Đang tải... (xem toàn văn)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU TOANMATH com KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 2021 Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi 04 tháng 10 năm[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT MƠN TỐN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2020 TOANMATH.com Câu 1: (3,0 điểm) Giải phương trình sau: a) cos x 5sin x sin x cos x b) x 3 x x x x x Câu 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số y f x có đạo hàm có bảng xét dấu f x sau: x 3 1 f x Tìm điểm cực trị hàm số g x f x x b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y Câu 3: x 3x đồng biến 1; xm (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1; , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B có phương trình d : x y , d1 : x y 16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SA SB SC a Đặt SD x x a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD x a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Câu 5: (3,0 điểm) a Cho đa giác có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh H Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b Cho P x 1 x x Xác định hệ số x khai triển P x theo lũy thừa 13 Câu 6: x (3,0 điểm) Cho dãy số un xác định u1 un1 3un2 , n a) Xác định số hạng tổng quát dãy số un b) Tính tổng S u12 u22 u2020 Câu 7: (2,0 điểm) Cho hai số thực thay đổi x, y với x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xy ( x y )( x x 12 y ) HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Giải phương trình sau: a) cos x 5sin x sin x cos x b) x 3 x x x x x Lời giải a) cos x 5sin x sin x cos x 5 sin x cos x sin x cos x 1 3 5 sin x cos x sin x cos x 2 2 5sin x sin x 3 6 Đặt t x 2x 2t Phương trình trở thành 5sin t sin 2t 2 5sin t cos 2t 2sin t 5sin t sin t t k 2 x k 2 k sin t b) x 3 x x x x x Điều kiện: 1 x PT x 3 x x 3 x x x x2 x x x 3 1 x 1 1 x x x 3 x x 3 1 2 x 1 x 1 2 x x 1 x 1 Xét phương trình (2): Ta có x 1 x x x 1 Dấu xảy (vơ lí) Vậy phương trình (2) vơ nghiệm x Vậy phương trình cho có hai nghiệm x x Câu 2: a) Cho hàm số y f x có đạo hàm có bảng xét dấu f x sau: x f x 3 1 Tìm điểm cực trị hàm số g x f x x Lời giải x 1 x 1 x x x BC 2 Ta có g x x f x x x x 1 x BC x 2x x 2; x x 2x Vậy điểm cực trị hàm số g x x 2; x 1; x b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x 3x đồng biến 1; xm Lời giải ĐK: x m x 2mx 3m Ta có: y x m y 0, x 1; x 2mx 3m 0, x 1; * Hàm số đồng biến 1; m 1 m 1; f x với f x x 2mx 3m * min 1; Đồ thị hàm số f x parabol có toạ độ đỉnh I m; m 3m BBT: x m f x 1 m Dựa vào BBT, suy f x m m 1; Vậy 1 m thoả mãn yêu cầu toán Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A 1; , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B có phương trình d : x y , d1 : x y 16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Lời giải x 2 x y Ta có d d1 B nên toạ độ điểm B thoả hệ phương trình y 9 x y 16 2 Do B 2; 3 Gọi A a; b điểm đối xứng với A qua d1 A BC 1 a b Khi trung điểm AA I ; d1 AA ud1 nên ta có hệ: 18 1 a b a 9 3 16 18 17 A ; 5 5 a b b 17 8 41 2 Đường thẳng BC qua điểm B 2; nhận vectơ AB ; làm vectơ pháp tuyến nên 3 15 có phương trình: 72 x 123 y 226 Gọi M trung điểm đoạn AC 226 72t t 472 72t ; Do C BC C t; M 123 123 t 1 472 72t 513 513 278 suy C M d 2t ; 123 113 113 339 Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SA SB SC a Đặt SD x x a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD x a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Lời giải Cách 1: S x A A D B O D G B C C