Luận văn thạc sĩ HUS phương trình hàm schrӧder, abel và một số áp dụng liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HC T NHIấN NGUYN ễNG BC ă PHNG TRèNH HM SCHRODER, ABEL VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, tác giả xin gửi tới thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2010 - 2012, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục đào tạo Nhà trường Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy phản biện đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn tác giả Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả để tác giả hồn thành luận văn Hà nội, tháng 09 năm 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời mở đầu Lời cảm ơn Các ký hiệu quy ước Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1.Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 Phương trình hàm tuyến tính tổng qt Dãy xấp xỉ liên tiếp Định lý Banach - Schauder 10 Các ánh xạ liên hợp 10 Các chuỗi liên hợp hình thức 12 1.2.Nghiệm phương trình tuyến tính 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghiệm đơn điệu phương trình tuyến tính lồi (lõm) phương trình tuyến tính liên tục phương trình tuyến tính khả vi phương trình tuyến tính giải tích phương trình tuyến tính 13 13 17 20 25 26 Chương Phng trỡnh Schră oder v Abel 29 2.1.Phng trỡnh Schră oder 29 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 Nghiệm Nghiệm Nghiệm Nghim Nghim n iu ca phng trỡnh Schrăoder lồi ca phng trỡnh Schrăoder kh vi ca phng trỡnh Schrăoder trn ca phng trỡnh Schrăoder RN gii tớch ca phng trỡnh Schrăoder 2.2.Phương trình Abel 2.2.1 Nghiệm lồi phương trình Abel 2.2.2 Nghiệm khả vi phương trình Abel 2.2.3 Nghiệm giải tích phương trình Abel 29 30 30 32 33 36 36 37 40 Chương Một số áp dụng liên quan 44 3.1.Các nghiệm 44 3.2.H tin Schră oder 46 3.2.1 Hệ tương đương hàm tự đồng cấu 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC 3.2.2 Sự tương đương phng trỡnh Schrăoder v h tin Schrăoder 3.3.Hệ Schră oder-Abel v cỏc phng trỡnh kt hp 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Các hàm Archimedean kết hợp hoàn toàn Kết hợp phương trình Schrăoder v Abel Sự tồn phần tử sinh Nghiệm hệ Abel – Schrăoder 3.4.Hệ Abel phương trình vi phân có lệch 3.4.1 Nhóm phép biến đổi 3.4.2 Hệ phương trình Abel đồng thời 3.5.H Schră oder v c tớnh ca chuẩn 3.5.1 Đặc tính chuẩn 3.5.2 H cỏc phng trỡnh Schrăoder ng thời 3.6.Các ý 3.6.1 3.6.2 3.6.3 3.6.4 48 49 49 51 52 54 57 57 60 61 61 62 64 Nghim ca h tin Schrăoder Các tự đẳng cấu tăng Định lý 3.3.4 Các phương trình vi phân có lệch 64 65 65 66 3.6.5 Áp dụng định lý 3.4.5 3.6.6 Định lý 3.5.2 3.6.7 Hệ phương trỡnh Schrăoder 3.6.8 Phng trỡnh Schră oder, Abel v phng trỡnh vi phân 3.6.9 Nửa nhóm xấp xỉ liên tục 3.6.10 Các phương trình Abel đồng thời 66 67 67 67 68 69 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Các ký hiệu quy ước * * * * * N - tập số nguyên dương N0 = N ∪ {0} - tập số tự nhiên R = [−∞; + ∞] - tập số thực mở rộng R+ = [0, + ∞) - tập số thực không âm x = (ξ1 , , ξn ) ∈ K n chuẩn x chuẩn Euclide n |ξi |2 |x| = i=1 * Với ma trận A ∈ K m×n chuẩn A chuẩn tốn tử tuyến tính tương ứng tức A = sup |Ax| |x|=1 * * * * * cl(A) - bao đóng tập A int(A) - phần tập A [0, a| ký hiệu chung cho [0, a] [0, a), ý |a, ∞| |a, ∞) F(X, Y ) họ ánh xạ từ X vào Y, F(X) = F(X, X) C r (X, Y ), r ∈ N0 tập tất ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ X vào Y, C r (X) = C r (X, X), r ∈ N , C(X, Y ) = C (X, Y ), C(X) = C (X, X) * Cho X khơng gian tơpơ, Y khơng gian mêtric ta nói dãy