De va dap an Toan1 ki thi chon hoc sinh gioi tinhThai Nguyen 2011

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO.. ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]

UBND TỈNH THÁI NGUYÊN SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 10 NĂM HỌC 2011 - 2012 MÔN : TOÁN HỌC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài (6 điểm) x  12 x x  27( x  1)  a) Giải phương trình sau trên : x x  b) Giải bất phương trình sau: Bài (3 điểm) Tìm tất các số nguyên dương n cho hai số n+26 và n −11 là lập phương hai số nguyên dương nào đó Bài (3 điểm) Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L là hình   chiếu B trên AK, F là trung điểm BC, biết KAB 2 KAC Chứng minh FL vuông góc với AC Bài (4 điểm) Cho A là tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn các tập gồm phần tử A cho giao tập các tập này không phải là tập hợp gồm phần tử Bµi (4điểm) Cho các số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2  x  1  y  1   y  1  z  1   z  1  x  1 x  y  z  3 z x2 1 3 x2 y2 1 33 y2 z2 1 Hết Họ và tên : Số báo danh : ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HSG KHỐI 10 CẤP TỈNH MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2011 - 2012 Bài Lời giải Bài Điểm a) Giải phương trình sau trên  : x  12 x x  27( x  1) x x  b) Giải bất phương trình sau: Lời giải: a) Điều kiện: x  0  x  0,5 đ Phương trình đã cho tương đương với x  12 x  x  9(1  x) 36(1  x)  (2 x   x ) (6  x )  x   x 6  x   x 2 x (1)    x   x   x   x  x (2) 9(1  x) 4 x 4 x  x  0 (1)     x 3 x  x    Ta có 81(1  x) 4 x 4 x  81x  81 0 81  97 (2)     x  x 0  x 0 Ta có 1đ 81  97 Kết luận: x 3 ; là nghiệm phương trình đã cho  x 2 x   0    x 8 b) Điều kiện: 9 2  x  2  x  1   x   x x  TH1 : Xét ta có : 0,5 đ x 1đ 0,5 đ    x  9   x  3   x 5 Vậy  x  là nghiệm 9 x   x   1   x   x  x  TH2 : Xét ta có :    x   9 ( Bpt vô nghiệm) 2đ 9 x     x   0 x x TH3 : Xét  x 8 ta có :   x  8  x    x  10 x   0  0 x x  1    x    x  10 x   0 0,5 đ  x 5     x 5  Kết hợp với miền x xét ta có  x 5  là nghiệm Bpt S   1;2   8;5   Vậy tập nghiệm Bpt là :  Bài Tìm tất các số nguyên dương n cho hai số n+26 và n −11 1đ là lập phương hai số nguyên dương nào đó Lời giải: Giả sử có số nguyên dương n cho vµ n+26=x 1,5đ n −11= y với x, y là hai số nguyên dương  x  y  Khi đó ta 3 2 x − y =37 ⇔ (x − y )(x +xy + y )=37  x  y 1 (1)  0< x − y < x + xy + y Ta thấy , nên ta có  x  xy  y 37 (2) Thay x  y  từ (1) vào (2) ta y − y − 12=0 , từ đó có y 3 vµ 0,5 đ n 38 Vậy n 38 là giá trị cần tìm 2 Bài Cho tam giác ABC và điểm K thuộc cạnh BC cho KB=2KC, L là hình chiếu B trên AK, F là trung điểm BC, biết   KAB 2 KAC Chứng minh FL vuông góc với AC Lời giải: A 0,5đ L C F K B   Đặt AB=c, AC=b, BC=a, KAC  Khi đó: KAB 2 ; BAC 3 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABK và ACK, ta được:  BK AK CK AK  ;  sin 2 sin B sin  sin C Do BK=2CK, nên từ các đẳng thức trên ta có: Lại có: cos  sin B (*) sin C 2đ  b2  c a  a b2  c  a FA  FC    bc.cos A bc cos 3 (1)    LC LA2  b  2b.LA.cos LA2  b  2bc cos 2 cos 2  LA2  LC 2bc cos  cos 2  b bc  cos  cos3   b  bc cos   b   bc cos 3 (**) 0,5 đ 2 Thay (*) vào (**), ta được: LA  LC bc cos 3 (2) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: FA  FC LA  LC Theo bổ đề định lí carnot, suy CA vuông góc với FL ( Chuyển qua vectơ ta có CA  EF ) Bài Cho A là tập hợp gồm phần tử , tìm số lớn các tập gồm phần tử A cho giao tập các tập này 1đ không phải là tập hợp gồm phần tử Lời giải: X Ký hiệu là số phần tử tập hữu hạn X Gọi B1, B2,…, Bn là các tập A thỏa mãn: Bi 3, Bi  B j 2  i, j 1, 2, , n  Giả sử tồn phần tử a  A mà a thuộc vào tập số các tập B1, B  B j 1  i, j 1, 2,3,  B2,…, Bn (chẳng hạn a B1, B2, B3, B4), đó: i 1,5 đ B  B j 3 B  B j 1 Mà Bi Bj i j, tức là i Do đó i (i, j = 1, 2, 3, 4) Từ đây A  +4.2 = 9, điều này mâu thuẫn Như vậy, phần tử A thuộc nhiều là ba số các tập B1, B2,…, Bn Khi đó 3n  8.3  n  Giả sử A = {a1, a2,…,a8}, xét các tập A là: B1 = {a1, a2, a3}; B2 = {a1, a4, a5}; B3 = {a1, a6, a7}; B4 = {a8, a3, a4}; B5 = {a8, a2, a6}; B6 = {a8, a5, a7}; B7 = {a3, a5, a6}; B8 ={a2, a4, a7} Tám tập hợp trên là các tập gồm ba phần tử A thỏa mãn Bi  B j 2 1,5 đ Vì số n cần tìm là n = Bài Cho các số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức: 2  x  1  y  1   y  1  z  1   z  1  x  1 x  y  z  3 z x2 1 3 x2 y2 1 3 y2 z2 1 Lời giải: Gọi vế trái bất đẳng thức là S 2 Do ab  a  b 3 a b , a  0, b  Nên:  x  1  y  1 S  z  1  x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1  x  1   y  1  z  1 1đ  y  1  z 1  z  1  x 1  x  1  3đ y 1   y  1   z  1   x  1   x  y  z   z  1   x  1   y  1 Dấu xảy và a b c 1 (đpcm)