) , x tiến đến a , L ” ta làm cho giá trị f (x ) gần với L cách cho x tiến gần đến a (kể hai phía a ) khơng a ▪ Định nghĩa Xét hàm f xác định khoảng chứa điểm a Ta nói giới hạn f ( x) x tiến đến a L , kí hiệu lim f ( x) = L với tồn thỏa mãn: x →a | x − a | | f ( x) − L | 1.2.2 Giới hạn phía Ta viết lim f (x ) x a L đọc “giới hạn bên trái f (x ) x tiến đến a L ” ta làm cho giá trị f (x ) gần với L cách cho x tiến sát đến a x nhỏ a Tương tự, ta cho x tiến đến (và lớn hơn) a , ta “giới hạn bên phải f (x ) x tiến đến a L ” viết lim f (x ) L x Bài giảng: Tốn cao cấp a Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh a ” nghĩa ta xét x a , “ x ▪ Chú ý Ký hiệu “ x x a ▪ Định nghĩa lim f (x ) L •x a với tồn thỏa mãn: a • lim f (x ) x a x L tồn với a a | f (x ) L | x a a ” nghĩa thỏa mãn: | f (x ) L| ▪ Định lý lim f (x ) x a L lim f (x ) x a L lim f (x ) x a 1.2.3 Giới hạn vô Xét hàm f (x ) xác định khoảng chứa điểm a Khi đó, lim f (x ) x lim f (x ) x a a hay có nghĩa giá trị tuyệt đối f (x ) vô lớn x tiến đến a , khác a Có dạng sau Bài giảng: Tốn cao cấp Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh ▪ Định nghĩa • Giả sử hàm số f xác định khoảng chứa điểm a Khi lim f (x ) x nghĩa với giá trị dương M tồn |x có a thỏa mãn f (x ) a| M • Giả sử hàm số f xác định khoảng chứa điểm a Khi lim f (x ) x nghĩa với giá trị âm N tồn |x có a thỏa mãn f (x ) a| N 1.2.4 Quy tắc giới hạn Giả sử k số lim f (x ) , lim g(x ) tồn Khi x 1) lim[k.f (x )] x x x g(x )] a 3) lim[ f (x )g(x )] x x a a lim f (x ) x x a lim f (x ) f (x ) g(x ) x a lim g(x ) x lim g(x ) a x a lim f (x ).lim g(x ) a 4) lim a k.lim f (x ) a 2) lim[ f (x ) x a x a lim g(x ) x a a ▪ Định lý Nếu f (x ) g(x ) x tiến đến a ( x lim f (x ) x a a ) lim f (x ) , lim g(x ) tồn x x a a lim g(x ) x ▪ Định lý kẹp Nếu f (x ) h(x ) g(x ) x tiến đến a ( x lim h(x ) x a a a ) lim f (x ) x a lim g(x ) x a L L Bài giảng: Tốn cao cấp Đồn Vương Nguyên ▪ Chú ý Trường Đại học Công Nghiệp Tp Hồ Chí Minh 1 , , ▪ Một số kết giới hạn cần nhớ sin (x ) tan (x ) 1) lim lim (x ) (x ) (x ) (x ) x x 2) lim x lim f (x ) , n a x a lim g (x ) 4) lim [ f (x )]g (x ) x lim f (x ) x a x 5) lim n f (x ) x x x ln x x a a x x x x a (nếu n lẻ, ta giả sử lim f (x ) a lim lim f (x ) x lim f (x ) , n n a 6) lim e n 3) lim[ f (x )]n x x lim x x 1, a 0) 1.2.5 Một số ví dụ VD Cho hàm f (x ) 2, x x 2x 6|x VD Chứng tỏ lim x sin x VD Tính L VD Tính L VD Tính L x x x x lim x x2 lim 2x lim , xét tồn lim f (x ) x 12 không tồn 6| VD Chứng tỏ lim x 2x , x 4x x 2x Bài giảng: Toán cao cấp x 3x x 10 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Giải