(LUẬN văn THẠC sĩ) nhóm các tự đẳng cấu của nhóm abel hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM ABEL HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ THỊ HỒNG TRÂM NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 8460104 : Người hướng dẫn: TS TRẦN ĐÌNH LƯƠNG download by : skknchat@gmail.com i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết đề tài “Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn” cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn TS Trần Đình Lương chưa cơng bố cơng trình khoa học khác thời điểm Các nội dung kết sử dụng luận văn có trích dẫn thích nguồn gốc Nếu có điều gian lận, tơi xin chịu trách nhiệm luận văn Quy Nhơn, ngày 23 tháng 07 năm 2019 Học viên thực đề tài Võ Thị Hồng Trâm download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức nhóm 1.2 Một số kiến thức số học NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN 2.1 Vành tự đồng cấu p-nhóm abel hữu hạn 2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn 16 NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM XICLÍC 25 3.1 Căn ngun thủy 25 3.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc 30 3.3 Tích nửa trực tiếp 36 KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 45 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Một vấn đề trung tâm lý thuyết nhóm nghiên cứu cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm cho trước, đặc biệt nhóm hữu hạn Vấn đề đóng vai trị cốt yếu việc nghiên cứu mở rộng nhóm có nhiều ứng dụng khác việc giải tốn lý thuyết nhóm Trong trường hợp nhóm abel hữu hạn, việc xác định nhóm tự đẳng cấu chúng biết rõ, nhiên việc mô tả cách tường minh khảo sát ứng dụng cịn vấn đề đáng quan tâm Đề tài nhằm nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Nội dung tìm hiểu trình bày chi tiết kết liên quan đến việc mô tả nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn trường hợp tổng quát, mô tả tường minh nhóm số trường hợp đặc biệt Đề tài đề cập đến việc ứng dụng nhóm việc nghiên cứu tích nửa trực tiếp nhóm hữu hạn, đặc biệt nhóm xiclíc Luận văn "Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com Nội dung luận văn gồm ba chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Chương 2: Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương trình bày số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương 3: Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Chương trình bày số vấn đề cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Từ ứng dụng vào việc mơ tả tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Trần Đình Lương, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Chúng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy cô giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn download by : skknchat@gmail.com Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý q thầy để luận văn hoàn thiện download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức nhóm, số kiến thức số học sử dụng luận văn Các kết chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [5] 1.1 Một số kiến thức nhóm