Bài tập động lực học

Bài tập động lực học

GVHD: PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

••

BÀI TẬP CƠ HỌC T

Tậ ập p Hai Hai: Đ : ĐỘ ỘNG L NG LỰ ỰC H C HỌ ỌC C

và lúc cản ta coi rằng xe chạy chậm dần đều.

 Chiếu (1) lên trục x,y:

Bài tập 1:

Cho: Bỏ qua lực cản của không khí và khối lượng

lò xo Xác định qui luật chuyển động của vật A.0 0

,  , ,

k m x

k

A O

Bài sửa

 Xác định luợng giãn lò xo khi hệ cân bằng (độ giãn tĩnh)

 Chọn trục có gốc tại vị trí cân bằng của vật A, có

phương thẳng đứng và chiều dương hướng xuống

 Khảo sát chuyển động của vật A tại một vị trí bất kỳ:

 Áp dụng tiên đề 2 động lực học:

 Chiếu (2) lên trục Ox:

 

2 1

Bài 1.5 trang 31

Một ô tô chở hàng có khối lượng là 6 tấn chạy xuống mộtchiếc phà với tốc độ là 21,6 km/giờ Từ lúc xuống phà đếnlúc dừng hẳn xe phải chạy thêm một quãng đường là 10

m, cho rằng khi ấy ôtô chuyển động chậm dần đều Tínhlực căng mỗi dây cáp (có hai dây cáp) buộc giữ phà, coirằng dây cáp luôn luôn căng

 

m a    P   N   F  

 Chiếu (1) lên :x y ,

 Khảo sát sự cân bằng của phà:

F N

x y

Chương II: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ.

Bài tập 2 Cho 1 thanh thẳng, mảnh, đồng chất tiết diện đều

AB Khối lượng của toàn thanh là m, chiều dài  Thanh AB cắt trục z tại điểm gốc O và hợp trục z một góc  như hình

vẽ Cho biết: Hãy xác định

moment quán tính của thanh AB đối với trục x, y,z và tâm O

O



Hình II.2ax

y

Bài sửa

 Khối lượng riêng của thanh:

 2   2 2  2 2 1

 Moment quán tính của toàn thanh đối với trục z :

 Dựng hệ trục Oxyz sao cho thanh nằm trong Oyz

Dựng trục Ou có phương trùng AB và có chiều như hìnhvẽ

sin 3

cos 3

Bài tập 3

Cho một cơ hệ gồm 2 vật rắn có dạng hình lăng trụ tiếtdiện tam giác vuông đặt chồng lên nhau với vị trí ban đầunhư hình vẽ Tiết diện của 2 vật là 2 tam giác vuông đồngdạng Khối lượng của 2 vật lần lượt là mA, mB Vật B tựakhông ma sát trên mặt nghiêng của mặt A Vật A tựa không

ma sát đối với mặt ngang cố định Các cạnh của 2 vật songsong với bề mặt cố định là a, b (a > b) Ban đầu toàn hệđứng yên Hãy xác định đoạn đường chuyển động của vật

A khi vật B trượt hết mặt nghiêng của vật A (lúc B vừachạm đất)

Bài sửa

O

a

0 B

C

0 B

C

x

0 A

b

Hình II.3.1

 Dựng hệ trục Oxy như hình vẽ.

 Gọi:

 Khối tâm của vật A, vật B và toàn hệ: CA, CB, C

 Đoạn đường chuyển động của vật A khi B chạm mặt

 Ban đầu toàn hệ đứng yên.

 

 

0 0

A

C C

C

m x

s v

m y

s

 

 

0 0

B

C C

C

m x

s v

m y

s

 Khảo sát chuyển động toàn hệ (2 vật)

 Hệ ngoại lực tác động lên hệ:

P  P  N 

 Dùng định lý chuyển động khối tâm.

0 0

Bài tập 4.

Cho con lăn O là vành tròn, đồng chất, bán kinh r lăn

không trượt lên mặt phẳng nghiêng một góc  cố định nhưhình vẽ Trọng lượng của con lăn P và hệ số trượt tĩnh

giữa con lăn O và mặt phẳng ngang cố định là ft, bỏ qua

ma sát lăn

Cho P, = const, r, , ft Hệ ban đầu đứng yên

a Phân tích chuyển động của vành và của tâm O vành

Thiết lập các mối quan hệ động học giữa các đặc trưngchuyển động của toàn vật với các đặc trưng chuyểnđộng của tâm O vật

b Xác định gia tốc góc của con lăn O dưới dạng hàm của

r, , , và P Tìm điều kiện của moment để con lăn

O lăn lên

c Xác định phản lực tại tiếp điểm A

d Tìm điều kiện của ft để con lăn O lăn không trượt trên

mặt phẳng nghiêng cố định

M

M M

A

O

 P

 P

 Phân tích chuyển động

 Của vành: vành lăn không trượt, nhanh dần, lên trên mặtnghiêng cố định Đây là 1 dạng chuyển động song phẳngvới tâm vận tốc tức thời P là điểm tiếp xúc A

 Của tâm O: chuyển động thẳng theo phương của mặtnghiêng, nhanh dần, hướng lên

 Áp dụng định lý biến thiên động năng:

Sử dụng nguyên lý D’Alembert

 Tác động thêm lên vành 2 thành phần cơ bản của hệ lựcquán tính đặt tại O

 Vector chính của hệ lực quán tính

 Moment chính của hệ lực quán tính đối với tâm O.

P r P

mst

P.r.sin F

r



d Điều kiện để vành lăn không trượt:







 M

 F

 Gọi lần lượt là gia tốc của C1, C2, C.

P 

2

P 

x y

O

 Dùng định lý chuyển động khối tâm cho hệ.

 

4

1 2 1

y

OHình II.5.2

a 

 Điều kiện để vật (1) không trượt trên vật (2):

 1

F f M M g

Bài tập 6 Cho một đĩa tròn,đặc, đồng chất có bán kính R

và khối lượng , bị đẩy lăn không trượt trên mặt

nghiêng với vận tốc ban đầu của tâm A đĩa ở chân dốc

là Biết mặt nghiêng cố định nghiêng một góc đốivới phương ngang và chiều dài mặt nghiêng là  Cho

d) Tìm điều kiện về giá trị để đĩa có thể lăn lên được hếtdốc

e) Xác định các thành phần phản lực tại điểm tiếp xúc I.f) Tìm điều kiện của góc nghiêng để đĩa lăn không trượttrên mặt nghiêng

g Cho :

g1 phân tích lại chuyển động của đĩa Xác địnhvà chọn các tọa độ suy rộng

g2 xác định các lực suy rộng tương ứngg3 thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển độngcho hệ

R

 A  vA

R



 Phân tích chuyển động của khối tâm A đĩa: tâm A đĩa

chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng

song song với mặt nghiêng cố định và cách mặt

nghiêng ấy một khoảng bằng bán kính đĩa

s R

R



A A

c Vận tốc của tâm A:

Dùng định lý biến thiên động năng:

  A  sin  A ;

lên  công âm

d Điều kiện tối thiểu của vAO để đĩa lăn hết dốc:

Theo nguyên lý D’Alembert, ta sẽ bổ sung vào đĩa hai thànhphần cơ bản của hệ lực quán tính:

thì đĩa sẽ ở trong trạng thái cân bằng

qt qt A

R M

3 1

.sin 0 3

3 t

 Bậc tự do của hệ: dofhË   2

 Chọn 2 tọa độ suy rộng: (hình 3.1)x , 

Hình II.6.2





I A

 Tổng công khả dĩ của các tải:

(đĩa chỉ trượt mà không lăn vì )   0

so với phương trượt.

 Lực suy rộng:

(đĩa quay quanh tâm A cố định hay đĩa trượt không lăn)

 Xác định lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng

2 2

1

2

Bài tập 7 Cho cơ hệ như hình vẽ Biết bán kính r, P, = const, Q, ròng rọc là vành tròn đồng chất Dây mềm, nhẹ, không giãn, không trượt trên ròng rọc, luôn căng Ban đầuhệ đứng yên.

a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ

Thiết lập quan hệ động học giữa các vật

b) Xác định động năng cho toàn hệ và tổng công của các

tải tác động lên hệ

c) Xác định gia tốc của vật A và gia tốc góc của ròng rọc

B

d) Tính lực căng dây nối vật A

e) Tìm điều kiện của moment để nhánh dây nối vật A bị

chùng Xác định lại gia tốc của A và gia tốc góc của

ròng rọc B

M

M

Hình II.7a) Phân tích chuyển động:

 Vật A: chuyển động tịnh tiến thẳng đứng, nhanh dần, cóchiều hướng xuống

 Ròng rọc B: chuyển động quay nhanh dần, cùng chiềukim đồng hồ quanh trục vuông góc với mặt phẳng hình vẽ và đi qua tâm B cố định (tâm B cố định).

 Thiết lập quan hệ động học giữa các vật:

.

(JB là moment quán tính của vật B đối với trục cố định thẳng góc với mặt phẳng hình vẽ qua B)

 Gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B:

c)

T 



A qt

e) Điều kiện để dây không bị chùng (dây căng):

Bài tập 8 Cho cơ hệ đứng yên ở thời điểm ban đầu như hìnhvẽ Ròng rọc B là một đĩa tròn, đặc và đồng chất Hệ số ma sát trượt tĩnh và động giữa vật A và mặt phẳng ngang cố định

là và Cho biết: Dây mềm, nhẹ, không giãn, luôn căng, không trượt trên ròng rọc

a) Tìm điều kiện của góc  để A trượt được trên mặt

nghiêng

b) Cho , dây luôn căng

b1) Phân tích chuyển động các vật rắn trong hệ Tìm mốiquan hệ về động học giữa các vật

b2) Tính động năng cho toàn hệ và tổng công tác động lênhệ

b3) Xác định gia tốc của A và gia tốc góc của ròng rọc B

a)  Điều kiện để vật A không trượt (A cân bằng và dây chùng):

M

P 

Q 

B r

 A

Hình II.8

 Khảo sát sự cân bằng của vật A:

 Tự do hóa vật A:

- Viết các phương trình cân bằng:

 Điều kiện để vật A không trượt:

Thay (3) và (4) vào 2 vế của (5), ta có:

 A

 Ròng rọc B quay nhanh dần, theo chiều kim đồng hồ quanh tâm B cố định.

b3 Áp dụng định lý biến thiên động năng:

b4 Khảo sát chuyển động của vật A:

2

A B

g Q

 Dùng định lý chuyển động khối tâm cho vật A:

 Chiếu (8) lên hai phương x, y

 

4 1

Q P

Q r

f

 Điều kiện để dây chùng:

.

sin cos 2

Q r

Bài tập 9 Cho cơ hệ như hình vẽ:

a) Hệ có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay

không? Tại sao?

b) Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định các thành phần phản lực tại ngàm A



q  const

Hình II.9

lk h

 Xác định thành phần phản lực HA :

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiếnthẳng theo phương ngang:

b) Liên kết có một ràng buộc được gọi là liên kết đơn (ví

dụ: khớp bản lề trượt, liên kết thanh) Liên kết ngàmphẳng có 3 ràng buộc sẽ được xem là tương đươngvới 3 liên kết đơn Để xác định các thành phần phảnlực của liên kết ngàm ta giải phóng lần lượt từng liênkết đơn và xem các thành phần phản lực xuất hiện như

là lực hoạt động bổ sung

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động quay quanh tâm A.

Bài tập 10 Dùng nguyên lý di chuyển khả dĩ để xác định

 Tính tổng công khả dĩ:

a)  Xác định thành phần phản lực HA :

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến

theo phương ngang:

 Xác định các thành phần phản lực HA :

 Giải phóng liên kết đơn cản trở chuyển động tịnh tiến

theo phương ngang:

3

2 2

3

.2 2

Bài tập 11 Cho một cơ hệ gồm có hình lăng trụ A tiết diện tamgiác vuông và ống trụ tròn, đồng chất, không đáy B Vật A cókhối lượng m1 tựa không ma sát trên mặt phẳng ngang cốđịnh Vật B có bán kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trênmặt nghiêng của lăng trụ A (hình chiếu đứng của trục ống trụtròn là B) Lăng trụ A chịu tác động của lực F như hình vẽ Chobiết: m1, m2, F, , r.

a) Hãy phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ Xác

định bậc tự do của hệ và chọn các tọa độ suy rộng cho hệ.b) Viết biểu thức xác định vận tốc tuyệt đối của tâm B và tính

độ lớn của vector vận tốc tuyệt đối này

c) Xác định động năng cho toàn hệ và các lực suy rộng tương

ứng

d) Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toàn hệ

Cho biết khả năng của mình có giải được hệ phương trình

vi phân này không? Nếu giải được hãy xác định gia tốc củalăng trụ A và gia tốc góc của ống trụ B

a) Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ

 Vật lăn trụ A có chuyển động tịnh tiến thẳng theo phươngngang

 Ống trụ tròn B thực hiện đồng thời 2 chuyển động: tịnh

tiến cùng với lăng trụ A và lăn không trượt trên mặt

nghiêng của lăng trụ A Chuyển động tổng hợp của ống

trụ tròn B là chuyển động song phẳng với tâm vận tốc

tức thời không phải là điểm tiếp xúc I

 Bậc tự do của hệ:

 Hai tọa độ suy rộng của hệ được chọn là:

b)  Phân tích chuyển động phức hợp của tâm B:

2

hDof Ë 

 Chuyển động tương đối: lăn không trượt trên mặtnghiêng của lăng trụ A (tâm quay tức thời là điểm I).

 Dùng định lý hợp vận tốc của điểm:

B e

B a

B r

v 

B a

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt:

d) Dùng phương trình Lagrange 2:

 2 

2

.sin

 Đây là hệ phương trình vi phân cấp 2 cực kỳ dễ giải Cách giải được trình bày chi tiết:

onst

Bài tập 12 Cho một đĩa có dạng hình quạt đồng chất, đặc, dày điều, bán kính R, góc chắn ở tâm là 2 ,đứng yên ở thời điểm đầu với góc nghiêng là 0 (góc hợp bởi phươngthẳng đứng và trục đối xứng của đĩa) có khối lượng m Đĩatựa không ma sát với mặt phẳng ngang cố định.

a) Phân tích chuyển động của đĩa và tâm O đĩab) Xác định vị trí của khối tâm C đĩa

c) Xác định phương trình quỹ đạo của khối tâm C đĩa nếu chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

d) Tính động năng của đĩa và tổng công các tải tácđộng lên đĩa

e) Tìm vận tốc góc của đĩa và gia tốc góc của đĩa

xy

Bài sửa a) Phân tích chuyển động của đĩa:

 Đĩa chuyển động song phẳng trong mặt phẳng hình vẽ với tâm vận tốc tức thời không phải là điểm tiếp xúc I

 Phân tích chuyển động của tâm O đĩa:

b)  Do đĩa hình quạt có một trục đối xứng nên khối tâm

C của đĩa sẽ nằm trên trục đối xứng này

 Tâm O đĩa chuyển động thẳng với quỹ đạo là đường thẳng song song đoạn thẳng cố định và cách

đường thẳng cố định một đoạn bằng bán kính của đĩa

Do đó, vận tốc và gia tốc của tâm O nằm trên đường thẳng này

 Khảo sát một diện tích vi phân k thuộc đĩa như hình vẽ:

 Dựng hệ trục tọa độ vuông góc mới gắn liền với đĩa sao cho trục trùng trục đối xứng của đĩa

Out u

Hình II.12.1

(uk: tọa độ u của điểm K).

(mk: khối lượng của diện tích dAk )

 Áp dụng công thức định nghĩa của khối tâm:

 

2 1

2

1

cos

k k k

0 3

2

0 3 2

1

cos

1

sin 3

1

2 sin 3

R R

c)  Khảo sát chuyển động của đĩa:

2

sin 3

 Dùng định lý chuyển động khối tâm:

 Hệ ngoại lực tác động lên đĩa P N   , :

d)  Động năng đĩa: (đĩa là hình tròn đặc đồng chất).

 

3

0 4

2

0 4

2

4

2 4

m R R

1 2

 Gia tốc góc của đĩa:

Đạo hàm 2 vế (2) theo thời gian t:

Bài tập 13 (Chưa sửa).

Cho một thanh thẳng mảnh, đồng chất, tiết diện điều, khốilượng m và chiều dài 2 tựa không ma sát trên mặt phẳngngang cố định Ban đầu thanh đứng yên với góc nghiêng

Hình II.14

Cho r1, r2, P1, P2,

Dây có các tính chất sau đây:

mềm, nhẹ, không giãn, không

trượt trên các vật và luôn

căng Bỏ qua ma sát tại khớp

bản lề O1 và xem nhánh dây

AB luôn có phương thẳng

đứng Ròng rọc O1 là đĩa tròn

đặc, đồng chất và ròng rọc O2

là vành tròn đồng chất

a Xác định bậc tự do của hệ

Chọn các hệ tọa độ suy

rộng cho hệ

const

M

b Phân tích chuyển động cho các vật rắn trong hệ Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2 Viết biểu thức tính vận tốc tuyệt đối cho điểm này.

c Tính động năng cho toàn hệ

d Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ suy rộng đã chọn

e Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ Cho biết khả năng có thể giải hệ phương trình này không? Tại sao?

Bài sửaa.

 Phân tích chuyển động phức hợp của tâm O2.

 Chuyển động kéo theo:

Tịnh tiến thẳng đứng cùng với dây

 Chuyển động tương đối:

Quay quanh tâm vận tốc tức thời A đối với dây

 Viết biểu thức tính: (Hình II.14.2)

1



B a

v

A a

v

Hình II.14.2

2 2

2 2 2 2

O e

g  g   g 

O a

Ta có v r r

dt dtr

2 1 1 O

sv

dt



Mà :

2 2 2 O

P r

Q P r

 

Vậy : Q M

2 1

2 1

2

1 2

2 2 2

1

2

B r r const

gP

1 22

1

(ròng rọc 1 quay nhanh dần đều)

(ròng rọc 2 quay nhanh dần đều)

A là đĩa tròn đặc, đồng chất có bán kính r và trọng lượng

Q AB là thanh thẳng, mảnh, đồng chất, tiết diện đều, dài ,trọng lượng P Cho r, , P, Q, , đĩa A lăn khôngtrượt trên mặt phẳng ngang cố định

Bỏ qua ma sát lăn của đĩa và ma sát tại khớp bản lề A

a Xác định bậc tự do cho hệ và các tọa độ suy rộng cho

hệ

b Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ Phân

tích chuyển động phức hợp của khối tâm C thuộc thanh

AB Viết biểu thức tính vector vận tốc tuyệt đối cho điểm

C này

c Tính động năng cho toàn hệ

d Xác định các lực suy rộng tương ứng với các tọa độ

suy rộng đã chọn cho hệ

const

M

e Thiết lập hệ phương trình vi phân chuyển động cho toànhệ.

Bài sửaa

Dofhệ = 2 (để biết chuyển động của hệ cần phải biết chuyểnđộng của 2 vật hoặc nếu ta giữ cố định cả 2 vật thì hệ mớiđứng yên được)

C e

v

C a

v

C r

v

 Chuyển động kéo theo : tịnh tiến cùng với tâm A.

 Quỹ đạo tâm A là đường thẳng   A  

A  va  A

 Đĩa tròn A:

 Chuyển động tương đối: quay quanh tâm A.

.4

Qrg

Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 > 0 ; 2 = 0

 Tổng công khả dĩ của các tải:

 Tính lực suy rộng Q1 ứng với tọa độ suy rộng q2  2

 Cho hệ một di chuyển khả dĩ đặc biệt: 1 = 0 ; 2 > 0

 Tổng công khả dĩ của các tải tác động:(Hình II.15.2)

.sin 2

Bài tập 16 Cho

a Xác định bậc tự do cho hệ và chọn tọa độ suy rộng cho

hệ

b Phân tích chuyển động của các vật rắn trong hệ Xác

định vận tốc góc của ròng rọc kép 3 và vận tốc tuyệt đốicủa vật A

c Tính động năng cho toàn hệ

d Xác định các lực suy rộng cho hệ

e Viết hệ phương trình vi phân chuyển động cho hệ Giải

hệ phương trình này

1 2 3

1, 2, 3, A , O , O , O , 1, 2, 2 2 1 3 2 3 2

m m m m J J J M M R  r  R  r  r