Ta có đạo hàm riêng là: Vậy df (1, 1) fx (x , y ) 6x 2y 2xy fy (x , y ) 4x 3y x2 fx (1, 1)dx fy (1, 1)dy fx (1, 1) 8, fy (1, 1) 8dx 5dy tan(x 2y ) Ví dụ 4.12 Tính vi phân hàm số f (x, y ) Giải Ta có đạo hàm riêng là: fx (x , y ) fy (x, y ) [tan(x y )]y 2xy , cos2 (x 2y ) x2 cos2 (x 2y ) x2 dy cos2 (x 2y ) 2xy dx cos2 (x 2y ) Vậy df (x, y ) [tan(x 2y )]x ey Ví dụ 4.13 Cho hàm số f (x , y ) x2 cos(x 2y ) , tính df (1, ) Giải Ta có đạo hàm riêng là: fx (x, y) fy (x, y ) Vậy df (1, ey ) x2 2xey [cos(x 2y ) fx (1, )dx x2 [cos(x 2y) x sin(x 2y )] fy (1, )dy y sin(x 2y)] fy (1, ) (2dx dy )e fx (1, e ) 2e , b) Vi phân cấp ▪ Định nghĩa công thức • Giả sử f (x, y ) hàm khả vi với x , y hai biến độc lập df (x, y ) Bài giảng: Toán cao cấp fx (x , y )dx fy (x , y )dy 51 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Giả sử df (x, y ) khả vi, vi phân df (x, y ) , ký hiệu d f (x, y ) , gọi vi phân cấp hàm số f (x, y ) d(df (x, y )) • Cơng thức vi phân cấp hai f (x, y ) d f (x, y) fx (x, y)dx x 2y Ví dụ 4.14 Cho hàm số f (x, y) fxy (x, y)dxdy xy fy2 (x, y)dy 3x 3y , tính d f (2, 1) Giải Ta có: fx (x , y ) 2xy fy (x , y ) 3x 2y y2 fxy (x , y ) fy (x , y ) 34dx 15x 3y 2xy fx (x , y ) Vậy d f (2, 1) 9x 2y 2y 18xy 6xy +2y 6x y +2x 340dxdy 45x y 60x 3y fx (2, 1) fxy (2, 1) fy (2, 1) 34 170 460 460dy sin(xy ) Ví dụ 4.15 Tính vi phân cấp hai hàm số z Giải Ta có: Vậy d 2z(x, y) zx y cos(xy ) zy 2xy cos(xy ) y sin(xy )dx Bài giảng: Toán cao cấp y sin(xy ) zx2 z xy 2y cos(xy ) 2xy sin(xy ) zy2 2x cos(xy ) 4x 2y sin(xy ) 4y[cos(xy ) xy sin(xy )]dxdy 2x[cos(xy ) 2xy sin(xy )]dy 52 Đoàn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh 4.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ HAI BIẾN 4.2.1 Cực trị tự ▪ Phương pháp tìm cực trị tự Giả sử hàm số f (x, y ) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục D Để tìm cực trị tự f (x, y ) , ta thực bước sau • Bước Tìm điểm dừng cách giải hệ phương trình fx (x , y ) fy (x , y ) 0 • Bước Giả sử (x 0, y ) nghiệm hệ M (x 0, y ) D, ta tính: A fxy (x 0, y ) , C fx (x , y ) , B fy2 (x 0, y0 ) AC B2 • Bước Ta có trường hợp: 1) A f (x, y ) đạt cực tiểu điểm M ; 2) A f (x, y ) đạt cực đại điểm M ; 3) f (x, y ) không đạt cực trị M ; 4) ta chưa thể kết luận Ví dụ 4.16 Tìm điểm dừng hàm số z xy(1 x y) Giải Ta có: z x (x , y ) z y (x, y ) 0 y x 2xy y2 2xy Bài giảng: Toán cao cấp x 53 Đoàn Vương Nguyên Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh (x y2) x 2xy (x x y) (x x y )(x 2xy x y 1) 0 Vậy hàm số có điểm dừng M1(0, 0), M (0,1), M (1, 0), M x2 Ví dụ 4.17 Tìm cực trị hàm số z y2 