Luận văn thạc sĩ nhóm con nội soi và biểu diễn tự đẳng cấu của SL 2 r

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Tơ Văn Giáp NHĨM CON N®I SOI VÀ BIEU DIEN TU ĐANG CAU CUA SL(2,R) LU¼N VĂN THAC SĨ Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.0102 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS.TSKH ĐŐ NGOC DIfiP HÀ N®I- 2013 Mnc lnc Ma đau Lài cam ơn Kien thÉc chuan b% 1.1 Cau trúc cna SL(2, R) 1.2 Tích phân quy đao 1.3 Liên hop őn đ%nh 1.4 Nhóm Weil nhóm Langlands, L-nhóm 5 7 Nhóm n®i soi bieu dien cua SL(2, R) 2.1 Nhóm n®i soi cna SL(2, R) 2.2 Bieu dien cna SL(2, R) 2.2.1 Bieu dien cna GL(2, R) 2.2.2 Bieu dien cna SL(2, R) 2.3 Tham so Langlands cho SL(2, R) 2.3.1 Tham so Langlands cho GL(2, R) 2.3.2 Tham so Langlands cho SL(2, R) 9 10 12 12 13 13 14 The hi¾n hình HQC 15 3.1 Công thúc vet Arthur-Selberg 15 3.2 Phép chuyen cho tích phân quy đao 17 3.3 Phép chuyen cho vet 21 Ket lu¾n 24 Tài li¾u tham khao 25 Ma đau Công thúc vet Arthur-Selberg sn tőng qt hóa cna cơng thúc vet Selberg tù nhóm SL2 tói nhóm thu GQN bat kì trưịng tőng qt, đưoc phát trien boi James Arthur m®t chuoi báo tù 1974 đen 2003 Cơng thúc vet Arthur-Selberg mơ ta đ¾c trưng cna bieu dien cna nhóm G(A) phan rịi rac L2 (G(F ) \ G(A)) cna L2 (G(F ) \ G(A)) ngơn ngu cna du li¾u hình HQ c, G nhóm đai so thu GQn xác đ%nh trưòng tőng quát F A vành adeles cna F Có vài phiên ban cơng thúc vet khác nhau, phiên ban đau tiên công thúc vet "thụ" vúi cỏc ieu kiắn phu thuđc vo nhung tốn tu cat cut có nhưoc điem khơng bat bien Sau Arthur tìm chúng minh công thúc vet bat bien công thúc vet őn đ%nh đem lai nhieu úng dung Σ Σ T race R(f ) = m(π) T race π(f ) = π a(γ)Oγ (f ) γ Công thúc vet őn đ%nh cơng thúc vet cna nhóm G ngôn ngu phân bo őn đ%nh Tuy nhiên nhung phân bo őn đ%nh lai khơng phân bo nhóm G mà chúng phân bo m®t HQ nhóm tna che đưoc GQI nhóm n®i soi cna G Tích phân quy đao khơng őn đ%nh nhóm G tương úng vói tích phân őn đ%nh nhúm nđi soi H cna nú Viắc tớnh toỏn cơng thúc vet cna bieu dien quy trnc tiep SL(2, R) phúc tap cong kenh v¾y muc đích cna lu¾n văn trình bày tốn thu cơng thúc vet cna bieu dien quy cna SL(2, R) xuong nhóm n®i soi cna nú Luắn trung lm rừ mđt so van đe sau: Trình bày vi¾c thu cơng thúc vet cna bieu dien quy cna SL(2, R) xuong nhóm nđi soi H cna nú Luắn bao gom chng: ã Chng trỡnh by túm tat mđt so kien thúc chuan b% • Chương trình bày ve nhóm n®i soi bieu dien quy cna SL(2, R), tham so Langlands cho SL(2, R) • Chương trình bày làm sáng to vi¾c thu cơng thúc vet cna bieu dien quy tích phân quy đao nhóm n®i soi cna SL(2, R) Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien phan bi¾n cna q thay ban đQc Xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2013 