Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm xiclíc
3.3 Tích nửa trực tiếp
Trong mục này ta sẽ áp dụng các kết quả trong các phần trước để xác định tích nửa trực tiếp của một nhóm xiclíc cấp nguyên tố bởi một nhóm xiclíc bất kỳ. Trước tiên là một kết quả chuẩn bị.
Mệnh đề 3.3.1. Cho G= hai là một nhóm xiclíc cấp n, và p là một số nguyên tố. Ký hiệu d = (n, p−1). Giả sử Aut(Zp) = hfui với 1 ≤ u ≤
p−1, trong đó fu ∈ Aut(Zp) được cho bởi quy tắc fu(¯k) = uk với mọi k¯ ∈ Zp.
Với mọi t ∈ Z, ký hiệu θt : G→ Aut(Zp) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θt(ar) =ftr p−1 d u với mọi r ∈ Z. Khi đó Hom(G,Aut(Zp)) = {θo, θ1, . . . , θd−1}.
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 3.2.1 cho H = Aut(Zp) ta có ngay điều phải chứng minh.
Sau đây là một số ví dụ trong các trường hợp p = 2,3,5,7. Ví dụ 3.3.2. Cho G = hai là một nhóm xiclíc cấp n.
(i) p = 2.
Hom(G,Aut(Z2)) = {θo}
trong đó θ0 : G →Aut(Z2) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f1 với mọi r ∈ Z.
(ii) p= 3. Hom(G,Aut(Z3)) = {θ0} nếu n lẻ, {θ0, θ1} nếu n chẵn
trong đó θ0 : G →Aut(Z3) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f2 với mọi r ∈ Z,
θ1 : G→ Aut(Z3) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ1(ar) = f2r với mọi r ∈ Z.
(iii) p= 5.
Trường hợp 1: n lẻ.
Hom(G,Aut(Z5)) = {θ0}
trong đó θ0 : G →Aut(Z5) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f2 với mọi r ∈ Z.
Trường hợp 2: n chẵn và 4 -n.
Hom(G,Aut(Z5)) ={θ0, θ1}
trong đó θ0 : G →Aut(Z5) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f2 với mọi r ∈ Z,
θ1 : G→ Aut(Z5) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ1(ar) =f22r với mọi r ∈ Z.
Trường hợp 3: n chẵn và 4 | n.
Hom(G,Aut(Z5)) = {θ0, θ1, θ2, θ3}
trong đó θt : G →Aut(Z5) với 0 ≤ t≤ 3 được cho bởi quy tắc θt(ar) =f2tr với mọi r ∈ Z.
(iv) p = 7.
Trường hợp 1: n lẻ và 3- n.
Hom(G,Aut(Z7)) = {θ0}
trong đó θ0 : G →Aut(Z7) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f3 với mọi r ∈ Z.
Trường hợp 2: n chẵn và 6 -n.
Hom(G,Aut(Z7)) ={θ0, θ1}
trong đó θ0 : G →Aut(Z7) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ0(ar) = f3 với mọi r ∈ Z,
θ1 : G→ Aut(Z7) là đồng cấu nhóm được cho bởi quy tắc θ1(ar) =f33r với mọi r ∈ Z.
Trường hợp 3: 3 | n và 6- n.
Hom(G,Aut(Z7)) = {θ0, θ1, θ2}
trong đó θt : G →Aut(Z7) với 0 ≤ t≤ 2 được cho bởi quy tắc θt(ar) =f32tr với mọi r ∈ Z.
Trường hợp 4: 6 | n.
Hom(G,Aut(Z7)) ={θ0, θ1, θ2, θ3, θ4, θ5}
trong đó θt : G →Aut(Z7) với 0 ≤ t≤ 5 được cho bởi quy tắc θt(ar) =f3tr với mọi r ∈ Z.
Mệnh đề sau cho ta cách xác định tích nửa trực tiếp của một nhóm xiclíc cấp nguyên tố bởi một nhóm xiclíc bất kỳ.
Mệnh đề 3.3.3. Cho G= hai là một nhóm xiclíc cấp n, và p là một số nguyên tố. Ký hiệu d = (n, p−1). Khi đó các tích nửa trực tiếp của Zp bởi G ứng với tác động θt là Zp×θtG với 0≤ t ≤d−1, trong đó
Zp×θtG = {(¯k, ar)|k¯ ∈ Zp và r ∈ Z}
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọi k¯1,¯k2 ∈ Zp, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (k1 +utr1pdk2, ar1+r2).
Chứng minh. Giả sử Aut(Zp) = hfui với 1 ≤ u ≤ p−1, trong đó fu ∈
Aut(Zp) được cho bởi quy tắc
fu(¯k) = uk với mọi k¯ ∈ Zp.
