Cud phan 2 chuong2

Chöông 1 68 TS Vuõ Coâng Hoøa Chöông 2 ÖÙNG SUAÁT VAØ BIEÁN DAÏNG 1 ÖÙNG SUAÁT 1 1 Khaùi nieäm Chia vaät baèng moät maët caét vaø khaûo saùt tính chaát cuûa caùc löïc tieáp xuùc truyeàn qua maët naøy[.]

Chương ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 1 ỨNG SUẤT: 1.1 Khái niệm: Chia vật mặt cắt khảo sát tính chất lực tiếp xúc truyền qua mặt phần tách tác động lên Các lực tiếp xúc phân bố khắp mặt cắt với chiều giá trị  thay đổi, chúng gọi ứng lực (hay ứng suất) t điểm  F dA  t  F  M   i j  k z z x  F y Hình 2.1 Xét điểm Mtrên mặt cắt phân tố diện tích chung quanh M: dA Nếu gọi ứng  lực dA dPi ứng suất t M mặt phẳng vuông góc oz là:   dPi t  dA (2.1) dA  Chọn hệ trục Cartesian hình 5.1, với oz vuông góc với mặt cắt; vector đơn vị trê n    0x, 0y, 0z là: i , j , k 68 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG Thế ứng suất điểm M mặt phẳng vuông góc với trục oz laø:     (2.2) t   z k   xy j   zx i Với: z: ứng suất pháp    zy , zx: Các ứng suất tiếp (    zy j   zx i ) Chỉ số z ngụ ý  nằm mặt phẳng vuông góc với trục z số thứ hai (x, y) phương song song  Qui ước dấu thành phần ứng suất sau:  Ứng suất pháp z xem dương vector biểu diễn chiều với pháp tuyến mặt cắt  Ứng suất tiếp : zy , zx la dương vector biểu diễn chiều với 0y, 0x 1.2 Các thành phần ứng suất: Tách phân tố M mặt vi phân trực giao vơí trục toạ độ (hình 2.2a)    Trên mặt vi phân dương có vector ứng suaát : tx , ty tz z  tz z  nz z dz dx x  ty  ny  nx 0M  tx a)  zx  zy  yz M 0 y dy Hình 2.2 x  xz x y  xy  yx y b) Mỗi vector chúng có thành phần song song với trục toạ độ:    tx  x ,  xy ,  xz , ty  yx ,  y ,  yz , tz  zx ,  zy , z  (2.3) 69 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG Bây ta hình dung mặt vi phân vô bé tất tập trung quanh  M Lúc đó, thành phần öùng suaát:  i ,  ij (i, j  x, y, z) thành phần vector ứng suất tác động điểm mặt phẳng vi phân trực giao đôi Như vậy, ta có khái niệm: ứng suất điểm đặc trưng thành phần chúng viết dạng tensor  x  T   yx   zx  xy y  zy  xz    yz  z   (2.4) 2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT: 2.1 Trạng thái ứng suất điểm: Nếu cho qua M mặt cắt  khác nhau, tương ứng với vị trí  ta   vector ứng suất t Tập hợp tất t tất mặt qua M gọi trạng thái ứng suất M Tập hợp không tập hợp vector độc lập Thực để khảo sát trạng thái ứng suất điểm M môi trường liên tục, ta đưa vào trục 0x, 0y, 0z với 0M hệ toạ độ cartesian tách phân tố tứ diện 0ABC, (hình 2.3a) z C dAz  dAy z  p n  n  y n  B  yx y x Hình 2.3 pz y' y py B   zy  yz A a) x  xy  '  xz   zx  dA  dAz z' C z x' A b) x  Goïi: nn x , n y , n z  pháp tuyến đơn vị mặt phẳng nghiêng 70 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG Và:  dA diện tích tam giác ABC  dAx diện tích tam giác 0BC  dAx = dA.nx  dAy diện tích tam giác 0AC  