HQC viên Tô Văn Giáp Lài cam ơn Hồn thành đưoc lu¾n văn này, ngồi sn no lnc cna ban thân, tơi nh¾n đưoc sn chi bao, giúp đõ tù nhieu phía cna thay, giáo, gia đình ban bè Tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói ngưịi thay kính men GS.TSKH Đo NGQc Di¾p, ngưịi trnc tiep truyen thu kien thúc, quyet đ%nh hưóng nghiên cúu t¾n tình hưóng dan cho tơi hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin chân thành cam ơn thay, cô giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc Quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi trnc tiep giang day giúp đõ tơi q trình HQc t¾p tai trưịng tồn the ban bè ngưịi thân đóng góp ý kien, giúp đõ, đ®ng viên tơi q trình HQc t¾p, nghiên cúu hồn thành lu¾n văn Do thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu, kien thúc cịn han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót Kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban bè đong nghi¾p đe ban lu¾n văn đưoc hồn chinh Xin chân thành cam ơn Hà N®i, ngày 20 tháng 11 năm 2013 HQC viên Tô Văn Giáp Chương Kien thÉc chuan b% Trong chương này, trỡnh by mđt so khỏi niắm c ban liờn quan đen nhóm SL(2, R), tích phân quy đao, liên hop őn đ%nh, nhóm Weil, nhóm Langlands, L-nhóm 1.1 Cau trúc cua SL(2, R) Kí hi¾u G = SL(2, R) l nhúm cỏc ma trắn cap ì trờn trưịng so thnc R vói đ%nh thúc bang G = SL(2, R) = a b Σ| c a, b, c, d ∈ R; ad − bc = 1Σ Đai so Lie cna G gom ma tr¾n thnc cap 2ì2 cú vet bang 0, kớ hiắu g0 = sl(2, R), vói so gom ma tr¾n: 0 H= Σ; X = −1 Σ;Y = 00 Σ 10 Tác đng phõn tuyen tớnh Kớ hiắu H l nua trờn cna m¾t phang phúc, túc H = {z = x + iy | x, y ∈ R y > 0} .Tác đ®nΣg phân tuyen tính cna G H đưoc xác đ%nh sau: moi g a b Vói Σ ∈ G, z ∈ H, ta = az + b c có d z = cz + d a gz = b De thay c d Im(gz) = Do neu z ∈ H gz ∈ H Im(z) c |cz + d|2 GQI K nhóm ma tr¾n g = ai+ a b Σ ∈ G thoa mãn gi = i hay b ci+d = i Khi a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1, ad − bc = − sin θ cosθ Nói cách khác K nhóm ma tr¾n r(θ) = cosθ sin θ Σ θ ∈ [0, 2π) Phân loai phan tE cua G Giá tr% riêng λ cna phan tu g ∈ SL(2, R) thoa mãn phương trình đ¾c trưng λ2 − tr(g)λ + = λ = tr(g)± √ tr(g)2 * Neu |tr(g)| < g đưoc GQI elliptic * Neu |tr(g)| = g đưoc GQI parabolic * Neu |tr(g)| > g đưoc GQI hyperbolic Phân tích Iwasawa phân tích Cartan cua G Phân tích Iwasawa cna G G = KAN , Σ | K = uθ = exp θ(X − Y ) = θ A = at = exp tH = N = ns = exp tX = cosθ θ ∈ [0, 2π)Σ , sin − sin θ et Σ | e−t t ∈ RΣ , s Σ | s ∈ RΣ 01 a Do ta có K ∼= S1, A ∼= R N ∼= R Vói g = b c Σ ∈ G, phân tích Iwasawa cna g = uθatns, e iθ a ic −t = √ =√ , e a2 + c2 a2 + c2 ab + cd ,s=√ a2 + c2 Tương tn, ta có cơng thúc phân tích phan tu cna G theo tích AN K đưoc GQI phân tích Iwasawa Ngồi