Untitled BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Thu Hiền HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TUYẾN TÍNH CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤ[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC Nguyễn Thu Hiền HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TUYẾN TÍNH CẤP MỘT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC Nguyễn Thu Hiền HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Hà Tiến Ngoạn Hà Nội – 2015 Mục lục Mở đầu Danh mục kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số không gian hàm 1.2 Toán tử làm trơn 1.3 Nửa nhóm liên tục toán tử sinh 1.4 Định lý Hille-Yosida 1.5 Bài toán Cauchy phương trình vi khơng gian Banach 1.6 Một số toán tử giả vi phân cấp 1.6.1 Biến đổi Fourier 1.6.2 Toán tử giả vi phân 1.6.3 Toán tử Λ(x, D) 1.6.4 Toán tử Riesz Rj (x, D) phân thường HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG CẤP MỘT VỚI HỆ SỐ KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN 2.1 Hệ phương trình đối xứng cấp 2.2 Đưa phương trình truyền sóng hệ phương trình đối xứng cấp 2.3 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp khơng gian L2 2.3.1 Bất đẳng thức lượng không gian L2 i 4 11 13 14 14 15 15 16 16 19 22 22 2.3.2 Tốn tử A khơng gian L2 2.3.3 Sự tồn nghiệm L2 2.4 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp khơng gian W21 2.4.1 Bất đẳng thức lượng không gian W21 2.4.2 Tốn tử A khơng gian W21 2.4.3 Định lý tồn nghiệm W21 Kết luận Tài liệu tham khảo ii 26 29 31 31 33 38 40 41 Mở đầu Hệ phương trình đạo hàm riêng đối xứng cấp đóng vai trị quan trọng lí thuyết phương trình đạo hàm riêng tốn học nói chung Nhiều q trình tự nhiên kĩ thuật mơ hình hóa hệ phương trình đối xứng cấp Vì việc nghiên cứu tính giải tốn Cauchy cho phương trình đối xứng cấp có ý nghĩa thực tiễn Luận văn nghiên cứu tính giải tốn Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp với hệ số không phụ thuộc thời gian Luận văn gồm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương Luận văn trình bày số kiến thức như: Một số khơng gian hàm, tốn tử làm trơn, nửa nhóm tốn tử sinh, Định lý Hille-Yosida, tốn Cauchy phương trình vi phân thường khơng gian Banach số tốn tử giả vi phân cấp Chương Hệ phương trình đối xứng cấp với hệ số khơng phụ thuộc thời gian Nội dung Luận văn trình bày chương bao gồm: Hệ phương trình đối xứng cấp một, cách đưa phương trình truyền sóng hệ phương trình đối xứng cấp một, tốn Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp L2 tốn Cauchy cho hệ phương trình đối xứng cấp W21 Trong không gian L2 W21 Luận văn thiết lập bất đẳng thức lượng chứng minh tính tồn ánh tốn tử A lên tồn khơng gian Trên sở áp dụng Định lý Hille-Yosida, Luận văn tính giải tốn Cauchy khơng gian Tài liệu tham khảo Luận văn [1] [2] Trong suốt thời gian học tập Viện Toán - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam đến nay, tác giả nhận nhiều quan tâm giúp đỡ quý thầy cô, cán công nhân viên Viện Tốn học, gia đình bạn bè Với lòng biết ơn sâu sắc nhất, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Viện Toán học với tri thức tâm huyết để truyền đạt vốn tri thức quý báu cho suốt thời gian học tập Viện Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Hà Tiến Ngoạn tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn Luận văn hồn thành Viện Tốn - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Bước đầu vào lĩnh vực nghiên cứu khoa học kiến thức tác giả nhiều hạn chế bỡ ngỡ, cố gắng khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thu Hiền Danh mục kí hiệu khơng gian Euclide n-chiều R+ với ∀t ∈ R+ t ≥ vt đạo hàm hàm v theo biến t vtt đạo hàm cấp hai hàm v theo biến t ∗ tích chập A∗ ma trận chuyển vị liên hợp phức ma trận A (W21 )∗ không gian đối ngẫu không gian W21 [a, b] đoạn từ a đến b u(x) hàm u phụ thuộc vào biến x {x ∈ Rn ; f (x) 6= 0} bao đóng tập {x ∈ Rn ; f (x) 6= 0} ⇒ hội tụ supf (x) supremum tập {f (x) : x ∈ A} Rn x∈K imf (x) Γ(f (x)) Re p ảnh hàm số f (x) đồ thị hàm f (x) phần thực số p Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khơng gian hàm, tốn tử làm trơn, nửa nhóm tốn tử sinh nó, Định lý Hille-Yosida, tốn Cauchy phương trình vi phân thường khơng gian Banach số toán tử giả vi phân cấp sử dụng chứng minh chương 1.1 Một số không gian hàm Định nghĩa 1.1 Không gian L2 = L2 (Rn ) không gian hàm f (x) = f (x1 , x2 , ., xn ) xác định bình phương khả tích Rn Z |f (x)|2 dx < +∞ Rn Chuẩn L2 (Rn ) định nghĩa công thức kf k = kf (x)kL2 = Z Rn 12 |f (x)|2 dx Không gian L2 (Rn ) khơng gian Hilbert với tích vô hướng Z (f, g)L2 (Rn ) = f (x)g(x)dx Rn Định nghĩa 1.2 Không gian W2m = W2m (Rn ) không gian bao gồm hàm f ∈ L2 mà có đạo hàm riêng đến cấp m thuộc L2 Chuẩn W2m cho công thức sau kf k2m = (kf (x)km,L2 )2 = X kDα f (x)k2L2 , |α|≤m đó, α = (α1 , α2 , , αn ), |α| = α1 + α2 + + αn ; Dα f (x) = ( ∂x∂ )α1 ( ∂x∂ n )αn f (x) Định nghĩa 1.3 Không gian B m = B m (Rn ) khơng gian hàm có đạo hàm riêng liên tục bị chặn đến cấp m Chuẩn B m (Rn ) cho công thức |f (x)|m = X sup |Dα f (x)| x∈Rn |α|≤m Định nghĩa 1.4 Không gian C m = C m (Rn ) khơng gian hàm có đạo hàm đến cấp m liên tục Sự hội tụ C m hiểu hội tụ tập compact K ⊂ Rn với chuẩn cho công thức sau |f |m,K = X sup |Dα f (x)| |α|≤m x∈K Định nghĩa 1.5 Không gian D = D(Rn ) tập hợp hàm khả vi vơ hạn lần có giá compact Rn , giá hàm f (x) kí hiệu supp f tập hợp supp f = {x ∈ Rn ; f (x) 6= 0} Định nghĩa 1.6 Không gian S = S(Rn ) tập hợp tất hàm f (x) ∈ C ∞ cho với đa số α, β tồn Cα,β >