Chương 12 Mô hình hóa và mô phỏng thiết bị phi tuyến 289 Chương 12 MÔ HÌNH HÓA VÀ MÔ PHỎNG THIẾT BỊ PHI TUYẾN 12 1 Mở đầu Dựa vào tính phụ thuộc vào thời gian và không phụ thuộc vào thời gian (bất biế[.]
Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 289 Chương 12 MƠ HÌNH HĨA VÀ MƠ PHỎNG THIẾT BỊ PHI TUYẾN 12.1 Mở đầu Dựa vào tính phụ thuộc vào thời gian khơng phụ thuộc vào thời gian (bất biến), tính tuyến tính phi tuyến, tính nhân khơng nhân quả, với mục đích nghiên cứu, phân loại mơ hình mơ khối chức hệ thống truyền thông thành loại: Hệ thống nhân tuyến tính bất biến LTIV như: lọc kênh truyền thông tĩnh Hệ thống tuyến tính thay đổi theo thời gian LTV như: kênh pha đinh cân tuyến tính Hệ thống bất biến phi tuyến như: khuếch đại cơng suất cao, giới hạn vịng khố pha PLL Tuy hầu hết khối chức hệ thống truyền thơng tuyến tính xấp xỉ tính cách tuyến tính tồn số khối phi tuyến Một số vốn phi tuyến dùng cách chủ định để cải thiện hiệu hệ thống như: Bộ giới hạn phần tử phi tuyến đặt trước máy thu để cải thiện hiệu xuất tạp âm xung kim Bộ cân hồi tiếp định DFE thiết bị phi tuyến cho ta hiệu tốt so với cân tuyến tính Tuy nhiên, khối chức khác khuếch đại cơng suất cao biểu lội tính phi tuyến không mong muốn Nhiều khối chức hệ thống truyền thông thiết kế để thực chức tuyến tính q trình hoạt động cụ thể gây hiệu ứng phi tuyến Phân tích tốn học hiệu ứng phi tuyến thường khó, chí trường hợp phi tuyến không nhớ bậc ba đơn giản như: y(t ) x(t ) 0, x3 (t ) (12.1) Ở dạng tổng qt khó tính tốn hàm mật độ xác suất pdf hàm tự tương quan đầu y(t) từ hàm pdf hàm tự tương quan đầu vào x(t), mô dễ dàng tạo giá trị mẫu đầu vào {x(kTs)} sau dùng (12.1) tạo đầu {y(kTs)} Từ hai chuỗi {x(kTs)} {y(kTs)} ước tính số đại lượng như: hàm mật độ xác suất pdf hàm tự tương quan x(t), y(t) hàm tương quan chéo x(t) y(t) Thực vậy, mô phương pháp hữu hiệu để phân tích thiết kế hệ thống truyền thông chứa phần tử phi tuyến như: lọc không lý tưởng, tạp âm phân bố phi Gausơ Chương tập trung phương pháp lập mơ hình mơ phần tử phi tuyến hệ thống truyền thông 12.1.1 Các loại thiết bị phi tuyến mơ hình Dựa vào dải tần làm việc, ta phân loại mơ hình hóa thiết bị phi tuyến Chương 12: Mơ hình hóa mô thiết bị phi tuyến 290 Các thiết bị phi tuyến hệ thống truyền thơng thiết bị băng tần sở thiết bị thông dải Chẳng hạn: giới hạn thiết bị phi tuyến băng tần sở khuếch đại cao tần RF thiết bị phi tuyến thơng dải Nếu đưa tín vào thiết bị phi tuyến thông dải trung tâm tần số fc đầu có phổ nằm lân cận tần số fc Các thành phần hài gần tần số 2fc, 3fc hầu hết không quan tâm khối chức "luồng xuống" từ phần tử phi tuyến thường loại bỏ thành phần Mơ hình dùng phổ biến cho thiết bị phi tuyến thông dải thiết bị phi tuyến băng tần sở theo sau "bộ lọc vùng ", lọc cho qua thành phần nằm gần cạnh dải băng tần tín hiệu đầu vào Dựa vào tính có nhớ khơng nhớ, ta phân loại mơ hình hóa thiết bị phi tuyến Như cách phân loại khác cho thiết bị phi tuyến thiết bị có nhớ hay khơng có nhớ Đầu thiết bị phi tuyến không nhớ thời điểm t phụ thuộc vào giá trị tức thời đầu vào thời điểm t, thiết bị phi tuyến có nhớ tạo tín hiệu đầu thời điểm t hàm đầu vào thời điểm q khứ Thiết bị có nhớ bộc lộ tính cách chọn lọc tần số thường mơ hình hóa băng thiết bị phi tuyến khơng nhớ "kẹp" hai lọc cho hình 12.1 Bộ lọc giải thích cho tính chọn lọc tần số thiết bị phi tuyến có nhớ Đầu vào Bộ lọc đầu vào Thiết bị phi tuyến không nhớ Bộ lọc đầu Đầu Hình 12.1: Mơ hình hóa cho thiết bị phi tuyến chọn lọc tần số có nhớ Thiết bị phi tuyến thơng dải mơ hình hóa mơ cách sử dụng phiên thơng dải giá trị thực tín hiệu Sẽ sáng tỏ, tính cách hầu hết phần tử phi tuyến thơng dải mơ hình hóa mơ dạng đường đường bao phức thơng thấp tín hiệu thông dải Việc biểu diễn đường bao phức thông thấp dẫn đến hiệu tính tốn, dùng nhiều Thiết bị phi tuyến mơ tả phương trình vi phân phi tuyến Khi này, mơ thực theo nghiệm đệ qui phương trình vi phân phi tuyến Một cách tiếp cận tương đương trình bày hệ thống phi tuyến dạng sơ đồ khối (nếu được), sau mơ mơ hình sơ đồ khối Giải pháp thường gọi phương pháp sơ đồ khối lắp ráp Phương pháp sơ đồ khối lắp ráp trình bày chi tiết chương xét vịng khố pha, cách ngắn gọn ta mơ tả phân hệ phương trình vi phân: d y (t ) dy(t ) (12.2) t ln y (t ) x(t ) dt dt Được xắp xếp lại là: d y (t ) dy (t ) t ln y (t ) x(t ) dt dt (12.3) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 291 Được trình bày dạng sơ đồ khối hình 12.2 Như rõ từ chương 6, mơ tức theo cách trình bày tích phân liên tục theo thời gian xấp xỉ thuật tốn tích phân rời rạc theo thời gian Phương trình vi phân phi tuyến (12.2) mơ trực tiếp sử dụng kỹ thuật tích phân số đệ qui Phương pháp mang lại hiệu tính tốn cần có số nỗ lực việc lập mơ hình Vì thế, thường sử dụng cho thiết bị phi tuyến phức tạp d y (t ) dt x(t) - ∫ dy (t ) dt ∫ y(t) t2 Ln(|*|) Hình 12.2: Mơ hình sơ đồ khối lắp ráp cho thiết bị phi tuyến 12.1.2 Các nhân tố cần xét đến mô thiết bị phi tuyến Cần phải xét số nhân tố mô thiết bị phi tuyến Mô thiết bị phi