BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR×˝NG ��I H¯C QUY NHÌN Vˆ THÀ H˙NG TR�M NH´M C�C TÜ ��NG C�U CÕA NH´M ABEL HÚU H�N LU�N V�N TH�C S� TO�N H¯C B nh �ành N«m 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TR×˝NG ��I H¯C QUY NHÌN[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM ABEL HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 e BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG e i Lời cam đoan Tơi xin cam đoan kết đề tài “Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn” cơng trình nghiên cứu hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 23 tháng 07 năm 2019 Học viên thực đề tài Võ Thị Hồng Trâm e ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức nhóm 1.2 Một số kiến thức số học NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN 2.1 Vành tự đồng cấu p-nhóm abel hữu hạn 2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn 16 NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM XICLÍC 25 3.1 Căn ngun thủy 25 3.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc 30 3.3 Tích nửa trực tiếp 36 KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 45 e MỞ ĐẦU Một vấn đề trung tâm lý thuyết nhóm nghiên cứu cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm cho trước, đặc biệt nhóm hữu hạn Vấn đề đóng vai trị cốt yếu việc nghiên cứu mở rộng nhóm có nhiều ứng dụng khác việc giải toán lý thuyết nhóm Trong trường hợp nhóm abel hữu hạn, việc xác định nhóm tự đẳng cấu chúng biết rõ, nhiên việc mô tả cách tường minh khảo sát ứng dụng cịn vấn đề đáng quan tâm Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Nội dung tìm hiểu trình bày chi tiết kết liên quan đến việc mơ tả nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn trường hợp tổng quát, mô tả tường minh nhóm số trường hợp đặc biệt Đề tài đề cập đến việc ứng dụng nhóm việc nghiên cứu tích nửa trực tiếp nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm xiclíc Luận văn "Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo e Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Chương 2: Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương trình bày số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương 3: Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Chương trình bày số vấn đề cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Từ ứng dụng vào việc mơ tả tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê q thầy giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để hồn thành tốt khóa học luận văn e Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý quý thầy để luận văn hồn thiện e Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [5] 1.1 Một số kiến thức nhóm Một nhóm (G, ·) tập hợp G 6= ∅ trang bị phép tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a0 ∈ G cho a · a0 = a0 · a = e Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu Với a ∈ G, phần tử a0 xác định (iii) nhất, gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hốn (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G e có hữu hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép toán H, (ii) H nhóm với phép tốn cảm sinh Cho G nhóm, S tập G Ta ký hiệu hSi nhóm bé G chứa S, gọi S tập sinh hSi Đặc biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc Rõ ràng G = hai G = {ak | k ∈ Z}, G nhóm xiclíc G abel Mệnh đề 1.1.1 Cho G nhóm xiclíc cấp n với a phần tử sinh Khi G = {a0 , a1 , , an−1 } Cho G1 , G2 , , Gn nhóm Ký hiệu G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ Gi với i = 1, 2, , n} Khi G1 × G2 × · · · × Gn nhóm với phép toán xác định sau: (x1 , x2 , , xn )(y1 , y2 , , yn ) = (x1 y1 , x2 y2 , , xn yn ) Nhóm G định nghĩa gọi tích trực tiếp nhóm G1 , G2 , , Gn Mệnh đề 1.1.2 Cho G1 , G2 , , Gn nhóm hữu hạn |Gi | = ni với i = 1, 2, , n Nhóm G1 × G2 × · · · × Gn xiclíc nhóm Gi , i = 1, 2, , n, xiclíc (ni , nj ) = với i 6= j e Cho G H hai nhóm Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, toàn ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, tồn cấu, đẳng cấu) Hai nhóm G H gọi đẳng cấu với nhau, ký hiệu G ∼ = H, tồn đẳng cấu nhóm từ G đến H Một đồng cấu (tương ứng đẳng cấu) từ nhóm G đến gọi tự đồng cấu (tương ứng tự đẳng cấu) G Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tự đẳng cấu G Mệnh đề 1.1.3 Mọi nhóm xiclíc cấp m với m ngun dương đẳng cấu với nhóm cộng Z/mZ Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} nhóm với phép tốn xác định sau: với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp tích trực tiếp Sau số kiện nhóm abel e ... học NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN 2.1 Vành tự đồng cấu p -nhóm abel hữu hạn 2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn 16 NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM XICLÍC 25 3.1... đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương 3: Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Chương... nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Các kết chương tham khảo từ tài