LUẬN văn THẠC sĩ HAY về bất đẳng thức loại gruss và một số bài toán liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Mở đầu Chng V bt ng thc Gră uss 1.1 Mt số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàm số, biến phân biến 1.1.2 Bất đẳng thức Hăolder 1.2 V bt ng thc Gră uss 1.3 Một số bất đẳng thức liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức Karamata 1.3.2 Bất đẳng thức Steffensen 1.3.3 Bất đẳng thức Young phân toàn phần Chương Về bt ng thc loi Gră uss v mt s kt qu liờn quan 2.1 Bt ng thc Gră uss-Chebyshev 2.2 Bất đẳng thức loi Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes 2.2.1 Bt ng thc loi Gră uss tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân bị chặn 2.2.2 Bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes có hàm lấy tích phân hàm Lipschitz 2.3 Bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phân Riemann-Stieltjes 3 10 10 13 15 17 17 19 19 27 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Chủ để “bất đẳng thức” chủ đề khai thác kỳ thi chọn học sinh giỏi, lớp, cấp phổ thơng, khơng phải tính trực quan toán “so sánh” mà vấn đề thực có nhiều ứng dụng tốn học đại Bài toán bất đẳng thức nghiên cứu nhiều khía cạnh tốn học, từ tốn học lý thuyết túy đến toán học ứng dụng Cùng với phát triển cơng nghệ thơng tin, toán giải gần quan tâm nhiều nhà tốn học ứng dụng, mà bên cạnh khơng thể thiếu tốn “so sánh” Cùng với vai trò bất đẳng thức bất đẳng thức AM – GM, Cauchy – Bunyakovsky – Schwarz ., năm 1935 nhà toán học người Đức G Gră uss ó chng minh mt bt ng thc tớch phân cho liên hệ tích phân tích hai hàm số tích phân hàm số mang tên ơng bất đẳng thc Gră uss ng dng v ỏp dng nhiu lĩnh vực khác Tốn học Vì lý chúng tơi chọn đề tài luận văn Bt ng thc loi Gră uss v mt s bi toán liên quan” Nội dung luận văn chia thành hai chương tham khảo từ tài liệu [2] tài liệu liên quan trình bày danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn, phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, chia làm hai chương: Chương Về bất ng thc Gră uss Chng ny trỡnh by li cỏc kiến thức liên quan đến luận văn như: Trình bày lại số khái niệm hàm số biến phân, biến phân tồn phân tính chất Bt ng thc Hăolder Bt ng thc Gră uss, ch iu kin yu hn gi thit Gră uss Mt số bất đẳng thức liên quan Karamta, Steffensen, Young Chng V bt ng thc loi Gră uss v số kết liên quan LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chương trình bày bin th ca bt ng thc Gră uss, chng hn nh: Bt ng thc Gră uss-Chebyshev Bt ng thc kiu Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hm ly tớch phõn b chn Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phân l hm Lipschitz Bt ng thc kiu Gră uss i với tích phân Riemann-Stieltjes Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học khoa học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin Tác giả xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường THCS Tân Liên, Vĩnh Bảo, Hải Phịng tồn thể anh chị em đồng nghiệp tạo nhiều điều kiện tốt cho tác giả thời gian học cao học; cám ơn anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp cao học Toán K11 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ, anh chị em gia đình Xin chân thành cám ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 25 tháng 12 năm 2019 Học viên Phạm Thành Công LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chng V bt ng thc Gră uss Trong chng này, chúng tơi, trình bày số kiến thức khái niệm tính chất hàm số liên tục tuyệt đối, biến phân biến phân toàn phần hàm s Bt ng thc Hăolder dng i s v dng gii tớch, Bt ng thc Gră uss Cỏc kt qu sử dụng cho chứng minh Chương 1.1 1.1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Hàm số, biến phân biến phân toàn phần Định nghĩa 1.1.1 (a) Hàm số f : [a, b] → R gọi liên tục tuyệt đối [a, b] với ε > tồn số dương δ thỏa mãn n |f (xi ) − f (yi )| < ε, i=1 với họ hữu hạn khoảng rời {[xi , yi ] : i = 1, 2, , n} [a, b] với ni=1 |xi − yi | < δ (b) Hàm số f : [a, b] → R gọi có biến phân bị chặn [a, b] tồn số M > thỏa mãn n |f (xi ) − f (xi−1 )| M, i=1 với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (c) Nếu hàm số f : [a, b] → R có biến phân bị chặn [a, b], biến phân toàn phần f [a, b] xác định sau   n b (f ) = a sup P={x0 ,x1 ,··· ,xn } phân hoạch của[a,b]  i=1   |f (xi ) − f (xi−1 ) | Nhận xét 1.1.2 Một hàm liên tục tuyệt đối [a, b] liên tục có biến phân bị chặn [a, b] Ví dụ 1.1.3 Nếu f : [a, b] → R hàm đơn điệu tăng với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] ta có n n |f (xi ) − f (xi−1 )| = i=1 {f (xi ) − f (xi−1 )} i=1 = f (xn ) − f (x0 ) = f (b) − f (a) b (f ) = f (b) − f (a) Vì vậy, hàm f có biến phân bị chặn a Ví dụ 1.1.4 Nếu hàm f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với sup |f (x)| M , với phân hoạch P = {x0 , x1 , · · · , xn } [a, b] a ta có bất đẳng thức sau 1 + = =⇒ uv p q p q u + v p q (1.2) Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Young Kết gọi bất đẳng thc Hăolder nh lý 1.1.7 (Bt ng thc Hăolder) Cho hai số a1 , a2 , , an 1 b1 , b2 , , bn hai n số thực dương p > 1, thỏa mãn + = p q Khi ta có bất đẳng thức sau n b i i=1 1  n p p  i=1 i=1  n  1 q bqi  (1.3) Dấu xảy api = kbqi với i ∈ {1, 2, , , n} LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết bt ng thc Hăolder dng gii tớch, chỳng tụi trình bày kết mà khơng chứng minh Định lý 1.1.8 (Bt ng thc Hăolder dng gii tớch) Gi sử p, q > thỏa 1 mãn + = 1, f g hai hàm số liên tục đoạn [a, b], p q b a b |f (x)g(x)| dx a p |f (x)| dx p b a q |g(x)| dx q (1.4) Dấu “=” xảy tồn hai số thực A B không đồng thời không cho A |f (x)|p = B |g(x)|q 1.2 x [a, b] V bt ng thc Gră uss Giả sử f, g p hàm khả tích [a, b] Ta có ký hiệu sau P (x) = x a b A(f ; p) = P (x) = P (b) − P (x), p(t)dt, a p(x)f (x)dx b a A(f ) = A(f ; 1), , p(x)dx T (f, g; p) = A(f g; p) − A(f ; p)A(g; p), A(f ; p) R(f, g; p) = , A(f ; p)A(g; p) T (f, g) = T (f, g; 1), R(f, g) = R(f, g; 1), Giả sử f g hai hàm số xác định khả tích [a, b], thỏa mãn điều kiện ϕ f (x) φ, γ g(x) Γ (1.5) với x ∈ [a, b], ϕ, φ, γ, Γ số thực cho trước Năm 1935 G Gră uss ó a khng nh sau: |T (f, g)| (φ − ϕ)(Γ − γ), (1.6) bi bỏo cụng b nm 1935 