ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI Chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚ[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NƠNG QUỐC CHINH THÁI NGUN - 2019 i Mưc lưc Lới cÊm ỡn M Ưu Mởt số kián thực chuân b CĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc số Fibonacci 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 D¢y Fibonacci v d¢y Lucas B i to¡n 779 B i to¡n 804 Giỵi thi»u b i to¡n têng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m Tr÷íng hđp m = v m = Tr÷íng hđp têng qu¡t Tr÷íng hđp x(i) < b, vỵi måi i Trữớng hủp tỗn tÔi i x(i) ≥ b Mởt số kát quÊ và tẵnh chĐt cừa têp S1 Trữớng hủp b l´ Chùng minh nh lỵ 2.3.1 ( nh lỵ ngău nhiản) Kát luªn T i li»u tham kh£o 13 16 22 25 29 33 36 38 39 Líi c£m ìn Trữợc hát, tổi xin gỷi lới biát ỡn chƠn thnh án PGS TS Nổng Quốc Chinh  hữợng dăn tổi hon thnh bÊn luên vôn ny Khi bưt Ưu nhên · t i thüc sü tỉi c£m nhªn · t i mang nhiÃu nởi dung mợi m Hỡn nỳa vợi vốn kián thực ẵt ọi nản rĐt khõ tiáp cên à ti Mc dũ rĐt bên rởn cổng viằc ThƯy văn dnh nhiÃu thới gian v tƠm huyát viằc hữợng dăn, ởng viản khuyán khẵch tổi suốt thíi gian tỉi thüc hi»n · t i Trong qu¡ tr¼nh tiáp cên à ti án quĂ trẳnh hon thiằn luên vôn ThƯy luổn tên tẳnh ch bÊo v tÔo iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi hon thnh luên vôn Cho án bƠy giớ luên vôn thÔc sắ cừa tổi  ữủc hon thnh, xin cÊm ỡn ThƯy  ổn ốc nhc nhð tỉi Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Ban GiĂm hiằu, Khoa ToĂn - Tin v Phỏng o tÔo cừa trữớng Ôi hồc Khoa hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn cĂc ThƯy, Cổ  tên tẳnh truyÃn Ôt nhỳng kián thực quỵ bĂu cụng nhữ tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi nhĐt tổi hon thnh luên vôn ny Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu, cĂc thƯy cổ giĂo trữớng THPT Hoa Lữ A - Ninh Bẳnh nỡi tổi cổng tĂc  tÔo iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh cổng viằc chuyản mổn tÔi nh trữớng tổi hon thnh chữỡng trẳnh hồc têp cao hồc Cuối cũng, tổi xin chƠn thnh by tọ lỏng biát ỡn án gia ẳnh, bÔn b, nhỳng ngữới khổng ngứng ởng viản, hộ trủ tÔo mồi iÃu kiằn tốt nhĐt cho tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn ThĂi Nguyản, thĂng 10 nôm 2019 TĂc giÊ inh Th Huy·n Mð ¦u Leonardo Pisano Bogollo (kho£ng 1170 khoÊng 1250), cỏn ữủc biát án vợi tản Leonardo cừa Pisa, hay phờ bián nhĐt dữợi cĂi tản Fibonacci, l mởt nh toĂn hồc ngữới ị v ữủc mởt số ngữới xem l "nh toĂn hồc ti ba nhĐt thới Trung Cờ" Fibonacci nời tiáng thá giợi hiằn Ôi vẳ cõ cổng lan truyÃn hằ kỵ số Hindu- Rêp chƠu u, v c biằt l dÂy số hiằn Ôi mang tản ổng, dÂy Fibonacci sĂch Liber Abaci D¢y sè Fibonacci l mët nhúng v´ àp cừa kho tng ToĂn hồc DÂy Fibonacci xuĐt hiằn v bián hõa vổ tên tỹ nhiản, vợi rĐt nhiÃu tẵnh chĐt àp v ựng dửng quan trồng án cõ rĐt nhiÃu m rởng cừa dÂy Fibonacci nhữ dÂy k -Fibonacci HƯu hát nhỳng tẵnh chĐt tốt cừa nhỳng dÂy ny Ãu xuĐt phĂt tứ dÂy Fibonacci Mởt dÂy tỗn tÔi song song vợi dÂy Fibonacci l d¢y Lucas D¢y n y câ nhi·u ùng dưng °c bi»t tẳm nghiằm cừa cĂc phữỡng trẳnh Diophantine Hai dÂy ny l chúng cõ mối liản hằ cht ch vợi Trong tỹ nhiản cõ nhiÃu hiằn tữủng, sỹ vêt xuĐt hiằn trũng vợi dÂy số Fibonacci HƯu hát cĂc bæng hoa câ sè c¡nh hoa l mët c¡c