hàm fn : X → Y, n ∈ N hội tụ hầu (hội tụ a.u) tới hàm f : X → Y X hội tụ tới f tập compact X * Ký hiệu f∗ dùng để ký hiệu cho logit(f ) (xem mục 1.1.5) * LAS viết tắt "nghiệm giải tích địa phương" * FPS viết tắt "chuỗi lũy thừa hình thức" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nghiên cứu kiến thức phương trình tuyến tính để phục vụ cho việc nghiên cứu phương trỡnh Schrăoder v phng trỡnh Abel chng sau V tổng thể chương gồm hai phần: ♦ Phần 1: Các khái niệm kiến thức liên quan ♦ Phần 2: Nghiệm phương trình tuyến tính Ở phần 1, ta nhắc lại số khái niệm số kết dùng phần như: dãy xấp xỉ liên tiếp, tập Siegel, khái niệm liên hợp ánh xạ tính chất Ở phần 2, ta trình bày kết nghiệm phương trình tuyến tính tổng qt phương trình tuyến tính đực biệt tính quy nghiệm phương trình tuyến tính tổng qt Tính quy nghiệm bao gồm tính chất nghiệm như: tính liên tục nghiệm, tính khả vi nghiệm, tính trơn nghiệm số tính chất khác 1.1 Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng qt Phương trình hàm tổng qt có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , , ϕ (fn (x))) = ϕ hàm chưa biết (hàm ẩn) hàm lại hàm cho, số n phương trình gọi bậc phương trình Như vậy, phương trình hàm bậc có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f (x))) = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Phương trình hàm tuyến tính tổng qt phương trình hàm có dạng: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) + h(x) (1.1) ϕ hàm chưa biết f g hàm cho Trong trường hợp đặc biệt h ≡ (1.1) trở thành: ϕ (f (x)) = g(x)ϕ(x) (1.2) (1.2) gọi phương trình hàm tuyến tính tổng qt Hầu hết phương trình tuyến tính quan trọng u thuc phng trỡnh Schrăoder v phng trỡnh Abel Phng trỡnh Schrăoder l phng trỡnh cú dng: (f (x)) = s.σ(x) (1.3) s thừa số vơ hướng Phương trình Abel phương trình có dạng: α(f (x)) = α(x) + A (1.4) A = phần tử cố định thuộc miền giá trị α (do tính tuyến tính phương trình nên ta thường xét trường hợp A = 1) Dễ dàng thấy ϕ σ nghiệm (1.2) kϕ + lσ, k, l = const nghiệm (1.2) Như vậy, (1.2) có nghiệm có nhiều nghiệm, nghiệm tạo thành họ nghiệm nghiệm họ sai khác số nhân 1.1.2 Dãy xấp xỉ liên tiếp Xét F(X) tập hợp tất tự ánh xạ tập X cho trước, toán tử hợp ◦ có tính chất kết hợp F(X) nên (F(X), ◦) nửa nhóm với phần tử đơn vị idX Các luỹ thừa f n , n ∈ N với f phần tử F(X) gọi dãy xấp xỉ liên tiếp f Định lí 1.1.1 Cho X khơng gian tơpơ Hausdorff f : X → X hàm có f n liên tục Nếu với x ∈ X mà dãy (f n (x))n∈N hội tụ tới x0 ∈ X x0 điểm cố định f Cho X không gian tôpô f : X → X hàm Gọi x0 điểm cố định f Tập hợp Af (x0 ) = x ∈ X : lim f n (x) = x0 n→∞ LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị gọi miền hút x0 Một điểm cố định x0 f gọi hút thoả mãn x0 ∈ int Af (x0 ) Như vậy, điểm cố định hút lơi phía xấp xỉ liên tiếp điểm thuộc lân cận Định lý sau trích từ Fatou [12], Barna [2] Định lí 1.1.2 Cho f tự ánh xạ liên tục không gian tôpô X cho x0 ∈ X điểm cố định f Khi (a) f Af (x0 ) ⊂ Af (x0 ) (b) Af (x0 ) tập mở x0 hút Xét giả thiết X = [0; a] với < a ≤ ∞ (1.5) Định lí 1.1.3 Giả sử ta (1.5) có với f : X → X hàm nửa liên tục bên phải Nếu f (x) < x; ∀x ∈ X\ {0} (1.6) với x ∈ X , dãy (f n (x))n∈N dãy giảm lim f n (x) = (1.7) n→+∞ Hơn thế, < f (x) < x với ∀x ∈ X\ {0} ∀x ∈ X\ {0}, dãy {fn (x)}n∈N dãy giảm nghiêm ngặt Chứng minh Do tính nửa liên tục bên phải f với (1.6) ngụ ý f (0) = Vì vậy, f (x) ≤ x; ∀x ∈ X ⇒ f n+1 (x) = f (f n (x) ≤ f n (x); ∀x ∈ X Nếu có l = lim f n (x) > 0, với x ∈ X l = lim f n+1 (x) = lim f n (x)) ≤ n→∞ x→∞ x→∞ f (l) < l