Gră uss ó chứng minh bất đẳng thức ˇ 1/4 xấp xỉ tốt Hàm T (f, g) gọi hàm Cebyˇ sev LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định lý 1.2.1 Cho f, g : [a, b] → R hàm khả tích [a, b] thỏa mãn điều kiện φ f (x) Φ, γ Γ với x ∈ [a, b] g(x) (1.7) Khi ta có bất đẳng thức sau |T (f, g)| b 1 f (x)g(x)dx − := b−a a b−a (Φ − φ)(Γ − γ) (1.8) b a f (x)dx · b−a b a g(x)dx xấp xỉ tốt Hằng số Chứng minh Từ đẳng thức b (b − a) a b b f (x)g(x)dx − f (x)dx g(x)dx a a b b (f (x) − f (y))(g(x) − g(y))dxdy = a a (1.9) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz, ta có b a ≤ b a (f (x) − f (y))(g(x) − g(y))dxdy b a b a (f (x) − f (y)) dxdy b b a a 2 (g(x) − g(y)) dxdy (1.10) Từ đẳng thức (1.9) ta có b a b a (f (x) − f (y))2 dxdy = (b − a) b a f (x)dx − b a f (x)dx , (1.11) ta có đẳng thức tương tự hàm g Từ ta có b−a b a b f (x)dx − f (x)dx b−a a b b 1 = Φ− f (x)dx f (x)dx − φ b−a a b−a a b − (f (x) − φ)(Φ − f (x))dx b−a a (1.12) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 28 Chứng minh Theo tính chất tích phân Stieltjes ta có T (f, g; u) = u(b) − u(a) b a f (t) − f a+b  × g(t) − u(b) − u(a) b a  g(s)du(s) du(t) (2.32) Áp dụng bất đẳng thức (2.17), từ đẳng thức (2.32) ta có  |T (f, g; u)|  b a+b  g(t) − g(s)du(s) sup f (t) − f u(b) − u(a) a t∈[a,b] b × (u) |u(b) − u(a)| a b a+b g− g(s)du(s) sup f (t) − f u(b) − u(a) a t∈[a,b] ∞ b × (u) |u(b) − u(a)| a b b−a r g− g(s)du(s) L u(b) − u(a) a ∞ b × (u) |u(b) − u(a)| a Ta có điều phải chứng minh Kết trường hp c bit ca bt ng thc loi Gră uss hàm liên tục Lipschitz: Hệ 2.2.5 Cho f hàm Lipschitz với số L > 0, nghĩa là, |f (t) − f (s)| L|t − s| với t, s ∈ [a, b], (2.33) u, g are as above Khi ta có bất đẳng thức |T (f, g; u)| L(b − a) |u(b) − u(a)| × g− u(b) − u(a) Hằng số b a b b (u) g(s)du(s) (2.34) ∞ a ước lượng tốt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 29 Chứng minh Bất đẳng thức (2.34) trường hợp đặc biết bất đẳng thức (2.31) với r = Phần lại ta chứng minh số ước lượng tốt Xét trường hợp f = g, với f : [a, b] → R, f (t) = t, u : [a, b] → R, xác định     −1     t = a,       t = b u(t) = 0 (2.35) t ∈ (a, b), Khi f hàm Lipschitz với số L = 1, g hàm hàm liên tục, u có biến phân bị chặn Nếu ta giả sử bất đẳng thức (2.34) thõa mãn với số C > 0, tức là, |T (f, g; u)| CL(b − a) g − u(b) − u(a) b a u(b) − u(a) b a b (u), g(s)du(s) (2.36) ∞ a f (t)g(t)du(t) = b2 + a2 , b b 1 b+a f (t)du(t) = g(t)du(t) = , u(b) − u(a) a u(b) − u(a) a b a+b b−a g− g(s)du(s) = sup t − = u(b) − u(a) a 2 t∈[a,b] ∞ b (u) = 2, từ bất đẳng thức (2.36), ta có a b + a2 a+b − 2 suy C C (b − a) b − a · 2, 2 Kết liên quan tới hàm đơn điệu u : [a, b] → R sau: Định lý 2.2.6 Cho hàm f, g : [a, b] R vi f l hm loi r-H-Hăolder [a, b] Nếu u : [a, b] → R hàm đơn điệu không giảm [a, b] với u(b) > u(a), ta có bất đẳng thức sau |T (f, g; u)| H u(b) − u(a) b a a+b t− r (2.37) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 30 × g(t) − u(b) − u(a) b a g(s)du(s) du(t) H(b − a)r 2r [u(b) − u(a)] b × a u(b) − u(a) g(t) − b a g(s)du(s) du(t) Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức b a b p(t)dv(t) a |p(t)|dv(t), (2.38) với p ∈ C[a, b] v hàm đơn điệu không giảm [a, b], theo đẳng thức (2.32), ta có ước lượng sau |T (f, g; u)| u(b) − u(a) b a f (t) − f a+b   b g(s)du(s) du(t) × g(t) − u(b) − u(a) a b H a+b r t− u(b) − u(a) a b × g(t) − g(s)du(s) du(t) u(b) − u(a) a H a+b r sup t − u(b) − u(a) t∈[a,b] b b g(t) − g(s)du(s) du(t) × a u(b) − u(a) a ta chứng minh bất đẳng thức (2.37) Đối với hàm Lipschitz ta có kết sau: Hệ 2.2.7 Giả sử f hàm L-Lipschitz, g liên tục, u hàm đơn điệu không giảm [a, b] với u(b) > u(a) Khi ta có bất đẳng thức sau: |T (f, g; u)| L u(b) − u(a) × g(t) − b a t− a+b u(b) − u(a) b a (2.39) g(s)du(s) du(t) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 31 L(b − a) · u(b) − u(a) b × Hằng a g(t) − u(b) − u(a) b a g(s)du(s) du(t) ước lượng tốt bất đẳng thức thứ hai Chứng minh Bất đẳng thức (2.39) trường hợp đặc biệt bất đẳng thức (2.37) với r = H ≡ L Giả sử bất đẳng thức (2.39) với số dương D, E > 0, |T (f, g; u)| L·D u(b) − u(a) (2.40) b a t− a+b b g(s)du(s) du(t) u(b) − u(a) a b L · E(b − a) b g(t) − g(s)du(s) du(t) u(b) − u(a) a u(b) − u(a) a × g(t) − Xét hàm f = g, f : [a, b] → R, f (t) = t, u xác định (2.35) Khi đó, f hàm Lipschitz với số L = 1, g hàm liên tục u hàm đơn điệu không giảm [a, b] (b − a)2 Vì T (f, g; u) = b a a+b t− g(t) − u(b) − u(a) b a g(t) − u(b) − u(a) b a b a (b − a)2 g(s)du(s) du(t) = , g(s)du(s) du(t) = b − a, theo bất đẳng thức (2.40) ta suy (b − a)2 hay D E D (b − a)2 · 2 E(b − a)2 , Một khẳng định khác biên hàm T (f, g; u), với u hàm Lipschitz với số K > 0, trình bày định lý đưới đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 32 Định lý 2.2.8 Giả sử f : [a, b] R l hm loi r-H-Hăolder [a, b] Nếu g : [a, b] → R hàm khả tích Riemann [a, b] u : [a, b] → R hàm K-Lipschitz với K > u(a) = u(b), Khi ta có bất đẳng thức sau: |T (f, g; u)| (2.41) b b a+b r HK g(t) − t− g(s)du(s) dt |u(b) − u(a)| a u(b) − u(a) a  b  HK(b − a)r+1    g − ;   u(b)−u(a) a g(s)du(s) r (r + 1)|u(b) − u(a)|   ∞    r+ 1q   b  HK(b − a)    g − u(b)−u(a) g(s)du(s)  a r q p (qr + 1) |u(b) − u(a)|   1    p > 1, + = 1;     p q    r  b HK(b − a)     g − u(b)−u(a) g(s)du(s)  r a |u(b) − u(a)| Chứng minh Áp dụng đẳng thức (2.32), ta có |T (f, g; u)| K |u(b) − u(a)| b a f (t) − f a+b (2.42) b g(s)du(s) dt u(b) − u(a) a b a+b r KH t− |u(b) − u(a)| a b × g(t) − g(s)du(s) dt, u(b) − u(a) a × g(t) − ta chứng minh bất đẳng thức (2.41) Vì b a a+b t− r g(t) − u(b) − u(a) b a g(s)du(s) dt b b a+b r g(s)du(s) dt ≤ g− t− a u(b) − u(a) a ∞ b (b − a)r+1 = r g− g(s)du(s) , (r + 1) u(b) − u(a) a ∞ theo (2.42) ta suy đánh giá đầu bất đẳng thức thức hai (2.41) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 33 Áp dụng bất ng thc Hăolders dng gii tớch ta cú b a r a+b t− b ≤ a g(t) − a+b t− u(b) − u(a) q qr dt   b a b g(t) − u(b) − u(a) 1 (b − a)qr+1  q  g− = qr (qr + 1) u(b) − u(a)  r+ 1q = (b − a) 2r (qr + 1) q g− g(s)du(s) dt a u(b) − u(a) b a b a b a p g(s)du(s) 1 p dt g(s)du(s) p g(s)du(s) p Áp dụng (2.42), ta suy đánh gái thứ hai trong bất đẳng