Phương pháp Giải tích Phương pháp Xắp xỉ tuyến tính lực kích thích Phương pháp Gia tốc trung bình Newmark Dựa vào bảng trên ta có thể kết luận các phương pháp sốxắp xỉ tuyến tính lực k
Trang 1BÀI TẬP ĐỘNG LỰC HỌC CÔNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu 1: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ
Số liệu đề bài
Nhóm k N m1( / ) k N m2( / ) c N s m1( / ) c N s m2( / ) m N s m( / )2 p t N( )( )
a) Dùng nguyên lý D’Alembert thiết lập phương trình vi phân chuyển động của khối lượng m
- Ngoại lực tác động đến khối lượng m
1 ( ) 2 ( )
s
f k u t k u t ; f D c u t1 ( )c u t2 ( ); f I mu t( )
- Theo nguyên lý D’Alembert (PP tỉnh động) ta có
- Thay giá trị ta được phương trình vi phân chuyển động
950 ( ) 110 ( ) 480 ( ) 12sin(2,5 )u t u t u t t
b) Tần số tự nhiên của hệ
480
950
n
K
m
Chu kì tự nhiên của hệ
8,837( ) 0,711
n
n
w
c) Phương trình chuyển động của hệ
Tỉ số cản:
110
c m
Tần số vòng tự nhiên của dao động có cản:
Nghiệm riêng của hệ
p
u t C t D t ; với
Trang 22 0
0
n
n
p
C
k
p
D
k
Với p0 12;2,5 C0,0022;D0,00011
Nghiệm tổng quát của hệ:
Từ điều kiện ban đầu: u(0) 0; (0) 0 u
Thay t =0 vào (*) ta được:
0 A D AD0,00011
Đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được:
Thay u(0) 0 vào phương trình (**) ta được:
D
A C
Vậy phương trình chuyển động của hệ là:
0,058
Vẽ đồ thị: (sử dụng Mathlab để vẽ đồ thị)
Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở dạng tổng quát:
Đồ thị quan hệ giữa t và u(t) ở trạng thái ổn định:
Trang 3*Biểu diển 2 đồ thị trên cùng hệ trục:
Nhận xét: Dao động của hệ gần như ổn định sau 50s đầu
Câu 2: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ
Số liệu đề bài
- Độ cứng của dầm
Trang 410 8
4
28,84 10 ( / )
4, 2
d
EI
L
- Độ cứng tương đương
4 4
28,84 10 1200
1195, 03( / )
d lx
td
d lx
- Tần số vòng tự nhiên của hệ
1195,03
110
td
n
k
rad s m
Câu 3: Cho hệ một bậc tự do như hình vẽ
Số liệu đề bài
a) Xác định phương trình chuyển động u(t)
Xác định các thông số
- Biên độ dao động của lực
3
- Tần số vòng của lực
11(rad s/ )
- Độ cứng k của hệ
3
1337,18 10 ( / ) 4,1
c
EI
H
- Tần số vòng tự nhiên
3
1337,18 10
6200
n
k
rad s m
- Tần số vòng tự nhiên của hệ có cản
Nghiệm riêng của phương trình chuyển động
p
Trang 52 0
1,020
n
p D
k
0
3
0,1393
n
p C
k
( ) 1,02sin(11 ) 0,1393cos(11 )
p
- Nghiệm tổng quát của phương trình chuyển động có dạng
( ) h( ) p( )
Các hệ số A,B được xác định như sau:
Thay t=0 vào phương trình (**) ta được
Đạo hàm 2 vế phương trình (**) ta được:
n
n
t
t
Thay t = 0 vào phương trình trên ta được
0,04 14,686 1.02 0,1393 11
14,674
n
D
A C
Vậy phương trình chuyển động của hệ là:
0,587
Đồ thị quan hệ giữa u(t) và thời gian
Trang 6b) Dùng phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích để vẽ đồ thị
Kết quả của phương pháp xấp xỉ tuyến tính lực kích thích là:
Với các giá trị A, B, C, D, A’, B’, C’ D’ được tính như sau
1
n t
1
n t
D D
2
2
1
n t
2
2 sin( ) 1
n t n
D
2
1
n t
Trang 72 2
n t n
2
1
1
n t
k t
Thay số ta tính được
Chọn t=0.01, ta được kết quả như sau
Với các giá trị ban đầu
1
Bảng giá trị cho 10 bước lập đầu tiên:
Đồ thị quan hệ giữa t và u(t)
Kết quả Matlab
Trang 8c) Dùng phương pháp gia tốc trung bình Newmark với 1; 1
để vẽ đồ thị quan hệ giữa u t t( );