mâu thuẫn ta có (1.7) Tính giảm nghiêm ngặt hiển nhiên Định lí 1.1.4 Giả sử với (1.5) xét không gian mêtric (T, ρ) Giả sử ánh xạ f : X×T → X liên tục f (x, t) < x, ∀(x, t) ∈ {X\{0}}×T Đặt gt (x) = f (x, t), (x, t) ∈ X × T dãy (gtn (x))n∈N tiến tới hầu (x, t) ∈ X × T Định lí 1.1.5 Cho X tập đóng KN chứa gốc Xét ánh xạ liên tục f : X → X cho |f (x)| < |x|, ∀x ∈ X\{0} Khi đó, hội tụ (1.7) hầu X LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Xét giả thiết sau: (i) f ánh xạ từ đoạn thực X = [0, a] vào với < a ≤ ∞ (ii) f (x) = x (s + p(x)) , x ∈ X với s ∈ [0, 1] , < p(x) + s < 1, x ∈ X lim p(x) = x→0 Bổ đề 1.1.6 Cho (xn )n∈N0 (yn )n∈N0 hai dãy số dương s ∈ (0, 1) cho hai dãy với − s, qn = yn+1 số hạng pn = xxn+1 yn − s, n ∈ N0 tiến tới n → ∞ Nếu n pn , qn ∈ (−s, − s), n ∈ N0 ∞ |pn − qn | < ∞ (1.8) n=1 xn tồn thuộc (0, ∞) n→∞ yn lim (1.9) Hơn nữa, hiệu pn − qn , n ∈ N0 có dấu khơng đổi từ (1.9) suy (1.8) Định nghĩa 1.1.7 Chúng ta ký hiệu R họ hàm đo r : X → R+ cho δ r(x) dx < ∞, δ ∈ (0, a) x với α ∈ (0, 1) tồn β ∈ (1, ∞) cho r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.10) r(y) ≤ βr(x), ∀y ∈ X\{0}, x ∈ [αy, y) (1.11) Định lí 1.1.8 Với giả thiết (i) (ii), f hàm liên tục, s ∈ (0, 1) p(x) = O(r(x)) x → với r ∈ R với x ∈ X\{0} giới hạn f n (x) lim n→∞ sn tồn thuộc khoảng (0, ∞) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Các kiến thức chuẩn bị Định lí 1.1.9 Nếu giả thiết (i) (ii) thoả mãn, f hàm liên tục, s ∈ (0, 1) p hàm đơn điệu với x ∈ X tồn giới hạn: f n (x) n→∞ sn ϕ(x) = lim ϕ = ϕ = ∞ ϕ ∈ (0, ∞) với x ∈ X Trường hợp cuối δ xảy p(x) x dx hội tụ với δ ∈ (0, a) Định lí 1.1.10 Nếu giả thiết (i) (ii) thoả mãn với s = 1, f hàm liên tục lim sup − x1t p(x) = C ∈ (0, ∞) x→0 (tương ứng lim inf − x1t p(x) = c ∈ (0, ∞)) x→0 với d > C (tương ứng < d < c) với x ∈ X\ {0} có: f n (x) ≥ 1/t dtn (tương ứng f n (x) ≤ 1/t ) dtn với n ∈ N đủ lớn Hơn nữa, f hàm tăng với trường hợp sau bất đẳng thức f n (x) ≤ (dtn)−1/t với z ∈ X ∩ [0, x] 1.1.3 Định lý Banach - Schauder Định lí 1.1.11 Cho f tự ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, ρ) ρ (f (x), f (y)) ≤ θ.ρ(x, y), x, y ∈ X với θ ∈ (0, 1) Khi đó, f có điểm cố định x0 ∈ X , miền hút x0 trùng với X Định lí 1.1.12 Cho X tập không rỗng, lồi compact khơng gian Banach, tự ánh xạ liên tục X có điểm cố định 1.1.4 Các ánh xạ liên hợp Chúng ta xét phương trình liên hợp: ϕ (f (x)) = g (ϕ(x)) (1.12) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan Chứng minh (a) phép biến đổi T : X → R2 , (x, y) → (α(x), α(y)) vi phôi α (x) > X Vì tập T(G) trù mật R2 G trù mật X Nhưng k T (G) = t, t + s i ci : t ∈ R, s i ∈ Z trù mật R2 tập i=1 M định nghĩa (3.38) trù mật R Từ tính chất (3.37) ta có điều phải chứng minh (b) Nếu G khơng trù R2 theo (a) có d > cho ci = mi d với mi ∈ Z Hàm g : X → X, g(x) = α−1 (α(x) + d) có tính chất mong muốn Theo khẳng định (b) bổ đề 3.4.1, hàm H : G → R cho H(x, y) = f (x) f ∈ F f (x) = y (3.39) định nghĩa tốt Nó có tính chất sau Bổ đề 3.4.4 Giả sử (i) – (iii) Khi đó: (a) Hàm H : G → R xác định (3.39) dương G thỏa mãn phương trình H(x, y)H(y, z) = H(x, z) (3.40) Với (x, y) (y, z) thuộc G (b) Tồn mở rộng H* H lên X hàm dương, thuộc lớp C n−1 thỏa mãn (3.40) X Hơn nữa, H có mở rộng với điều kiện G trù mật X Chứng minh (a) Tính dương h kéo theo từ (ii) định nghĩa Bây giờ, (x, y), (y, z) ∈ G tồn h1 , h2 ∈ F cho h1 (x) = y, h1 (y) = z Vì (h1 ◦h2 )(x) = z h1 ◦h2 ∈ F, (x, z) ∈ G Theo tính chất (h1 ◦ h2 ) = h1 ◦ h2 h2 (3.39) có (3.40) (b) Chúng ta đặt H ∗ (x, y) = α (x)/α (y) X