tuyến hầu hết thực miền thời gian ngoại trừ lọc (bộ lọc sử dụng mô hình để giải thích cho tính cách chọn lọc tần số) Tất nhiên, mơ lọc miền thời gian miền tần số Để minh họa số nhân tố trình bày lập mơ hình mô thiết bị phi tuyến, ta giả thiết mơ hình xét mơ hình phi tuyến khơng nhớ có dạng mơ tả (12.1) mơ hình chọn lọc tần số (có nhớ) cho hình 12.1 Tốc độ lấy mẫu Nhân tố cần phải xem xét tốc độ lấy mẫu Với hệ thống tuyến tính, ta thường thiết lập tốc độ lấy mẫu từ đến 16 lần độ rộng băng tần tín hiệu vào Trường hợp phi tuyến dạng: y(t ) x(t ) 0, x3 (t ) (12.4) Trong đầu vào x(t) tín hiệu lượng tất định, chuyển sang miền tần số: Y ( f ) X ( f ) 0, X ( f ) X ( f ) X ( f ) (12.5) Trong đó, phép tích chập Tích chập bội ba dẫn đến độ rộng băng tần đầu Y(f) lớn độ rộng băng tần đầu vào X(f) Hiệu ứng gọi trải phổ tính phi tuyến gây Nếu muốn trình bày y(t) cách thích đáng mà khơng có lỗi chồng phổ q mức, tốc độ lấy mẫu phải dựa độ rộng băng tần y(t) (độ rộng băng tần y(t) lớn nhiều độ rộng băng tần x(t)) Theo đó, thiết lập tốc độ lấy mẫu để mô thiết bị phi tuyến cần phải tính đến ảnh hưởng Tuy nhiên, tần số lấy mẫu thực tế cần thiết để mô khơng lớn ví dụ Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 292 Nối tầng Một nhân tố khác phải tính đến ảnh hưởng việc nối tầng khối tuyến tính phi tuyến hình 12.1 Chẳng hạn, dùng kỹ thuật chồng chéo (overlap) cộng để mô lọc, ta phải cẩn thận Không thể xử lý khối liệu qua lọc thứ nhất, sau qua thiết bị phi tuyến lọc thứ hai thực chồng chéo cộng đầu lọc thứ hai Làm sai lẽ nguyên lý xếp chồng không ứng dụng cho thiết bị phi tuyến Xử lý áp dụng phương thức chồng chéo cộng đầu lọc thứ nhất, tính tốn mẫu miền thời gian đầu lọc thứ nhất, xử lý mẫu sở mẫu qua thiết bị phi tuyến không nhớ ứng dụng kĩ thuật chồng chéo cộng cho lọc thứ hai Vòng hồi tiếp phi tuyến Các vịng hồi tiếp cần thêm trễ mẫu vịng để tránh tượng treo tính tốn (lưu ý đường hồi tiếp PLL chương 6) Trễ nhỏ vịng hồi tiếp tuyến tính không ảnh hưởng đến kết mô hệ thống phi tuyến, khơng làm suy thối đáng kể kết mơ mà cịn dẫn đến hoạt động bất ổn định Để tránh ảnh hưởng ta phải tăng tốc độ lấy mẫu (tương đương giảm độ trễ) Tốc độ lấy mẫu khả biến nội suy Nếu mơ hình phương trình vi phân phi tuyến giải kỹ thuật tích phân số, nhiều thuật tốn tích phân số gói phần mềm (như Simlink) sử dụng kích cỡ bước tích phân khả biến Kích cỡ bước xác định tự động bước thực tùy thuộc vào tính cách nghiệm Nếu nghiệm có tính cục tốt, dùng kích cỡ bước lớn Để tránh chồng phổ khối luồng xuống, cần thực nội suy đầu tạo mẫu tín hiệu đầu cách 12.2 Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến khơng nhớ Quan hệ vào/ra thiết bị phi tuyến không nhớ cho bởi: y (t ) F x(t t0 ) (12.6) Trong đó, F(.) hàm phi tuyến t0 giả thiết Nếu x(t) tín thiệu băng tần sở, y(t) xử lý tín hiệu băng tần sở Mặt khác, x(t) tín hiệu thơng dải, y(t) tín hiệu thơng dải y(t) chứa thành phần chiều thành phần hài tín hiệu đầu vào Trong trường hợp cụ thể, ta quan tâm thành phần đầu có phổ gần tần số đầu vào, thực cách đặt lọc thông dải vùng đầu thiết bị phi tuyến Thiết bị phi tuyến tự mơ thiết bị hoạt động tức thời đơn giản Trong chương ta biểu diễn đường bao phức thơng thấp để mơ hình hóa mơ tín hiệu thơng dải qua hệ thống tuyến tính Tại đây, ta muốn có mơ hình cho thiết bị phi tuyến thông dải dạng đường bao thông thấp phức đầu vào/ra Ta rút mơ hình đường bao thông thấp phức cho thiết bị phi tuyến như: hạn chế, khuếch đại cao tần RF băng rộng, vịng khóa pha, cân hồi tiếp định hệ thống khôi phục định thời Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 293 12.2.1 Thiết bị phi tuyến băng tần sở Nếu đặt vào thiết bị phi tuyến băng tần sở tín hiệu giá trị thực x(t), đầu y(t) tín hiệu giá trị thực Thiết bị phi tuyến mô hình hóa y (t ) F x(t ) Mơ hình dùng phổ biến thiết bị phi tuyến băng tần sở mơ hình chuỗi mũ mơ hình giới hạn Mơ hình chuỗi mũ định nghĩa bởi: N y (t ) ak x k (t ) (12.7) k 0 Mơ hình giới hạn tổng qt có dạng: y (t ) M sgn x(t ) 1 m x (t ) s 1/ s (12.8) Trong phương trình (12.8), M giá trị giới hạn đầu ra, m giá trị giới hạn đầu vào s tham số "định dạng" Quan hệ vào/ra chuẩn hóa giới hạn cho hình 12.3 ứng với giá trị khác tham số định dạng s Lưu ý rằng: s = tương ứng với giới hạn "mềm", m = tương ứng giới hạn "cứng" Cũng cần lưu ý thêm, với m = 0, giá trị s khơng ảnh hưởng đến đặc tính thiết bị phi tuyến mơ tả (12.8) Mã chương trình Matlab tạo kết hình 12.3 cho file NVD12limiter.m (có Phụ lục 12A) Để rõ hơn, bạn nên chạy chương trình Matlab với giá trị khác s m so sánh nhận xét Mô mơ hình cho (12.7) (12.8) đơn giản, thường thực miền thời gian Ta việc tạo giá trị mẫu x(t), xử lý mẫu (12.7) (12.8) để tạo mẫu y(t) Sau đó, dùng mẫu y(t) làm đầu vào cho khối luồng xuống Có thể ước tính thuộc tính y(t) từ mẫu {y(kTs)} x(t) trình ngẫu nhiên Ta cần phải đặc biệt lưu ý đến tốc độ lấy mẫu đề cập Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 294 Hình 12.3: Các đặc tính giới hạn với giá trị tham số định dạng s 12.2.2 Thiết bị phi tuyến