dAy = dA.ny  dAz diện tích tam giác 0AB  dAx = dA.nz    tx , ty , tz &  pp x , p y , pz  ứng suất mặt 0BC, 0AC, 0AB, ABC    i , j, k vector đơn vị trục toạ độ Thế thì:           tx    x i   x y j   x z k      ty    y x i   y j   y z k     tz    zx i   zy j   z k (2.5) 2.1.1 Điều kiện vector tổng không (vector không): Từ điều kiện cân phân tố:      tx dA x  ty dA y  tz dA z  p.dA  (2.6)       tx n x  t y n y  tz n z  p  Chiếu xuống trục:  p x   x n x   y x n y   zx n z   p y   x y n x   y n y   zy n z  p   n   n   n xz x yz y z z  z (2.7) p j  ijn i (2.8) Vaø:  n   x nx2   y n y2   z nz2  2 xy nx n y  2 xz nx nz  2 yz n y nz   ij ni n j 71 (2.9) TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 2.1.2 Điều kiện moment tổng (vector moment không): Từ điều kiện cân phân tố: Gọi 0/ : trọng tâm tam giác ABC Dựng hệ trục toạ độ 0/ x/y/ z/ // xy z     0C 0B  m ( t , t , t , p ) /   dA   dA 0  x y z zy z yz y x  3      0C 0A  m ( tx , ty , tz , p) / y   zx dA z   xz dA x  (2.10)  3      0B 0B  m ( t , t , t , p ) /   dA   dA 0  x y z yx y xy x z  3  ' ' ' ' ' ' Vì: dAz 0C 0B 0A  dAy  dA x  dV : thể tích tứ diệ n 3 (2.11) Neân: zy   yz ; zx   xz ; yx  xy (2.12) Từ kết ta rút hệ luận: a.) Trên mặt vi phân trực giao, thành phần ứng suất tiếp vuông góc với cạnh chung có chiều hướng vào hay hướng cạnh chung Đây nguyên lý tương hỗ ứng suất tiếp b.) Tensor ứng suất tensor đối xứng; trạng thái ứng suất điểm môi trường liên tục phụ thuộc thông số đặc trưng tensor ứng suaát T  xy  x  T   y  ñx   xz    xz  z   72 (2.13) TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 2.2 Phương ứng suất chính:  Nếu có mặt cắt mà phương p trùng với phương pháp tuyến n mặt gọi mặt Lúc thành phần ứng suất tiếp không: n = thành phần ứng suất pháp : n gọi ứng suất    p  n n (2.14) Phương mặt xác định sau: Từ (5.14): p x   n n x ; p y  n n y ; pz  n n z ; (2.15) Từ (5.15) (5.8):  x   n .n x   yx n y   zx n z    xy n x   y   n .n y   zy n z   n   n     .n  yz y z n z  xz x (2.16) Trong n x , n y , n z ẩn số phải tìm  2 Vì n pháp tuyết đơn vị, nên : n x  n y  n z  Điều chứng tỏ n x , n y , n z Không thể đồng thời không định thức hệ phương trình (2.10):  x  xy  n    xz  yx y  n   yz  zx  z  zy 0 (2.17)  n  Khai trieån: 3n  I12n I  n  I  (2.18) Với: I1   x   y   z (2.19) 73 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ I2   CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG x  yx xy y  y  zy  yz z  z xz  zx x (2.20)    x  y   y  z   z  x   2x y   2yz   2x z x  yx  zx I   xy y  zy   x  y  z   xy  yz  zx   x  2yz   y  2xz   z  2xy (2.21)  xz  yz z I1 , I2 , I3 : gọi bất biến (không phụ thuộc hệ toạ độ) tensor ứng suất Xét mặt nghiêng so với phương 1, 2, Pháp tuyến mặt nghiêng x Ứng suất pháp mặt nghiêng:  x  1 n 2x1  2 n 2x  3 n 2x  (2.22) Với n x  n x1  n x  n x : pháp