4x 1 , 3 2y Giải Tìm điểm dừng: z x (x , y ) z y (x , y ) 2x 2y 0 M ( 2,1) điểm dừng Ta có: A Do 2, B z x (M ) z xy (M ) 0, C z y (M ) nên M ( 2,1) điểm cực tiểu zCT A x3 y3 3xy fx (x , y ) 3x 3y fy (x , y ) 3x Ví dụ 4.18 Tìm cực trị hàm số f (x, y) Giải Tìm điểm dừng: 3y M1(0, 0) , M (1,1) hai điểm dừng Vi phân cấp hai: fx (x , y ) 6x , fxy (x , y ) fy (x , y ) 6y • Tại điểm M1(0, 0) , ta có: A C 0, B M1 không điểm cực trị • Tại điểm M (1,1) , ta có: A C 6, B Vậy M (1,1) điểm cực tiểu fCT Bài giảng: Toán cao cấp A 54 Đoàn Vương Nguyên Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Ví dụ 4.19 Tìm điểm cực trị hàm số 3x 2y y3 3x 3y z x (x , y ) 6xy 6x z y (x , y ) 3x 3y 6y z Giải Tìm điểm dừng: Suy hàm số có điểm dừng là: M1(0, 0) , M (0,2) , M (1,1) M ( 1,1) Vi phân cấp hai: z x (x , y ) , z xy (x, y ) 6y 6x z y (x , y ) 6y • Tại điểm M1(0, 0) , ta có: A C 0, B M1 điểm cực đại • Tại điểm M (0,2) , ta có: A C 0, B M điểm cực tiểu • Tại điểm M (1,1) , ta có: A C 0, B M không điểm cực trị • Tại điểm M ( 1,1) , ta có: A C 0, B M khơng điểm cực trị Ví dụ 4.20 Cho hàm số f (x, y ) 6x 2y 4y 6x 15y 24xy Tìm điểm cực trị hàm số f (x, y ) D Bài giảng: Toán cao cấp 24x {(x, y ) 36y |y 1} 55 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Giải Ta có: fx (x , y ) 12(xy fy (x , y ) (x x 2)(y 2y x 6(x 1) 5y 4x 2y 2y 5y x 2y 2) 5y 4x 6) 0 y 2 x 2 4x Suy hàm số có điểm dừng là: D ) 24y 30 M 1(1,1) , M (2,2) , M (3,1) (điểm M 2, Vi phân cấp hai: fx 12y 12 , fxy 12x 24 , fy • Tại điểm M 1(1,1) , ta có: A 0, C 6, B 12 M1 không điểm cực trị • Tại điểm M (2,2) , ta có: A 12 , C 18 , B 0 M điểm cực tiểu • Tại điểm M (3,1) , ta có: A 24 , C 6, B 12 M không điểm cực trị 4.2.2 Cực trị có điều kiện a) Phương pháp khử Giả sử cần tìm cực trị hàm số z f (x , y ) liên tục miền D thỏa điều kiện (x, y ) ( (x , y ) khả vi), ta thực bước sau Bài giảng: Tốn cao cấp 56 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh • Bước Từ phương trình (x, y ) z f (x , y ) , ta giải y theo x (hoặc x theo y ) vào hàm số • Bước Ta tìm cực trị hàm hợp biến z x 2y thỏa điều kiện Ví dụ 4.21 Tìm cực trị hàm số z (x, y ) Ta có: x Thế y y y x y x3 x 2y ta z vào z x x x 2y có miền xác định D Giải Hàm số z f (x , y(x )) 3x Ta có: z (x ) • Với x z (x ) 3x x 2 , ta có y 6x z (x ) x z ( 2) z (0) , ta có y Ví dụ 4.22 Tìm điểm cực trị hàm số z Thế x y2 y2 vào z x2 x Suy hàm số đạt cực tiểu điểm M (0, 3) zCT Giải Ta có: x 6, Suy hàm số đạt cực đại điểm M 1( 2,1) z CĐ • Với x 6x x y2 y2 y ta z x2 y thỏa điều kiện y4 y2 Ta có: z (y ) Bài giảng: Toán cao cấp 4y 2y z (y) 12y 2, 57 Đoàn