thông dải - Mô hình thơng dải vùng Mơ hình thơng dải (thơng băng) khơng nhớ dùng để đặc tính hóa cho lượng lớn thiết bị thông dải phi tuyến băng hẹp hệ thống truyền thông Từ không nhớ thể quan hệ vào/ra tức mà cịn thể thiết bị khơng biểu lộ tính cách chọn lọc tần số dải tần hoạt động Cả độ rộng băng tần thiết bị phi tuyến độ rộng băng tần tín hiệu coi nhỏ nhiều so với tần số sóng mang fc Khi độ rộng băng tần trở nên rộng hơn, thiết bị phi tuyến biểu lộ tính cách chọn lọc tần số, ta dùng mơ hình chọn lọc tần số Tính chọn lọc tần số thường đồng nghĩa với tính có nhớ, mơ hình dùng phổ biến cho thiết bị phi tuyến chọn lọc tần số (nghĩa là, thiết bị phi tuyến có nhớ) bao gồm thiết bị phi tuyến không nhớ kẹp lọc minh họa hình 12.1 Ta tập trung vào thiết bị phi tuyến thông dải không nhớ thiết bị phi tuyến thông dải có nhớ phần sau Xét thiết bị phi tuyến không nhớ dạng: y(t ) x(t ) 0, x3 (t ) (12.9) Giả thiết, đầu vào tín hiệu ngẫu nhiên thơng dải dạng: x(t ) A(t )cos 2 fct (t ) (12.10) Trong biên độ A(t) độ lệch pha (t ) trình ngẫu thiên thơng thấp có độ rộng băng thơng B > B, nên thành phần thứ hai nằm độ rộng băng tần quan tâm Vì vậy, ta lấy xấp xỉ đầu vùng thứ thiết bị phi tuyến là: 0, z (t ) A(t ) A (t ) cos 2 f ct t (12.12) z (t ) f A(t ) cos 2 f ct t (12.13) 0, f A(t ) A(t ) A (t ) (12.14) Trong : Theo đó, mơ hình cho thiết bị phi tuyến băng hẹp không nhớ thiết bị phi tuyến không nhớ theo sau lọc thông dải "vùng" (bộ lọc cho qua đầu "vùng đầu tiên" gần fc) Mơ hình minh họa hình 12.4, x(t) y(t) thể đầu vào/ra mơ hình tần số trung tâm lọc thông dải vùng fc Thiết bị phi tuyến khơng nhớ tự khơng có đáp ứng khác với tín hiệu đầu vào băng tần sở hay thơng dải khơng nhạy cảm với tần số sóng mang Chính lọc thơng dải vùng chuyển mơ hình băng tần sở thành mơ hình thơng dải tần số fc x(t) y(t) z(t) Thiết bị phi tuyến không nhớ Bộ lọc thông dải vùng Hình 12.4: Mơ hình thơng dải vùng cho thiết bị phi tuyến băng hẹp không nhớ Lưu ý rằng, với mơ hình chuỗi mũ, đầu thơng dải y(t) có dạng đầu vào, quan hệ biên độ vào/ra theo hàm f(A(t)), pha đầu giống pha đầu vào Hàm f(A(t)) xem đặc tính truyền đạt biên độ-biên độ AM-AM thiết bị phi tuyến Một giới hạn mơ hình chuỗi mũ ảnh hưởng lên biên độ tín hiệu vào Mơ hình khơng tác động vào pha Ở dạng đường bao phức đầu vào x(t) đầu z(t), mơ hình tương đương thơng thấp cho thiết bị phi tuyến chuỗi mũ : x(t ) A(t ).e j (t ) (12.15) z (t ) f A(t ).e j (t ) (12.16) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 296 Mơ hình chuỗi mũ mơ sử dụng mơ hình thơng dải vùng cho (12.13) hình 12.4 mơ hình tương đương thơng thấp cho (12.16) Việc mơ mơ hình thơng dải cần phải lấy mẫu tốc độ cao tính tốn phức tạp so với mơ hình tương đương thơng thấp May thay, rút mơ hình tương đương thơng thấp cho hầu hết thiết bị phi tuyến khơng nhớ phân tích lẫn đo đạc phần 12.2.3 Mơ hình AM-AM AM-PM đường bao phức thơng thấp Các thiết bị khuếch đại thông dải, đáp ứng tín hiệu vào thơng dải (có phổ trung tâm tần số sóng mang), tạo tín hiệu thơng dải Phổ tín hiệu đầu tập trung tần số sóng mang, có độ rộng băng lớn so với độ rộng băng tín hiệu vào Những thiết bị mơ hình cách sử dụng biểu diễn đường bao phức tín hiệu vào/ra Giả sử, tín hiệu vào thiết bị phi tuyến thông dải không nhớ dạng: x(t ) A(t )cos 2 fct (t ) Acos (12.17) 2 f c t (t ) (12.18) Trong : Tín hiệu tương ứng y (t ) F x(t ) biểu diễn sau : y (t ) f A cos (12.19) Do A cos tuần hoàn theo , nên y(t) tuần hồn theo Tín hiệu đầu y(t) khai triển theo chuỗi Fourier sau: y (t ) a0 ak cos(k ) bk sin(k ) (12.20) k 1 Trong hệ số chuỗi Fourier ak bk cho : ak bk 2 F A cos( ) cos(k )d (12.21) 2 F A cos( ) sin(k )d (12.22) Đầu vùng thứ z(t) lân cận fc cho thành phần k = chuỗi Fourier Cho ta : z(t ) f1 A(t ) cos 2 fct (t ) f A(t ) sin 2 f ct (t ) (12.23) Trong : f1 A a1 2 F A cos( ) cos( )d (12.24) Chương 12: Mơ hình hóa mô thiết bị phi tuyến f ( A) b1 297 2 F A cos( ) sin(k )d (12.25) Hàm f1(A) gọi chuyển đổi Chebyshev bậc hàm phức f1 ( A) jf2 ( A) gọi hàm mô tả thiết bị phi tuyến Mơ hình cho (12.23) biểu diễn là: z (t ) f A(t ) .cos 2 f ct (t ) g A(t ) (12.26) f A(t ) f12 ( A) f 22 ( A) (12.27) f (t ) f1 (t ) (12.28) Trong : g A(t ) arctan Trong hệ tọa độ cực, ta có : f A e jg ( A) f1 ( A) jf2 ( A) (12.29) Các hàm f(A) g(A) đặc tính truyền đạt (AM-AM) (AM-PM) thiết bị phi tuyến Mơ hình cho (12.26) tổng quát hóa quan hệ vào/ra cho (12.12) Trong mơ hình cho (12.12) giải thích cho biến đổi biên độ, (12.26) cho thấy méo biên độ méo pha tính phi tuyến, biểu diễn dạng tương đương thơng thấp phức đầu vào/ra sau: x(t ) A(t )e j (t ) (12.30) z f A(t ) .e jg ( A) e j (t ) (12.31) Mơ hình cho phương trình dạng cực chuyển dạng: z(t ) sd (t ).cos 2 fct (t ) sq (t ).sin 2 f ct (t ) (12.32) Trong đó, đường bao phức biểu diễn theo thành phần đồng pha s d(t) vuông pha sq(t) sau: z (t ) sd (t ) jsq (t ) e j ( t ) (12.33) Trong thành phần đồng pha vuông pha là: sd (t ) f A(t ) .cos gA(t ) (12.34) sq (t ) f A(t ) .sin gA(t ) (12.35) Rút biểu thức giải tích đặc tính