Ở α hàm (iii) Hiển nhiên H* dương, thuộc lớp C n−1 thỏa mãn (3.40) X lấy (x, y) ∈ G cho f (x) = y với f ∈ F, f hợp xấp xỉ liên tiếp fi , i = 1, , k theo (iii) có α (f (x)) = α(x) + const Do H ∗ (x, y) = α (x)/α (f (x)) = f (x) = H(x, y) tức H ∗ | G = H Tính hiển nhiên 59 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan 3.4.2 Hệ phương trình Abel đồng thời Bổ đề 3.4.3 3.4.4 gợi ý cho tồn định lý sau hệ (3.37) (xem Newman [21]) Định lí 3.4.5 Nếu giả thiết (i), (ii) thỏa mãn Trong hai trường hợp sau tồn số ci = 0, i = 1, , k cho hệ (3.37) có nghiệm α : X → R thuộc lớp C n X thỏa mãn α (x) > X (tức khẳng định (iii) đúng) (a) Tồn hàm g : X → X thuộc lớp C n X, thỏa mãn g’(x) > 0, g(x) > x X có số nguyên mi = cho fi = g mi , i = 1, , k (b) Tập G trù mật X , hàm H : G → R xác định tốt theo (3.39) có mở rộng H ∗ : X → R thuộc lớp C n−1 X đồng thời thỏa mãn phương trình (3.40) X Chứng minh (a) Từ định lý 1.2.20 biết phương trình Abel α (g(x)) = α(x) + Có nghiệm α : X → R thuộc lớp C n X thỏa mãn α (x) > X (nghiệm chứa hàm bất kỳ) Hàm α thỏa mãn hệ (3.37) với ci = mi từ có: α (fi (x)) = α (g mi (x)) = α(x) + mi , i = 1, , k (b) Đầu tiên ta ý H* > Thực vậy, H ∗ |G = H > theo (ii) (3.39), H* khơng dương X từ tính liên tục tồn điểm (u, v) ∈ X cho H*(u, v) = Nhưng có theo (3.40) với (x, y) ∈ X H ∗ (x, y) = H ∗ (x, u)H ∗ (u, v)H ∗ (v, y) = Đây mâu thuẫn Bây cố định x0 , y0 ∈ X định nghĩa hàm ϕ : X → R sau: x H ∗ (s, y0 )ds, x ∈ X α(x) = x0 Khi đó, α thuộc lớp C n X, α (x) > X Chúng ta có α ◦ fi ◦ α−1 (t) = H ∗ (fi (x), y0 ) fi (x)/H ∗ (x, y0 ), x = α−1 (t) (3.41) Nhận xét fi ∈ F theo (3.39) fi (x) = H (x, fi (x)) = H ∗ (x, fi (x)) 60 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan Hàm H* mở rộng H Vì vậy, thu từ (3.41), từ H* thỏa mãn (3.40) (chúng ta lại đặt x = α−1 (t)) α ◦ fi ◦ α−1 (t) = H ∗ (fi (x), y0 ) H ∗ (x, fi (x)) /H ∗ (x, y0 ) = 1; i = 1, , k α ◦ fi ◦ α−1 (t) = t + di Ở di = α (fi (x0 )) = từ α(x0 ) = 0, fi (x0 ) = x0 α tăng nghiêm ngặt Vì khẳng định (iii) cho hệ (3.37) với ci = di Chú ý 3.4.6 Định lý 3.4.5 bao gồm điều kiện để phương trình vi phân có lệch với lệch biến biến đổi dạng khác với lệch Phương pháp để chuyển phương trình vi phân có lệch dạng đơn giản đề xuất F Newman [20], [21] Phương pháp ơng tìm nghiệm trơn phương trình Abel đồng thời dựa vào kết O.Boruvka liên quan đến nhóm phép biến đổi tham số Để tìm thêm kết phương trình hàm đề cập mục xem Bodewadt [3] Barvínek [4] hoc Choczewski [5] 3.5 H Schră oder v c tính chuẩn Đặc tính chuẩn theo phương trình hàm kết mục trích dẫn theo J Matkowski [19] 3.5.1 Đặc tính chuẩn Xét không gian lp gồm dãy số thực phức khả tổng bậc p (p ≥ 1): ∞ p l = |xi |p < ∞ x = (xn )n∈N : xn ∈ K, i=1 Không gian với chuẩn: 1/p ∞ |xi |p x = i=1 không gian Banach Chúng ta xét ϕ(t) = c.tp cơng thức trở thành: ∞ x −1 ϕ ϕ (|xi |) =ϕ (3.42) i=1 61 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan Một câu hỏi đặt tồn hay không hàm ϕ tăng nghiêm ngặt từ R+ vào nó, ϕ(0) = 0, ϕ khơng phải hàm lũy thừa cho (3.42) xác định chuẩn không gian lp bao gồm dãy thực phức x mà ϕ - khả tổng, tức là: ∞ ϕ (|xi |) < ∞ i=1 Chúng ta câu trả lời khơng Sử dụng tính chất tuyến tính chuẩn cho (3.42) quy tốn việc tìm nghiệm chung tăng nghiêm ngặt ca hai phng trỡnh Schrăoder Chỳng ta tin hnh nh sau: Lấy dãy x = (1, 1, 0, 0, ) x = (1, 1, 1, 0, 0, ) hai trường hợp xi = 0, ∀i ≥ Từ tx ϕ = t x ϕ với t > thu từ (3.42): ϕ−1 (2ϕ(t)) = tα ϕ−1 (3ϕ(t)) = tβ Ở α = ϕ−1 (2ϕ(1)) , β = ϕ−1 (3ϕ(1)), ϕ−1 phi tha h phng trỡnh Schrăoder ng thi trờn (0, ∞) ϕ−1 (2t) = αϕ−1 (t) ϕ−1 (3t) = βϕ−1 (t) (3.43) Chúng ta thấy hệ (3.43) có nghiệm hàm lũy thừa câu hỏi Theo cách thu đặc tính chuẩn lp 3.5.2 Hệ phng trỡnh Schră oder ng thi Chỳng ta s gii hệ σ(at) = α.