ra, ta có phân tích Cartan cna G G = KAK Nhóm dÈng (tâm hóa) Cho γ ∈ G, nhóm dùng cna phan tu γ G, kí hi¾u Gγ, Gγ = g ∈ G| g−1γg = γ Σ Phan tu γ ∈ G phan tu nua đơn quy manh neu nhóm dùng Gγ cna m®t xuyen cnc đai túc Gγ = T = SO(2, R) ta có nhóm thương Gγ\G = {Gγx | x ∈ G} Đ® đo G M®t đ® đo µ Gγ \G đưoc GQI G-bat bien phai neu à(Ax) = à(A) vúi MQI Borel A Gγ \G MQI x ∈ G Đ® đo G-bat bien trái đưoc đ%nh nghĩa tương tn M®t đ® đo µ G GQI đ® đo Haar neu bat bien dưói tác đ®ng cna G Đoi vói phân tích Iwasawa G = ANK , phan tu x ∈ G ta có phân tích x = ank (vói a ∈ A, n ∈ N, k ∈ K), kí hi¾u da, dn, dk tương úng đ® đo Haar A, N, K Khi đ® đo G, kí hi¾u dx, ta có dx = da dn dk Vói hàm f xác đ%nh kha tích G, ta có ∫ ∫ ∫ ∫ f (x)dx = dk da f (ank)dn G K N A Đoi vói phân tích Cartan G = KAK , vói MQI x ∈ G ta có phân tích x = k1 ak2 , ∫ ∫ ∫ f (x)dx = dk1dk2 G K×K |t2 − t−2 |f (k1 at k2 )da, A k1, k2 ∈ K a ∈ A, (xem [L],[C]) 1.2 Tích phân quy đao Cho G = SL(2, R), γ ∈ G phan tu nua đơn quy manh cna G, Gγ = T nhóm dùng cna γ , hàm f ∈ Cc∞ (G) Tích phân quy đao cna hàm f quy đao cna γ đưoc cho boi Oγ (f ) = ∫ Gγ\G dx˙ 1.3 f (x−1 γx)dx˙ , đ® đo G-bat bien phai thương Gγ\G Liên hap on đ%nh Cho G = SL(2, R), γ, γ J ∈ G đưoc GQI liên hop neu ton tai x ∈ G cho J γ = xγx−1 Đoi vói phan tu quy nua đơ.n manh, Σta nói rang γ, γ J ∈ G liΣên hop a cho đ%nh neu ton tai x ∈ SL(2, C) = | a, b, c, d ∈ C ; ad − őn bc = γ J = xγx−1 Cho f ∈ Cc∞ (G), γ ∈ G phan tu quy manh, tích phân quy đao őn đinh cna hàm f đoi vói phan tu γ đưoc cho boi SOγ (f ) = Σ γ J ∈S(γ) Oγ (f ) J Trong S(γ) t¾p hop phan tu đai di¾n cna lóp liên hop lóp liên hop őn đ%nh cna γ 1.4 Nhóm Weil nhóm Langlands, L-nhóm * Ta kí hi¾u WR nhóm Weil cna R xác đ%nh sau: - Nhóm Weil cna C WC = C× - Nhóm Weil cna R nhóm ma tr¾n SU (2) đưoc sinh boi z 0 −1 × Σ , z ∈ C Σ wσ = z ¯ Σ Kí hi¾u Gal(C/R) nhóm Galois cna mo r®ng C/R gom hai phan tu: m®t phan tu tn đong cau đong nhat, phan tu lai tn đong cau liên hop phúc Phan tu wσ tác đ®ng liên hop phan tu khơng tam thưịng nhóm Gal(C/R) C× Ánh xa WR → Gal(C/R) đưoc xác đ%nh boi σ ›→ wσ, ý rang w2 = −1 mo r®ng cna WC = Cì boi Gal(C/R) l mo rđng khụng tam σ thưịng * Nhóm Langlands, kí hi¾u LF , LF = WR, neu trưòng so F C hoắc R v LF = WR ì SL(2, C), neu F p-adic Kí hi¾u Gˇ nhóm Lie phúc thu GQN cna G = SL(2, R), Gˇ = P GL(2, C) Nhóm Galois Gal(C/R) tác đ®ng Gˇ qua tn đong cau chinh hình đưoc gia thiet giu ngun tách Nhóm G tách nên tác đ®ng tam thưịng WR tác đ®ng tói Gal(C/R) qua ánh xa tn nhiên cna * L-nhóm cna G, kí hi¾u L G = Gˇ w WR Kí hi¾u ε đong cau tù WR → C× xác đ%nh boi ε(z) = ε(wσ) = −1 Neu ϕ m®t tham so Langlands ϕ⊗εcϕ neu chi neu ϕ thu®c lóp ϕs,n vói s n bat kì Tương úng giua bieu dien bat