Một nhóm (G, ·) tập hợp G = ∅ trang bị phép tốn hai ngơi · thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) a · (b · c) = (a · b) · c với a, b, c ∈ G, (ii) Tồn phần tử e ∈ G cho a · e = a = e · a với a ∈ G, (iii) Với a ∈ G tồn phần tử a ∈ G cho a · a = a · a = e Để đơn giản, ta ký hiệu ab thay cho a · b Phần tử e xác định (ii) nhất, gọi phần tử đơn vị nhóm G, thường ký hiệu Với a ∈ G, phần tử a xác định (iii) nhất, gọi phần tử nghịch đảo a, ký hiệu a−1 Một nhóm G gọi giao hốn (hay abel ) ab = ba với a, b ∈ G Nếu nhóm G download by : skknchat@gmail.com có hữu hạn phần tử ta gọi G nhóm hữu hạn, gọi số phần tử G cấp nhóm G, ký hiệu |G| Cho G nhóm, H tập G Ta gọi H nhóm G, ký hiệu H G, điều kiện sau thỏa mãn: (i) Phép toán G hạn chế lên H cảm sinh phép toán H, (ii) H nhóm với phép tốn cảm sinh Cho G nhóm, S tập G Ta ký hiệu S nhóm bé G chứa S, gọi S tập sinh S Đặc biệt, nhóm có tập sinh gồm phần tử gọi nhóm xiclíc Rõ ràng G = a G = {ak | k ∈ Z}, G nhóm xiclíc G abel Mệnh đề 1.1.1 Cho G nhóm xiclíc cấp n với a phần tử sinh Khi G = {a0 , a1 , , an−1 } Cho G1 , G2 , , Gn nhóm Ký hiệu G = G1 ×G2 ×· · ·×Gn = {(x1 , x2 , , xn ) | xi ∈ Gi với i = 1, 2, , n} Khi G1 × G2 × · · · × Gn nhóm với phép tốn xác định sau: (x1 , x2 , , xn )(y1 , y2 , , yn ) = (x1 y1 , x2 y2 , , xn yn ) Nhóm G định nghĩa gọi tích trực tiếp nhóm G1 , G2 , , Gn Mệnh đề 1.1.2 Cho G1 , G2 , , Gn nhóm hữu hạn |Gi | = ni với i = 1, 2, , n Nhóm G1 × G2 × · · · × Gn xiclíc nhóm Gi , i = 1, 2, , n, xiclíc (ni , nj ) = với i = j download by : skknchat@gmail.com Cho G H hai nhóm Một ánh xạ f : G → H gọi đồng cấu nhóm với a, b ∈ G f (ab) = f (a)f (b) Nếu đồng cấu f đơn ánh (tương ứng, tồn ánh, song ánh) ta gọi f đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Hai nhóm G H gọi đẳng cấu với nhau, ký hiệu G ∼ = H, tồn đẳng cấu nhóm từ G đến H Một đồng cấu (tương ứng đẳng cấu) từ nhóm G đến gọi tự đồng cấu (tương ứng tự đẳng cấu) G Ta ký hiệu Aut(G) nhóm tự đẳng cấu G Mệnh đề 1.1.3 Mọi nhóm xiclíc cấp m với m nguyên dương đẳng cấu với nhóm cộng Z/mZ Cho N H hai nhóm bất kỳ, cho θ : H → Aut(N ) đồng cấu nhóm Khi đó, tập hợp G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H} nhóm với phép tốn xác định sau: với (x1 , h1 ), (x2 , h2 ) ∈ G, (x1 , h1 )(x2 , h2 ) = (x1 θ(h1 )(x2 ), h1 h2 ) Nhóm G xác định gọi tích nửa trực tiếp N H ứng với tác động θ, ký hiệu G = N ×θ H Trong trường hợp đặc biệt θ đồng cấu tầm thường tích nửa trực tiếp tích trực tiếp Sau số kiện nhóm abel download by : skknchat@gmail.com 31 (ii) Lấy f ∈ Hom(G, H) Giả sử f (a) = bk với k ∈ Z Khi = f (an ) = (f (a))n = bnk m n m n Mà b có cấp m, m | nk Từ suy | k Vì ( , ) = cho d d d d m m nên từ suy | k, tức k = t với t ∈ Z Do f = ft d d (iii) Giả sử ft = fu với t, u ∈ Z Khi ft (ar ) = fu (ar ) với r ∈ Z m m m Điều tương đương với btr d = bur d , hay b(t−u)r d = e Từ suy m m | (t − u)r với r ∈ Z Do d | t − u, hay t ≡ u (mod d) d Ngược lại, giả sử t ≡ u (mod d) Khi tồn q ∈ Z cho t = u + qd Do với r ∈ Z m m m ft (ar ) = fu+qd (ar ) = b(u+qd)r d = bur d bqrm = bur d = fu (ar ) Cho nên ft = fu (iv) Trước tiên ta chứng minh φ ánh xạ Giả sử ft1 = ft2 với t1 , t2 ∈ Z Khi đó, theo (iii), ta t¯1 = t¯2 Từ suy φ(ft1 ) = t¯1 = t¯2 = φ(ft2 ) Tiếp theo ta chứng minh φ đồng cấu Với r, t1 , t2 ∈ Z, ta có m m m ft1 +t2 (ar ) = b(t1 +t2 )r d = bt1 r d bt2 r d = ft1 (ar )ft2 (ar ) = (ft1 ft2 )(ar ) Từ suy ft1 +t2 = ft1 ft2 Do φ(ft1 ft2 ) = φ(ft1 +t2 ) = t1 + t2 = t¯1 + t¯2 = φ(ft1 ) + φ(ft2 ) Cho nên φ đồng cấu Mà Ker(φ) = {ft ∈ Hom(G, H) | φ(ft ) = ¯0} = {f0 } Do φ đơn cấu Hơn nữa, với t¯ ∈ Zd chọn ft ∈ Hom(G, H) ta φ(ft ) = t¯ Vậy φ đẳng cấu (v) Áp dụng (iv) ta có điều phải chứng minh download by : skknchat@gmail.com 32 Mệnh đề 3.2.2 Cho G = a nhóm xiclíc cấp n Khi (i) End(G) = {ft | t ∈ Z} = {f0 , f1 , , fn−1 } ft : G → G tự đồng cấu nhóm xác định công thức ft (ar ) = atr với r ∈ Z (ii) Có đẳng cấu vành φ : End(G) → Zn φ xác định công thức φ(ft ) = t¯ với t ∈ Z (iii) Có đẳng cấu nhóm φ : Aut(G) → Z∗n xác định công thức φ(ft ) = t¯ với t ∈ Z (iv) Aut(G) = {ft | t ∈ Z (t, n) = 1} = {ft | t ∈ Z, ≤ t ≤ n (t, n) = 1} Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 với m = n, ta có (i) (ii) Từ suy (iii) (iv) Tiếp theo ta nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc hữu hạn Mệnh đề 3.2.3 Có đẳng cấu nhóm sau (i) Aut(Z2 ) ∼ = Z∗2 = {¯1}, Aut(Z4 ) ∼ = Z∗4 = −¯1 (ii) Với α ≥ ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z2 × Z2α−2 Chứng minh (i) Điều hiển nhiên download by : skknchat@gmail.com 33 (ii) Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii) ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z∗2α Xét quy tắc ϕ : Z2 × Z2α−2 → Z∗2α xác định công thức ϕ([a]2 , [b]2α−2 ) = [(−1)a 5b ]2α Ta chứng minh ϕ đẳng cấu nhóm Trước tiên ta chứng minh ϕ ánh xạ Thật vậy, giả sử ([a]2 , [b]2α−2 ) = ([a ]2 , [b ]2α−2 ) với [a]2 , [a ]2 ∈ Z2 , [b]2α−2 , [b ]2α−2 ∈ Z2α−2 Khi a = a (mod 2), b = b (mod 2α−2 ) Vì cấp theo mơđun 2α 2α−2 , từ suy ϕ([a]2 , [b]2α−2 ) = [(−1)a 5b ]2α = [(−1)a 5b ]2α = ϕ([a ]2 , [b ]2α−2 ) Do ϕ ánh xạ Tiếp theo ta chứng minh ϕ đồng cấu nhóm Thật vậy, với [a]2 , [a ]2 ∈ Z2 , [b]2α−2 , [b ]2α−2 ∈ Z2α−2 , ta có ϕ[([a]2 , [b]2α−2 ) + ([a ]2 , [b ]2α−2 )] = ϕ([a]2 + [a ]2 , [b]2α−2 + [b ]2α−2 ) = ϕ([a + a ]2 , [b + b ]2α−2 ) = (−1)a+a 5b+b = (−1)a 5b (−1)a 5b = ϕ([a]2 , [b]2α−2 )ϕ([a ]2 , [b ]2α−2 ) Theo Mệnh đề 3.1.6, số (−1)a 5b với ≤ a ≤ ≤ b < 2α−2 lập thành hệ thặng dư thu gọn theo môđun 2α ϕ tồn cấu Vì |Z2 × Z2α−2 | = 2α−1 = |Z∗2α | từ suy ϕ đẳng cấu Vậy ta có điều phải chứng minh download by : skknchat@gmail.com 34 Mệnh đề 3.2.4 Cho p số nguyên tố Khi (i) Nếu p > Aut(Zpα ) nhóm xiclíc có cấp pα−1 (p − 1) với α ≥ (ii) Aut(Z2α ) nhóm xiclíc α = α = Chứng minh (i) Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii) ta có Aut(Zpα ) ∼ = Z∗pα Theo Mệnh đề 3.1.5 tồn ngun thủy theo mơđun pα Do Z∗pα nhóm xiclíc (ii) Theo Mệnh đề 3.2.3 (i) Aut(Z2α ) nhóm xiclíc với α = 1, Giả sử α ≥ Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.3 (ii), ta có Aut(Z2α ) ∼ = Z2 × Z2α−2 Vì α ≥ (2, 2α−2 ) = Do đó, theo Mệnh đề 1.1.2, Z2 × Z2α−2 khơng nhóm xiclíc, Aut(Z2α ) khơng nhóm