Chuyên đề Các lỗi cơ bản khi giải toán

Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin CHUYÊN ĐỀ : CÁC LỖI CƠ BẢN KHI GIẢI TOÁN I. THỰC TRẠNG: Trước khi học cách giải toán chúng ta hãy xét các sai lầm thông thường khi học toán và giải toán . Việc trỏnh các sai lầm này trước khi giải toán tương tự với việc làm sạch cỏ dại trước khi gieo trồng:Còn phạm các lỗi này thì còn làm toán sai và kém. Nhiều học sinh cố tìm cách giải toán nhưng không lưu ý nhiều lắm về cách học toán. Thực ra đa số các học sinh giỏi đều có cách học rất tốt và đa số các học sinh kém đều có vấn đề trong phương pháp học vì thế tôi mạnh dạn đặt vấn đề phương pháp học lên trên . Nếu tránh được các sai lầm về phương pháp và kỉ thuật làm toán được nêu ra trong chuyên đề này học sinh sẽ cải thiện được rất nhiều về khả năng làm toán của mình. 1. Các sai lầm trong phương pháp học 1.1 Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thời gian cho bài toán đố 1.2 Không ôn tập các bài học cũ 1.3 Cái gì cũng ôn 1.4 Chỉ cố nhớ lời giải không để ý đến phương pháp giải 1.5 Không tập trung tư tưởng khi học 2. Các sai lầm trong phương pháp suy luận. 2.1 Mơ ước thấy ngay lời giải khi bắt đầu giải một bài toán 2.2 Sử dụng bộ óc để nhớ tùy tiện những phép toán không cần thiết 2.3 Không ghi đầy đủ các chi tiết chứng minh mặc dù các chi tiết này đều đã thể hiện rõ trong đầu. 3. Các sai lầm khi làm bài thi . 3.1 Không chọn lựa chọn đúng thứ tự các câu hỏi để làm 3.2 Mất tinh thần khi không thấy hướng làm một câu hỏi nào đó 3.3 Cố làm vội nhiều câu hỏi 3.4 Mất thì giờ khi kiểm tra lại các bài vừa thi xong 4. Các sai lầm do kỉ thuật làm toán 4.1 Không viết các điều kiện để phương trình hoặc bài toán xác định trước khi giải chúng 4.2 Nhớ và viết không chính xác các công thức II. GIẢI PHÁP:  Trong chuyên đề này tôi đưa ra một số giải pháp cụ thể để học sinh tránh khi học toán. 1.Các sai lầm trong phương pháp học 1.1 Lướt qua các bài toán cơ bản và dành nhiều thời gian cho bài toán đố Nhiều HS coi thường các bài toán cơ bản đơn giản mà không dành thì giờ ôn tập chúng, chỉ cố giải và học thuộc các bài toán khó . thực ra đa số các bài toán phức tạp là các bài phối hợp nhiều Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin bài toán cơ bản. Cho nên chúng ta sẽ thấy rõ bản chất các bài toán loại này và dễ dàng giải chúng nếu chúng ta đã thành thạo các bài toán cơ bản và nhìn ra chúng ngay trong đống hỗn độn của các bài toán phối hợp .Vì vậy làm một bài toán cơ bản chúng ta có thể học được cách giải cho rất nhiều bài toán khác , còn làm một bài toán đố thì hầu như chúng ta không áp dụng chúng cho bất kì bài toán nào khác .Thông thường trong các bài thi tỉ lệ các bài toán đố ít hơn 15% mà ta dành nhiều hơn 15% thời gian học tập cho chúng là vô lí! 1.2 Không ôn tập các bài học cũ Mức độ thành công của một giai đoạn học dựa trên số cách giải toán mà học sinh biết và sử dụng được chúng chứ không hẳn là số lượng bài toán đã giải được. Cho nên học nhiều mà không tìm cachs nhớ những gì mình học là vô ích . Chỉ có cách ôn tập chúng ta mới có thể nhớ lâu các kiến thức . chúng ta mất nhiều thì giờ cho lần giải đầu tiên một bài toán nhưng lần ôn thứ hai chỉ mất nửa thời gian lần đầu đến lần ôn thứ ba ta chỉ tốn một phần tư của thời gian lần đầu đến lần ôn thứ tư ta chỉ tốn một phần mười sáu của thời gian lần đầu… Vì vậy chỉ có cách ôn tập bài cũ nhiều lần thì kiến thức mới in sâu được vào trong não. 1.3 Cái gì cũng ôn * Sau khi học xong chương I ta nên làm lại tất cả các bài tập trong chương I trước khi sang chương II đánh dấu vào các bài toán mà ta còn ngập ngừng. * Sau khi học xong cương II ta nên làm lại tất cả các bài tập được đánh dấu trong chương I và tất cả các bài tập trong chương II trước khi sang chương III đánh dấu vào các bài toán mà ta còn ngập ngừng ở chương II. * Sau khi học xong chương III ta nên làm lại tất cả các bài tập được đánh dấu trong chương I+ chương II và tất cả các bài tập trong chương III trước khi sang chương IV đánh dấu vào các bài toán mà ta còn ngập ngừng ở chương III. … Và tiếp tục như thế cho đến chương cuối.Sau đó ta nên giải lại tất cả các bài toán trong sách và đánh dấu các bài toán mà ta giải còn ngập ngừng.Lặp lại (hoặc hỏi Thầy cô) các bài toán mà ta còn ngập ngừng cho đến khi không còn bài nào ngập ngừng nữa.  Đây là một bí quyết học toán học theo tần số . Bài nào càng khó giải chúng ta giải nhiều lần hơn. 1.4 Chỉ cố nhớ lời giải không để ý đến phương pháp giải Sau khi tìm ra lời giải của một bài toán ( tự giải hoặc do thầy cô bạn bè hoặc đọc trong sách bài tập) chúng ta nên xét và trả lời những câu hỏi sau:  Chúng ta đã liên hệ các sự việc phải chứng minh và sự việc cho sẵn trong đề toán như thế nào ?  Trong bài giải có phương pháp hoặc mẹo toán gì mới mà ta chưa biết và ghi lại để áp dụng cho các bài toán khác ?  Trong bài giải có phần nào mình đã học rồi mà nay quên không nhớ hay không? *Nếu các em làm việc trên sau khi giải xong một bài toán các em sẽ thấy: phần lớn các ý và suy luận trong lời giải của mỗi bài toán đề rất cơ bản và không có gì là lạ cả, một phần rất nhỏ trong đó mới là những điều mới lạ( và các em đánh dấu cẩn thận các chi tiết mới này dể ghi nhớ).Với cách học này các em sẽ thấy không có nhiều điều mới lạ trong chương trình các Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin em học, và các bài toán vừa làm xong.Cách học này chính là cách ôn tập thường xuyên về phương pháp giải toán. 1.5 Không tập trung tư tưởng khi học Có rất nhiều em học sinh học thì rất nhiều nhưng đến khi kiểm tra điểm vẫn điểm kém. Để khắc phục được những nhược điểm này các em nên chia giờ học thật hợp lý, mỗi giờ chỉ học một môn và tuyệt đối không nghĩ đến môn học khác trong giờ đó. Xen kẽ vào đó là những khoảng thời gian thư giãn ( lưu ý : chúng ta không nên học một lúc liền quá hai tiếng đồng hồ vì học như vậy sẽ rất mệt cho não và ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng nhớ của các em.) Các em nên xếp giờ học và ôn tập toán ở nhà trước và ngay sau các giờ toán ở trường , việc này giúp các em nhớ nhanh các lời thầy cô dạy và áp dụng để giải các bài tập. Nên làm tương tự cho các môn học khác. Khi đã có một thời khóa biểu hợp lý các em nên tuân theo nguyên tắc “ Việc gì của ngày hôm nay thì nên làm hết chứ không để lại ngày hôm sau”. 