tuyến đơn vị  n 2x1  n 2x  n 2x   y 1  ny  nx x x  nz 2 z 3 Hình 2.4 -Tương tự xét mặt nghiêng pháp tuyến đơn vị:  n y  n y1  n y  n y3   n x (n 2y1  n 2y  n 2y3  1) y  1 n 2y1  2 n 2y  3 n 2y3 (2.23) (2.24)  -Và mặt nghiêng có pháp tuyến đơn vị n z n z1 , n z , n z  vuông góc với mặt 74 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG (n 2z1  n 2z  n 2z  1) (2.25) z  1 n 2z1  2 n 2z  3 n 2z (2.26) Do đó: x  y  z  1 (n 2x1  n 2y1  n 2z1 )  2 (n 2x  n 2y2  n 2z )  3 (n 2x3  n 2y3  n 2z3 ) (2.27)    Vì n x , n y , n z pháp tuyến đơn vị vuông góc với đôi một, nên: n 2x1  n 2y1  n 2z1  ; n 2x  n 2y  n 2z  ; n 2x  n 2y3  n 2z  (2.28) Vaø (x, y, z) hệ toạ độ vuông góc bất kỳ, nên:  x   y   z  1    3  const     (2.29) I1 Phương trình (2.18) có nghiệm số, xảy trường hợp: nghiệm thực hay nghiệm thực nghiệm phức liên hiệp Xét trường hợp có nghiệm thực: 1 , 2 , 3 Các pháp tuyến đơn vị tương ứng với nghiệm đó:    n1 n x1 , n y1 , n z1 ; n n x , n y , n z ; n n x , n y , n z  (2.30) Từ (5.16):  x  1 .n x1   yx n y1   zx n z1    xy n x1   y  1 .n y1   zy n z1   n   n     .n  z z1  xz x1 yz y1 (5.31) Nhaân phương trình thứ với n x , phương trình thứ với n y phương trình thứ với n z cộng lại: [x  1 n x1   yz n y1  zx n z1 ]n x  [ xy n x1  y  1 .n y1   zy n z1 ].n y  [ xz n x1   yz n y1  z  1 .n z1 ].n z  (2.32) Tương tự: 75 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG [ x  2 n x   yz n y   zx n z ]n x1  [ xy n x   y  2 .n y   zy n z ].n y1   [ xz n x   yz n y  z  2 .n z ].n z1  (2.33) Trừ (5.33) với (5.32)  x   n x1 n x  n y1 n y  n z1 n z  1 &  (2.34) Vaäy: n x1 n x  n y1 n y  n z1 n z    Điều chứng tỏ n1 n (2.35)    12 Vậy: phương vuông góc vơí đôi Ta chứng minh trường hợp nghiệm thực, nghiệm phức liên hiệp không tồn tại! (tự chứng minh) Tóm lại, điểm vật thể đàn hồi ta tìm phương Trên mặt ứng suất trùng với pháp tuyến mặt chính, gọi ứng suất chính; qui ước 1  2  3 Các ứng suất không phụ thuộc việc chọn trục toạ độ    Để tìm phương n1 , n , n ta thay 1 , 2 , 3 vào vị trí  n hệ phương trình (5.16) Mỗi lần thay  i ta tìm phương thứ i:  n i n xi , n yi , n zi , ( i  1,2,3) cách kết hợp với phương trình: n 2xi  n 2yi  n 2zi  (2.36) 2.3 Các trạng thái ứng suất: Nếu chọn phương làm hệ trục toạ độ, tensor ứng suất có dạng: 1  T  0  0     3   (2.37) 76 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG Khi 1 , 2 , 3 khác không ta gọi trạng thái ứng suất điểm trạng thái ứng suất khối, (hình 2.5a) Khi có ứng suất ta có trạng thái ứng suất phẳng, (hình 2.5b) Khi có ứng suất ta có trạng thái ứng suất đơn, (hình 2.5c) 2 2 1 1 3 a) 1 1 b)  2 1 1 c) Hình 2.5 2.4 Tương quan nội lực ứng suất:    Gọi tz zx , zy , z ứng suất điểm mặt cắt (xem hình ): K(x,y) Lấy phân tố diện tích dA chung quanh A Sáu thành phần nội lực ảnh hưởng thành phần ứng suất toàn mặt cắt gây nên: y Mx x  zx K  zy y My a)  zy z z z  zx x Mz z dA Hình 2.6  N z    z dA ; Q y    zy dA ; Q x    zx dA A A A   M x    y. z dA ; M y     x. z dA A A  M   (  x   y)dA z zx A zy   b) (2.38) (daáu +, - cho mặt cắt thuộc phần vật bên trái, phải) 77 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 3.3.2.4 Phương vector pháp tuyến mặt nghiêng cho trị ứng suất tiếp lớn   phương PE PF (ký hiệu n  max , n  hình 2.10b) Để ý góc < EPF chắn nửa cung vòng   tròn, n  max  n  hay mặt chứa ứng suất tiếp lớn vuông góc Ngoài ra: R   xy  EJ R  JC R  PM  tg  max  PJ  MC  MC ( x   y ) /  (2.67)  R    JF R  JC xy tg      PJ MC ( x   y ) /  3.3.2.5 Góc tâm chắn cung AE 900, pháp tuyến hợp với góc 450 Từ suy mặt mặt chứa ứng suất tiếp cực trị hợp với góc 450 3.3.2.6 Từ biểu thức (2 63) ta suy ra:  max     x   y (2.68) tức tổng ứng suất pháp mặt vuông góc số 3.3.2.7 Từ hình 2.10b ta có:  max  (max  min ) / (2.69) 3.4 Các trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt: 3.4.1 Nếu 1 , 2  (nén): Vòng tròn Mohr nằm hoàn toàn phía trái trục - (hình 2.11.a); điều lý tưởng cho vật liệu chịu kéo (đá, bêtông,…)   2 2 1 2 1  E  1 a) 2 b) 1 F Hình 2.11 85 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 3.4.2 Nếu 1  (ké o) & 2  (né n) : Vòng tròn cắt trục - điểm E, F đo  = 0ù (hình 2.11.b) 3.4.3 Nếu 1  & 2  : Ta có trạng thái kéo túy, (hình 2.12.a) 3.4.4 Neáu 2  & 1  : Ta có trạng thái nén túy, (hình 2.12.b) 3.4.5 Nếu 1  2 : Vòng tròn có tâm đặt gốc toạ độ ta có trạng thái ứng suất thủy tónh Lúc mặt chịu ứng suất đơn, (hình 2.12c) 3.4.6 Nếu 1  2  : Vòng tròn có tâm đặt gốc toạ độ ta có trạng thái ứng suất trượt túy Trên mặt nghiêng góc 450 so với phương (E, F), ứng suất pháp  = ứng suất tiếp    1 (hình 2.12.d) 2 2 1 1  2  1 a)     2 1  1 1 2 E  1 b) c)  2 1 d) F Hình 2.12 86 TS Vũ Công Hòa Giáo Trình CƠ CHƯƠNG 2: ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG 4 BIẾN DẠNG: 4.1 Chuyển động, chuyển vị biến dạng: Khảo sát vật thể đàn hồi chịu lực Gọi  hình thái ban đầu hệ toạ độ 0xyz lúc chưa chịu lực, / hình thái vật chịu lực (hình 2.13) z  ds ' ' Q ds ' Pu ' Q P  r  r' x y Hình 2.13  Gọi P điểm  xác định vector r x, y, z Sau tác dụng lực P có vị trí P/ / xác định ' ' ' ' r x , y , z  Ta gọi chuyển động, hay thay đổi vị trí môi trường liên tục phép biến đổi điểm Tương quan P P/ quan hệ 1-1 điểm miền  / Ta gọi chuyển vị điểm P laø vector:     u  PP /  r '  r  uu, v, w (2.70)  Các thành phần vector chuyển vị u : x '  x, y'  y, z'  z  Tập hợp vector utạo thành trường chuyển vị Khi môi trường thay đổi hình thái, phân tố thể tích bị thay đổi hình dạng, nói ngắn gọn bị biến dạng; biến dạng thay đổi từ điểm sang điểm khác Để khảo sát biến dạng điểm, ta khảo sát cách vận động phần tử thẳng ds nối điểm P(x, y, z) với Q(x+dx, y+dy, z+ dz) 87 TS Vũ Công Hòa