sè 3, 5, Sè nh¡nh tø mët c¥y i tứ gốc lản ngồn cụng thữớng tuƠn theo dÂy Fibonacci tø nh¡nh l¶n nh¡nh, nh¡nh rỗi 5, 8, 13 nhĂnh Nhỳng chiác lĂ trản mởt nhnh cƠy cụng tữỡng ựng vợi dÂy số Fibonacci Trong luên vôn ny i tẳm hiu cĂc bi toĂn riảng, bi toĂn tờng quĂt và phữỡng trẳnh tuyán t½nh â c¡c h» nghi»m l c¡c sè Fibonacci Nởi dung cừa luên vôn trẳnh by hai chữỡng Chữỡng dnh trẳnh by lÔi số kián thực liản quan án số Fibonacci v số Lucas, giợi thiằu hai b i to¡n 779 v 804 v líi gi£i cõa hai bi toĂn ny CĂc kát quÊ Â biát cừa chữỡng ny ữủc viát theo ti liằu [1], [2], [3] Chữỡng ta têp trung i tẳm hiu bi toĂn têng qu¡t, líi gi£i b i to¡n m = 3, tø â ÷a dü o¡n líi gi£i cho b i to¡n têng qu¡t Cư thº ph¦n 2.1 giợi thiằu bi toĂn tờng quĂt PhƯn 2.2 trẳnh b y líi gi£i tr÷íng hđp m = ho°c PhƯn 2.3 trẳnh by lới giÊi cho trữớng hủp tờng quĂt õ l nh lỵ ngău nhiản PhƯn 2.4 ¸n h¸t 2.8 l c¡c k¸t qu£ xoay quanh vi»c chựng minh cừa nh lỵ ngău nhiản CĂc kát quÊ Â biát cừa chữỡng ny ữủc viát theo ti liằu [4] Chữỡng Mởt số kián thực chuân b 1.1 DÂy Fibonacci v dÂy Lucas nh nghắa 1.1.1 DÂy số Fibonacci, kỵ hiằu (Fn)n N ữủc nh nghắa bi cổng thực truy hỗi ( F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1 , (n ≥ 1), Ơy Fn l số hÔng thự n cừa dÂy số Fibonacci CĂc số Ưu tiản cừa dÂy Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, Tứ hằ thực truy hỗi cõa d¢y Fibonacci ta câ Fn+2 − Fn+1 − Fn = 0, vỵi måi n ≥ Do â ta cõ phữỡng trẳnh x2 x = hay x2 = x + NhƠn hai vá cừa phữỡng trẳnh vợi xn1 ta ữủc xn+1 = xn + xn−1 (1.1) Rã r ng n¸u ϕ l mët nghi»m cừa phữỡng trẳnh (1.1) thẳ cụng l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.1) Do õ n+1 = ϕn + ϕn−1 v (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1 n Vỵi méi c°p sè thüc a, b, ta °t Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ) Khi â t§t c£ c¡c hm ny thọa mÂn hằ thực truy hỗi Fibonacci ành ngh¾a 1.1.2 C¡c h m Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n ÷đc gåi l h m sinh Trong nh nghắa dÂy Fibonacci, cĂc số hÔng cừa dÂy ữủc cho dữợi dÔng truy hỗi nản sỷ dửng dÂy ổi gp khõ khôn Mằnh à sau Ơy cho ta cổng thực tữớng minh cừa dÂy Fibonacci v ữủc gåi l cỉng thùc Binet Cỉng thùc Binet ÷đc sû döng húu hi»u c¡c chùng minh sau n y M»nh à 1.1.3 DÂy số Fibonacci ữủc cho bi cổng thực Fn = √ n 1+ − √ √ n 1− D¢y Lucas l mởt dÂy số ữủc t tản nhơm vinh danh nh toĂn hồc Fran cois douard Anatole Lucas (1842-1891), ngữới  nghiản cựu dÂy số Fibonacci, dÂy số Lucas v cĂc dÂy tữỡng tỹ Giống nhữ dÂy Fibonacci, mội số dÂy Lucas bơng tờng cừa hai số liÃn trữợc nõ DÂy số gỗm thữỡng giỳa hai số Lucas liÃn s hởi tử án giợi hÔn bơng t lằ vng Tuy vêy khĂc vợi dÂy Fibonacci, hai số Ưu tiản d¢y Lucas l L0 = v L1 = (trong dÂy Fibonacci l v 1) Chẵnh vẳ thá m mởt số tẵnh chĐt cừa số Lucas s khĂc vợi số Fibonacci nh nghắa 1.1.4 Cho r, s l cĂc số nguyản khĂc khổng DÂy Lucas ựng vợi cp (r, s) ữủc nh nghắa l: u0 (r, s) = 0, u1 (r, s) = 1, un (r, s) = run−1 + sun−2 (n ≥ 2) Trong tr÷íng hđp (r, s) = (1, 1) ta k½ hi»u sè hÔng thự n cừa dÂy l Ln v gồi ngưn gồn l dÂy Lucas Tữỡng tỹ nhữ dÂy Fibonacci, bơng quy nÔp ta cõ th chựng minh ữủc dÂy Lucas ữủc cho bi cổng thực sau Mằnh à 1.1.5 Vợi mồi số nguyản dữỡng n, ta cõ Ln = !n 1+ − √ !n 1− Tø M»nh · 1.1.3 v M»nh · 1.1.5 ta câ nh lỵ sau nh lỵ cho ta mối liản hằ giỳa cĂc số hÔng tờng quĂt cừa dÂy Fibonacci v dÂy Lucas nh lỵ 1.1.6 Vợi mồi số nguyản dữỡng n > m, ta cõ FnLm = Fn+m + Fnm Vợi mội số nguyản dữỡng n ta °t F−n = (−1)n Fn v Ln = (−1)n Ln 1.2 Bi toĂn 779 Nôm 1995, tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly số 33.1  giợi thiằu bi toĂn B.779 cõa Andrew Cusumano Nëi dung cõa b i to¡n â l : Tẳm cĂc số nguyản a, b, c v d thọa m¢n < a < b < c < d cho ỗng nhĐt thực sau l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n Fn = Fna + 6Fnb + Fn−c + Fn−d (1.2) ¢ câ nhi·u nh to¡n håc khĂc gỷi lới giÊi án tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly, hƯu hát cĂc nh toĂn hồc ch gỷi án líi gi£i a = 2, b = 5, c = 6, d = v kh¯ng ành r¬ng vi»c chùng minh ¯ng thùc Fn = Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn8 (1.3) bơng phữỡng phĂp chựng minh quy nÔp theo n l ìn gi£n Ch¿ câ Bruckman v Figghion  chựng minh cử th v ch cĂch tẳm a, b, c, d Tuy nhiản, cĂc phữỡng phĂp tiáp cên v giÊi quyát bi toĂn dữớng nhữ khổng cõ t½nh kh¡i qu¡t Ta câ thº câ chùng minh ¯ng thực (1.3) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo n nhữ sau: Vợi n = thẳ phữỡng trẳnh (1.3) tữỡng ữỡng vợi F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0 ng thực hin nhiản úng vẳ F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = Gi£ sû ¯ng thùc óng vỵi måi sè tü nhi¶n ≤ k ≤ n Ta chùng minh (1.3) óng vỵi k = n + Theo nh nghắa dÂy Fibonacci v giÊ thiát quy nÔp ta câ Fn+1 = Fn + Fn−1 = (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8 ) + F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8 = (Fn−2 + Fn−3 ) + (Fn−5 + Fn−6 ) + (Fn−6 + Fn−7 ) + (Fn−8 + Fn−9 ) = Fn−1 + 6Fn−4 + Fn5 + Fn7 Vẳ vêy ta cõ Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8 1.3 B i to¡n 804 Nëi dung cõa b i to¡n 804 l : HÂy tẳm tĐt cÊ cĂc số nguyản a, b, c v d (vỵi < a < b < c < d) cho ỗng nhĐt thực sau Ơy l úng vợi mồi số nguyản dữỡng n Fn = Fna + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d (1.4) Ngay sau õ, nôm 1997, L.A.G Dersel  ữa lới giÊi cừa bi toĂn 804 số 35.1 (1997) cừa tÔp chẵ The Fibonacci Quarterly Lới giÊi cử th nhữ sau Tø nhªn x²t 9342 = 9349 − = L19 − L4 , ð ¥y Lk l sè Lucas thù k Sỷ dửng cĂc ỗng nhĐt thực giỳa cĂc số Fibonacci v sè Lucas ta câ Fm+19 − Fm−19 = Fm L19 , Fm+4 + Fm−4 = Fm L4 Trứ vá vợi vá cừa ng thực trản ta nhên ữủc Fm+19 Fm19 Fm+4 Fm4 = Fm (L19 − L4 ) °t n = m + 19, ta nhên ữủc ng thực sau Fn = Fn15 + 9342Fn19 + Fn23 + Fn38 Nhữ vêy ta cõ cĂc số trản cƯn tẳm l: a = 15, b = 19, c = 23, d = 38 Bốn số trản chẵnh l mởt lới giÊi cừa bi to¡n 804 Nhªn x²t 1.3.1 (i) Trong thüc tá, viằc giÊi cĂc bi toĂn 779 v 804, chẵnh l viằc tẳm cĂc số Fibonacci thọa mÂn cĂc ỗng thực  nảu, hay nõi cĂch khĂc chẵnh l viằc giÊi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc nghiằm l cĂc sè Fibonacci (ii) Rã r ng ta câ thº thay êi hằ số cừa hÔng tỷ thự cừa vá phÊi cĂc ỗng nhĐt thực trản v ta s nhên lÔi ữủc mởt bi toĂn mợi vợi cĂc lới giÊi khĂc Vẵ dử 1.3.2 Zeitlin  tẳm a = 2, b = 20, c = 40, d = l lới giÊi cừa phữỡng trẳnh Fn = Fn2 + 9349Fn−20 + Fn−40 + Fn−41 Trong ch÷ìng sau (nëi dưng chẵnh cừa luên vôn) s nghiản cựu cĂch giÊi phữỡng trẳnh tuyán tẵnh vợi cĂc bở nghiằm l c¡c sè Fibonacci