Tóm tắt phương pháp gia tốc trung bình Newmark
- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu
1 ˆ
;
( )
t
- Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i
ˆ
p
k
2
t
2
u u u u u u u u u
- Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1
Thay các giá trị ta tính được kết quả sau:
0
Trang 9Chọn t 0,01 kˆ161222,7;a1998,6;b12,4
Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên
t
i
0 610 -3,68678 1216,313 0,00485 0,96997 -2,78022 0 0 98,3871 0,01 606,3132 -11,0158 3594,166 0,014331 0,926289 -5,95587 0,00485 0,96997 95,60688 0,02 595,2974 -18,2116 5823,809 0,023221 0,851778 -8,94637 0,019181 1,896259 89,651 0,03 577,0858 -25,1873 7830,717 0,031224 0,748665 -11,6762 0,042402 2,748037 80,70463 0,04 551,8985 -31,8586 9546,858 0,038067 0,6199 -14,0768 0,073626 3,496703 69,02842 0,05 520,04 -38,1447 10912,4 0,043511 0,469078 -16,0878 0,111693 4,116603 54,95165 0,06 481,8953 -43,9698 11877,24 0,047359 0,300345 -17,6588 0,155204 4,585681 38,86386 0,07 437,9255 -49,2633 12402,2 0,049452 0,1183 -18,7502 0,202563 4,886025 21,20506 0,08 388,6622 -53,9614 12460,11 0,049683 -0,07212 -19,334 0,252014 5,004325 2,454891 0,09 334,7008 -58,0072 12036,41 0,047993 -0,26576 -19,3947 0,301697 4,932204 -16,8791
Kết quả đồ thị quan hệ t, u(t):
d) So sánh các phương pháp
Trang 10Phương pháp Giải tích
Phương pháp Xắp xỉ tuyến tính lực kích thích
Phương pháp Gia tốc trung bình Newmark
Dựa vào bảng trên ta có thể kết luận các phương pháp số(xắp xỉ tuyến tính lực kích thích, gia tốc trung bình Newmark) cho kết quả gần đúng với phương pháp giải tích Câu 4:
a) Vẽ trên cùng đồ thị mối quan hệ giữa t và u(t) theo phương pháp giải tích và phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark( 1; 1
Phương pháp giải tích:
Phương trình vi phân chuyển động của hệ có dạng:
Theo số liệu đề cho ta có:
Trang 112
0, 2
n
rad s
Thay các giá trị vào biểu thức
2 0
0
n
n
p
C
k
p
D
k
Tìm được C = -0,02615; D = 0,001617;
Nghiệm tổng quát của phương trình (*) có dạng:
Áp điều kiện ban đầu u(0) 0; (0) 0 u
Ta tìm được A = -0,00167; B = 0,01242
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (*) là:
1,571
0,0262sin(15 ) 0, 001617 cos(15 )
t
Phương pháp gia tốc tuyến tính Newmark
- Bước 1: Tính các giá trị ban đầu
1 ˆ
;
( )
t
- Bước 2: Tính các giá trị tại bước thứ i
ˆ
ˆi
p
k
2
t
2
u u u u u u u u u
- Bước 3: Lặp bước 2 với i = i+1
Thay các giá trị ta tính được kết quả sau:
0
m
Bảng giá trị 10 bước lặp đầu tiên
t
i
Trang 120,01 -19,8791 0,361173 -3872,22 -0,06253 -5,88411 80,55771 -0,01114 -3,24345 -628,69 0,02 -19,5179 0,597102 -7214,97 -0,1165 -4,82759 130,7474 -0,07367 -9,12756 -548,132 0,03 -18,9208 0,825814 -9762,5 -0,15764 -3,33935 166,9002 -0,19017 -13,9551 -417,385 0,04 -18,095 1,044543 -11294 -0,18237 -1,57493 185,9838 -0,34781 -17,2945 -250,485 0,05 -17,0505 1,250646 -11692,8 -0,18881 0,288442 186,6903 -0,53018 -18,8694 -64,501 0,06 -15,7998 1,441631 -10953,8 -0,17688 2,069439 169,5091 -0,71899 -18,581 122,1893 0,07 -14,3582 1,615191 -9181,25 -0,14825 3,600112 136,6254 -0,89587 -16,5115 291,6985 0,08 -12,743 1,769226 -6575,08 -0,10617 4,741535 91,65931 -1,04412 -12,9114 428,3238 0,09 -10,9738 1,901875 -3408,92 -0,05505 5,396215 39,27661 -1,15029 -8,1699 519,9832
Đố thị biểu diễn quan hệ t và u(t)