Theo Mệnh đề 3.3.1, ta có tất cả các đồng cấu nhóm từ G đến Aut(Zp)
là θt với 0 ≤t ≤ d−1 được cho bởi quy tắc θt(ar) = ftr
p−1
d
Khi đó Zp×θtG với 0 ≤t ≤ d−1 là các tích nửa trực tiếp với phép toán nhân được xác định như sau: với mọi ¯k1,k¯2 ∈ Zp, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (¯k1 +θt(ar1)(¯k2), ar1+r2) = (¯k1 +ftr1 p−1 d u (¯k2), ar1+r2 ) = (k1 +utr1p−1 d k2, ar1+r2 ). Vậy ta có điều phải chứng minh.
Kết hợp Mệnh đề 3.3.3 với các kết quả tính toán trong Ví dụ 3.3.2 ta được các kết quả tính toán sau xác định tích nửa trực tiếp trong một số trường hợp đặc biệt.
Ví dụ 3.3.4. Cho G = hai là một nhóm xiclíc cấp n.
(i) Tích nửa trực tiếp của Z2 bởi G chính là tích trực tiếp Z2 ×G. (ii) p= 3.
Trường hợp 1: n lẻ. Khi đó tích nửa trực tiếp của Z3 bởi G chính là tích trực tiếp Z3 ×G.
Trường hợp 2: n chẵn. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z3 bởi G là
Z3 ×θt G với 0≤ t ≤1
trong đó Z3 ×θ0 G là tích trực tiếp Z3 ×G, và
Z3 ×θ1 G= {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z3 và r ∈ Z}
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z3, r1, r2 ∈ Z
(iii) p= 5.
Trường hợp 1: n lẻ. Khi đó tích nửa trực tiếp của Z5 bởi G chính là tích trực tiếp Z5 ×G.
Trường hợp 2: n chẵn và 4- n. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z5 bởi G là
Z5 ×θt G với 0≤ t ≤1
trong đó Z5 ×θ0 G là tích trực tiếp Z5 ×G, và
Z5 ×θ1 G= {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z5 và r ∈ Z}
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z5, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (k1 + 22r2k2, ar1+r2).
Trường hợp 3: n chẵn và 4| n. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z5 bởi G là
Z5 ×θt G với 0≤ t ≤3
trong đó Z5 ×θ0 G là tích trực tiếp Z5 ×G, và
Z5 ×θt G = {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z5 và r ∈ Z},1 ≤t ≤ 3
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z5, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (k1 + 2tr2k2, ar1+r2). (iv) p = 7.
Trường hợp 1: n lẻ và3 - n. Khi đó tích nửa trực tiếp của Z7 bởi Gchính là tích trực tiếp Z7 ×G.
Trường hợp 2: n chẵn và 6- n. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z7 bởi G là
Z7 ×θtG với 0≤ t ≤1, trong đó Z7 ×θ0 G là tích trực tiếp Z7 ×G, và
Z7 ×θ1 G= {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z7 và r ∈ Z}
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z7, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (k1 + 33r2k2, ar1+r2).
Trường hợp 3: 3| n và 6- n. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z7 bởi G là
Z7 ×θt G với 0≤ t ≤2
trong đó Z7 ×θ0 G là tích trực tiếp Z7 ×G, và
Z7 ×θt G = {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z7 và r ∈ Z},1 ≤t ≤ 2
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z7, r1, r2 ∈ Z
(¯k1, ar1)(¯k2, ar2) = (k1 + 32tr2k2, ar1+r2).
Trường hợp 4: 6 | n. Khi đó các tích nửa trực tiếp của Z7 bởi G là
Z7 ×θt G với 0≤ t ≤5
trong đó Z7 ×θ0 G là tích trực tiếp Z7 ×G, và
Z7 ×θt G = {(¯k, ar)|k¯ ∈ Z7 và r ∈ Z},1 ≤t ≤ 5
với phép toán nhân được xác định như sau: với mọik¯1,¯k2 ∈ Z7, r1, r2 ∈ Z
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã thực hiện được các công việc sau đây.
1. Trình bày chi tiết các kết quả liên quan đến việc mô tả vành các tự đồng cấu End(G), nhóm các tự đẳng cấu Aut(G) của một nhóm abel hữu hạn G trong trường hợp tổng quát, và công thức tính cấp của Aut(G) (Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.7).
2. Trình bày chi tiết các kết quả liên quan đến cấu trúc của nhóm các tự đẳng cấu của một nhóm xiclíc hữu hạn bằng cách sử dụng các kiến thức số học (Mệnh đề 3.2.3, Mệnh đề 3.2.4, Mệnh đề 3.2.5, Mệnh đề 3.2.6).
3. Tính toán và mô tả tường minh tích nửa trực tiếp của một nhóm xiclíc cấp nguyên tố bởi một nhóm xiclíc hữu hạn trong một số trường hợp đặc biệt (Mệnh đề 3.3.3, Ví dụ 3.3.4).