AM-AM AM-PM Đặc tính truyền đạt AM-AM, AM-PM có từ thiết bị phi tuyến thơng dải sử dụng (12.23) Đối với thiết bị phi tuyến dạng giới hạn cứng [m = 0], ta có: Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến f ( A) 298 M (12.36) g A (12.37) Giá trị f(A) biên độ thành phần sin (thành phần thứ đầu ra): Đối với thiết bị phi tuyến kiểu giới hạn mềm [xem (12.8): s = ], f(A) g(A) cho bởi: M , f ( A) m A arcsin m m m22 A A A M Am 1/ , (12.38) Am g A (12.39) Cho thấy giới hạn không gây méo pha Với thiết bị phi tuyến thông dải khơng nhớ nào, ta rút f(A) g(A) theo phép giải tích nếu: (i) cho trước đặc tính truyền đạt thiết bị phi tuyến; (ii) ước lượng tích phân (12.21) (12.22) dạng kín Trong số trường hợp, ta trực tiếp rút mơ hình tương đương thơng thấp Ví dụ, xét thiết bị phi tuyến chuỗi mũ dạng: N y (t ) ak x k (t ) (12.40) k 1 Tín hiệu thông dải đầu vào x(t) biểu diễn theo đường bao phức thơng thấp là: x(t ) Rex(t )e j 2 f0t x(t ).e j 2 f0t x* (t ).e j 2 f0t (12.41) Ở dạng đường bao phức, thành phần mũ thứ n x(t) biểu diễn là: x n (t ) nk n n k x(t ) x* (t ) e j 2 f0 ( k n )t k 0 k (12.42) Chỉ thành phần với n lẻ, 2k n n x n (t ) tạo vùng phổ thứ Do đó, đường bao phức đầu vùng thứ thiết bị phi tuyến chuỗi mũ là: y (t ) x(t ) ( N 1) / m 0 a2 m 1 2m 1 * m x 22 m m (12.43) Phương trình (12.43) mơ tả mơ hình tương đương thơng thấp phức cho loại thiết bị phi tuyến dạng chuỗi mũ [thiết bị phi tuyến chuỗi mũ bậc ba đề cập phần 12.2.3 trường Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 305 nhận thay đổi chịm tín hiệu tham sốbị thay đổi, cho phép ta hiểu sâu ảnh hưởng lên hiệu hệ thống, đặc biệt có ý nghĩa hệ thống phi tuyến Bạn đọc nên thực mô nhiều lần để quan trắc so sánh kết thay đổi độ lùi 12.3 Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến có nhớ Nếu đầu thiết bị phi tuyến phụ thuộc vào giá trị giá trị khứ tín hiệu vào, thiết bị thuộc loại thiết bị phi tuyến có nhớ Tính nhớ hay phụ thuộc vào giá trị trước mơ hình hóa hệ thống tuyến tính đáp ứng xung kim tích chập miền thời gian Hệ thống tuyến tính mơ hình hóa miền tần số hàm truyền đạt, hàm truyền đạt thể cho đáp ứng hệ thống trạng thái bền vững phụ thuộc vào tần số đầu vào Vì vậy, tính có nhớ tính chọn lọc tần số đồng nghĩa Nhiều thiết bị phi tuyến khuếch đại băng rộng biểu lộ tính cách chọn lọc tần số Tính cách thể rõ đo đáp ứng thiết bị mức công suất khác tần số khác Nếu quan hệ vào/ra không phụ thuộc vào tần số sử dụng phép đo, thết bị thiết bị khơng nhớ Ngược lại, thiết bị thể tính cách chọn lọc tần số có nhớ Giả thiết, đưa vào thiết bị AM-AM phi tuyến đơn mang không điều chế số tần số fc + fi với fc tần số trung tâm thiết bị fi tần số lệch so với tần số trung tâm Đường bao phức tín hiệu vào là: x(t ) A.e j 2 fi t (12.62) x(t ) A (12.63) Từ đó: Nếu thiết bị phi tuyến khơng nhớ (khơng chọn lọc tần số), đầu cho bởi: y (t ) f ( A)e j 2 fi t (12.64) Lưu ý rằng, biên độ đầu độc lập với tần số Nếu phép đo cho thấy, thiết bị phi tuyến thuộc loại chọn lọc tần số, phải xét đến tính chọn lọc tần số cách biến đổi hàm AM-AM để chứa tần số đầu vào viết đáp ứng sau: y (t ) f AH ( f i ) .e j 2 fit (12.65) Khi ta thay đổi fi độ rộng băng tần thiết bị, hàm H(fi) giải thích cho tính phụ thuộc tần số thiết bị phi tuyến Lưu ý, H(fi) xem hàm truyền đạt lọc Bộ lọc tạo đáp ứng A.H ( fi ).e j 2 fit đầu vào x(t ) A.e j 2 fit Theo đó, mơ hình cho phần AM-AM thiết bị phi tuyến chọn lọc tần số bao gồm lọc H(fi) theo sau thiết bị phi tuyến không nhớ AM-AM, f(A) Giải pháp mở rộng để giải thích cho đặc tính truyền đạt AM-AM chọn lọc tần số cách đưa thêm lọc khác vào mơ hình Thực vậy, mơ hình dùng phổ Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 306 biến cho thiết bị phi tuyến chọn lọc tần số gồm thiết bị phi tuyến không nhớ kẹp lọc Ta xét hai mơ hình 12.3.1 Các mơ hình thực nghiệm dựa đo kiểm Các mơ hình rút từ phép đo "công suất bước" "tone quét" thực với tín hiệu vào tone (hay đơn sóng mang) không điều chế dạng: x(t ) Ai cos 2 ( fi fc )t (12.66) Đo độ lệch pha biên độ đầu giá trị khác tần số fi biên độ đầu vào Ai tạo tập đồ thị cho hình 12.12(b) Lưu ý rằng, đồ thị cho thấy cách rõ ràng chất phụ thuộc vào tần số đáp ứng thiết bị phi tuyến g1 f1 Đầu vào G1 g f2 f3 f G2 f1 Thiết bị phi tuyến không nhớ tham chiếu Bộ lọc đầu vào f f3 f2 Bộ lọc đầu Đầu H A1 ( f ) H A2 ( f ) AM/AM (a) Mô hình mơ Cơng suất đầu (dB) G1 G2 g1 f1 f2 g1 G1 f3 g G2 Công suất đầu vào (dB) (b) Dữ liệu AM-AM lựa chọn lọc tần số Hình 12.12: Minh họa mơ hình AM-AM lựa chọn tần số Chương 12: Mơ hình hóa mô thiết bị phi tuyến 307 Hai mô hình dùng để giải thích cho tính phụ thuộc tần số thiết bị phi tuyến mơ hình Paza mơ hình Saleh Cả hai mơ hình cố gắng tạo phép đo tone qt cơng suất bước xác mức Mơ hình Poza Mơ hình mơ đơn giản đặc tính hóa phép đo giống hình 12.12(b) rút Poza sở giả định sau: AM-AM: Các đường cong AM-AM tần số khác có dạng giống nhau, đường cong kết hợp chuyển dịch theo trục đứng trục ngang đường cong khác AM-PM: Các đường cong AM-PM tần số khác có dạng giống