Vương Nguyên z (y ) • Với y Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh y 0 z (0) , ta có x y Suy hàm số đạt cực đại điểm M 1( 1, 0) • Với y M2 , ta có x 2 z Suy hàm số đạt cực tiểu hai điểm 2 , , , M3 2 2 b) Phương pháp nhân tử Lagrange Để tìm cực trị hàm số z f (x , y ) thỏa điều kiện (x, y ) , ta thực bước sau • Bước Lập hàm phụ (hàm phụ gọi hàm Lagrange) L(x, y ) f (x, y ) (x, y ) • Bước Tìm điểm dừng cách giải hệ phương trình Lx (x, y ) Ly (x, y ) fx (x, y ) fy (x, y ) Giả sử ta có n điểm dừng M k (x k , yk ) ứng với (x, y ) (x, y ) y (x, y ) x k (k 0 1, , n ) • Bước Tính vi phân: d 2L(x, y) d (x, y ) x Lx (x, y)dx (x, y )dx Bài giảng: Toán cao cấp y 2Lxy (x, y)dxdy Ly2 (x, y)dy , (x, y )dy 58 Đoàn Vương Nguyên Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh • Bước Tại điểm M k (x k , yk ) ứng với x (M k )dx y k (M k )dy , ta giải: dy theo dx (hoặc ngược lại) Sau đó, thay vào d 2L(M k ) (chú ý dx dy ) Kết luận: 1) d 2L(M k ) hàm số f (x, y ) đạt cực tiểu điểm M k ; 2) d 2L(M k ) hàm số f (x, y ) đạt cực đại điểm M k ▪ Chú ý Trường hợp d 2L(M k ) chương trình ta khơng xét Ví dụ 4.23 Tìm điểm cực trị hàm số f (x, y ) y thỏa điều kiện x 2x y2 Giải • Lập hàm phụ: x2 L(x, y) y2 2x (x, y) (x y y2 x2 y2 5) • Tìm điểm dừng, ta có: Lx (x, y ) Ly (x, y ) 2 x y (x, y ) x2 y2 0 x y Bài giảng: Toán cao cấp 1 x y x 1 y 2 59 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Suy hàm số có hai điểm dừng: M 1(2,1) ứng với M ( 2, 1) ứng với 2 • Tính vi phân cấp hai: d 2L(x, y ) • Tại điểm M 1(2,1) với d 2L(M ) d 2L(M ) dy ) , ta có: • Tại điểm M ( 2, 1) với (dx (dx dy ) M1 điểm cực đại , ta có: 2 dx dy M điểm cực tiểu ▪ Chú ý Nếu từ vi phân d 2L(x, y ) mà ta kết luận cực trị khơng cần phải tính d (x , y ) Ví dụ 4.24 Tìm cực trị hàm số z x2 y thỏa điều kiện x2 y2 y2 3x 4y L(x, y ) x2 y2 (x y2 3x Lx (x , y ) 2x (2x 3) Ly (x , y ) 2y (2y 4) (x , y ) 3x 4y Giải Ta có: (x, y) x2 4y ) Tìm điểm dừng: Bài giảng: Tốn cao cấp x y 3x 4y 60 Đoàn Vương Nguyên x y Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh 0 • Với , ta có • Với , hệ phương trình trở thành: x x 2(1 y x y M 1(0, 0) điểm dừng ứng với y ) 3x 4y x y x2 y2 y M (3, 4) điểm dừng ứng với 3x 4y 2 • Từ vi phân d 2L(x, y ) (2 )(dx dy ) , ta có: d 2L(M ) M 1(0, 0) điểm cực tiểu zCT d 2L(M ) M (3, 4) điểm cực đại z CÑ 25 ▪ Chú ý • Trong ví dụ 4.24, ta thay x L(x, y ) 3x 4y (x y2 y2 3x 3x 4y vào z x2 y z 3x 4y 4y ) Giải tương tự trên, ta có hai điểm dừng: M1(0, 0) ứng với 1 M (3, 4) ứng với Kết tìm khơng thay đổi nhân tử thay đổi • Khi ta thay (x, y ) phương trình tương đương nhân tử