thức hai (2.41) Cuối cùng, a+b r b−a t− ≤ 2 r , t ∈ [a, b], ta suy b a t− b a+b r |g(t) − g(s)du(s)|dt u(b) − u(a) a b (b − a)r g − g(s)du(s) 2r u(b) − u(a) a Từ định lý trên, ta có hệ sau: Hệ 2.2.9 Cho hàm f L-Lipschitz Nếu g : [a, b] → R hàm khả tích Riemann [a, b] u : [a, b] → R hàm K-Lipschitz với K > u(a) = u(b), Khi ta có bất đẳng thức sau: Khi ta có bất đẳng thức sau: |T (f, g; u)| a+b a × g(t) − u(b) − u(a) LK |u(b) − u(a)| b t− b a g(s)du(s) dt (2.43) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 34   LK(b − a)2    g−     4|u(b) − u(a)|     1+ 1q   LK(b − a)      u(b) − u(a) 2(q + 1) |u(b) − u(a)| g− q a ; g(s)du(s) ∞ u(b) − u(a) b a g(s)du(s) p 1 p > 1, + = 1; p q               LK(b − a)      2|u(b) − u(a)| Các số b g− u(b) − u(a) b a g(s)du(s) 1 phần bất đẳng thức hai ước lượng tốt Chứng minh Bất đẳng thức (2.43) suy từ bất đẳng thức (2.41) cách chọn r = Tiếp theo, ta giả sử có |T (f, g; u)| CLK |u(b) − u(a)| (2.44) b a t− a+b b g(s)du(s) dt u(b) − u(a) a   b DLK(b − a)2     g(s)du(s) ∞ ; ||g −   a  |u(b) − u(a)| u(b) − u(a)      b ELK(b − a)1+ q ≤ g − g(s)du(s)  a  q |u(b) − u(a)| u(b) − u(a)  (q + 1) p     1    p > 1, + = 1;   p q × g(t) − với C, D, E > Xét f, g, u : [a, b] → R, xác định sau f (t) = t −      −1 g(t) =     1 a+b , u(t) = t a+b t ∈ a, , a+b ,b t ∈ Khi hàm f hàm u Lipschitz với L = K = hàm g khả tích Riemann [a, b] LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 35 Ta hiển nhiên có b 1 f (t)g(t)dt − b−a a b−a b−a , = |T (f, g; u)| = b a a+b g(t) − t− u(b) − u(a) g− u(b) − u(a) b b a b a b−a b a g(t)dt (b − a)2 g(s)du(s) dt = = g g(s)du(s) a f (t)dt · ∞ =1 ∞ g− u(b) − u(a) b a = g g(s)du(s) p = (b − a) p p Do đó, theo (2.44), ta có        C (b − a)2 b−a b−a       D(b − a)2 ·1 b−a E(b − a)2 (q + 1) (b − a) suy từ suy C E      D C 1, D      E (q + 1) E q , q > 1, (q + 1) q Cho q → 1+, ta suy Nhận xét (1) Nếu hàm f, g, w : [a, b] → R liờn tc v f l hm loi r-H-Hăolder, ú ta có bất đẳng thức |Tw (f, g)| H|b − a|r 2r b a × g− w(s)ds b a w(s)ds b a b g(s)w(s)ds a |w(s)|ds [a,b],∞ Chứng minh tương tự (2.31) cách chọn u(t) = t a w(s)ds LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 36 (2) Nếu hàm f, g, w liên tục v f l hm loi r-H-Hăolderv w(s) s [a, b], ta có bất đẳng thức |Tw (f, g)| H b (2.45) b w(s)ds a t− a b a H(b − a)r b a a+b × g(t) − 2r với w(s)ds b w(s)ds b a r g(t) − a g(s)w(s)ds w(s)ds b a b w(s)ds a g(s)w(s)ds w(s)ds Chứng minh suy từ (2.37) cách chọn u(t) = t a w(s)ds (3) Nếu hm f loi r-H-Hăolder v hm g kh tớch Riemann [a, b] w liên tục [a, b], ta có bất đẳng thức |Tw (f, g)| H w b [a,b],∞ w(s)ds (2.46) b a a+b t− r g(t) − b w(s)ds b a g(s)w(s)ds dt a a     r+1    H w [a,b],∞ (b − a) b   g −  a g(s)w(s)ds b  b   r  w(s)ds w(s)ds  (r + 1)   a [a,b],∞ a      r+ q  H w   [a,b],∞ (b − a) b   g− b ,  a g(s)w(s)ds  b  r w(s)ds (qr + 1) q w(s)ds a [a,b],p a      1    p > 1, + = 1;    p q         b H w [a,b],∞ (b − a)r    g(s)w(s)ds g −   b b  a  r  w(s)ds  w(s)ds  a [a,b],1 a Chứng minh suy từ (2.41) cách chọn u(t) = t a w(s)ds LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 37 2.3 Bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phân Riemann-Stieltjes Dragomir2 Fedotov (1998) xét hàm sau, D(f ; u) := b a f (x)du(x) − [u(b) − u(a)] · b−a b a f (t)dt, (2.47) giả sử tích phân tồn Ta có kết ước lượng D(f ; u) sau: Định lý 2.3.1 Cho hàm f, u : [a, b] → R thỏa mãn u hàm L-Lipschitz [a, b] tức |u(x) − u(y)| L|x − y| với x, y ∈ [a, b] (L > 0) (2.48) hàm f khả tích Riemann [a, b] Nếu m, M ∈ R thỏa mãn m f (x) M với x, y ∈ [a, b], (2.49) ta có bất đẳng thức sau |D(f ; u)| Hằng số L(M − m)(b − a) (2.50) ước lượng tốt Năm 2001, Dragomir Fedotov (xem [8]) đưa kết sau: Định lý 2.3.2 Cho hàm f, u : [a, b] → R cho u : [a, b] → R có biến phân bị chặn [a, b] f : [a, b] → R K-Lipschitz với (K > 0) Khi ta có bất đẳng thức |D(f ; u)| Hằng số b K(b − a) (u) a (2.51) ước lượng tốt S.S Dragomir and I Fedotov, An inequality of Gră uss type for RiemannStieltjes integral and applications for special means, Tamkang J Math.,29(4) (1998), 287-292 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 38 Tiếp theo, ta trình bày s bt ng thc loi Gră uss i vi tớch phân Riemann-Stieltjes Định lý 2.3.3 Cho f, u : [a, b] → R hàm số, cho tồn tích phân Stieltjes đẳng thức sau b a b f (t)du(t) tích phân Riemann D(f ; u) = = b a Φ(t)df (t) = b−a b a b−a a b a f (t)dt Khi ta có Γ(t)df (t) (2.52) (t − a)(b − t)∆(t)df (t), (t − a)u(b) + (b − t)u(a) − u(t), t ∈ [a, b], b−a Γ(t) := (t − a)[u(b) − u(t)] − (b − t)[u(t) − u(a)], t ∈ [a, b], Φ(t) := ∆(t) := [u; b, t] − [u; t, a], t ∈ (a, b), với [u; α, β] ký hiệu sai phân hàm u nút α β, tức [u; α, β] := u(α) − u(β) α−β Chứng minh Ta thấy b a Φ(t)df (t) = b a    (t − a)u(b) + (b − t)u(a)  − u(t) df (t) b−a  b (t − a)u(b) + (b − t)u(a) = − u(t) f (t) b−a a   b (t − a)u(b) + (b − t)u(a) − f (t)d  − u(t) a b−a   b u(b) − u(a) = − f (t)  dt − du(t) a b−a b u(b) − u(a) b = f (t)du(t) − f (t)dt a a b−a đẳng thức (2.52) chứng minh LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 39 t a g(s)ds, Nếu u tích phân, u(t) = kết Cerone(xem [3]): T (f, g) = (b − a) b từ (2.52) ta suy Ψ(t)df (t), a (2.53) t t−a b g(s)ds − g(s)ds (t ∈ [a, b]) a b−a a b t (t − a) g(s)ds − (b − t) g(s)ds = (t ∈ [a, b]) t a b−a   t g(s)ds (t − a)(b − t)  tb g(s)ds  − a (t ∈ (a, b)) = b−a b−t t−a Ψ(t) = Nếu w : [a, b] → R hàm khả tích u(t) := b w(t)dt = 0, chọn a t a w(s)g(s)ds , t a w(s)ds t ∈ [a, b] (2.54) xác định b Dw (f ; u) = a w(s)f (s)g(s)ds b a w(s)ds b − a w(s)g(s)ds b a w(s)ds · b−a b a f (t)dt =: E(f, g; w) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 40 Kết luận Mục tiêu luận văn trình bày lại số kết ó cú v bt ng thc Gră uss v cỏc biến thể Cụ thể luận văn trình by nhng sau: (a) Bt ng thc Gră uss Chương trình bày lại kiến thức liên quan đến luận văn như: Trình bày lại số khái niệm hàm số biến phân, biến phân tồn phân tính chất Bất đẳng thức Hăolder Bt ng thc Gră uss, ch iu kin yu hn gi thit Gră uss Mt s bt ng thức liên quan Karamta, Steffensen, Young (b) Trình bày cỏc bin th ca bt ng thc Gră uss, chng hn nh: Bt ng thc Gră uss-Chebyshev