xiclíc Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 3.2.5 Cho m ≥ số nguyên, giả sử m = pα1 pα2 · · · pαk k p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt, αi ≥ với i = 1, 2, , k Khi Aut(Zm ) ∼ = Z∗pα1 × Z∗pα2 × · · · × Z∗pαk k Chứng minh Vì p1 , p2 , , pk số nguyên tố phân biệt cho nên, áp dụng Mệnh đề 2.2.8, ta Aut(Zm ) ∼ = Aut(Zpα1 ) × Aut(Zpα2 ) × · · · × Aut(Zpαk k ) Theo Mệnh đề 3.2.2 (iii), ta có Aut(Zpαi i ) ∼ = Z∗pαi với i = 1, 2, , k i Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần đủ để nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc cấp hữu hạn xiclíc download by : skknchat@gmail.com 35 Mệnh đề 3.2.6 Cho m ≥ số nguyên Khi Aut(Zm ) nhóm xiclíc m = 2, 4, pα , 2pα với p số nguyên tố lẻ α ≥ Chứng minh Theo Mệnh đề 3.2.4 (ii), nhóm Aut(Z2 ) Aut(Z4 ) xiclíc Theo Mệnh đề 3.2.4 (i) nhóm Aut(Zpα ) xiclíc với p > α ≥ Ta xét trường hợp m = 2pα với p > α ≥ Theo Mệnh đề 2.2.8, ta có Aut(Z2pα ) ∼ = Aut(Z2 ) × Aut(Zpα ) = Aut(Zpα ) Theo Mệnh đề 3.2.4 (i) nhóm Aut(Zpα ) xiclíc, từ suy nhóm Aut(Z2pα ) xiclíc Đảo lại, giả sử Aut(Zm ) nhóm xiclíc Trước tiên ta có nhận xét với p số nguyên tố lẻ α ≥ |Aut(Zpα )| = |Z∗pα | = pα−1 (p − 1) số chẵn Cho nên m có ước nguyên tố lẻ thì, theo Mệnh đề 1.1.2, nhóm Aut(Zm ) khơng xiclíc Do Aut(Zm ) nhóm xiclíc m có dạng 2α , pα 2β pα p số nguyên tố lẻ, α, β số nguyên dương Nếu m = 2α thì, theo Mệnh đề 3.2.4 (ii), nhóm Aut(Zm ) xiclíc α = α = Nếu m = pα thì, theo Mệnh đề 3.2.4 (i), nhóm Aut(Zm ) xiclíc Ta cịn xét trường hợp m = 2β pα Nếu β ≥ |Z∗2β | = 2β−1 số chẵn, |Z∗pα | = pα−1 (p − 1) số chẵn Cho nên, theo Mệnh đề 1.1.2, nhóm Aut(Zm ) khơng xiclíc Vậy ta có điều phải chứng minh download by : skknchat@gmail.com 36 3.3 Tích nửa trực tiếp Trong mục ta áp dụng kết phần trước để xác định tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc Trước tiên kết chuẩn bị Mệnh đề 3.3.1 Cho G = a nhóm xiclíc cấp n, p số nguyên tố Ký hiệu d = (n, p − 1) Giả sử Aut(Zp ) = fu với ≤ u ≤ p − 1, fu ∈ Aut(Zp ) cho quy tắc ¯ = uk với k¯ ∈ Zp fu (k) Với t ∈ Z, ký hiệu θt : G → Aut(Zp ) đồng cấu nhóm cho quy tắc tr p−1 d θt (ar ) = fu với r ∈ Z Khi Hom(G, Aut(Zp )) = {θo , θ1 , , θd−1 } Chứng minh Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 cho H = Aut(Zp ) ta có điều phải chứng minh Sau số ví dụ trường hợp p = 2, 3, 5, Ví dụ 3.3.2 Cho G = a nhóm xiclíc cấp n (i) p = Hom(G, Aut(Z2 )) = {θo } θ0 : G → Aut(Z2 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f1 với r ∈ Z download by : skknchat@gmail.com 37 (ii) p = Hom(G, Aut(Z3 )) =     {θ0 } n lẻ,    {θ0 , θ1 } n chẵn θ0 : G → Aut(Z3 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z, θ1 : G → Aut(Z3 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ1 (ar ) = f2r với r ∈ Z (iii) p = Trường hợp 1: n lẻ Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 } θ0 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z Trường hợp 2: n chẵn n Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 , θ1 } θ0 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f2 với r ∈ Z, θ1 : G → Aut(Z5 