a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD x a Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng ABCD Ta có: SA SB SC SD a OA OB OC OD ABCD hình vng Xét tam giác vng: a BO 450 cos SBC SBC SB a b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do SA SB SC SG ABCD AC BD AC SBD AC SO Ta có: AC SG SOC BOC (do SC BC a , OC chung) SO OB OD BSD vuông S a2 x2 a x 3a x OA2 AD OD a 4 BD a x OD 3a x AC 3a x x 3a x 3a Xét AC.SD x 3a x 2 OA Dấu " " xảy x 3a x x 3a x 3a a a x 2 Cách 2: a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD x a Do SA SB SC SD a SO ABCD Gọi H trung điểm CD suy CD SOH CD OH ABCD hình vng 45 Từ SBD vng cân S , nên SB, ABCD SBD b) Tính x theo a cho tích AC SD đạt giá trị lớn Gọi I hình chiếu vng góc S mặt phẳng ABCD , SA SB SC a nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , dễ thấy I thuộc đường thẳng BO Ta có AC R sin Suy Đặt ABC BO a R sin 1 Theo cơng thức tính diện tích tam giác ABC ta có: a sin a R sin R sin 2 a 4R2 a2 2R2 Mặt khác xét tam giác vng SBI tam giác vng SID ta có: a R a R sin sin SI a R x a R sin R Thay sin a2 a 4R a2 vào rút gọn ta R 2R a2 x2 Nên AC R sin 3a x Từ AC.SD x 3a x x 3a x Xét hàm số f x x 3a x với x a x Có f x 4 x 6a x x 0; 3a nên ta nhận x a a x Lập bảng biến thiên ta max f x f Vậy x a a AC SD đạt giá trị lớn 0; 3a Câu 5: a Cho đa giác có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh H Tính xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b Cho P x 1 x x Xác định hệ số x khai triển P x theo lũy thừa 13 x Lời giải a Số phần tử không gian mẫu : C244 Đa giác có 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm nên số hình chữ nhật , kể hình vng : C122 hình Ứng với đường chéo có đường chéo để tạo thành hình vng, nên số hình vng Nên số hình chữ nhật cần tìm C122 Vậy xác suất cần tìm : C122 10 C24 1771 b P x 1 x x 1 x x C130 1 x C131 1 x 3x 13 13 13 12 1 x 13 1 x x 1 x 39 1 x x 13 12 13 12 * Tìm hệ số x khai triển 1 4x : 13 1 x 13 13 13 C13k 113 k x C13k 4k x k k k 0 k 0 Ta có k nên hệ số x : C133 43 * Tìm hệ số x khai triển 1 x x tức tìm hệ số x khai triển 12 1 4x 12 12 12 Ta có 1 x C12m 112 m x C12m m.x m 12 m k 0 k 0 Từ m nên hệ số x : C 12 Vậy hệ số x khai triển P x : C133 43 39.C121 20176 Câu 6: Cho dãy số un xác định u1 un1 3un2 , n a) Xác định số hạng tổng quát dãy số un b) Tính tổng S u12 u22 u2020 Lời giải a) Xác định số hạng tổng quát dãy số un Ta có: un 1 3un2 un21 un2 , n v Đặt un2 vn1 3vn , n Suy cấp số nhân với số hạng đầu v1 , công bội q 2.3n1 , n un 2.3n1 , n số hạng tổng quát dãy số un b) Tính tổng S u12 u22 u2020 Ta có: S u12 u22 u2020 32 32019 2020 32020 2020 32020 2021 1 Vậy S 32020 2021 Câu 7: Cho hai số thực thay đổi x, y với x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P xy ( x y )( x x 12 y ) Lời giải P Đặt xy ( x y )( x x 12 y ) y2 x2 2 = y2 y2 (1 )(1 12 ) x x (do x ) y t x Khi đó: P t2 (1 3t )(1 12t ) t (1 12t ) 1 12t 1 12t (1 3t )(12t ) 12 3t 12t Đặt m 12t m 1 m 1 Khi P 3P f ( m) m 3 m 3 f '(m) m 2m(m 1) m 2m 0 (m 3) (m 3)2 m 1 m 3P 1 0P 18 + P , dấu " " m y + P , dấu " " m x y 18 Vậy MinP y ; MaxP 2x2 y2 18 HẾT ... số un b) Tính tổng S u12 u22 u2020 Ta có: S u12 u22 u2020 32 32019 2020 32020 2020 32020 2021 1 Vậy S 32020 2021 Câu 7: Cho hai số thực... x khai triển 12 1 4x 12 12 12 Ta có 1 x C12m 112 m x C12m m.x m 12 m k 0 k 0 Từ m nên hệ số x : C 12 Vậy hệ số x khai triển P x : C133 43 39.C121 20176 ... x x 12 y ) Lời giải P Đặt xy ( x y )( x x 12 y ) y2 x2 2 = y2 y2 (1 )(1 12 ) x x (do x ) y t x Khi đó: P t2 (1 3t )(1 12t ) t (1 12t ) 1 12t 1 12t