σ(t) σ(bt) = β.σ(t) t>0 (3.44) Ở a, b, α, β số thực dương, a = 1, b = Định lí 3.5.1 (a) Cho logb/loga số vô tỉ Nếu hàm đơn điệu nghiêm ngặt σ : (0, ∞) → R thỏa mãn hệ (3.44) có c ∈ R\ {0} cho σ(t) = ctp với t > (3.45) p = log α/ log a (3.46) 62 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan log β log α = log a log b (3.47) (b) Nếu (3.47) hàm (3.45) với p cho theo (3.46) c ∈ R thỏa mãn hệ (3.44) (và đơn điệu nghiêm ngặt c = p = 0) Chứng minh Khẳng định (b) hiển nhiên Chúng ta giả sử logb/loga số vô tỷ σ : (0, ∞) → R nghiệm đơn điệu phương trình (3.44) Đổi biến cần thiết, phương trình đầu hệ (3.44) đưa dạng (a−1 t) = σ −1 σ(t) với a > b > Nếu có σ(t0 ) = với t0 ∈ (0, ∞) theo (3.44) ta có σ(at0 ) = = σ(t0 ) điều trái ngược với tính khả nghịch σ Vì vậy, nói riêng ta có σ(1) = giả sử σ(1) = (trong trường hợp ngược lại ta xét nghiệm σ/σ(1) thay cho σ ) Do σ tăng nghiêm ngặt (0, ∞) nên σ > σ(t) ≥ σ(1) = với t ≥ t0 ∈ (0, 1) an t0 > với n đủ lớn theo (3.44) σ(t0 ) = σ −n σ(an t0 ) > α−n > Theo (3.44) thu α = σ(a) > σ(1) = β = σ(b) > a>1 b>1 Lặp lặp lại (3.44) hợp phương trình kết được: σ(an bm t) = αn β m σ(t), t > 0, m, n ∈ Z thay t = ta được: σ(an bm ) = σ(a)n σ(b)m , m, n ∈ Z (3.48) Thương logb/loga số vơ tỉ Vì vậy, tập hợp: D = {x ∈ (0, ∞) : x = an bm , n, m ∈ Z} trù mật (0, ∞) (nhận xét an bm = exp (n log a + m log b) áp dụng tính chất 3.4.2) Với p cho (3.46) ta có: α = σ(a) = ap (3.49) Chứng minh hoàn thiện σ(b) = bp Từ (3.48) cho ta σ(t) = D tính trù mật D (0, ∞) với tính đơn điệu σ ngụ ý (3.45) với c = Để thu kết quả, ta lấy hai dãy số hữu tỷ xấp xỉ xấp xỉ logb/loga: pn rn log b = lim = n→∞ qn n→∞ sn log a lim (3.50) 63 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan apn /qn < b < arn /sn , n ∈ N (3.51) Ở pn , qn , rn , sn số nguyên dương (vì a, b > 1) Bất đẳng thức sau thu từ (3.49), (3.48), (3.51) tính đơn điệu σ : (ap )pn = σ(a)pn = σ(apn ) < σ(bqn ) = σ(b)qn tương tự ta có (ap )rn > σ(b)sn Do đó: (ap )pn /qn < σ (b) < (ap )rn /sn , n ∈ N điều (3.50) ngụ ý rằng: σ (b) = (ap )loga b = bp Từ α = ap β = bp (3.47) Trong trường hợp σ giảm nghiêm ngặt lập luận hồn tồn tương tự Cuối cùng, (3.45) kéo theo từ tính phương trình (3.44) Bây sẵn sàng chứng minh định lý chính: Định lí 3.5.2 Giả sử ϕ : R+ → R+ hàm tăng nghiêm ngặt ϕ (0) = Để lϕ , ϕ không gian định chuẩn (với chuẩn (3.42)) điều kiện cần có c > p ≥ cho: ϕ(t) = c.tp với t ≥ Chứng minh Trong mục ϕ−1 phải thoả mãn hệ (3.43) R+ Hệ khơng với a = 1, b = 3, σ = ϕ−1 Từ log2/log3 vô tỷ, áp dụng định lý 3.5.1 thu ϕ−1 (u) = duq , u ∈ (0, ∞) d > q = Do ϕ(0) = 0, ϕ(t) = ctp R+ , c = d−1/q p = 1q Do (3.42) quy (với c) chuẩn thơng thường lp , p ≥ Vì cuối ϕ(t) = c.tp R+ , c > p ≥ 3.6 Các chỳ ý 3.6.1 Nghim ca h tin Schră oder Cỏc nghim ca h tin Schrăoder (3.11) khụng tho bt k phng trỡnh Schrăoder (3.10) no thy c iu ta lấy tập X, hàm f : X → X quỹ đạo C ⊂ X không chứa điểm cố định f chứa điểm cố định bậc chẵn Chúng ta định nghĩa hàm σ : X → R 64 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan σ (x) = (−1)p−q với x ∈ C σ (x) = với x ∈ X\C Ở p q số nguyên dương nhỏ cho f p (x) = f q (x0 ) với x0 ∈ C cố định cho trước Các phương trình (3.12) (3.13) thoả mãn với ω(x) định nghĩa -1 C X\C Theo định lý 3.2.1, σ nghiệm (3.11) Nhưng không thoả mãn (3.10) với s 3.6.2 Các tự đẳng cấu tăng Bài toán sau với tự đẳng cấu tăng giải phần M.Laczkovich – Sz Révesz [18] Cho f1 , , fn ánh xạ giao hoán từ tập A vào fi ◦fj = fj ◦fi Với ϕ : A → R, đặt ∆f ϕ (x) = ϕ (f (x))−ϕ(x) Quan hệ sau ∆f .