Slide 1 TOÁN 1E1 PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết 45 Chương 0 Số phức Chương 1 Hàm số một biến số Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến số Chương 3 Phép tính tích phân hàm một biến số 1 Chương 0 Số[.]
TỐN 1E1 PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết: 45 Chương 0: Số phức Chương 1: Hàm số biến số Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến số Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến số Chương Số phức §1 Số phức phép tốn §2 Dạng lượng giác số phức, cơng thức Moivre, cơng thức Euler ……………………………………………… Dẫn nhập • Phương trình x khơng có nghiệm Do đó, người ta đưa khái niệm số âm dẫn đến xuất tập số nguyên • Phương trình 2x khơng có nghiệm Do đó, người ta đưa khái niệm phân số dẫn đến xuất tập số hữu tỉ Chương Số phức 2 khơng có nghiệm Do • Phương trình x đó, người ta đưa khái niệm thức dẫn đến xuất tập số thực • Một cách tự nhiên, phương trình x khơng có nghiệm Do đó, người ta đưa khái niệm số i i dẫn đến xuất tập số phức thỏa Để làm điều mà cho trường hợp số thực, người ta xây dựng phép toán sau: 2 f : Xét ánh xạ , với phép toán cộng nhân (a; b) (c; d ) (a c; b d ), (a; b).(c; d ) (ac bd; ad bc) Chương Số phức Sau đó, đồng (a; 0) với a Với cách làm phép tốn cho số thực Chẳng hạn: (a; 0) (b; 0) (a b; 0) a b , (a; 0).(b; 0) Đặt i (a.b; 0) ab (0; 1), ta có: i2 (0; 1).(0; 1) ( 1; 0) • Số phức đời thúc đẩy Khoa học phát triển vượt bậc, đặc biệt ngành Điện – Viễn thông – Hàng khơng… https://www.youtube.com/watch?v=Kihl6qFMls4 Chương Số phức §1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1.1 Các định nghĩa • Số phức số có dạng z x iy , x , y gọi đơn vị ảo Số i thỏa i x gọi phần thực số phức z , ký hiệu Re z y gọi phần ảo số phức z , ký hiệu Im z Đặc biệt z x i số thực, z VD Re(2 3i ) ; Im(2 i 0; i iy (y 3i ) 0) số ảo i Chương Số phức • Hai số phức z1 x iy1 z x x x y1 y2 VD 2x i • Số phức z x số phức z x 3i VD iy x iy2 gọi y iy gọi số phức liên hợp iy , nghĩa x 3i ; i iy x i 2; iy 1 Chương Số phức • Tập hợp tất số phức ký hiệu z x iy x , y Chú ý z Khi x Tập Im z y , ta ký hiệu z x iy { } gọi tập số phức mở rộng Chương Số phức 1.2 Các phép toán số phức Cho hai số phức z1 x iy1 z nghĩa phép toán sau: x2 iy2 , ta định a) Phép cộng trừ số phức (x iy1 ) (x iy2 ) (x x2 ) i(y1 y2 ), (x iy1 ) (x iy2 ) (x x2 ) i(y1 y2 ) Chú ý Phép cộng số phức có tính giao hốn kết hợp VD (2 i) ( i) 1; 3i ( 5i) 8i Chương Số phức b) Phép nhân số phức (x1 Chú ý • Do (x iy1 )(x iy1 )(x iy2 ) iy2 ) (x 1x x1x (x1x y1y2 ) i(x 1y2 x 2y1 ) ix1y2 ix 2y1 i y1y2 y1y2 ) i(x 1y2 x 2y1 ), nên ta nhân hai đa thức ý i • Phép nhân số phức có tính chất nhân số thực Chương Số phức VD i 2( (1 i )( (1 i) i 3i ) 2i )(1 2i ) i 3i 2i 4i 2 3i i 2; 5i ; 10 Chương Số phức VD Xác định modul argument số phức: a) z b) z i; i y Giải a) z arg(i ) i.1 2 1; i •1 x O Hình a) 25 Chương Số phức b) z cos arg i( 1) 2; , sin i y 3 • i O x Hình b) 26 Chương Số phức c) Dạng lượng giác số phức • Cho số phức z Ta có: z x r r x y i r iy có | z | r arg z r (cos i sin ) Vậy dạng lượng giác số phức z là: z r (cos i sin ) 27 Chương Số phức VD Viết số phức sau dạng lượng giác: a) z 4; a) | z | | | Vậy z b) | z | b) z i i 3; c) z i 2 Giải số thực âm nên 4, z 4(cos 1 i sin ) Do z nằm góc phần tư thứ mpOxy cos , sin nên 28 Chương Số phức Vậy z cos c) Ta có z z 2 2 i sin i nằm góc phần tư thứ nên: i cos i sin 29 Chương Số phức Nhận xét i sin ) thì: Nếu z r (cos z r (cos i sin ) r[cos( ) Nếu z số thực, z |z | x2 x i sin( )] i thì: 02 | x | 30 Chương Số phức 2.2 Công thức Moivre • Cho số phức z cos Khi đó: z n cos n i sin i sin n • Tổng quát, cho số phức z Khi đó: 1) z n n 2) z r n (cos n n wk n (n ,n r (cos i sin ) i sin n ), n r cos ,n k2 n 2, k 1) i sin 0, n k2 n 31 Chương Số phức VD Tính a) (1 100 i) ; b) Giải a) Ta có: (1 i 100 i) cos 50 100 isin 4 100 cos [cos( ) i sin( 100 i sin )] 50 32 Chương Số phức b) Ta có: wk 8(cos cos i sin 0) k2 isin k2 , k 0;2 Vậy có ba giá trị là: w 2(cos i sin 0) (k 0), w1 2 cos i sin i (k 1), w2 cos i sin i (k 2) Nhận xét: w w1 w2 33 Chương Số phức 2.3 Công thức Euler Ta có: i • in • in n •i n •i n i 4k r k (i ) i r i (0 r 3) Do đó: r 0, nghĩa n ; i r 1, nghĩa n : dư 1; r , nghĩa n : dư 2; i r , nghĩa n : dư Khai triển Maclaurin hàm e e r n i n (i ) n! cos 2! i ) , ta được: ( 4! i 1! 3! i sin 34 Chương Số phức Công thức Euler: ei i sin cos • Dựa vào cơng thức Euler, số phức z có | z | arg z r viết dạng mũ: z re i VD Viết số phức sau dạng mũ: a) z a) z 3; z b) z i; c) z Giải 3(cos i sin ) i 3e i 35 Chương Số phức b) z c) z i z cos i 2 cos i sin i e i i sin 2e i 36 Chương Số phức Nhận xét 1) Nếu z re i z 2) Với z x1 | z1 z2 | re i iy1, z (x x2 iy2 , ta gọi x2 ) (y1 y2 ) khoảng cách z z Khi | z r hay z a| a re i ( [0; ]) phương trình đường trịn tâm a , bán kính r Đặc biệt, | z | hay z e i phương trình đường tròn đơn vị 37 Chương Số phức • Cơng thức cần nhớ Với z z2 1) z 1z i re , z r2e i i( r1r2[cos( 2) z1 r1 z2 r2 r1 r2 e i( r2 (cos r1r2e r1e i [cos( r1(cos i sin 2 i sin ), ), ta có: ) ) i sin( )] ) ) i sin( )] 38 Chương Số phức 3) z n n 4) z n in r e , n wk n r e i k2 n n 2, k 0, n ………………………………………………………… 39