khơng làm thay đổi kết tốn Ví dụ 4.25 Tìm điểm cực trị z Bài giảng: Toán cao cấp 1 thay đổi xy thỏa điều kiện 61 Đoàn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh x2 y2 1 x2 4y Giải Biến đổi: x2 y2 Ta hàm Lagrange L(x, y ) xy (x 4y 8) Ta có: Lx (x , y ) Ly (x , y ) y x x y 0 (x , y ) x2 4y y 2x 4y 16 4y x 8y x 2y y 2x x2 x2 x 2y x2 4y x2 4y 8 Suy hàm số có điểm dừng: , M ( 2, 1) ứng với M 1(2,1) ứng với Vi phân: d 2L dx , M (2, 1) ứng với M ( 2,1) ứng với dy , d (x, y ) 2dxdy 2xdx 8ydy ta có: • Tại điểm M 1(2,1) M ( 2, 1) , với d 2L(M1,2 ) , dx 2dxdy 2dy Mặt khác d (M 1,2 ) dx Bài giảng: Toán cao cấp 2dy d 2L(M 1,2 ) 8dy 62 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh Vậy M 1(2,1) M ( 2, 1) hai điểm cực đại ta có: • Tại điểm M ( 2,1) M (2, 1) , với dx d 2L(M 3,4 ) 2dy 2dxdy Mặt khác d (M 3,4 ) dx 2dy d 2L(M 3,4 ) 8dy Vậy M ( 2,1) M (2, 1) hai điểm cực tiểu Ví dụ 4.26 Tìm cực trị hàm số f (x, y ) 40y thỏa điều kiện 10x xy 20 Giải Ta có: L(x, y ) xy 20 10x 40y xy (xy (x, y ) 400 xy 400 400) Tìm điểm dừng: Lx (x, y ) 10 y Ly (x, y ) 40 x (x, y ) xy 400 0 x y 40 10 x y 40 10 Suy hàm số có điểm dừng: M1(40,10) ứng với 1 , M ( 40, 10) ứng với Vi phân d 2L(x, y ) • Tại M1(40,10) ứng với dxdy d (x, y ) xdy , ta có: d 2L(M ) 2dxdy d (M ) Bài giảng: Toán cao cấp ydx d 2L(M ) 2dxdy dx 4dy 63 Đoàn Vương Nguyên d 2L(M ) 8dy Trường Đại học Công Nghiệp Tp Hồ Chí Minh M 1(40,10) điểm cực tiểu f (x, y ) • Tại M ( 40, 10) ứng với , ta có: d 2L(M ) 2dxdy d (M ) d 2L(M ) 8dy d 2L(M ) 2dxdy dx 4dy M điểm cực đại f (x, y ) ■ Bài giảng: Tốn cao cấp 64 Đồn Vương Ngun Trường Đại học Cơng Nghiệp Tp Hồ Chí Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Viết Đơng – Tốn cao cấp (Tập 1) – NXB Giáo dục Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp (Tập 1,2,3,4) – NXB ĐHQG TP.HCM Nguyễn Đình Trí – Tốn cao cấp (Tập 2) – NXB Giáo dục Nguyễn Đình Trí, Phép tính Giải tích hàm nhiều biến, NXB Giáo dục Nguyễn Thừa Hợp – Giải tích (Tập 1,2) – NXB ĐHQG Hà Nội James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth Edition – Copyright © 2008, 2003 Thomson Brooks Robert Wrede, Murray R Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second Edition –Copyright © 2002, 1963 by The McGraw-Hill Companies, Inc James Stewart, Calculus Early Transcendentals, Sixth edition, USA 2008 William E Boyce, Richard C DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Eighth edition Copyright © 2005 John Wiley & Sons, Inc – USA 10 Robert Wrede, Murray R Spiegel, Theory and Problems of Advanced Calculus, Second edition – USA 2002 Bài giảng: Toán cao cấp 65