nhau, đường cong kết hợp dịch theo trục đứng trục ngang đường cong khác Mơ hình u cầu thủ tục phù hợp hóa đường cong để làm phù hợp họ đường cong liệu AM-AM, AM-PM cho phần tử họ đường cong phiên dịch phần tử khác thuộc họ đường cong (lưu ý chuyển dịch trục đứng ngang) Trước hết, ta xét cách thực mơ hình mơ AM-AM chọn lọc tần số Bước chọn đường cong họ AM-AM làm thiết bị phi tuyến "tham chiếu" tần số tham chiếu fc Theo đường cong này, tìm đáp ứng AM-AM tần số f1 cách dịch chuyển theo chiều ngang G1 g Việc dịch chuyển theo chiều ngang tương ứng với việc khuếch đại (hoặc suy hao) tín hiệu vào thiết bị phi tuyến chuẩn tần số f1 dịch chuyển theo chiều dọc G1 tương ứng với khuếch đại (hoặc suy hao) đầu thiết bị phi tuyến tiêu chuẩn tần số f1 Những điều thực lọc FIR, trước sau thiết bị phi tuyến tham chiếu có đáp ứng biên độ HAM1(f) HAM2(f) Theo đó, mơ hình AM-AM thực hình 12.12 Mơ hình tương tự việc thực thi rút cho đáp ứng AM-PM Mơ hình gồm lọc đầu vào có đáp ứng biên độ HPM(f) trước thiết bị phi tuyến tham chiếu AMPM đáp ứng pha e jPM ( f ) theo sau đầu Có thể kết hợp mơ hình AM-AM, AM-PM thành mơ hình 12.13 Phần AM-PM phía trước phần AM-AM, độ lệch (biên độ) đầu vào mơ hình AM-PM gây phải "làm mất" trước mơ hình AM-AM cho mức cơng suất đưa vào phần AM-AM mơ hình giống với mức cơng suất tín hiệu đầu x t vào ~ Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến x(t ) 308 AM-PM tham chiếu H PM ( f )e j PM ( f ) H AM ( f ) H PM ( f ) y (t ) AM-AM tham chiếu H AM ( f ) Hình 12.13: Mơ hình AM-AM AM-PM (được kết hợp) lựa chọn tần số Mơ hình Saleh Một giải pháp khác để mơ hình hóa thiết bị phi tuyến có nhớ Saleh đề xuất Mơ hình đạt từ mơ hình cầu phương khơng nhớ cho (12.44) (12.45) cách làm cho hệ số phụ thuộc tần số Ta có: Sd ( A) Sq ( A) p ( f )A p ( f ) A2 (12.67) q ( f ) A3 1 q ( f ) A2 (12.68) Tìm hệ số từ phép đo tần số khác cách sử dụng phù hợp hóa bình phương nhỏ Việc thực thi thực tế mơ hình cho hình 12.14 Các hàm minh họa hình 12.14 định nghĩa sau: 0 f đáp ứng pha tín hiệu nhỏ H P ( f ) P f ; Gq f q f H q ( f ) q f ; P0 A 1 A2 ; GP f P f q3 / f ; p f ; Q0 A A3 1 A2 T Lưu ý rằng, mơ hình Saleh mơ hình Poza bắt đầu với giả định khác có cấu hình khác Chúng có dạng " mơ hình sơ đồ khối" thiết kế để tái tạo tập phép đo cụ thể Cả hai mơ hình có cấu trúc phức tạp mơ hình thiết bị phi tuyến khơng nhớ Sự tăng tính phức tạp dùng thủ tục có tính kinh nghiệm để làm phù hợp tham sốmơ hình với liệu đo S p ( A, f ) Hp( f ) Po ( A) Gp ( f ) o ( f ) x(t ) Hq ( f ) Qo ( A) S q ( A, f ) Gq ( f ) j y (t ) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 309 Hình 12.14: Mơ hình cầu phương Saleh cho thiêt bị phi tuyến có nhớ 12.3.2 Các mơ hình khác Mặc dù phức tạp, mơ hình mơ tả phần trước khơng có khả bắt giữ tính cách thiết bị phi tuyến đầu vào chứa tổng nhiều sóng mang điều chế, lẽ chúng rút dựa phép đo sóng mang đường bao khơng đổi Do tính chất xếp chồng khơng áp dụng cho hệ thống phi tuyến, nên đặc tính hóa tính cách với đầu vào nhiều sóng mang dựa phép đo tần số Dĩ nhiên, thật khó để tạo phép đo đa sóng mang cho nhiều kết hợp mức cơng suất tần số đầu vào Số lượng kết hợp lớn số sóng mang nhiều Một vài giải pháp khác, số xấp xỉ tính cách thiết bị phi tuyến sử dụng sóng mang điều chế với chuỗi giả ngẫu nhiên PN làm đầu vào Đầu vào xấp xỉ tổng số lượng lớn sóng mang có mật độ phổ cơng suất đồng đồng điều nhiều (lưu ý rằng, giải pháp này, thành phần phổ đầu vào tạo tín hiệu điều chế) Bằng cách thay đổi công suất đầu vào, dùng phép đo để đặc tính hóa tính cách thiết bị phi tuyến điều kiện đầu vào (xấp xỉ trường hợp đầu vào đa sóng mang) Mơ hình kết có hàm truyền đạt dạng H(f,p) P mức công suất vào Một giải pháp thông dụng đề xuất để mơ hình hóa phân tích thiết bị phi tuyến có nhớ sử dụng chuỗi Volterra Quan hệ vào/ra miền thời gian cho bởi: y (t ) yk (t ) (12.69) k 1 Trong đó: yk (t ) h( , , k ) x(t ) x(t k )d d k (12.70) Mơ hình đáp ứng miền thời gian cho (12.70) giả thiết hệ thống khơng có đáp ứng với thành phần chiều không đổi đầu Lưu ý rằng, mơ hình giống với mơ hình chuỗi mũ Tuy nhiên, thành phần chuỗi Volterra tích chập k lần (khơng phải mũ thứ k) tín hiệu vào với đáp ứng xung h(1,2,… k) k lần Có thể rút phiên tương đương thông thấp mơ hình phức tạp 12.4 Kỹ thuật giải phương trình vi phân phi tuyến NLDE Ta biết rằng, mơ hình hóa hệ thống phi tuyến có nhớ phương trình vi phân phi tuyến NLDE, mơ hệ thống cách thực tích phân rời rạc thời gian thay cho tích phân tiên tục thời gian Ta biết rằng, giải pháp mô hệ thống mô tả phương trình vi phân: (i) Phương pháp sơ đồ khối, sơ đồ khối hệ thống xây dựng khối gồm vài khối phi tuyến khơng nhớ đơn giản hơn, tích phân, cách mơ mơ hình sơ đồ khối hệ thống phi tuyến tìm nghiệm; (ii) Rút phương trình vi phân phi tuyến kiểm sốt tính cách động PLL giải NLDE cách sử dụng thủ tục đệ quy, phương pháp hiểu phương pháp trực tiếp, xác ổn định thời gian mẫu cho trước Tuy nhiên, cần có Chương 12: Mơ hình hóa mô thiết bị phi tuyến 310 số nỗ lực để triển khai mơ hình