Bt ng thc kiu Gră uss i vi tớch phõn Stieltjes cú hm ly tớch phõn b chn Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Stieltjes có hàm lấy tích phõn l hm Lipschitz Bt ng thc kiu Gră uss tích phân Riemann-Stieltjes LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 41 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu (2006), Bất đẳng thức – Định lý áp dụng, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] P Cerone, S S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group [3] P Cerone (2002), “On an identity for the Chebyshev functional and some ramifications”, J Inequal Pure Appl Math., 3(1), Art [4] P Cerone, S.S Dragomir (2007), “A refinement of the Gruss inequality and applications”, Tamkang J Math., 38(1), pp.37–49 [5] S S Dragomir, I Fedotov (1998), An inequality of Gră uss type for Riemann–Stieljes integral and applications for special means", Tamkang J Math., 29, pp.287–292 [6] S S Dragomir (1999), “A generalization of Gră uss inequality in inner product spaces and applications, J Math Anal Appl., 237, pp.74–82 [7] S S Dragomir, S Wang (1997), An inequality of OstrowskiGră uss type and its applications to the estimation of error bounds for some means and for some numerical quadrature rules”, Comput Math Appl., 33, pp.15–20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 42 [8] S.S Dragomir, I Fedotov, A Gră uss type inequality for mappings of bounded variation and applications to numerical analysis, Non Funct Anal Appl., 6(3) (2001), 425-437 [9] S.S Dragomir (2003), “Sharp bounds of Chebyshev functional for Stieltjes integrals and applications”, Bull Austral Math Soc., 67(2), pp.257– 266 [10] I Fedotov, S S Dragomir (1999), “An inequality of Ostrowski type and its applications for Simpson’s rule and special means”, Math Inequal Appl., 2, pp.491–499 [11] A M Fink (1999), A treatise on Gră uss inequality in Analytic and Geomatric Inequalities and Applications” (T M Rassias and H M Srivatava, eds.), pp 93–113, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [12] R Jones, X Li, R N Mohapatra, R S Rodriguez (2000), “An elementary proof of Gră uss inequality, IAMG Report [13] D S Mitrinovi´c, J.E Peˇcari´c and A.M Fink (1993), Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [14] P.M Vasic, J.E Pecaric, “Note on the Steffensen inequality”, Univ.Beograd Publ Elektrotechn Fak Ser Mat Fiz., No 716-734, 8082 [15] A Witkowski (2006), “On Young’s inequality”, J Inequal Pure Appl Math., 7(5) (2006), Art 164 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...  - PHẠM THÀNH CÔNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LOẠI GRUSS VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Hàm số, biến phân biến 1.1.2 Bt ng thc Hăolder 1.2 V bt ng thc Gră uss 1.3 Mt số bất đẳng thức liên quan 1.3.1 Bất đẳng thức Karamata 1.3.2 Bất đẳng. .. g) Một ước lượng tương tự J Karamata chứng minh R(f, g) = f (x)dx 1 g(x)dx f (x)g(x)dx Kết gọi bất đẳng thức Karamata, kết chứng minh phần 1.3 1.3.1 Một số bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức