ĐỀ THỊ HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN 2009

Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo - Việt Nam 2009 _________________________________________________ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2008-2009 ____________________________________________________________________________ Bài 1. (4điểm) Giải hệ phương trình:                     2 2 1 1 2 1 2xy 1 2x 1 2y 2 x 1 2x y 1 2y 9 Bài 2. (5điểm) Cho dãy số n x xác định như sau:               1 2 n 1 n 1 n 1 n 1 x 2 x 4x x x 2 Xét dãy số    n n 2 i 1 i 1 y x . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 3. (5 điểm) Cho 2 điểm cố định A,B và điểm C di động trên mặt phẳng sao cho  ACB a     o 0 a 180 không đổi cho trước. Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC xuống ba cạnh AB,BC,CA lần lượt là D,E,F . AI và BI cắt EF lần lượt tại M và N . a) Chứng minh độ dài MN không đổi . b) CM đường tròn ( DMN ) luôn đi qua một điểm cố định . Bài 4. (3điểm) Cho a , b , c là các số thực. Với mỗi n nguyên dương,   n n n a b c là số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên p , q , r sao cho a , b , c là các nghiệm của pt bậc ba     3 2 x px qx r 0 . Bài 5. (3 điểm) Cho tập hợp S gồm 2n số nguyên dương đầu tiên. Tìm số tập hợp T sao cho trong T không có 2 phần tử a,b nào thỏa mãn    a b 1;n (chú ý tập rỗng thỏa mãn ĐK trên) . ____________________________________________________________________________ Copyright by Ly Tu Trong official website http://chuyenlytutrongct.com HNG DN GII  THI HC SINH GII QUÔC GIA MÔN TOÁN NM 2009 Bài 1 Gii h phng trình:                            + =  +  + +   − + − =   Gii +) K:                          + >  ≤ ≤    − ≥ ⇔     ≤ ≤ − ≥    +) Vi iu kin trên ta có     ≤ và     ≤                       = + ≥ >  < + + + +) Mt khác         ∀ ∈     và     < ta luôn có bt ng thc sau:             + ≤ + + + .  Tht vy bt ng thc (*)                    ⇔ + + − ≤ + + + + +  Theo bt ng thc B.C.S ta có                     + + ≥ +  ≤ + + +             ⇔ − ≤ + + +  Mt khác ta có:                              − − + − = ≤ + + + + + + , vì         ∈     và     < . Do ó                    + + − ≤ + + + + + luôn úng         ∀ ∈     và     < . +) Vì     ≤ ≤ ,     ≤ ≤ và    < . Áp dng BT (*) cho        = = ta có:               + ≤ + + + ng thc xy ra   ⇔ = +) Vy h phng trình ban u                        =  =   ⇔ ⇔   − + − = − + =    +) Gii h này và i chiu vi các iu kin ta có hai cp nghim (x; y) nh sau: GV: Phm Vn Quý Trng THPT chuy ên Quang Trung Tnh Bình Phc          + +       ;          − −       . +) Kt lun: H có hai nghim là          + +       và          − −       . Bài 2 Cho dãy s     :                   − − −  =    + +  =   ,   ∀ ≥ . Chng minh rng dãy ( )   vi          = =  có gii hn hu hn khi  → ∞ và tìm gii hn ó. Gii +) T gi thit ta có      > ∀ ≥ . Khi ó                                                 − − − − − − − − − − − − + + + − − = − = = > + + ,   ∀ ≥ . Do ó ( )   là dãy s tng +) Gi s ( )       =  > và ta có          + + = ⇔ = , (vô lí). Vy   → ∞ khi  → ∞ . +) Mt khác ta có               − − − + + = ,   ∀ ≥           −  = +               −  − = ∀ ≥ Do ó                                                = −       = = + − + − + + − = + − = −              ,   ∀ ≥ . +) T trên ta có      < ∀ ≥ , (vì      > ∀ ≥ ). Mt khác            − − = + > . Do ó ( )   là dãy tng và b chn trên hay ( )   có gii hn hu hn khi  → ∞ . +) Ta có :            →∞ →∞   = − =     , (vì   → ∞ khi  → ∞ ). +) Kt lun :      →∞ = . Bài 3 Trong mt phng cho hai im c nh A, B (A ≠ B). Mt im C di ng trên mt phng sao cho    α = không i ( )     α < < . ng tròn tâm I ni tip tam giác ABC và tip xúc vi AB, BC, CA ln l t ti D, E, F. Các ng thng AI, BI c!t ng thng EF ln l t ti M và N. a) Chng minh rng on thng MN có  dài không i. b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh. Gii a) Chng minh rng on thng MN có  dài không i. +) Ta có                     − = = = + =  ANFI là t giác ni tip         = = và        = = +) Mt khác ta có    ∆ ∆  , (g-g)              α −  = = = , (vì      = ).        α −  = không i khi C thay i, (pcm). α αα α I N M F E D C BA Chú ý : Bài toán có mt s trng hp khác nhau v hình v, các bn t v hình nhé. Tuy nhiên cách chng minh không có gì thay i. b) Chng minh rng ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua mt im c nh. Cách 1: +) Gi K là trung im ca AB ta ã có            =  = =                  = + = = , (1). +) Mt khác t    ∆ ∆   câu (a) ta có         = = , (2).  IMEB là t giác ni tip         = =  IMBD cng là t giác ni tip vì        + = .       = , (3). +) T (2) và (3)                   = + = + = , (4). +) T (1) và (4)          =  t giác NKDM ni tip hay  ng tròn ngoi tip tam giác DMN luôn i qua im K c nh, (pcm). Cách 2 Theo trên ta có        = =  D, M, N ln l!t là chân  ng cao k" t các #nh ca tam giác ABI nên (DMN) chính là  ng tròn Euler ca tam giác ABI. Do ó  ng tròn này phi i qua trung im ca K ca AB. Vì AB c nh nên K c nh. (pcm). Bài 4 Cho ba s th"c a, b, c tho mãn i#u kin: vi m$i s nguyên dng n,       + + là mt s nguyên. Chng minh rng t%n ti các s nguyên p, q, r sao cho a, b, c là ba nghim c&a phng trình        + + + = . Gii +) Gi s t$n ti các s p, q, r tho mãn bài toán. Theo nh lí Viet ta có :           + + = −   + + =   = −  +) Nh vy  chng minh bài toán ta ch# cn chng minh           + + ∈   + + ∈   ∈  +) Hin nhiên     + + ∈ , (1). Vì theo gi thit          + + ∈ ∀ . +) Vì                         + + ∈ ∀  + + ∈ + + ∈ ,                + + ∈ + + ∈ +) Ta s% i chng minh   ∈ . Tht vy:  Ta có                          + + = + + − + +  + + ∈  Ta có                                               + + = + + − + +  + + ∈  Ta có                        + + − = + + + + − − −                                + + − = + + + + − + +                                  = + + − + + + + − + +       ∈  Ta có                                         + + − = + + + + − − −                                                 + + − = + + + + − + +                                                   = + + − + + + + − + +            ∈  T các d kin    ∈ và         ∈    ∈ , (2). +) Ta s% i chng minh     + + ∈ . Tht vy:  Ta có ( )                        + + = + + + + + ( )                            + + = + + + + + ( )        + + ∈  T các d kin       + + ∈ và ( )        + + ∈      + + ∈ , (3). +) T (1), (2) và (3) ta có bài toán !c chng minh. Bài 5 Cho s nguyên dng n. Kí hiu T là t'p h p g%m 2n s nguyên dng u tiên. H(i có bao nhiêu t'p con S c&a T có tính ch)t : trong S không t%n ti các s a, b mà { }     − ∈ . Lu ý Tp rng c coi là tp con có tính cht nêu trên. Gii (Li gii bài 5 c tham kho ti http://forum.mathscope.org) +) Trc ht ta xét bài toán sau : Cho 2 hàng im          trên và          di. Các im cp im         − ,         − ,        !c ni vi nhau, ngoài ra   và   cng !c ni vi nhau. Tính s cách chn ra mt s im mà không có hai im nào !c ni vi nhau. +) G i   là s cách chn th&a mãn iu kin trên, nhng có th cha c   và   . Gi   là s cách chn th &a mãn nhng không cha im nào trong 4 im            . Gi   là s cách chn th&a mãn nhng ch a úng 1 im trong 4 im trên. Gi   là s cách chn th&a mãn nhng cha úng 2 im      hoc      . Gi   là s cách chn nhng cha úng 2 im      hoc      . Khi ó ta có           = + + + và s cách chn th&a mãn bài toán là      − . +) D ' dàng lp công thc truy h$i cho   là :                + − =   =   = +  . +) M t khác ta có:      − = , (1)           − − = − , (2)           − − = + và           − − = + , (3). T  (1) và (2) suy ra                      − − − − + = − − − = , (4). T  (3) suy ra             − − − = − − . T ây d' dàng suy ra         − − = − , (5). T  (4) và (5) ta có         − = + − . V y ta có s dãy th&a mãn là                  − − − + − − = Cu i cùng thu !c kt qu là ( ) ( ) ( ) ( )                    − − − + + + − − + − +) Tr  li bài toán ang xét nu ta coi im   !c g(n s n + i và im   !c g(n s i thì ta có kt qu c a bài toán s 5. H t