2. Các sai lầm trong phương pháp suy luận. II.1Mơ ước thấy ngay lời giải khi bắt đầu giải một bài toán Nhiều học sinh mất tinh thần khi không thấy phương hướng rõ rệt nào đẻ giải một bài toán . Bản chất của việc giải toán là từng bước một tiến gần hơn đến lời giải đừng mơ ước vô lí về việc có một giải pháp hoàn chỉnh ngay khi bắt đầu giải một bài toán . Có những học sinh , khi được gọi lên bảng giải toán, các em phát biểu “em chưa giải xong” Tôi yêu cầu học sinh viết ra những gì học sinh đó làm được về bài toán và bài học có liên quan sau đó yêu cầu học sinh đọc lại đề toán và những gì học sinh đã viết rồi khuyến khích học sinh viết thêm một chút nữa . Cứ làm như vậy thì cả lớp sẽ thấy ngay bài toán đã giải xong. Thật ra đa số các bài toán trong chương trình học đều có thể giải như vậy mà không cần có một khái niệm toàn cục về lời giải khi bắt đầu giải chúng. Đây là tác phong cần được rèn luyện đẻ chuẩn bị cho việc đương đầu với các bài toán phức tạp và chuẩn bị cho phương pháp học ở đại học của các em sau này. II.2Sử dụng bộ óc để nhớ tùy tiện những phép toán không cần thiết Nhiều học sinh học toán đến đau đầu . Chúng ta sẽ thấy không phải giải toán làm cho các em đau đầu mà chính cách làm toán của các em làm hại các em. Các em thử nhẩm trong đầu phép toán sau: 57+35 và 29*6 và các thử giải các bài toán đó trên giấy nháp như sau: 57 29 à 35 6 v x+ Các em sẽ thấy đầu các em sẽ ê ẩm sau vài lần tính nhẩm và nếu dùng giấy nháp để tính toán thì không có gì là khó khăn cả ( đặc biệt là khi thi tốt nghiệp và đại học thời gian làm bài và khối lượng bài tập nhiều thì các em cảm thấy rất mệt và dẫn tới làm các bài tập đơn giản khác bị sai ). Chính vì thói quen dùng bộ óc như một tờ giấy nháp mà nhiều học sinh cảm thấy cực kì mõi mệt khi làm bài thi tới 120 phút và 180 phút. Sau đây là một ví dụ nữa trong việc tính đạo hàm của hàm số: 8 2 3x 2x 1y = + + mà không viết y u= và suy ra ' ' 2 u y u = với u(x)= 3x 8 +2x 2 +1 và u’(x)=24x 7 +4x. Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin Thực ra có rất nhiều học sinh đã tính nhẩm các bước tính toán trên trong đầu và chỉ viết ra kết quả . Chúng ta nên viết các công thức ra giấy nháp trước khi dùng nó. Nếu tính toán dựa vào các công thức trong đầu chúng ta bắt bộ óc hoạt động theo cơ chế “song song” cùng một lúc làm nhiều thứ khác nhau, việc này dẫn đến đau đầu và sai sót khi ta phải làm bài tập trong thời gian dài. II.3Không ghi đầy đủ các chi tiết chứng minh mặc dù các chi tiết này đều đã thể hiện rõ trong đầu. Việc này thường xảy ra khi học sinh luôn có cố gắng làm bài ngắn gọn hơn , tuy nhiên việc này rất tai hại. thật ra cách viết này còn có tác hại lớn hơn nữa: nhiều khi các dòng chữ đó , hiện ra trong đầu mà không được ghi ra , lại rất quan trọng trong việc giúp chúng ta tìm cách làm tiếp các câu sau của bài toán và hậu quả là chúng ta bí toán một cách oan uổng.Chưa kể trong một số thang điểm chấm bài thi có thể có một số điểm rơi vào phần chúng ta không chịu ghi ra và chúng ta mất điểm một cách ngớ ngẩn. Cách làm toán tốt nhất là : Trong đầu nghĩ sao thì ta viết ra như vậy, không lựa chọn hoặc tìm cách viết ngắn lại. Chúng ta chỉ trình bày lại cho gọn (nếu thật sự cần thiết) bài giải dựa trên một bài giải chi tiết đã được ghi ra giấy. 3. Các sai lầm khi làm bài thi . 3.1 Không chọn lựa chọn đúng thứ tự các câu hỏi để làm Các thí sinh được phép chọn thứ tự các câu hỏi trong bài thi để làm nhưng nhiều em không biết tận dụng quyền lợi này (Trong đó có cả quyền được đọc đề thi trước khi tính giờ làm bài thông thường 15 phút) . Ta phải chọn các câu hỏi để làm theo thứ tự ưu tiên sau:  Câu hỏi tương tự như một bài toán mà ta đã giải rồi  Câu hỏi mà ta đã hình dung được cách giải và phương pháp giải  Câu hỏi không có cách tính toán dài dòng và phức tạp Như vậy sau khi chúng ta giải xong các câu hỏi dễ , chúng ta sẽ lên tinh thần để đối phó với câu hỏi khó hơn. Nếu chúng ta chọn câu hỏi khó để làm trước khả năng bí rất cao và thiếu cả thì giờ để làm câu hỏi dễ. Ngoài ra làm những câu hỏi khó trước , chúng ta sẽ thấm mệt và có thể phạm các sơ suất khi giải tiếp các câu dễ . Tai hại hơn khi bí các câu khó chúng ta đâm ra mất tinh thần và giải không được các câu khác ( các câu này có thể giải dễ dàng nếu chúng ta tỉnh táo). 3.2Mất tinh thần khi không thấy hướng làm một câu hỏi nào đó Nếu chúng ta dự một kì thi tuyển và muốn thi đỗ , chúng ta nên nhớ phương châm sau: “Không nhất thiết phải đỗ cao và chỉ cần cao điểm hơn người đứng đầu của những người thi rớt” ! vì vậy không nhất thiết phỉa có điểm 9 điểm 10 ở mọi môn thi và phải sẵn sàng chấp nhận việc giải toán không giải hoàn chỉnh bài thi . ta nên trau chuốt làm kĩ để được điểm tối đa các câu ta làm được và viết ra tối đa những gì có thể viết được cho các câu không làm trọn vẹn. Các câu hỏi thi khó thì sẽ khó cho mọi người . Hãy để chúng làm cho những người thiếu bản lĩnh choáng váng không làm được nữa và làm sai luôn những câu dễ, còn Học sinh nào có bản lĩnh sẽ bỏ mặc chúng và chỉ quan tâm tới chúng sau khi đã vững bụng với sự làm xong các câu dễ khác. 3.3Cố làm vội nhiều câu hỏi Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin Có nhiều bài thi mất điểm một cách đáng tiếc. Nhiều Học sinh cố gắn làm vội vàng để làm được nhiều câu hỏi và sau khi không làm được nữa họ đọc đi đọc lại phần đã làm để sữa các lỗi , cách làm này rất sai và rất nguy hiểm . Chúng ta phải làm cẩn thận từng câu hỏi. Việc này giúp chúng ta kiếm được điểm tối đa số điểm ở các câu làm được. khi chúng ta vững tâm các câu hỏi làm xong chúng ta có trạng thái thỏa mái và tự tin hơn để làm các câu hỏi còn lại. Khó mà làm tốt các câu hỏi kế nếu trong bụng chúng ta vẫn phập phồng về các câu hỏi vừa làm. Ngoài ra nó còn gây cho các em phân tâm và đưa đến các sai lầm không đáng có. Các người ra đề thi luôn luôn tính toán làm sao cho thí sinh có đủ thời gian làm bài .Vì vậy chúng ta không nên làm bài thi một cách vội vã. 3.4 Mất thì giờ khi kiểm tra lại các bài vừa thi xong Nhiều học sinh kiểm tra lại các kết quả của bài thi vừa xong một cách vô ích và không dành thì giờ để nghỉ ngơi chuẩn bị cho môn thi kế tiếp. Và rất là tai hại khi các em Học sinh này bị mất tinh thần sau khi kiểm tra lại bài thi đó và làm bài không tốt cho các môn thi sau.  Vì vậy Chúng ta chỉ nên xem lại bài thi đó sau khi thi xong các môn còn lại. 4. Các sai lầm do kỉ thuật làm toán 4.1Không viết các điều kiện để phương trình hoặc bài toán xác định trước khi giải chúng Trong các bài toán có các hàm số hữu tỉ, căn số, logarit, hàm số mũ, tan và cot…, chúng ta phải viết ra tất cả các điều kiện cho các hàm số đó xác định trước khi giải toán . Nếu không làm được việc này chúng ta sẽ sai do nhận thêm một số nghiệm không thể nhận được. Sau đây làmột số ví dụ thông thường của lỗi này:  Đơn giản các thừa số trước khi đặt điều kiện cho thừa số đó xác định: VÍ DỤ 1:Giải phương trình 2 2 2 2 log log ( 5) log log ( 5) 1 0 5 5 5 5 x x x x x x       − + − + − + − = (1)  Cách giải sai: 0 2 2 (1) log 1 log ( 5) 1 5 5 x x x     =         ⇔ + − + − 2 log ( 5) 1 0 5 x x⇔ − + − = ( vì 2 log 5 x +1 > 0 ) 5 2 log ( 5) log 5 5 x x⇔ − + = 0 1 2 5 5 x x x x =  ⇔ ⇔  =  − + =  Cách giải đúng: Điều kiện xác định: 0 2 5 0 x x x      > − + > ⇔ x > 0 0 2 2 (1) log 1 log ( 5) 1 5 5 x x x     =         ⇔ + − + − 2 log ( 5) 1 0 5 x x⇔ − + − = ( vì 2 log 5 x +1 > 0 ) 5 2 log ( 5) log 5 5 x x⇔ − + = Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tổ Toán -Tin 0 ( 1 2 5 5 x x x x =  ⇔ ⇔  =  − + = lo¹i) Vậy phương trình (1) có nghiệm x=1  Đơn giản phương trình trước khi đặt điều kiện cho phương trình đó xác định: VÍ DỤ 2 :Giải phương trình ( ) 2 2 1 2x+4= x+1 1x+ + + (2)  Cách giải sai: (2) 2 1 2x+4=(x+1)+2 1 1x x⇔ + + + + 2x+4 = x+2⇔ x = -2⇔ Vậy nghiệm của phương trình là: x=-2  Cách giải đúng: Điều kiện xác định: x+1 ≥ 0 1x⇔ ≥ − (2) 2 1 2x+4=(x+1)+2 1 1x x⇔ + + + + 2x+4 = x+2⇔ x = -2⇔ Vậy phương trình (2) vô nghiệm  Biến đổi phương trình trước khi đặt điều kiện cho phương trình đó xác định: VÍ DỤ 3 :Giải phương trình 2log 3 2 x = (3)  Cách giải sai: 2 3 2(3) log log 2 2 x⇔ = 2 8 2 2x x⇔ = ⇔ = ± vậy nghiệm của phương trình (3) là 2 2x = ±  Cách giải đúng: Điều kiện xác định: 0x > 2 3 2(3) log log 2 2 x⇔ = 2 8 2 2x x⇔ = ⇔ = ± So sánh với điều kiện phương trình (3) vô nghiệm  Bỏ mẫu số trong một phương trình trước khi đặt điều kiện cho phương trình đó xác định: VÍ DỤ 4 :Giải phương trình 1 4 2 log (2. ) 2 log 2 x x x = − (4)  Cách giải sai: 2 4 2 (4) log log (2. ) 2 x x x⇔ = − 0 4 2 2 x x x x      > ⇔ = − 0 4 2 2 0 x x x x      > ⇔ − − = 0 2 ( 1)(2 2 1) 0 x x x x x      > ⇔ − + + = Chuyên đề chuyên môn GV: Nguyễn Thanh Tý Trường THPT NGUYỄN DU Tở Toán -Tin 0 1 0 1 x x x x         > ⇔ ⇔ = = = Vậy phương trình có nghiệm x=1  Cách giải đúng: Điều kiện xác định: 1 4 2 2 0 x o x x x        > ≠ − > 2 4 2 (4) log log (2. ) 2 x x x⇔ = − 0 4 2 2 x x x x      > ⇔ = − 0 4 2 2 0 x x x x      > ⇔ − − = 0 2 ( 1)(2 2 1) 0 x x x x x      > ⇔ − + + = 0 1 0 1 x x x x         > ⇔ ⇔ = = = So sánh với điều kiện phương trình (4) vơ nghiệm III. KẾT LUẬN:  Qua thực tế dạy một số lớp trước đây tơi đã mạnh dạn đưa vào một phần nào đấy thì thấy khả năng của các em có tiến bộ và biết cách học được một số mơn học khác ngồi mơn tốn.  Chun đề này chỉ ra một số lỗi học sinh hay mắc phải chứ khơng phải học sinh nào cũng mắc phải các lỗi ở trên.  Chun đề này chỉ nêu các lỗi cơ bản giúp cho các em Học sinh tránh các lỗi đáng tiếc khi làm bài kiểm tra  Chun đè này tơi viết dựa trên việc tập hợp từ nhiều sách của nhiều tác giả tuy nhiên chắc chắn vẫn còn nhiều chỗ cần được cải thiện, mong các đồng nghiệp góp ý thêm ! IV. SÁCH THAM KHẢO:  Phương trình mũ và logarit của DƯƠNG MINH ĐỨC  Sách giáo khoa giải tích 12 bộ một và bộ hai của ĐỒN QUỲNH và TRẦN VĂN HẠO  Đại số THPT của PHAN HUY KHẢI  Phương trình và bất phương trình của TRƯƠNG QUANG LINH Chun đề chun mơn GV: Nguyễn Thanh Tý . -Tin CHUYÊN ĐỀ : CÁC LỖI CƠ BẢN KHI GIẢI TOÁN I. THỰC TRẠNG: Trước khi học cách giải toán chúng ta hãy xét các sai lầm thông thường khi học toán và giải toán. -Tin bài toán cơ bản. Cho nên chúng ta sẽ thấy rõ bản chất các bài toán loại này và dễ dàng giải chúng nếu chúng ta đã thành thạo các bài toán cơ bản và