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ1 (ar ) = f22r với r ∈ Z download by : skknchat@gmail.com 38 Trường hợp 3: n chẵn | n Hom(G, Aut(Z5 )) = {θ0 , θ1 , θ2 , θ3 } θt : G → Aut(Z5 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc θt (ar ) = f2tr với r ∈ Z (iv) p = Trường hợp 1: n lẻ n Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 } θ0 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f3 với r ∈ Z Trường hợp 2: n chẵn n Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 } θ0 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ0 (ar ) = f3 với r ∈ Z, θ1 : G → Aut(Z7 ) đồng cấu nhóm cho quy tắc θ1 (ar ) = f33r với r ∈ Z Trường hợp 3: | n n Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 , θ2 } θt : G → Aut(Z7 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc θt (ar ) = f32tr với r ∈ Z download by : skknchat@gmail.com 39 Trường hợp 4: | n Hom(G, Aut(Z7 )) = {θ0 , θ1 , θ2 , θ3 , θ4 , θ5 } θt : G → Aut(Z7 ) với ≤ t ≤ cho quy tắc θt (ar ) = f3tr với r ∈ Z Mệnh đề sau cho ta cách xác định tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc Mệnh đề 3.3.3 Cho G = a nhóm xiclíc cấp n, p số nguyên tố Ký hiệu d = (n, p − 1) Khi tích nửa trực tiếp Zp G ứng với tác động θt Zp ×θt G với ≤ t ≤ d − 1, ¯ ar ) | k¯ ∈ Zp r ∈ Z} Zp ×θt G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Zp , r1 , r2 ∈ Z p (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + utr1 d k2 , ar1 +r2 ) Chứng minh Giả sử Aut(Zp ) = fu với ≤ u ≤ p − 1, fu ∈ Aut(Zp ) cho quy tắc ¯ = uk với k¯ ∈ Zp fu (k) Theo Mệnh đề 3.3.1, ta có tất đồng cấu nhóm từ G đến Aut(Zp ) θt với ≤ t ≤ d − cho quy tắc tr p−1 d θt (ar ) = fu với r ∈ Z download by : skknchat@gmail.com 40 Khi Zp ×θt G với ≤ t ≤ d − tích nửa trực tiếp với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Zp , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k¯1 + θt (ar1 )(k¯2 ), ar1 +r2 ) tr = (k¯1 + fu p−1 d = (k1 + utr1 p−1 d (k¯2 ), ar1 +r2 ) k2 , ar1 +r2 ) Vậy ta có điều phải chứng minh Kết hợp Mệnh đề 3.3.3 với kết tính tốn Ví dụ 3.3.2 ta kết tính tốn sau xác định tích nửa trực tiếp số trường hợp đặc biệt Ví dụ 3.3.4 Cho G = a nhóm xiclíc cấp n (i) Tích nửa trực tiếp Z2 G tích trực tiếp Z2 × G (ii) p = Trường hợp 1: n lẻ Khi tích nửa trực tiếp Z3 G tích trực tiếp Z3 × G Trường hợp 2: n chẵn Khi tích nửa trực tiếp Z3 G Z3 ×θt G với ≤ t ≤ Z3 ×θ0 G tích trực tiếp Z3 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z3 r ∈ Z} Z3 ×θ1 G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z3 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 2r2 k2 , ar1 +r2 ) download by : skknchat@gmail.com 41 (iii) p = Trường hợp 1: n lẻ Khi tích nửa trực tiếp Z5 G tích trực tiếp Z5 × G Trường hợp 2: n chẵn n Khi tích nửa trực tiếp Z5 G Z5 ×θt G với ≤ t ≤ Z5 ×θ0 G tích trực tiếp Z5 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z5 r ∈ Z} Z5 ×θ1 G = {(k, với phép tốn nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z5 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 22r2 k2 , ar1 +r2 ) Trường hợp 3: n chẵn | n Khi tích nửa trực tiếp Z5 G Z5 ×θt G với ≤ t ≤ Z5 ×θ0 G