kha quy tham so Langlands cho GL(2, R) thu đưoc dưói Ta có m®t song ánh tn nhiên giua lóp tương đương cna bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna GL(2, R) lóp liên hop cna đong cau chap nh¾n đưoc cna WR GL(2, C) sau: π(µ1 , µ2 ) −→ ϕs ,m ,s 1 ,m vói µi = |x|si sign(x)mi σ(µ1, µ2) −→ ϕs,n vói µ1µ2(x) = |x|2ssign(x)n+1 µ1 µ−2 (x) = xn sign(x) Tham so Langlands tương úng vói bieu dien tăng vùa phai neu anh cna ánh xa b% ch¾n túc si thuan ao 2.3.2 Tham so Langlands cho SL(2, R) Tù song ánh giua lóp tương đương cna bieu dien lóp liên hop cna tham so Langlands cho GL(2, R) suy song ánh giua lóp tương đương Lgói cna bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna SL(2, R) lóp liên hop cna đong cau chap nh¾n đưoc cna WR PGL(2, C) - Tham so hóa cho π(µ) lóp liên hop cna tham so hóa phép chieu ϕs,m đưoc xác đ%nh boi ϕs,m,0,0 vói µ(x) = |x|ssign(x)m - Tham so hóa cho Dn± lóp liên hop cna tham so hóa phép chieu ϕn xác đ%nh boi ϕ0,n Ta thay rang ϕ0,n ⊗ ε = αϕ0,nα−1 α = −1 Σ Nhưng ε có m®t tâm anh tham so hóa phép chieu xác đ%nh boi ϕ0,n ϕ0,n ⊗ε bang Đieu chi rang anh phép chieu cna α thu®c tâm hóa cna anh phép chieu cna ϕ0,n Cho ϕn tham so hóa phép chieu xác đ%nh boi ϕ0,n Sϕn tâm hóa anh cna ϕn Sϕn thương cna boi thành phan liên thơng S0 cna nhân vói tâm Z ˇ Sϕn cna Gˇ : + Khi n ƒ= ta có Sϕn = Sϕn c {1, α} + Khi n = nhóm Sϕ0 m®t xuyen Sϕ ϕ n lai đưoc sinh boi anh cna α G Chương The hi¾n hình HQC Trong chương này, trình bày cách thu cơng thúc vet tù nhóm SL(2, R) xuong nhóm n®i soi H cna thơng qua phép chuyen n®i soi cho tích phân quy đao phép chuyen n®i soi cho vet 3.1 Cơng thÉc vet Arthur-Selberg Cho G nhóm compact đ%a phương, Γ nhóm rịi rac cna G R bieu dien quy cna G L2(Γ\G) [R(g)φ](x) = φ(xg) vói g ∈ G, x ∈ Γ\G Gan vói đ® đo Haar dg G, ta xác đ%nh bieu dien cna đai so L1(G) (đoi vói tích ch¾p) cho boi ∫ ∫ −1 R(f )φ(x) = f (g)φ(xg)dg = f (x G g)φ(g)dg G Gia su f ∈ Cc∞ (G) Bang cách tách tích phân, ta có the viet R(f )φ(x) Σ f −1 (x γg)φ(g)dg ∫ Γ\ G Kf (x, g)φ(g)dg = =∫ Γ\G γ∈Γ Do R(f ) m®t tốn tu tích phân vói hat nhân trơn Kf (x, g) =Σf (x−1γg) γ∈Γ R(f ) lóp vet có the tính vet cna theo hai cách tiên, ta có the viet Σ Đau Γ\ −1 f (x γx)dx G trace R(f Kf (x, x)dx Γ\G γ∈Γ )=∫ =∫ Kí hi¾u [γ] = { δ−1γδ | δ ∈ Γγ\Γ }, Γγ tâm hóa cna γ Γ Khi đó, ta có Γ\G ∫ δ∈ΣΓγ f (x−1δ−1γδx)dx =∫ Γγ\ G f (x−1γx)dx = vol(Γγ\Gγ) ∫ Gγ\ G f (x−1γx)dx \Γ Σ trace R(f ) = vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) Do đó, ta có [γ] Cũng có the tính trace R(f ) bang cách thú hai theo ket qua cna Gelfand, Graev Piatetski-Shapiro, L2(Γ\G) phân tích rịi rac thành tőng trnc tiep cna bieu dien bat kha quy cna G, xuat hiắn vúi moi bđi so huu han Vì v¾y trace R(f )Σ = m(π)trace π(f ), π∈Gˆ Gˆ đoi ngau unita cna G, m(π) b®i so cna π trace π(f ) vet cna ∫ toán tu π(f ) = G f (x)π(x)dx Vì v¾y, ta có cơng thúc Σ Σ vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) = [γ] m(π)trace π(f ) π∈Gˆ Chú ý rang ve trái (ve hình HQc) thùa so đau tiên phu thu®c vào Γ khơng phu thu®c vào f thùa so thú hai lai phu thu®c vào f mà khơng phu thu®c vào Γ Tương tn cho ve phai (ve phő) cna công thúc Phân phoi Oγ (f ) trace π(f ) bat bien theo nghĩa bat bien dưói liên hop cna f boi m®t phan tu cna G Cơng thÉc tong Poisson Xét trưịng hop quen thu®c G = R, Γ = Z, gia su rang f ∈ Cc∞ (R), cho tốn tu tích ch¾p R(f ) L2(T ) = L2(Z\R) ∫ ∫ R(f )φ(x) = f (y)φ(x + y)dy f (y − x)φ(y)dy = ∫ R Σ ∫ R = f (y + n − x)φ(y)dy = Kf (x, y)φ(y)dy T T Σn∈Z Kf (x, y) = hai cách f (y + n − x) ∈ C∞(T × T ), ta có the tính vet cna R(f ) bang Σ n∈Z trace R(f )∫ Kf (x, x)dx = f (n) = n∈Z T 2πin M¾t khác, ta có the chéo hóa R(f ) su dung Σ so trnc chuan en = e , n ∈ Z, R(f ) = fˆ(n)en (fˆ bien đői Furier cna f ) Do trace R(f ) = fˆ(n) n∈Z Vì v¾y, ta có cơng thúc tőng Poisson Σ f (n) = n∈ Z Σ fˆ(n) n∈ Z Phan tiep theo cna chương ta se kí hi¾u G = SL(2, R), Γ = SL(2, Z) H nhóm n®i soi cna (túc H = SL(2, R) trưịng hop đ¾c trưng nđi tam thũng hoắc H = SO(2, R) trũng hop khơng tam thưịng) 3.2 Phép chuyen cho tích phân quy đao Xét xuyen elliptic T = SO(2, R) l mđt ắc trng nđi soi tng ỳng vúi nhóm n®i soi H cna G Ta có κ = neu H = SL(2, R) κ = −1 neu H = SO(2, R) GQI B nhóm Borel cna G chúa T, B gom tat ca ma tr¾n tam giác SL(2, R) có dang a b Σ a−1 Kí hi¾u ∆B(γ) = Y (1 − γ−α), α>0 tích đưoc lay nghi¾m dương xác đ%nh boi B CHQN nhóm Borel BH = B H chúa TH = T tương thích vói cau j: TH c T M®t κ - tích phân quy đao đoi vói phan tu quy γ ∈ T đưoc xác đ%nh boi: Oκγ(f T\ G κ(x)f (x−1 γx)dx˙ )=∫ Khi κ = 1, κ - tích phân quy đao tích phân quy đao őn đ%nh đưoc kí hi¾u SOγ (f ) Ta nhac lai L-nhóm cna G, kí hi¾u L G L G = Gˇ w WR = P GL(2, C) w WR Tương tn, L-nhóm L H = Hˇ w WR cna H, thành phan liên thơng cna tâm hóa cna m®t phan tu nua đơn LG Đ%nh nghĩa 3.1 Phép nhúng chap nh¾n đưac cua LH vào LG m®t L-đong cau η : L H → L G má r®ng tn nhiên cua → cho han che cua Hˇ Gˇ Hˇ chsnh hình đong nhat WR M¾nh đe 3.1 Gia su cú mđt phộp nhỳng chap nhắn ac : LH → LG Ta có the gan vái b® ba (G, H, ) mđt ắc trng G,H cua T vỏi tớnh chat sau Cho f l mđt gia hắ so oi vái chuői rài rac G, ton tai m®t hàm f H tő hap tuyen tính cua gia h¾ so đoi vái chuői rài rac H cho γ = j(γH ) quy T SOγ H (f H κ ) = ∆HG (γH , γ)O (f ) γ vái ∆GH (γH , γ) thùa so chuyen cho bái công thúc ∆G (γH, γ) = (−1)q(G)+q(H)χG,H ∆B H (γ−1).∆B H (γ−1)−1 H Phép bien đői f ›→ f H cna gia h¾ so có the đưoc mo r®ng cho tat ca hàm Cc∞ (G); đe làm đieu ngưòi ta phai mo r®ng tương úng γ ›→ γH (GQI chuan hóa), đoi vói tat ca phan tu nua đơn quy xác đ%nh thùa so chuyen đoi vói xuyen Đ%nh lý 3.1 Gia su có m®t phép nhúng chap nh¾n đưac η : LH → LG Ta có the xác đ%nh thùa so chuyen ∆G H(γH , γ) cho vái bat kì f ∈ Cc∞ (G) ton tai m®t hàm f H vái ∈ Cc∞ (H) SO γ H (f H κ ) = ∆HG (γH , γ)O (f ) γ γH dang chuan cua γ quy nua đơn SOγ H(f H )=0 γH không dang chuan Khi κ = nhóm n®i soi cna G túc H = SL(2, R) κ-tích phân quy đao tích phân quy đao őn đ%nh Đây trưòng hop tam thưòng Sau ta se chúng minh cu the đ%nh lý đoi vói SL(2, R) κ = −1 (nhóm n®i soi cna G H = SO(2, R)) thơng qua vi¾c su dung dáng đi¾u ti¾m c¾n cna tích phân quy đao Gia su f hàm trơn có giá compact G, tích phân quy đao cna f quy đao cna γ ∈ G f (x−1 γx)dx˙ , Oγ (f ) = ∫ Gγ\G Chú ý rang tích phân phu thu®c vào sn lna cHQN đ® đo Haar G Gγ Gia su thêm rang f hàm K-tâm túc f (xk) = f (kx), vói MQI k ∈ K x ∈ G Chúng ta se nghiên cúu dáng đi¾u ti¾m c¾n cna Oγ (f ) hai trưịng hop: Trưàng hap γ có dang đưàng chéo γ → γ= a Σ vói ab = Vói moi x ∈ G ta có phân tích Iwasawa cna x x = ank, Σ a = y y−1 ;n= t + Σ ; k = r(θ) vói y ∈ R , t ∈ R, θ ∈ [0, 2π) Khi x−1γx = (ank)−1γ(ank) = k−1n−1a−1γ ank Vì f hàm K-tâm nên f (k−1n−1a−1γ ank) = f (n−1a−1γ an) M¾t khác a, γ đeu ma tr¾n dang đưịng chéo nên chúng giao hốn, túc n−1a−1γ an = n−1γa−1 an = n−1γ n Do đoi vói cách cHQN đ® đo Haar chuan, ta có ∫ f (n−1γn)dn Oγ (f ) = N Hơn nua, Σ n γn = 01 a0 −1 Σ −t Σ a (b − a)t = Σ t 0 ∫ Oγ (f ) = Vì v¾y R f a (b − a)t Σ dt Đ¾t ∆(γ) = |a − b| hàm h(γ) = ∆(γ)Oγ (f ) = |a − b| ∫ f a (b − a)t Σ dt R thác trien túi mđt hm trn trờn A (nhúm cỏc ma trắn có dang đưịng chéo) Trưàng hap γ = r(θ) θ → Vói x ∈ G, ta xét phân tích Cartan cna x x = k1ak2, k1 = r(α); a = y −10 + Σ ; k2 = r(β) vói y ∈ R , α, β ∈ [0, 2π) x−1 γx = (k1 ak2 )−1 γ(k1 ak2 ) = k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 Khi Vì f hàm K-tâm nên f (k2−1 a−1 k1−1 γ k1 ak2 ) = f (a−1 k1−1 γ k1 a) M¾t khác k1−1 γ k1 = r(α)−1 r(θ)r(α) = r(−α + θ + α) = r(θ), nên f (a−1 k1−1 γ k1 a) = f (a−1 γ a) Hơn nua, − y a γa = 0Σ −1 y Σ cosθ sin θ − Σ sin θ cosθ Σ y 0 y−1 = y−1 cosθ y−1 sin θ −y sin θ = y cosθ cosθ y−2 sin θ −y2 sin θ cosθ y Σ Σ y−1 Or(θ) (f ) = c.F (sinθ), Do vói hang so c phu thuđc vo viắc chQn đ.o Haar v dt a(λ) tλ | ∞ Σ ∫ −1 √ a(λ) = − λ2 Ta có ∫ ∞ a(λ) tλ = ∫ ∞ )(t2 − 1)Σ t Σ 1dt − ∞ = ∫ ∞ ∫ dt −1 a(λ) tλ −t−1λ a(λ) f f = ∫ ∫ ∞ f = tλ a(λ) tλ ∞ f ∫ a(λ) tλ −t−1λ a(λ) dt + Σ (t−1)−1λ −t−1λ a(λ) Σ a(λ) −tλ f a(λ) tλ dt −t−1λ a(λ) + c a Do −a a −c ∫∞ Σ d(t−1) t−1λ a(λ) dt ∫ 1 (−1)f dt a(λ) −1 Σt λ a(λ) Chú ý rang f hàm K-tâm nên vói a,b,c bat kì, ta có a Σ = f Σ ΣΣ = f Σ b dt t2 −t−1λ a(λ) a(λ) −tλ f b ( 1) Σ d(t−1) Σ f = f a(λ) −t−1λ a(λ) ∫ a(λ) tλ −t−1λ a(λ) dt− ∞ t2 Σ − ∞ = 1∞ − dt Σ −t−1λ a(λ) dt ∫ a(λ) tλ −t−1λ a(λ) ∞ Σ ∫ Σ|t − t ∫ | tλ f , t −t λ a(λ) a(λ) f −1 −t λ a(λ) F (λ) = f |t − t−1 F (λ) = −1 b −a ΣΣ = f a Σ −c −1 a a(λ) tλ −c Σ −b F (λ) = 1)f a ε(t − −t−1λ a(λ) dt, vói ε(x) = sign(x) Đe nghiên cúu ti¾m c¾n cna λ → ta xét ∞ ∫ A(λ) = a(λ) tλ a(λ) Σ dt ε(t − 1)f Theo công thúc Taylor-Lagrange, ta có F (λ) = A(λ) + λB(λ), ∞ ∫ ε(t − 1)g B(λ) = a(λ) −t−1λ a(λ) tλ Σ dt , t vói hàm trơn g có giá compact theo bien phía bên phai có O(u)−1 phân rã theo bien dưói bên trỏi cho tớch phõn l hđi tu tuyắt oi Chú ý rang ∫ −1 ∞ ε(λ) Σ du − f 0Σ A(λ) = | λ| 0 u 2f + o(λ) Tù B(λ) có đ® tăng khơng q logarit, ta thay rang hàm chan G(λ) = |λ|(F (λ) + F (−λ)) H(λ) = λ(F (λ) − F (−λ)) thác trien tói hàm liên tuc tai λ = Đe xác hóa dáng đi¾u ti¾m c¾n, ta quan sát kĩ so hang dt a(λ) tλ ∞ ∫ −1 B(λ) = −t λ a(λ) ε(t − 1)g Σ t Tuy nhiên, hi¾u cna hai bieu thúc mà phan cna chúng tương đương vói 0Σ ln(|λ|−1)g sai khác bieu thúc liên tuc Do B liên tuc Khái qt hóa q trình ta thu đưoc khai trien ti¾m c¾n mũ dưói dang sau G(λ) = N Σ (an|λ|−1 + bn)λ2n + o(λ2N ) n=0 H(λ) = N Σ hnλ2n + o(λ2N ) n=0 Do H(λ) hàm trơn Vỡ vắy, cú mđt hm trn h trờn T = H cho h(γ) = ∆(γ)(Oγ (f ) − Oω(γ) (f )), vói γ = r(θ) ∈ T ∆(r(θ)) = −2isinθ 3.3 Phép chuyen cho vet Ta thay rang tương úng f → f H khơng phai m®t ánh xa f H xác đ%nh khơng nhat Phép chuyen hình HQc f → f H đoi ngau cna phép chuyen đoi vói bieu dien Bat kỳ bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc σ cna H tương úng vói m®t phan tu σG bao nhóm cna bieu dien ao cna G sau Cho ϕ m®t tham so Langlands đoi vói H η ◦ ϕ m®t tham so Langlands đoi vói G η phép nhúng η : LH → LG Σ Ta xét L-gói cna bieu dien bat kha quy chap nh¾n đưoc cna H tương úng Q vói ϕ L-gói cna bieu dien cna G tương úng vói η ◦ ϕ (đó có the t¾p rong neu tham so khơng thích hop vói G) Đ%nh lý 3.2 Ton tai m®t hàm ε: Y → ±1, cho phan tu σG bao nhóm cua nua nhóm bieu dien cho bái Σ σG = Q ε(π)π, π∈ xác đ%nh m®t tương úng σ ›→ σG đoi ngau cua bien đői hình HQc trace σG(f ) = trace σ(f H ) ϕ : LR → LG Xét m®t tham so Langlands kí hi¾u Sϕ tâm hóa Gˇ cna ϕ(WR ) Ta ý rang vói bat kì s ∈ Sϕ xác đ%nh m®t nhóm n®i soi H Nhóm H sinh L G boi tâm hóa liên thơng Hˇ cna s Gˇ anh cna ϕ Neu ton tai m®t phép nhúng η : LH → LG ton tai tham so Langlands ϕ đoi vói G xác đ%nh m®t tham so Langlands η ◦ ϕ cho H Kớ hiắu S = S /(S 0ì Z(G )Γ ), Sϕ0 thành phan liên thơng cna Sϕ Z(Gˇ )Γ tâm cna L G Gia su ta cho mđt hop ay n cỏc nhóm n®i soi khơng tương đương H cho moi H m®t phép nhúng η : LH → LG Ta xét m®t tham so ϕ : WR → L G, tâm hố liên thơng cna s ∈ Sϕ nhóm Hˇ s liên Σ L ˇ hop vói H liên hop cna thùa so ϕ η( H) xác đinh m®t L-gói s cna bieu dien cna H (Nhìn chung L-gói khơng nhat phu thu®c vào sn lna cHQN liên hop có the Q khụng nhat) Mắt khỏc, Sheltad ó %nh ngha mđt c¾p (s, π) giua Sϕ (ϕ) đong thịi chi rang ε(π) = c(s)(s, π) σΣ∈ Σ s suy trace σ(f Σ ) = ε(π) trace π(f ), H Q π∈ Σ ˜ (f H Σ (f s H (s, π) trace π(f ), Q π∈ s ˜ Σ )= ) = c(s)−1 Σ trace σ(f σ∈ H ) Σ s Tù ta có đ%nh lý Đ%nh lý 3.3 Σ Σ (s, π) ˜ trace π(f ) = (f #Sϕ s H ) s∈Sϕ Cn the đoi vái SL(2, R) Chú ý rang, neu π bieu dien unita bat kha quy huu han chieu đ¾c trưng cna π đoi vói phan tu quy g ∈ G đưoc xác đ%nh boi Θ (π, g) = trace π(g) ∫ Xét tốn tu π(f ) = G π(g)f (g)dg , vói f ∈ Cc∞ (G) dg đ® đo Haar G, theo Harish-Chandra ta có ∫ trace π(f ) = Θ(π, g)f (g)dg G Đ¾c trưng cna Dn SO(2, R) đưoc cho boi + + ei(n+1)θ −einθ Đ¾c trưng cna Dn− SO(2, R) đưoc cho boi liên hop phúc − Ta ý rang tőng e−i(n+1)θ e−inθ SΘn = Θ+ + Θ− n n thay Θ Θ ta đưoc + n − n inθ − SΘn = − e e−inθ eiθ − e−iθ bat bien dưói liên hop őn đ%nh, ta GQI SΘn đ¾c trưng őn đ%nh Trong ∆(r(θ))(Θ+ n− Θ−n)(r(θ)) = einθ + e−inθ ∆(r(θ)) = −2i.sinθ tőng hai đ¾c trưng cna T (R) Đây phép chuyen n®i soi phő cho SL(2, R) Ket lu¾n Sau thịi gian HQc t¾p tai Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i Đưoc thay trnc tiep giang day hưóng dan đ¾c bi¾t GS TSKH Đo NGQc Di¾p, tơi hồn thnh luắn vúi e ti "Nhúm nđi soi bieu dien tn cau cna SL(2, R)" Luắn ó trỡnh by t tong, nđi dung cna vi¾c thu cơng thúc vet cna bieu dien quy tích phân quy đao nhóm n®i soi cna SL(2, R) thông qua đ%nh lý Đ%nh lý 3.1 ve vi¾c thu cơng thúc tích phân quy đao nhóm n®i soi cna SL(2, R) Đ%nh lý 3.3 ve vi¾c thu cơng thúc vet cna bieu dien quy nhóm n®i soi cna SL(2, R) Tuy nhiên thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu cịn có nhung sai sót em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao [C] Ngơ Bao Châu, Automorphic forms on GL2, Preprint.2011, Chicago University [G] S Gelbart, Langlands picture of automorphic forms and L-functions,Lecture Notes Lecture Series at Shangdong University, China, pp 1-5 [L] S Lang, SL(2,R), Springer-Verlag, New york - Berlin - Heidelberg - Tokyo [LL] J.-P Labesse, R Langlands, L-distinguishability for SL(2), Can J Math, vol xxxi, No 4, 726-785 ... Nhóm n®i soi bieu dien cua SL( 2, R) 2. 1 Nhóm n®i soi cna SL( 2, R) 2. 2 Bieu dien cna SL( 2, R) 2. 2.1 Bieu dien cna GL (2, R) 2. 2 .2. .. đ%nh, nhóm Weil, nhóm Langlands, L -nhóm 1.1 Cau trúc cua SL( 2, R) Kí hi¾u G = SL( 2, R) nhóm ma trắn cap ì trờn trũng so thnc R vói đ%nh thúc bang G = SL( 2, R) = a b Σ| c a, b, c, d ∈ R; ad − bc =... 2. 2 .2 Bieu dien cna SL( 2, R) 2. 3 Tham so Langlands cho SL( 2, R) 2. 3.1 Tham so Langlands cho GL (2, R) 2. 3 .2 Tham so Langlands cho SL( 2, R)