∆fn ϕ = có ngụ ý tồn hàm ϕi : A → R đẳng cấu với fi cho ∆f i ϕi = thoả mãn ϕ = ϕ1 + ϕ2 + + ϕn ? Các tác giả đưa câu trả lời rõ ràng cho câu hỏi trường hợp sau: (1) ϕ hàm bị chặn fi ánh xạ (2) ϕ ∈ Lp , ≤ p < ∞ fi ánh xạ đo với độ đo không dời rạc (3) ϕ ∈ L∞ (với không gian độ đo σ -hữu hạn (X, S, µ)) fi ánh xạ đo không ánh xạ tập có độ đo dương thành tập có độ đo khơng 3.6.3 Định lý 3.3.4 Cho u ∈ [0, 1] f : [u, 1] → [0, 1] hàm tăng nghiêm ngặt cho < f (x) < x (u, 1), f (1) = 1, f (0) = (nếu u = 0) Khi u = 0, phương thức mở rộng mà đề cập đến chứng minh định lý 3.3.4 với phương trình Schrăoder (3.20) (f (x)) = 2(x) (3.52) nh sau Lấy x0 ∈ (0, 1) đặt xk = f k (x0 ) , Xk = [xk+1 , xk ] , k ∈ Z ∞ Xk Chọn hàm giảm nghiêm ngặt ϕ0 : X0 → [1, 2] mở (0, 1) = k=−∞ rộng lên (0,1] định nghĩa ϕ(x) = 2k ϕ0 f −k (x) , x ∈ Xk , k ∈ Z, ϕ(1) = Hàm (giảm nghiêm ngặt) ϕ : [0, 1] → R+ thỏa mãn (3.52) phần tử sinh s.A T có chéo f Khi u > 0, theo cách thức cho ta nghiệm liên tục, giảm nghiêm ngặt 65 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan (3.52) [u, 1) Những cần lấy x0 = u giả sử [u, 1) = ∞ X−n n=1 (Trong hai trường hợp nghiệm thu phụ thuộc vào hàm bất kỳ) 3.6.4 Các phương trình vi phân có lệch Để minh họa cho q trình quy phương trình vi phân có lệch đưa ví dụ sau (cái theo F.Neuman [20]) Ví dụ Phương trình vi phân: y (x) = ky (xp ) , x ∈ (1, ∞) Ở k = 0, p ∈ (0, 1) biến đổi thành z (t) = g(t).z(t + 1) với phép đổi biến t = α(x), y(x) = z(t) = (z ◦ α) (x), α(x) = − (log log x) / log p nghiệm phương trình α(xp ) = α(x) + g(t) = −k log p exp [exp(−t log p) − t log p] 3.6.5 Áp dụng định lý 3.4.5 Chúng ta đưa ví dụ mà định lý 3.4.5 áp dụng (Neuman [21]) Ví dụ a Phương trình vi phân: y (x) = y(x1/2 ) + y(x4 ), x ∈ X = (1, ∞) Trở thành phương trình với lệch t – 1, t + phép đổi biến t = α(x) Theo định lý 3.4.5(a) với f1 (x) = x1/2 f2 (x) = x4 có f1 = g −1 f2 = g g : X → X, g(x) = x2 Hàm α nghiệm phương trình α(x1/2 ) = α(x) + 1, thuộc lớp C X, α (x) > b Phương trình vi phân: y (x) = y(x1/2 ) + y(x3 ), x ∈ X Cũng đưa phương trình với lệch t − K1 log 2, t + K1 log 3, K1 > Ở tập G = {(x, xa ) : a = 2p 3q , p, q ∈ Z, x ∈ X} trù mật X Hàm H (xem (3.39)) cho H(x, y) = H(x, xa ) = (xa ) = a.xa−1 G bao gồm mở 66 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan rộng trơn H* lên X xác định H ∗ (x, y) = (y log y) / (x log x) với (x, y) ∈ X Hợp H* với biến thu α(x) = K1 log log x + K2 , K1 > 0, theo định lý 3.4.5(b) phép biến đổi mong muốn 3.6.6 Định lý 3.5.2 Khẳng định định lý 3.5.2 cho khơng gian Lϕ gồm hàm ϕ-khả tích x : [0, 1] → R với chuẩn:   x ϕ = ϕ−1  ϕ (|x(u)|) du Vì vậy, không gian Lϕ thực chất không gian Lp với p– chuẩn thông thường Hơn nữa, để RN ; N ≥ cho bởi: N x =ψ −1 ϕ (|xi |) i=1 Với ϕ, ψ : R+ → R+ , ψ hàm tăng nghiêm ngặt chuẩn điều kiện cần ϕ(t) = c1 , ψ(t) = c2 , c1 , c2 > 0, p > 3.6.7 H phng trỡnh Schră oder H cỏc phng trỡnh Schrăoder (x + p) = aϕ(x) ϕ(x + q) = bϕ(x) (3.53) xem xét W.E.Clark – A.MuKherjea [6] Các số a, b số dương p/q số vô tỷ Mệnh đề 3.6.1 Nếu có nghiệm khác khơng ϕ : R → R hệ (3.53) mà dương điểm, bị chặn khoảng ap = bq Đảo lại, ap = bq nghiệm đo Lebesgue (3.53) tương đương với (x) = c.ax/p 3.6.8 Phng trỡnh Schră oder, Abel v phng trỡnh vi phõn Cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel liên kết với phương trình vi