tích trực tiếp Z5 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z5 r ∈ Z}, ≤ t ≤ Z5 ×θt G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z5 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 2tr2 k2 , ar1 +r2 ) (iv) p = Trường hợp 1: n lẻ n Khi tích nửa trực tiếp Z7 G tích trực tiếp Z7 × G download by : skknchat@gmail.com 42 Trường hợp 2: n chẵn n Khi tích nửa trực tiếp Z7 G Z7 ×θt G với ≤ t ≤ 1, Z7 ×θ0 G tích trực tiếp Z7 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z7 r ∈ Z} Z7 ×θ1 G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z7 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 33r2 k2 , ar1 +r2 ) Trường hợp 3: | n n Khi tích nửa trực tiếp Z7 G Z7 ×θt G với ≤ t ≤ Z7 ×θ0 G tích trực tiếp Z7 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z7 r ∈ Z}, ≤ t ≤ Z7 ×θt G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z7 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 32tr2 k2 , ar1 +r2 ) Trường hợp 4: | n Khi tích nửa trực tiếp Z7 G Z7 ×θt G với ≤ t ≤ Z7 ×θ0 G tích trực tiếp Z7 × G, ¯ ar ) | k¯ ∈ Z7 r ∈ Z}, ≤ t ≤ Z7 ×θt G = {(k, với phép toán nhân xác định sau: với k¯1 , k¯2 ∈ Z7 , r1 , r2 ∈ Z (k¯1 , ar1 )(k¯2 , ar2 ) = (k1 + 3tr2 k2 , ar1 +r2 ) download by : skknchat@gmail.com 43 KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau Trình bày chi tiết kết liên quan đến việc mô tả vành tự đồng cấu End(G), nhóm tự đẳng cấu Aut(G) nhóm abel hữu hạn G trường hợp tổng quát, cơng thức tính cấp Aut(G) (Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.7) Trình bày chi tiết kết liên quan đến cấu trúc nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc hữu hạn cách sử dụng kiến thức số học (Mệnh đề 3.2.3, Mệnh đề 3.2.4, Mệnh đề 3.2.5, Mệnh đề 3.2.6) Tính tốn mơ tả tường minh tích nửa trực tiếp nhóm xiclíc cấp ngun tố nhóm xiclíc hữu hạn số trường hợp đặc biệt (Mệnh đề 3.3.3, Ví dụ 3.3.4) download by : skknchat@gmail.com 44 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2001), Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Dummit, David S., and Richard M Foote (2004), Abstract Algebra 3rd ed John Wiley & Sons [4] C J Hillar and D L Rhea (2006), Automorphisms of finite abelian groups, Archive [5] Humphrey, J F (2001), A course in group theory (2nd ed), Oxford University Press [6] J M Pan (2004), The order of the Automorphism group of finite abelian group, J Yunnan Univ Nat Sci 26, 370–372 download by : skknchat@gmail.com 45 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN download by : skknchat@gmail.com ... học NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHÓM ABEL HỮU HẠN 2.1 Vành tự đồng cấu p -nhóm abel hữu hạn 2.2 Nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn 16 NHÓM CÁC TỰ ĐẲNG CẤU CỦA NHĨM XICLÍC 25 3.1... đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Chương 3: Nhóm tự đẳng cấu nhóm xiclíc Chương... nghiên cứu số vấn đề liên quan đến nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn: biểu diễn tự đẳng cấu dạng ma trận, sử dụng kết để tính cấp nhóm tự đẳng cấu nhóm abel hữu hạn Các kết chương tham khảo từ tài