thực giải pháp này, nỗ lực phải lặp lại cho hệ thống phi tuyến Mọi giải pháp dẫn đến kết thời gian mẫu hay thời gian bước mô nhỏ Tuy nhiên, ta muốn bước thời gian lớn để giảm tải tính tốn, mơ hình trực tiếp sử dụng kỹ thuật nghiệm kích cỡ bước khả biến hiệu Kích cỡ bước thường chọn tự động phương pháp nghiệm tùy vào tính cách NLDE Trong vùng nơi nghiệm thể tốt, ta dùng bước thời gian lớn để tiết kiệm thời gian mô Tuy nhiên, cần vài phép nội suy khối yêu cầu mẫu cách Khi vịng khóa pha PLL mơ nó, u cầu bước thời gian xác định "độ rộng băng thơng vịng " Nếu PLL mơ thành phần khác máy thu, tốc độ lấy mẫu cho phần lại máy thu kiểm soát tốc độ liệu R Ở dạng tổng quát, R lớn nhiều so với độ rộng băng thơng vịng bước thời gian tương xứng với tốc độ liệu R nhỏ nhiều bước thời gian để mơ xác PLL Khi này, ta nên sử dụng mô đa tốc độ, dùng bước thời gian khác cho phần khác hệ thống Mục đích phần mơ hệ thống phi tuyến có nhớ sử dụng nghiệm đệ qui NLDE Ta sử dụng PLL đề cập chương làm ví dụ để minh họa cho phương pháp luận 12.4.1 Dạng vectơ trạng thái NLDE Tồn nhiều tài liệu phương pháp số để giải phương trình vi phân phi tuyến Từ quan điểm mô phỏng, kỹ thuật thực dạng đệ qui hấp dẫn hai phương diện cấu trúc tính tốn Với phương trình vi phân phi tuyến bậc m, nghiệm đệ qui miền thời gian thường dẫn đến sử dụng phương pháp biến trạng thái phương trình hệ thống biểu diễn dạng X(t ) AX(t ) BU(t ) (12.71) Y(t ) DX(t ) (12.72) Trong X vectơ trạng thái kích thước mx1, U &Y vectơ vào/ra tương ứng, A, B, D ma trận số định nghĩa hệ thống, m bậc hệ thống c1 c3 ed (t ) x(t ) x(t ) (t ) c2 Hình 12.15: Biểu diễn lọc vòng định nghĩa biến trạng thái cho mơ hình NLDE PLL Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 311 Để áp dụng kỹ thuật cho PLL, xét quan hệ ed(t) pha đầu (t) VCO (như cho hình 12.15) Đây phần tuyến tính hệ thống, từ hình 12.15 quan hệ ed(t) (t) xác định bởi: (t ) c3 x(t ) c2 x(t ) dt c3 x(t ) c2 c3 x(t ) (12.73) x(t ) ed (t ) c1 x (t ) (12.74) Từ định nghĩa ed(t) (12.73): ed (t ) sin (t ) (t ) sin (t ) c2 c3 x(t ) c3 x(t ) (12.75) Thay vào (12.74) cho ta phương trình vi phân: x(t ) sin (t ) c2 c3 x(t ) c3 x(t ) c1 x(t ) (12.76) Từ hình 6.3 (6.25) [xem chương 6] ta biết rằng: (s) G sa Ed ( s ) s sa (12.77) Và từ hình 12.15 ta có: (s) c3 sc2 1 s c2 Ed ( s ) c2 c3 Ed ( s ) s s c1 s s c1 (12.78) Từ đó, nhận được: c1 a, c2 , c2 c3 G, c3 aG a (12.79) Tại đây, ta định nghĩa biến trạng thái là: x1 (t ) x(t ) x2 (t ) x1 (t ) (12.80) Từ (12.76), ta viết phương trình vi phân phi tuyến NLDE dạng ma trận: x2 f1 ( x1 , x2 , ) x1 x sin (t ) c c x (t ) c x (t ) c x (t ) f ( x , x , ) 12 2 3 2 (12.81) Lưu ý rằng, NDLE biểu diễn là: X F (X, t , U) (12.82) Trong X vectơ kích cỡ m, F hàm vectơ phi tuyến với m thành phần U vectơ đầu vào mà ví dụ vơ hướng (t ) Tổng quát, ta chuyển NLDE bậc m thành tập m phương trình vi phân phi tuyến NLDE bậc đồng thời, có dạng giống với dạng biến trạng thái phương trình Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 312 vi phân tuyến tính bậc m Đến đây, ta xét phương pháp giải phương trình vi phân bậc đồng thời (nghĩa vectơ), bắt đầu phương trình vi phân bậc vơ hướng 12.4.2 Nghiệm đệ qui NLDE - Trường hợp vô hướng Các kỹ thuật Xét phương trình vi phân bậc dạng: x(t ) f ( x, t , u ) (12.83) Với điều kiện đầu x(t0), xn nghiệm đạt tích phân số bước thời gian tn (ta dùng ký hiệu x(tn) nghiệm xác ẩn số chưa biết, dùng ký hiệu xn nghiệm xấp xỉ đạt cách tích phân số) Hầu hết phương pháp tích phân số để giải phương trình vi phân phi tuyến (hoặc tuyến tính) dựa khai triển chuỗi Taylor Ví dụ, xét khai triển chuỗi Taylor (hoặc số chuỗi khác) dạng: x(tn 1 ) x(tn hn ) x(tn ) hn x (tn ) T (hn ) (12.84) Tong hn bước thời gian tn+1-tn , T lỗi nội hay phần dư cho bởi: T (tn ) hn2 x( ) / 2, tn tn1 (12.85) Nếu hn đủ nhỏ, ta đạt nghiệm đệ qui cho phương trình vi sai bậc 1: xn 1 xn hn xn xn hn f n (12.86) f n f xn , tn , u(tn ) (12.87) Đệ qui bắt đầu với điều kiện đầu x(t0) = x0 Có thể rút phiên đơn giản nghiệm hồi qui với kích thước bước thời gian cố định h là: xn1 xn hxn xn hf xn , tn1 , u(tn ) (12.88) tn 1 t n h (12.89) Các phương trình (12.88) (12.89) định nghĩa phương pháp tích phân Euler Bằng cách tính đến đạo hàm bậc cao chuỗi Taylor, ta rút cơng thức tính tích phân xác Ví dụ, tích phân "bậc 2" rút cách bắt đầu từ: xn1 xn hxn h2 xn (12.90) Sử dụng phép xấp xỉ cho đạo hàm bậc 2: xn xn xn 1 f xn , tn , u (tn ) f xn 1 , tn 1 , u (tn 1 ) f n f n 1 h h h Ta tích phân Adam–Bashforth bậc 2: (12.91) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến xn 1 xn h f n h h f n f n 1 f n f n 1 xn 2h 313 (12.92) Một lớp phép tích phân tương tự phương pháp Runge-Kutta Một công thức sử dụng rộng rãi R-K công thức bốn tầng kinh điển: xn 1 xn Trong đó: h k1 k2 k3 k4 (12.93) k1 f xn , tn , u(tn ) (12.94) hk h h k2 f xn , tn , u tn 2 (12.95) hk h h k3 f xn , tn , u tn 2 (12.96) hk h h k4 f xn , tn , u tn 2 (12.97) Cả ba phương pháp mô tả gọi phương pháp hiện, đệ qui thực cách hiện, sử dụng giá trị nghiệm giá trị đạo hàm đạt bước thời gian trước Các kỹ thuật ẩn Một lớp kỹ thuật nghiệm khác gọi kỹ thuật ẩn cho ta nghiệm xác ổn định lại tăng khối lượng tính tốn Trong kỹ thuật ẩn, nghiệm bước thời gian tn+1 không bao gồm đại lượng tính tốn bước thời gian trước tn mà bao gồm đại lượng tính tốn bước thời gian hành tn+1 Điều cần có nghiệm phương trình đại số phi tuyến bước thời gian Một kỹ thuật ẩn phổ biến đơn giản phép tích phân hình thang cho bởi: xn1 xn h h xn xn1 xn f xn , tn , u(tn ) f xn1 , tn1 , u(tn1 ) 2 (12.98) Đây xấp xỉ diện tích hình thang tổng Reiman tích phân (ta đề cập tích phân chương 5) Thấy rõ từ phương trình trên, xn+1 xuất vế phương trình thể tính ẩn ta phải giải phương trình phi tuyến (12.98) để tìm xn+1, với phương pháp xn+1 khơng xuất hàm phi tuyến f(.) vế phải, ta thấy nghiệm Tồn nhiều phương pháp ẩn khác ngồi phương pháp hình thang Ví dụ kỹ thuật ẩn, ta xét phương pháp Adam-Moulton bậc sở khai triển chuỗi Taylor: h2 xn h3 xn x(tn 1 ) xn hxn (12.99) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 314 Với phép xấp xỉ đối xứng cho đạo hàm: xn f xn , tn , u(tn ) f n xn 1 xn 1 2h x xn xn 1 xn n 1 h2 xn (12.100) (12.101) (12.102) Thế phương trình vào (12.99), ta cơng thức tích phân Adam-Moulton "hai bước": xn 1 xn h f n 1 f n f n 1 12 (12.103) Cơng thức tích phân A-M cho thấy hai vấn đề với kỹ thuật ẩn bậc cao là: điều kiện đầu, giải phương trình phi tuyến bước thời gian Theo đó: (i) Khi áp dụng đệ qui cho (12.103) để tìm x1 ta cần có x0 x-1 Trong điều kiện đầu xo cho, x-1 thường khơng có sẵn Để tránh vấn đề này, ta bắt đầu lặp n+1 = 2, cách dùng giá trị x1, tính tốn dùng phương pháp phương pháp RK; (ii) Xuất khó khăn thứ xn+1 xuất vế phải bên hàm (phi tuyến) f, nghiệm xn+1 yêu cầu nghiệm số phương trình ẩn (12.103) Ta trình bày hai phương pháp lặp để giải vấn đề Nghiệm ẩn sử dụng phương pháp dự đoán-hiệu chỉnh Ý tưởng phương pháp dự đoán-hiệu chỉnh (P-C) là: (i) Trước tiên tìm giá trị dự đoán cho xn+1 kỹ phương pháp R-K hay phương pháp A-B (cùng bậc phương pháp A-M) sử dụng kết dự đốn (ước tính) xn+1 vào vế phải phương trình (12.103) tìm giá trị hiệu chỉnh (được cải thiện) xn+1; (ii) Sau ta lại tiến hành với n + Để cải thiện độ xác nghiệm, ta sử dụng kỹ thuật lặp bước thời gian lặp lại phương pháp dự đoán-hiệu chỉnh nhiều lần Tại đây, (12.103) biến đối thành: xnr 11 xn h(5 f nr1 f n f n 1 ) , r 1, 2, 3, 12 (12.104) Trong đó, r số lặp Lặp bắt đầu việc sử dụng giá trị dự đốn x1n+1 xn+1 (đạt thơng qua phương pháp hiện) vế phải (12.104) để tạo giá trị bước lặp x2n+1, sau giá trị lại sử dụng cho vế phải (12.104) để đạt giá trị cải thiện lặp hội tụ [Lưu ý rằng, xnr 11 giá trị xn1 lặp lần thứ (r+1) số mũ (r+1) xn1 ] Nghiệm ẩn sử dụng phương pháp Newton-Raphson Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 315 Nhiều kỹ thuật khác Newton-Raphson (N-R) để giải phương trình (12.103) Phương pháp N-R dựa vào kỹ thuật lặp để tìm nghiệm y = g(x) = 0, nghĩa tìm giá trị x cho g(x) = Giải pháp lặp cho tốn "tìm nghiệm" sau Tham chiếu đến hình 12.16, cắt đường cong y = g(x) x0 cho bởi: g ( x0 ) AC g ( x0 ) BC x0 x1 (12.105) A y g ( x) C B x1 x0 x Hình 12.16: Kỹ thuật lặp để giải g(x) = Sắp xếp lại phương trình thành: x1 x0 g ( x0 ) g ( x0 ) (12.106) Nếu trình lặp để tạo chuỗi giá trị x1, x2, x3…, quan hệ truy toán: x r 1 x r g ( xr ) g ( xr ) (12.107) Thì xr hội tụ đến giá trị hàm g(x) điều kiện đơn giản Kỹ thuật áp dụng để giải (12.103) cách trước hết viết sau: g ( xn1 ) xn1 xn h(5 f n1 f n f n 1 ) 0 12 Và ứng dụng đệ quy cho (12.107): g ( xnr 1 ) xnr 11 xnr 1 g ( xnr 1 ) (12.108) (12.109) Quá trình lặp khác giá trị liền kề nhỏ Tìm giá trị bắt đầu x1n+1 xn+1 phương pháp 12.4.3 Dạng tổng quát phương pháp đa bước Dạng nghiệm đệ qui tổng quát phương trình vi phân phi tuyến NLDE biểu diễn là: Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến p p i 0 j 1 316 xn 1 xn i h b j f n j (12.110) xem tích phân p bước thuộc loại ẩn tùy thuộc vào b-1 = (hiện) hay b-1 (ẩn) Bảng 12.1 tóm tắt cơng thức tích phân khác thường dùng mơ Tìm lỗi cắt cho bảng từ lỗi cắt liên quan đến việc kết thúc khai triển chuỗi Taylor Bảng 12.1: Các hàm tích phân thường dùng mô Phương pháp Euler tiến Các hệ số p 0; a0 1; b1 0; b0 xn 1 xn hf n Euler lùi p 0; a0 1; b1 0; b0 xn 1 xn hf n 1 Hình thang p 0; a0 1; b1 12 ; b0 xn 1 xn 2h [ f n f n 1 ] Adam-Bash-2 p 0; a0 1; b1 0; b0 23 ; b1 12 xn 1 xn 2h [3 f n f n 1 ] Adam-Moulton-2 p 1; a0 1; b1 125 ; b0 128 ; b1 121 xn 1 xn 12h [5 f n 1 f n f n 1 ] Lỗi cắt xén h x( ), tn tn h 2 h x( ), tn tn h h x( ) 12 h x( ) 12 (4) h x ( ) 24 12.4.4 Tính xác tính ổn định phương pháp tích phân số Tính xác Lỗi cắt bước thời gian tỉ lệ nghịch với đạo hàm bậc cao kích thước bước h Nếu ước tính lỗi cắt cục bước, điều chỉnh tăng giảm kích thước bước h Tổng quát, phương pháp ẩn bậc cao tốt chúng tạo lỗi nhỏ hơn, nhiên phải giải phương trình phi tuyến bước Giảm kích thước bước làm giảm lỗi cắt cục đồng thời tăng tốc độ hội tụ nghiệm lặp bước Giảm bước thời gian, tăng khối lượng tính tốn Lỗi cục tích lũy thành lỗi tổng Trong ước tính lỗi cắt cục bộ, đáng tiếc, khơng có sẵn thủ tục chung để khống chế tăng lỗi tổng Vì vậy, hầu hết phương pháp dựa vào ước tính lỗi cắt cục giảm kích cỡ bước cần thiết Tính ổn định Tính ổn định đánh giá mức độ nghiệm đệ qui hội tụ đến nghiệm Tính ổn định phụ thuộc vào tốn cụ thể phương pháp tích phân, thực tế thường nghiên cứu tính ổn định phương pháp tích phân cách dùng tốn kiểm tra đơn giản như: Chương 12: Mơ hình hóa mô thiết bị phi tuyến 317 x x Trong nghiệm biết là: x(t ) e t Nếu Re( ) , nghiệm giá trị thực xu hướng tiến đến t Với trường hợp kiểm tra này, tích phân nói ổn định nghiệm đệ quy hội tụ tới n Trong dễ dàng nghiên cứu tính ổn định phương pháp tích phân trường hợp kiểm tra đơn giản, khó mà đưa kết luận chung tính ổn định phương pháp ứng dụng vào phương trình vi phân phi tuyến tùy ý Thơng thường phương pháp ẩn có thuộc tính ổn định tốt phương pháp Thật khó để bám lỗi cắt tính ổn định nghiệm NLDE, việc bám lỗi cắt đòi hỏi phải biết đạo hàm bậc cao hơn, việc phân tích tính ổn định cần phải biết nghiệm phương trình đặc trưng phiên NLDE tuyến tính hóa lân cận tn Trong q trình mơ phỏng, phương pháp khám phá dùng gồm việc so sánh nghiệm để có bước thời gian h h/2 Nếu lỗi ước tính liên quan với hai bước thời gian nằm giới hạn cụ thể, nghiệm chấp nhận Nếu khơng, phải xác định lại bước thời gian q trình mơ lặp lại Phương pháp kiểm soát lỗi cắt tính ổn định Giữa kỹ thuật tích phân sẵn có, khơng thể nói "tốt nhất" lời giải phụ thuộc vào tốn xét, tính xác, kiểu đầu ra, khối lượng tính tốn Luật hình thang, phương pháp R-K bậc 4, phương pháp Adam-Moulton (với dự đoán-hiệu chỉnh) phương pháp sử dụng phổ biến tạo dung hịa độ phức tạp tính tốn, tính xác tính ổn định (phương pháp hình thang phức tạp nhất) Vì phần tử phi tuyến biểu lộ giống PLL, nên phương pháp có kích thước bước nhỏ (bội số 8mẫu/1 Hz độ rộng băng tần) cho ta nghiệm xác ổn định 12.4.5 Nghiệm NLDE bậc cao - Trường hợp Vectơ Nếu mơ hình phương trình vi phân phi tuyến NLDE bậc m, chuyển thành m phương trình vi phân bậc đồng thời (như mô tả phần 12.4.1), dạng vecto là: X =F X,t, U Trong đó, X, U vecto kích cỡ mx1 Nghiệm lặp đa bước NLDE vectơ có dạng trường hợp vô hướng cho bởi: p p i 0 j 1 p p i 0 j 1 X n 1 X n i b j X n j X n i b j Fn j Trong ai, bj số vơ hướng cho bảng 12.1 Với phương pháp ẩn, bước phải giải tập phương trình phi tuyến đồng thời Khi này, dùng phương pháp dự đoán-hiệu chỉnh phương pháp N-R Dạng vecto phương pháp N-R cho bởi: Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến p p i 0 j 1 318 G X n 1 X n 1 X n i b j Fn j (12.111) X nr11 X nr1 J 1 X nr1 G X nr1 , r 1, 2, 3, (12.112) Trong đó, thực thể thứ (i,j) ma trận Jacobian m m , J(.) định nghĩa là: J ( X nr1 ) i, j gi X nr1 xj (12.113) Tìm giá trị bắt đầu X1n+1 Xn+1 phương pháp Tại bước thời gian tn+1, thực lặp (chỉ số lặp r) khác nghiệm lặp nhỏ Sau dó, tăng số thời gian lên tn+2, tìm giá trị khởi đầu X1n+2 Xn+2 phương pháp hiện, sau tìm nghiệm lặp cho Xn+2 Quá trình lặp lại số thời gian tiến đến thời điểm dừng mô 12.5 Mô PLL minh hoạ thiết bị phi tuyến Tại đây, ta trở lại toán PLL chương minh họa việc mô PLL sử dụng vài kỹ thuật tích phân trình bày Dùng kỹ thuật định xác định dạng toán PLL phần Phương pháp Euler tiến (phương pháp hiện) Xác định phương trình sau: tn 1 tn h (12.114) x1, n1 x1, n hx2, n (12.115) x2 , n 1 x2 , n h sin n c1 x2, n c2 x1, n c3 x2 , n (12.116) Phương pháp Euler lùi (phương pháp ẩn với dự đoán-hiệu chỉnh) Bộ dự đoán định nghĩa bởi: x11, n 1 x1, n hx2, n (12.117) x21, n 1 x2, n h[sin(n c1 x2 , n c2 x1, n ) c3 x2 , n ] (12.118) Bộ hiệu chỉnh định nghĩa bởi: x1r,n11 x1r, n hx2r, r , r 1, 2, (12.119) x2r ,n11 x2 , n h sin n 1 c1 x2r , n 1 c2 x1r, n 1 c3 x2r , n 1 , r 1, 2, (12.120) Phương pháp Euler lùi (phương pháp ẩn với phép lặp N-R) Bộ dự đoán giống với phương pháp Euler lùi [ xem (12.117) (12.118) ] Các phép lặp N-R cho Xn+1 xác định bởi: X nr11 X nr1 J 1 ( X nr1 ).G( X nr1 ) Trong : (12.121) Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến g1 ( X nr1 ) G ( X nr1 ) g2 ( X n 1 ) x1r, n 1 x1r, n hx2r, n 1 r r r r r x2 , n 1 x2, n h[sin(n c1 x2, n c2 x1, n ) c3 x2, n ] 319 (12.122) Và J 1 ( X nr1 ) ma trận 2x2 : e11 e12 J 1 ( X nr1 ) e21 e22 Với phần tử : e11 (12.123) (12.124) e12 h (12.125) e21 c2 h[cos(n 1 c1 x2r, n 1 c2 x1r, n 1 ) c3 x2r, n 1 ] (12.126) e22 h[c1 cos(n1 c1 x2r, n1 c2 x1r, n1 ) c3 ] (12.127) .. .Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến 290 Các thiết bị phi tuyến hệ thống truyền thơng thiết bị băng tần sở thiết bị thông dải Chẳng hạn: giới hạn thiết bị phi tuyến băng tần... Ln(|*|) Hình 12. 2: Mơ hình sơ đồ khối lắp ráp cho thiết bị phi tuyến 12. 1.2 Các nhân tố cần xét đến mô thiết bị phi tuyến Cần phải xét số nhân tố mô thiết bị phi tuyến Mô thiết bị phi tuyến hầu... từ thiết bị phi tuyến thông dải sử dụng (12. 23) Đối với thiết bị phi tuyến dạng giới hạn cứng [m = 0], ta có: Chương 12: Mơ hình hóa mơ thiết bị phi tuyến f ( A) 298 M (12. 36) g A (12. 37)