phân nonautonomous x (n + 1) = fn (x(n)) , x(0) = x 67 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan PH Diamond [7] Trong tiên đề dùng dãy xấp xỉ liên tiếp tổng quát với số hạng F0 (x) = x, Fn+1 (x) = Fn (fn+1 (x)) , n ∈ N (3.54) Ở fn+1 (x) thuộc miền xác định Fn , đặt Uδ = {x ∈ C : |x| < δ} , δ > Mệnh đề 3.6.2 Cho fn : Uδ → C hàm giải tích Uδ , |fn (x)| < |x| , ∀x ∈ Uδ \ {0} với khai triển: ∞ (n).xi fn (x) = s(n).x + i=2 Và < p ≤ |s(n)| ≤ r < 1, n ∈ N, p ≤ r Giả sử dãy {fn (x)}n∈N hội tụ Uδ tới hàm f tồn giới hạn: n s(j)−1 σ(x) = lim Fn (x) n→∞ (3.55) j=1 hội tụ Uη ⊂ Uδ σ nghiệm giải tích phương trỡnh Schrăoder (f (x)) = s.(x) trờn U s = f (0) = lim s(n) n→∞ 3.6.9 Na nhúm cỏc xp x liờn tc Phng trỡnh Schrăoder σ (f (x)) = 21 σ(x), f (x) = 21 (x + x2 ), x ∈ X = [0, 1] chứa nghiệm σ(x) = lim 2n f n (x), x ∈ X tăng nghiêm ngặt X Tương tự, n→∞ hàm π(y) = lim n→∞ fn 1− n y xác định giảm nghiêm ngặt R+ thỏa mãn phương trình Poincaré π 32 y = f (π(y)) , y ∈ R+ Cả hai hàm dùng để xác định nửa nhóm xấp xỉ liên tục (xem mục 1.7) chứa nửa t nhóm rời rạc {f n , n ∈ N} tức F1t = σ −1 ◦ (2−t σ) F2t = π ◦ 32 π −1 , t ∈ R+ Điều gắn với toán xem xét Karlin – McGregor [17] Hai nửa nhóm đồng (0, 1) hàm K(y) = y p σ (π(y)) , p = log 2/ log(3/2) (3.56) số Tuy nhiên, K(y) = 1.213205784311 với y > giá trị K(y) thay đổi với y từ số thập phân thứ 13 trở Các tính chất K trường hợp f phức tổng quát nghiên cứu triệt để S Dubuc [8] người gọi K hàm Karlin – McGregor giải thích tượng thay đổi nhỏ hàm (3.56) 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan 3.6.10 Các phương trình Abel đồng thời M.C.Zdun [29] xem xét phương trình Abel đồng thời ϕ (f (x)) = ϕ(x) + ϕ (g(x)) = ϕ(x) + s (3.57) Với x ∈ X = (0, a), < a ≤ ∞ Trong trường hợp sau (i) f g đồng phơi giao hốn từ X vào X f m (x) = g n (x) X, (m, n) ∈ Z2 \ {(0, 0)} Cho L tập điểm giới hạn C(x) = {f m ◦ g n (x) : m, n ∈ Z} với x ∈ X Trong Zdun [29] chứng minh L không phụ thuộc vào X L tập không đâu trù mật hoàn toàn L = [0, a] Mệnh đề 3.6.3 Giả sử (i) đúng, có s ∈ R cho hệ (3.57) có nghiệm liên tục ϕ : X → R, s vơ tỷ nghiệm liên tục (3.57) sai khác số cộng, đơn điệu ánh xạ L ∩ X vào R Hơn nữa, khả nghịch L = [0, a] 69 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận Trong luận văn em trình bày nội dung sau: Tổng hợp đầy đủ kiến thức tính chất nghiệm phương trình hàm tuyến tính Từ áp dụng vào việc nghiên cứu tớnh cht nghim ca cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel Các tính chất quy nghiệm phương trình Schrăoder v Abel nh tớnh tớnh li (lừm), tớnh kh vi, tính đơn điệu, tính trơn, tính giải tích, nghiệm thể đầy đủ luận văn Trình bày số áp dụng liên quan cỏc phng trỡnh Schrăoder v Abel Trong lun ny đưa hai ví dụ tiêu biểu, ví dụ áp dụng phương trình hệ phương trình Abel để tìm phép biến đổi đưa phương trình vi phân với lệch biến phương trình vi phân với lệch hằng, ví dụ áp dụng phương trình hệ phng trỡnh Schrăoder chng minh mt c tớnh ca chuẩn dãy số thực phức không gian lp Mặc dù số lượng ví dụ đưa luận văn khơng nhiều thể mục tiêu kiến thức mà luận văn đề cập tới, thể số vấn đề thiết thực tốn học giải tích 70 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tài liệu tham khảo [1] ACZÉL J (1966), Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, NewYork [2] BARNA B (1960), Uber die Iteration reeller Funktionen I, II, Math Debrecen [3] BODEWADT U.T (1944), Zur Iteration reeller Funktionen, Math Zeitschr [4] BARVÍNEK E (1961), On the distribution of zeroes both of solutions to the linear differential equation y = Q(t)y and of their derivatives, Acta Fac Nat Univ Comenian [5] CHOCZEWSKI J (1963), On differentiable solutions of a functional equation, Ann Polon Math [6] CLARK W.E - MUKHERJEA A [1] (1980), Comments on a functional equation, Real Anal Exchange [7] DIAMOND PH (1981), The Schră oder and Abel functional equation and nonautonomous differential equations, preprint, University of Queensland [8] DUBUC S (1982), Etude théorique et numérique de la fonction de KarlinMcGregor, Journal d’Anal Math [9] DARSOW W.F - FRANK M.J (1983), Associative functions and AbelSchrăoder systems, Publ Math Debrecen [10] HARTMAN PH (1960), On local homeomorphims of Euclidean spaces, Bol Soc Mat Mexicana [11] HARTMAN PH (1964), Ordinary differential equations, John Wiley & Sons NewYork [12] FATOU P (1919), Mémoire sur les équations fonctionnelles, Bull Soc Math France 71 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [13] KOENIGS G (1884), Recherches sur les intégrales de certaines équations fonctionnelles, Ann Sci Ec Norm Sup [14] KUCZMA M (1973), Quelques observations propos de lộquation prộSchrăoder, Ann Polon Math [15] KUCZMA M (1974), Note on linearization, Ann Polon Math [16] KUCZMA M (1985), An introduction to the theory of funcional equations and inequalities Cauchy’s equation and Jensen’s inequality, Polish Scientific Publishers, Warsaw [17] KARLIN S - MCGREGOR J (1968), Embedding iterates of analytic functions with two fixed points into continuous groups, Trans Amer Math Soc [18] LACZKOVICH M - ZÉVESZ SZ (1986), Decomposition into periodic functions belonging to a given Banach space, manuscript, University of Budapest [19] MATKOWSKI J (1983), On a characterization of norms in Lp and functional equations, Proceedings of the International Conference on Functional Equations and Inequalities [20] NEUMAN F (1981), On transformations of differential equations and systems with deviating argument, Szechoslovak Math [21] NEUMAN F (1982), Simultaneous solutions of a system of Abel equations and differential equations with several deviations, Szechoslovak Math [22] ROTA G C (1990), Interative Function Equations, volume 32, Cambridge NewYork [23] SIEGEL C L (1956), Vorlesungen uber Himmelsmechanik, Spinger Verlag Berlin [24] SMAJDOR W (1968), Local analytic solutions of the functional equation ϕ(z) = h (z, ϕ[f (z)]) in multidimensional spaces, Aequationes Math [25] SENETA E (1969), On Koenigs’ ratios for iterates of real functions, J Austral Math Soc [26] STERNBERG S (1957), Local contractions and a theorem of Poincaré, Amer J Math 72 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [27] STERNBERG S (1958), On structure of local homeomorphisms of euclidean n-spaces, Amer J Math [28] TARGONSKI GY (1970), P 63, Aequations Math [29] ZDUN M.C (1989), On simultaneous Abel’s equations, Aequations Math 73 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nghiệm số tính chất khác 1.1 Phương trình hàm tuyến tính 1.1.1 Phương trình hàm tuyến tính tổng qt Phương trình hàm tổng qt có dạng: F (x, ϕ(x), ϕ (f1 (x)) , , ϕ (fn (x))) = ϕ hàm chưa biết (hàm. .. dụ, phương trình α(−x) = α(x) + khơng thể có nghiệm đơn trị, cách áp dụng lần phương trình α(x) = α(−x) + Tuy nhiên, hai phương trình thoả mãn hàm đa trị α(x) = (πi)−1 log x Xét phương trình Abel. .. (2.43) thoả mãn phương trình (2.42)) 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương Một số áp dụng liên quan Trong chương thảo luận sâu vấn đề liên quan tới phương trỡnh Schrăoder: