phương trình schoringer

lý thuyết về phương trình schoringer và các bài toán liên quan

CHƯƠNG 3 CƠ HỌC LƯỢNG TỬ I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC (TK) II. HÀM SÓNG III. TOÁN TỬ (OPERATOR) IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER V. HẠT TRONG HỐ THẾ VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM II. HÀM SÓNG (Wave fuction) 1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách nguồn O một đoạn : Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương truyền sóng: Hàm sóng ở dạng phức: vì → = OMr  )r.ktsin(A) v.T r.2 tsin(A)t,r(    −ω= π −ω=ψ )]rkt(iexp[A)t,r(    −ω−=ψ k  n 2 k   λ π = )}rktsin(i)rkt{cos(A)t,r(      −ω+−ω=ψ }sini{cosAAe i ϕ+ϕ= ϕ− 1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng Theo thuyết sóng ánh sáng: Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m 2 trong 1 s gọi là mật độ hạt: Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động nhanh có bình phương của biên độ: 2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất kỳ mà hạt cư trú là 1.0. 3. Điều kiện của hàm sóng: 1- Giới nội. 2- Đơn trị. 3- Liên tục. 4- Đạo hàm bậc nhất của hàm sóng phải liên tục. 2 i.i2 *Aee.AAI ψ=ψψ==∝ ϕϕ− 2i.i 2 AAee.A*.)t,r(p ==ψψ=ψ= ϕϕ−  2 A*)t,r( =ψψ=ρ  1dV)t,r(*).t,r( V =ψψ ∫  4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển động tự do có năng lượng và xung lượng Tính tần số góc: Còn véctơ sóng: Hàm sóng viết dưới dạng: mvP = λ =ν= c hhE . Ehc . h 2c2 2  = λ π = λ π =πν=ω     P n h h 2 n 2 k = λ π = λ π = )]r.kt(iexp[A)t,r(    −ω−=ψ ]rPEt)[ i exp(A    −−= Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm Vận tốc Pha: Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi: suy ra : hay: Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng  Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng. const)dxx(P)dtt(EPxEt =+−+=−=ϕ PdxEdt = v c v.m c.m P E dt dx u 22 ==== Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động của toàn bộ bó sóng. Vận tốc nhóm của bó sóng bằng vận tốc của hạt chuyển động. v mc mvc E Pc P E u 2 22 === ∂ ∂ = )]rkt(iexp[A)t,r(    −ω−=ψ III. TOÁN TỬ (OPERATOR) 1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó thành một hàm khác: Ví dụ : )t,z,y,x(g)t,z,y,x(fA ˆ = xt4)zyx2(A ˆ 2 =+ 2. Một số toán tử thông dụng A-Toán tử đạo hàm: Ví dụ: dx d A ˆ = 2)zyx2( dx d )zyx2(A ˆ 22 =+=+ 321 e z e y e x dGra   ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= 3 2 21 22 eyeyz2e2)zyx2()zyx2(dgra   ++=+∇=+ 2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆= 2 22 2 22 2 22 2 z )zyx2( y )zyx2( x )zyx2( )zyx2(A ˆ ∂ +∂ + ∂ +∂ + ∂ +∂ =+ z2)zyx2(A ˆ 2 =+ zyx2)z,y,x(f 2 += C-Toán tử Laplace: Ví dụ : B-Toán tử grad: Ví dụ : A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ 1. PHÉP CỘNG: Ví dụ : C ˆ B ˆ A ˆ =+ zxyx22)z,y,x(f)x dx d ()zyx2(C ˆ 222 ++=+=+ 2. PHÉP TRỪ Ví dụ: D ˆ B ˆ A ˆ =− zxyx22)zyx2(D ˆ 222 −−=+ )fB ˆ (A ˆ f)B ˆ .A ˆ ( = zyx4)}zyx2(x{ dx d f)B ˆ .A ˆ ( 22 +=+= )fA ˆ (B ˆ f)A ˆ .B ˆ ( = xB ˆ ; dx d A ˆ == 3. PHÉP NHÂN Ví dụ : zyx2)z,y,x(f 2 += D ˆ E ˆ A ˆ B ˆ −==− x2)}zyx2( dx d {xf)A ˆ B ˆ ( 2 =+= f)B ˆ .A ˆ (f)A ˆ .B ˆ ( ≠ B. GIAO HOÁN TỬ 1. Định nghĩa: Ví dụ : A ˆ .B ˆ B ˆ .A ˆ = 0)yz2( dx d )}zyx2( dy d { dx d )zyx2(B ˆ .A ˆ 22 ==+=+ z ˆ ,y ˆ ,x ˆ dy d B ˆ ; dx d A ˆ == 2. Các toán tử giao hoán được zyx2)z,y,x(f 2 += 0)2( dy d )}zyx2( dx d { dy d )zyx2(A ˆ .B ˆ 22 ==+=+ dz d ; dy d ; dx d 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d xy ; yx 22 ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ 3. Các toán tử không giao hoán được dz d ;z dy d ;y dx d ;x zy ; yx 22 ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ? 2. Tổ hợp toán tử giao hoán được Khi mà )D ˆ C ˆ )(B ˆ A ˆ ( ++ A ˆ D ˆ D ˆ A ˆ A ˆ C ˆ C ˆ A ˆ =⊕= B ˆ D ˆ D ˆ B ˆ B ˆ C ˆ C ˆ B ˆ =⊕= 321 e z e y e x dGra   ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= 2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆= 321 ezeyexr ˆ  ++= r ˆ dGra   +∆+ C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR) 1. Định nghĩa: cho các hàm f 1 f 2 …f n và các hằng số c 1 c 2 …c n A là TT tuyến tính Các TT tuyến tính ∑∑ = ]f.A ˆ [c}f.c{A ˆ iii 321 e z e y e x dGra   ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇= 2 2 2 2 2 2 zyx A ˆ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∆= 321 ezeyexr ˆ  ++= Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ? 2 2 2 2 2 2 dz d ; dy d ; dx d ; dz d ;z; dy d ;y; dx d ;x r ˆ dGra   +∆+ Lagrange [...]... trong hố 0 ≥ x ≥ a thì U = 0 Bên ngòai hố 0 > x và x > a thì U vô hạn U=0 Bên ngòai U lớn nên hạt không thể nhảy ra hạt chỉ tồn tại bên trong  Phương trình S 0 a  2 ∂2 ∂2 ∂2 − ( 2 + 2 + 2 )ϕ( x , y, z) + 0 = Eϕ( x , y, z) 2m ∂x ∂y ∂z Xét chuyển động theo 1 phương x nên: ∂ 2 ϕ( x ) 2m k= = − 2 Eϕ( x ) = − k 2 ϕ( x ) 2 ∂x  Nghiệm là: ϕ( x ) = A sin kx 2mE  Lưu ý tại x=a thì hàm sóng bằng không A... ˆ = −i ∇ = −i [e ∂ + e ∂ + e ∂ ] P 1 2 3 ∂x ∂y ∂z 4 toán tử năng lượng: P2 ˆ P2  2 ∂2 ∂2 ∂2 =− ( 2 + 2 + 2) 2m 2m ∂x ∂y ∂z toán tử thế năng E= 2m + U( x , y, z) ˆ U( x , y, z) = U( x , y, x ) PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Ý nghĩa 1 Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng ˆ Hϕ( x , y, z, t ) = Eϕ( x , y, z, t ) Nếu năng lượng là không đổi  iEt  iEt ψ ( r , t ) = A exp(− )ϕ( r ) = A exp(− )ϕ(... Schodinger không phụ thuộc t ˆ ϕ( ) = Hϕ( x , y, z) = Eϕ( x , y, z) ˆ H r 2 [− ∆ + U ( x , y, z)]ϕ( x , y, z) = E.ϕ( x , y, z) 2m Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng thái GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỤC ĐÍCH KHI GIẢI 1.TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng và xem nó có bị gián đọan không (lượng tử hóa) 2.TÌM HÀM RIÊNG: Dùng tính xác suất những nơi tìm thấy hạt (đám...  f L ( x ).f K ( x ) = δ(L − K ) =   0 khi L ≠ K     3 Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực giao n U( x ) = ∑ C k f k ( x ) k =1 IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Các tiên đề trong Cơ lượng tử 1.Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số thực bằng  chính giá trị của đại lượng... ,ny , nz (x , y , x ) = sin( ) sin( ) sin( ) a a b b c c V DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Trong 1D : Hệ chịu tác động lực tuần hoàn f=-kx, nên động năng U=kx2/2 ˆ ˆ kx 2 mω 2 x 2 mω 2 x 2 ˆ U( x ) = = = 2 2 2 Phương trình Schrodinger một chiều:  2 d2 mω 2 2 (−i + x )u n ( x ) = E n u n ( x ) 2 2m dx 2 ˆ ˆ Xét hai toán tử tăng và giảm:a + , a − ˆ a± = 1  d [ ± imωx ] 2m i dx Lấy phép nhân 2 toán tử đó  viết... lượng ở nhiệt độ 0K ?? 3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị E j = ( j + 0,5) ω NGHIỆM CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Nghiệm ở trạng thái cơ bản u0: khi đó a − u ( x ) = 0 ˆ 0 Nếu tác dụng hạ bậc sẽ không còn sóng Phương trình xác định: a − u ( x ) = 1 [  d − imωx ]u ( x ) = 0 ˆ 0 0 2m i dx mω 2 x ) Giải được nghiệm: u 0 ( x ) = A 0 exp(− 2 Dùng điều kiện chuẩn hóa  Biên độ sóng là  mω  A0 =   Và viết lại... nhưng chỉ có 4 DK biên  phải bỏ một hệ số B3 với giả thuyết sóng không phản xạ ở vô cùng Vấn đề ta quan tâm là sóng có qua rào không? Hệ số truyền qua D: là tỷ số giữa bình phương biên độ sóng truyền qua hàng rào thế và bình phương biên độ sóng tới tại hàng rào thế 2 A3 D = 2 ≠ 0 ??? A1 Kết qủa thu được k1 n= = k2 E U0 − E 16n 2 D= exp(−2k 2 a ) ≠ 0 2 2 (1 + n ) k2 2 = 2 m( U 0 − E ) 2 Ví dụ: Nếu... tính chất sóng của vi hạt và điều đó không thể có với các hạt vĩ mô Ứng dụng: 1- Giải thích phát xạ lạnh electron trong kim loại 2-Phân rã hạt anpha từ nhân có 2 prôtôn và 2 Nơtrôn Ôn tập   1- Phương trình truyền sóng vật chất: ψ( r , t ) = A exp[−i(ωt − k r )] 2- Ýnghĩa và tính chất hàm sóng c2 uP = ;uN = v 3-Vận tốc pha và nhóm v 4- Toán tử và các phép toán của Toán tử Toán Tử Hermitte 5- Giao... sin nπ Kết quả: ka = ± nπ  2 k 2 n 2 π2 2 n En = = 2m 2ma 2 nπ n 2 π 2 2E n m 2 kn = → kn = 2 = a a 2 n = 1,2,3 Kết luận về mức năng lượng: 1- Năng lượng bị lượng tử hóa 2- Năng lượng tỉ lệ với bình phương các số nguyên 3- E1 là mức thấp nhất (Ground state) 4- Từ E2 lên trên là mức kích thích (excited state) 5- Khỏang cách các mức không đều π2 2 π2 2 ∆E = E n +1 − E n = [(n + 1) 2 − n 2 ] = (2n . SCHRODINGER Ý nghĩa 1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng. Nếu năng lượng là không đổi 2. PT Schodinger không phụ thuộc t Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng - Hàm riêng mô tả trạng