Chöông 2 Baøi giaûng moân Cô lyù thuyeát Hoïc kyø 2, naêm hoïc 2012 2013 13 Chöông 2 Thu Goïn Heä Löïc Phöông Trình Caân Baèng Cuûa Heä Löïc Noäi dung Chöông naøy ñöa ra caùc daïng thu goïn töông ñöôn[.]
Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Chương Thu Gọn Hệ Lực Phương Trình Cân Bằng Của Hệ Lực Nội dung: Chương đưa dạng thu gọn tương đương hệ lực, điều kiện cân hệ lực làm sở để đánh giá tác dụng chúng giải toán cân vật rắn, hệ vật rắn 1 HAI ĐẠI LƯNG ĐẶC TRƯNG CỦA HỆ LỰC: 1.1 Vector hệ lực: Định nghóa: Vector hệ lực vector tự ( R ’) tổng vector lực thuộc hệ: (Fk ) : R ’ = Fk (2.1) Phương pháp xác định: a Hình học: Vectơ đóng kín đa giác lực b Giải tích : F1 R’ F2 Fn R' (X’,Y’,Z’) X’= Fkx ; Y’= Fky ; Z’= Fkz 1.2 (2.2) Vector moment hệ lực tâm: 2.1 Định nghóa: Vector moment hệ lực tâm O ( M o) hệ lực tổng vector moment lực thuộc hệ lấy tâm M = mO (Fk ) (2.3) Phương pháp xác định: Dùng (1.2) nhận được: M o = (Zkyk – Ykzk) i + (Xkzk – Zkxk) j +(Ykxk – Xkyk) k (2.4) Trong lực F (Xk ,Yk ,Zk), bán kính điểm đặt lực thứ k r k(xk ,yk ,zk) 13 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 2 ĐỊNH LÍ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ BẢN: Định lý : R ' R' 1 ( F k ) ( P i ) M1 / O R / O Nhận xét: Từ định lý ta thấy hệ lực tương đương tối giản hệ lực gồm vector lực vector vector moment vector moment hệ lực tâm đặt tâm (kể trường hợp thành phần 0) 3 CÁC HỆ QUẢ: 3.1 Vector moment ngẫu lực: Hệ lực ( F k ) có R ’= M ( O tùy ý xác định ): Chúng ta nhận thấy hệ gồm hai lực phương, ngược chiều, độ lớn không giá (được gọi ngẫu): ( F k ) ( F , F ’ ) Chúng ta chứng tỏ moment ngẫu không phụ thuộc tâm lấy moment: Có : M o = m O ( F ) + m O ( F ’) = OA F + OB F ’ = OA F + OA F ’+ AB F ’ = OA ( F + F ’) + AB F ’ = AB F ’ F d A MO B O F’ Hình 2.3 Điều chứng tỏ vector moment ngẫu không phụ thuộc tâm lấy moment Hai ngẫu ( F , F ’) ( F 1, F 1’) có vector moment tương đương (vì R ’= 0) 3.2 Định lý thu gọn: Hệ lực ( F k ) thu gọn tâm (O) tương đương với lực vector hệ lực ( R ’) ngẫu vector moment hệ lấy với tâm : ( F k) ( R 0’, M ) với R 0’= F k vaø M = m O ( F k ) 3.3 Các trường hợp đặc biệt: 3.3.1 R ’ M ( F k ) R (hợp lực R có giá với R = R ’ giá thỏa m O ( R ) = m O ( F k) ) 14 Baøi giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 a) Hệ lực song song: ( F k Oz ) Nếu R ’ có hợp lực : ( F k ) R b) Hệ lực phẳng: ( F k Oxy ) Neáu R ’ ( F k ) R (có hợp lực) ta lấy điểm A Oxy làm tâm thu gọn M A Oxy M A R c) Hợp lực hệ lực phẳng song song: Cho hệ lực phân bố hình 2.4: Xét phân tố xk, hệ lực phân bố độ dài tương đương: R F Fk q(x) Fk = q(x’k).xk đặt x’k l Hợp lực R = F = Fk = oq(x)dx O x’k d l Tìm từ M = m O( F k) = oq(x)xdx R d = M o l x xk Hình 2.4 l M q(x)xdx d o ol R oq(x)dx Hệ lực phân bố (hình 2.5): q0 O Coù q(x) = qo q l x R I o ; OI = l l Nhận xét: x I l Hình 2.5 l2 qo l Hợp lực R I ; R =qol ; OI = qol Hệ lực phân bố tuyến tính (hình 2.6): (2.5) RI F (2.6) F O RI I l Hình 2.6 q0 x (2.7) Các hợp lực có cường độ diện tích phân bố, qua trọng tâm biểu đồ diện tích 3.3.2 R ’ = 0, M o ( F k ) ngaãu ( Q , Q ’) có moment moment hệ lực tâm O Chú ý: Khi R ’ = 0, ( F k ) ngaãu ( Q , Q ’) nên moment hệ không phụ thuộc tâm lấy moment 3.3.3 R ’ = 0, M o = ( F k ) (2.8) 3.4 Hệ ba lực cân bằng: 15 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Hệ ba lực cân đồng phẳng Nếu lực không song song với phải đồng quy 4 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC: Từ (2.8) nhận điều kiện cân hệ lực: 4.1 Hệ lực tổng quát (không gian): R’x = Fkx = R’y = Fky = R’z = Fkz = 0 (Fk) (2.9) M ox = m x( F k ) = M oy = m y( F k ) = M oz = m z( F k ) = Với hệ lực đặc biệt số phương trình tự thỏa mãn nên số điều kiện giảm 4.2 Hệ lực song song ( F k // Oz ): Fkz = 0 ( F k ) M x = m x( F k ) = (2.10) M y = m y( F k ) = Do phương trình lại tự thỏa mãn 4.3 Hệ lực đồng quy ( F ok ), lực qua O: Fkx = 0 ( F k ) Fky = (2.11) Fkz = Do M = m ( F k ) = tự thỏa mãn 4.4 Hệ lực phẳng ( F k ), F k Oxy: Với điểm A tùy ý thuộc mặt phẳng lực Oxy: m A ( F k ) = m Az ( F ) k = dk Fk k Vector moment lực phương nên ta quy ước thay m A ( F k) giá trị đại số: m A ( F k ) = m Az ( F k ) = dk Fk (2.12) Ta lấy dấu (+) (-) theo quy tắc moment lực trục (hình 2.7) z z k O 16 mA (Fk ) y A y Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Điều kiện cân hệ lực phẳng có dạng: 4.4.1 Dạng 1: Fkx = 0 ( F k ) Fky = (2.13) mA (Fk) = M A = với A tùy ý thuộc mặt phẳng lực R ' Điều hiển nhiên (2.12) M A 4.4.2 Daïng 2: Fkx = 0 (Fk) M A = mA (Fk) = (2.14) M B = mB (Fk) = (với AB Ox ) 4.4.3 Daïng 3: M A = mA (Fk) = 0 (Fk) M B = mB (Fk) = (2.15) M C = mC (Fk) = Sử dụng phương pháp chứng minh trên: R ’A R ’phải có giá chứa đoạn AB AC, A,B,C không thẳng hàng nên xảy trường hợp 5 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN: 5.1 Mô hình toán: 17 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Một vật rắn không tự (chịu liên kết) chịu tác dụng lực (lực hoạt động) cân Những yêu cầu đặt là: Xác định phản lực liên kết Tìm điều kiện cân Tìm yêu cầu lực hoạt động yếu tố hình học để vật khảo sát cân 5.2 Phương pháp giải: Chọn vật khảo sát: Xem xét kó mô hình toán (hình vẽ), chọn vật rắn (có thể chất điểm) chịu tác động tất lực hoạt động 2.2 Đặt lực: Lực bao gồm lực hoạt động phản lực liên kết Xem xét kó mô hình vật khảo sát, xác định đầy đủ liên kết, so sánh với mô hình mẫu để thay hết liên kết phản lực tương ứng Lập phương trình cân bằng: a) Phân tích lực đặt vào vật khảo sát (kể phản lực) theo ba phương trục toạ độ b) Lập phương trình cân từ điều kiện cân hệ lực (kể phản lực): M ox m x (F k ) ; Fkx = ; Fky = ; Fkz = ; M oy m y (F k ) ; vaø M oz m z (F k ) ; c) Với lưu ý ngẫu tồn hệ lực đặt vào vật không xuất phương trình hình chiếu bảo đảm vectơ không Chú ý: Neáu F m ( F ) = Fd d đoạn vuông góc chung F Các lực thành phần: F kx vuông góc với trục y,z ; x,y F ky vuông góc với trục x,z ; F kz vuông góc với trục Dùng (1.4) (2.4) nhận được: M Ox = (Fkzyk - Fkyzk) = ; M Oy = (Fkxzk - Fkzxk) = ; M Oz = (Fkyxk - Fkxyk) = 18 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Ở (xk,yk,zk) tọa độ điểm đặt lực F k d) Trường hợp hệ lực phẳng ( F k Oxy): dùng (2.12) lập phương trình cân ngẫu lực 5.3 Đánh giá toán: 3.1 Nếu số phương trình cân độc lập lập (r) số ẩn số (s) (số thành phần phản lực), toán có nghiệm (được gọi toán tónh định) 3.2 Nếu r > s có hai khả xảy ra: a) Sẽ dư số phương trình (= r – s) không chứa ẩn số (phản lực) Đây điều kiện ràng buộc lực hoạt động đại lượng hình học toán Những điều kiện gọi điều kiện cân b) Trong hệ phương trình lập tồn phương trình mâu thuẫn với Chúng ta xem xét lại mô hình toán: Đặt phản lực chưa? Mô hình toán có tồn thực tế không? 3.3 Nếu r < s: Bài toán thuộc loại siêu tónh, chúng giải môn học sau 5.4 Giải phương trình biện luận: Theo nguyên tắc: Phản lực tựa chiều sức căng dây luôn dương Các phản lực khác có chiều chọn kết dương Ngược chiều chọn kết âm 19 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 6 BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN CHỈ KỂ ĐẾN MA SÁT TRƯT: 6.1 Mô hình toán: Fk Vật rắn S cân bằng: a) Hệ lực cân ( F k , F mi) (bao gồm thành phần ma saùt) F ms N2 A2 N1 F ms1 A1 b) Điều kiện không trượt: FI fiNI (I = 1,2, …) Xu hướng trượt Hình 2.8 6.2 Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện cân giải tích: Dùng điều kiện cân hệ lực điều kiện không trượt thu hệ hỗn hợp gồm phương trình bất phương trình Nghiệm thu từ hệ bất đẳng thức nên vật khảo sát cân nằm miền (không phải vị trí trước) Sau tìm miền cân bằng, giải phản lực ẩn Trong nhiều trường hợp, khảo sát vật rắn cân trạng thái tới hạn (sắp trượt) Lúc ( FI = fiNI ) điều kiện cân vật rắn lúc hệ phương trình Nghiệm nhận gía trị biên miền cân bằng, biện luận dựa vào thực tế để suy miền cân n Điều kiện cân hình học: N Đặt phản lực tựa tổng hợp R ( Fm , N ) R * * N R Gọi góc nghiêng R pháp tuyến n Do Fm fN neân: F tg = m f N Ở trạng thái tới hạn, vector phản lực tổng hợp R * tạo với n góc (phương thay đổi không gian) Đặt: A Fm * Fm Hình 2.9 20 Bài giảng môn Cơ lý thuyết tg = Học kỳ 2, năm học 2012-2013 Fm* = f N* Điều kiện không trượt (cân bằng): Hình nón có đỉnh điểm tựa, trục pháp tuyến n (ra khỏi mặt tựa), góc đỉnh 2 gọi nón ma sát Chúng ta có điều kiện cân bằng: - Phản lực toàn phần R nằm nón ma sát - Khi R nằm biên nón ma sát, vật trạng thái tới hạn 6.3 Ví dụ : Tải A trọng lượng Q đặt mặt nghiêng hình vẽ Biết hệ số ma sát trượt A mặt nghiêng f Tìm điều kiện góc nghiêng để tải cân Giải: Giả sử tải A cân ứng với góc nghiêng hình vẽ Hệ lực đặt vào A: Fk Q, N A , Fm Phương trình cân baèng: Fkx Fm Q sin Fky NA Q cos (1) Fms A (2) Điều kiện không trượt: Fm fNA x N (3) Giải hệ phương trình: Fm = Qsin ; NA = Qcos Q Hình 2.10 (3) Qsin fQcos tg f Đặt f = tg điều kiện cân bằng: tg tg Từ kết trên, suy phương pháp xác định hệ số ma sát trượt thực nghiệm: tăng góc từ từ A bắt đầu chuyển động, tan góc nghiêng vị trí hệ số ma sát 21 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 §7 MÔ HÌNH BÀI TOÁN CÂN BẰNG CÓ KỂ ĐẾN MA SÁT LĂN: 7.1 Mô hình toán phương pháp giải: Vật rắn S cân chịu tác dụng hệ lực Fk Fk , N, Fm , ngM Phương trình cân bằng: lập phương trình cân từ Fk Các điều kiện (ma sát): - Không trượt Fm fN - Không lăn M kN Fn Xu hướng lăn Biện luận khả năng: - Điều kiện vật không lăn không trượt - Điều kiện vật lăn không trượt - Điều kiện vật trượt không lăn Fk N Ml Xu hướng trượt S F ms Hình 2.11 7.2 Ví dụ : Con lăn đồng chất bán kính R, trọng lượng P chịu tác dụng lực Q hình vẽ Biết hệ số ma sát trượt lăn lăn mặt đường tương ứng f, k Tìm giá trị Q để lăn cân y Giải: x Trong toán loại này, ta không áp Q Xu R dụng phương trình cân tới hướng O hạn, điều kiện lăn trượt lăn h độc lập, không bắt buộc đạt tới điều M kiện tới hạn P I Fm - Vật khảo sát: lăn N - Đặt lực: Fk P, Q, N, Fm , M Hình 2.12 - Phương trình cân bằng: F F m kx Q Fm ky NP0 I M Qh 22 Bài giảng môn Cơ lý thuyết Học kỳ 2, năm học 2012-2013 - Giải hệ phương trình: Giải phương trình đầu nhận được: N = P ; Fm = Q ; M = Qh Không trượt: Q fP Không lăn: Qh kP Q Pk/h Để lăn cân (không lăn, không trượt): Chú ý: giả sử Q k min( f , ) P h k < f, có trường hợp: h k Q f : vật lăn không trượt h P k Q f : vật vừa trượt vừa lăn h P 23