Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009 _________________________________________________ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009 ____________________________________________________________________________ Bài 1. (4điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 1 1 2 1 2xy 1 2x 1 2y 2 x 1 2x y 1 2y 9 Bài 2. (5điểm) Cho dãy số n x xác định như sau: 1 2 n 1 n 1 n 1 n 1 x 2 x 4x x x 2 Xét dãy số n n 2 i 1 i 1 y x . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (5 điểm) Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho ACB a o 0 a 180 không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và N . a) Chứng minh độ dài MN không đổi . b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định . Bài 4. (3điểm) Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương, n n n a b c là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba 3 2 x px qx r 0 . Bài 5. (3 điểm) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn a b 1;n (chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) . ____________________________________________________________________________ Copyright by Ly Tu Trong official website http://chuyenlytutrongct.com HNG DN GII THI HC SINH GII QUÔC GIA MÔN TOÁN NM 2009 Bài 1 Gii h phng trình: + = + + + − + − = Gii +) K: + > ≤ ≤ − ≥ ⇔ ≤ ≤ − ≥ +) Vi iu kin trên ta có ≤ và ≤ = + ≥ > < + + + +) Mt khác ∀ ∈ và < ta luôn có bt ng thc sau: + ≤ + + + . Tht vy bt ng thc (*) ⇔ + + − ≤ + + + + + Theo bt ng thc B.C.S ta có + + ≥ + ≤ + + + ⇔ − ≤ + + + Mt khác ta có: − − + − = ≤ + + + + + + , vì ∈ và < . Do ó + + − ≤ + + + + + luôn úng ∀ ∈ và < . +) Vì ≤ ≤ , ≤ ≤ và < . Áp dng BT (*) cho = = ta có: + ≤ + + + ng thc xy ra ⇔ = +) Vy h phng trình ban u = = ⇔ ⇔ − + − = − + = +) Gii h này và i chiu vi các iu kin ta có hai cp nghim (x; y) nh sau: GV: Phm Vn Quý Trng THPT chuy ên Quang Trung Tnh Bình Phc + + ; − − . +) Kt lun: H có hai nghim là + + và − − . Bài 2 Cho dãy s : − − − = + + = , ∀ ≥ . Chng minh rng dãy ( ) vi = = có gii hn hu hn khi → ∞ và tìm gii hn ó. Gii +) T gi thit ta có > ∀ ≥ . Khi ó − − − − − − − − − − − − + + + − − = − = = > + + , ∀ ≥ . Do ó ( ) là dãy s tng +) Gi s ( ) = > và ta có + + = ⇔ = , (vô lí). Vy → ∞ khi → ∞ . +) Mt khác ta có − − − + + = , ∀ ≥ − = + − − = ∀ ≥ Do ó = − = = + − + − + + − = + − = − , ∀ ≥ . +) T trên ta có < ∀ ≥ , (vì > ∀ ≥ ). Mt khác − − = + > . Do ó ( ) là dãy tng và b chn trên hay ( ) có gii hn hu hn khi → ∞ . +) Ta có : →∞ →∞ = − = , (vì → ∞ khi → ∞ ). +) Kt lun : →∞ = . Bài 3 Trong mt phng cho hai im c nh A, B (A ≠ B). Mt im C di ng trên mt phng sao cho α = không i ( ) α < < . ng tròn tâm I ni tip tam giác ABC và tip xúc vi AB, BC, CA ln l t ti D, E, F. Các ng thng AI, BI c!t ng thng EF ln l t ti M và N. a) Chng minh rng on thng MN có dài không i. b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh. Gii a) Chng minh rng on thng MN có dài không i. +) Ta có − = = = + = ANFI là t giác ni tip = = và = = +) Mt khác ta có ∆ ∆ , (g-g) α − = = = , (vì = ). α − = không i khi C thay i, (pcm). α αα α I N M F E D C BA Chú ý : Bài toán có mt s trng hp khác nhau v hình v, các bn t v hình nhé. Tuy nhiên cách chng minh không có gì thay i. b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh. Cách 1: +) Gi K là trung im ca AB ta ã có = = = = + = = , (1). +) Mt khác t ∆ ∆ câu (a) ta có = = , (2). IMEB là t giác ni tip = = IMBD cng là t giác ni tip vì + = . = , (3). +) T (2) và (3) = + = + = , (4). +) T (1) và (4) = t giác NKDM ni tip hay ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua im K c nh, (pcm). Cách 2 Theo trên ta có = = D, M, N ln l!t là chân ng cao k" t các #nh ca tam giác ABI nên (DMN) chính là ng tròn Euler ca tam giác ABI. Do ó ng tròn này phi i qua trung im ca K ca AB. Vì AB c nh nên K c nh. (pcm). Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u kin: vi m$i s nguyên dng n, + + là mt s nguyên. Chng minh rng t%n ti các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba nghim c&a phng trình + + + = . Gii +) Gi s t$n ti các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo nh lí Viet ta có : + + = − + + = = − +) Nh vy chng minh bài toán ta ch# cn chng minh + + ∈ + + ∈ ∈ +) Hin nhiên + + ∈ , (1). Vì theo gi thit + + ∈ ∀ . +) Vì + + ∈ ∀ + + ∈ + + ∈ , + + ∈ + + ∈ +) Ta s% i chng minh ∈ . Tht vy: Ta có + + = + + − + + + + ∈ Ta có + + = + + − + + + + ∈ Ta có + + − = + + + + − − − + + − = + + + + − + + = + + − + + + + − + + ∈ Ta có + + − = + + + + − − − + + − = + + + + − + + = + + − + + + + − + + ∈ T các d kin ∈ và ∈ ∈ , (2). +) Ta s% i chng minh + + ∈ . Tht vy: Ta có ( ) + + = + + + + + ( ) + + = + + + + + ( ) + + ∈ T các d kin + + ∈ và ( ) + + ∈ + + ∈ , (3). +) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c chng minh. Bài 5 Cho s nguyên dng n. Kí hiu T là t'p h p g%m 2n s nguyên dng u tiên. H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n ti các s a, b mà { } − ∈ . Lu ý Tp rng c coi là tp con có tính cht nêu trên. Gii (Li gii bài 5 c tham kho ti http://forum.mathscope.org) +) Trc ht ta xét bài toán sau : Cho 2 hàng im trên và di. Các im cp im − , − , !c ni vi nhau, ngoài ra và cng !c ni vi nhau. Tính s cách chn ra mt s im mà không có hai im nào !c ni vi nhau. +) G i là s cách chn th&a mãn iu kin trên, nhng có th cha c và . Gi là s cách chn th &a mãn nhng không cha im nào trong 4 im . Gi là s cách chn th&a mãn nhng ch a úng 1 im trong 4 im trên. Gi là s cách chn th&a mãn nhng cha úng 2 im hoc . Gi là s cách chn nhng cha úng 2 im hoc . Khi ó ta có = + + + và s cách chn th&a mãn bài toán là − . +) D ' dàng lp công thc truy h$i cho là : + − = = = + . +) M t khác ta có: − = , (1) − − = − , (2) − − = + và − − = + , (3). T (1) và (2) suy ra − − − − + = − − − = , (4). T (3) suy ra − − − = − − . T ây d' dàng suy ra − − = − , (5). T (4) và (5) ta có − = + − . V y ta có s dãy th&a mãn là − − − + − − = Cu i cùng thu !c kt qu là ( ) ( ) ( ) ( ) − − − + + + − − + − +) Tr li bài toán ang xét nu ta coi im !c g(n s n + i và im !c g(n s i thì ta có kt qu c a bài toán s 5. H t