Giáo trình vi tích phân 1

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày tháng 10 năm 2022 Mục lục Giới thiệu 1 Số thực Hàm số thực 1.1 1.2 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ 1.1.2 Vài quy tắc suy luận toán học 1.1.3 Tập hợp số thực 10 1.1.4 Dãy số thực 12 Hàm số 20 1.2.1 Đồ thị Đường thẳng 20 1.2.2 Hàm số sơ cấp 22 Hàm số liên tục 2.1 2.2 28 Giới hạn hàm số 28 2.1.1 Tiếp tuyến Vận tốc Tỉ lệ thay đổi 28 2.1.2 Giới hạn hàm số 32 2.1.3 Một số tính chất giới hạn 36 2.1.4 Các giới hạn mở rộng 39 Hàm số liên tục 45 2.2.1 Tính chất hàm số liên tục 47 2.2.2 Định lý giá trị trung gian 50 Phép tính vi phân 3.1 3.2 55 Đạo hàm tính chất 55 3.1.1 Định nghĩa đạo hàm 55 3.1.2 Tính chất đạo hàm 60 Các công thức cho đạo hàm 64 3.2.1 Đạo hàm hàm hợp 64 3.2.2 Đạo hàm hàm ngược 66 3.2.3 Đạo hàm hàm sơ cấp 68 3.2.4 Đạo hàm hàm ẩn 71 3.2.5 Đạo hàm bậc cao 72 ii MỤC LỤC iii Ứng dụng đạo hàm 4.1 4.2 76 Cực trị hàm số 76 4.1.1 Sự tồn giá trị lớn giá trị nhỏ 79 4.1.2 Các định lý giá trị trung bình 81 Đạo hàm tính chất hàm 85 4.2.1 Tính tăng, giảm, cực trị 85 4.2.2 Tính lồi, lõm, điểm uốn 87 4.2.3 Xấp xỉ tuyến tính 91 4.2.4 Qui tắc l’Hơpital ứng dụng tính giới hạn 95 Phép tính tích phân 5.1 5.2 5.3 5.4 108 Định nghĩa tính chất tích phân 108 5.1.1 Bài tốn diện tích 108 5.1.2 Định nghĩa tích phân 5.1.3 Các tính chất tích phân 108 Định lý Cơ phép tính vi tích phân 113 5.2.1 Nguyên hàm 113 5.2.2 Công thức Newton-Leibniz 114 Một số phương pháp biến đổi tích phân 119 5.3.1 Phép đổi biến tích phân 5.3.2 Tích phân phần 122 5.3.3 Một số phương pháp tính tích phân cho hàm đặc biệt 124 5.3.4 Sự tồn công thức cho tích phân 5.3.5 Tính tích phân phương pháp số 5.3.6 Tích phân suy rộng 126 128 Ứng dụng tích phân 136 5.4.1 Diện tích, thể tích 136 5.4.2 Giá trị trung bình 138 5.4.3 Một số ứng dụng khoa học 139 5.4.4 Xác suất 141 148 Chuỗi số thực 148 6.1.1 Sự hội tụ chuỗi số 149 6.1.2 Chuỗi số dương 152 6.1.3 Chuỗi đổi dấu 157 6.1.4 * Bổ sung dãy số thực 6.2 119 128 Chuỗi 6.1 111 159 Chuỗi hàm 165 6.2.1 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 166 6.2.2 Chuỗi lũy thừa 170 6.2.3 * Chuỗi Fourier 174 Tài liệu tham khảo 178 iv Chỉ mục MỤC LỤC 180 Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành ngồi tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn ❼ Tham gia biên soạn: Vũ Đỗ Huy Cường, Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ ❼ Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân ❼ Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải ❼ Người biên tập nay: Huỳnh Quang Vũ Liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn Tài liệu có trang web Đào tạo Bộ mơn Giải tích địa chỉ: https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Tài liệu tiếp tục chỉnh sửa bổ sung Các góp ý vui lịng gởi cho người biên tập Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành khoa học liệu, nhóm ngành máy tính cơng nghệ thơng tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý, (mơn tốn B), địa chất, hóa học, môi trường, sinh học, công nghệ sinh học, (mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật MỤC LỤC Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ tới khó hơn, số phần nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần cịn lại để tự học thêm Đối với tốn C giảm bớt mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận giảm tập phần Sử dụng giáo trình Mục tiêu sư phạm giáo trình mơn học nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính tốn, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận toán học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sinh viên sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Một phần lớn nội dung môn học sinh viên học trung học (trừ phần Chuỗi), tham khảo lại sách giáo khoa trung học [SGKTH] bổ ích cho sinh viên, nhiên giáo trình mơn học u cầu cao rõ rệt tiêu chí Mỗi mục cấp hai giáo trình (ví dụ mục 1.1) ứng với khoảng tiết lớp Các mục có dấu ∗ tương đối nâng cao, khơng bắt buộc Về dạy học ứng dụng Việc giới thiệu ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật cụ thể quan tâm giáo trình mơn học, xuất giải thích khái niệm đạo hàm, mơ hình dân số, tốn cực trị, Tuy nhiên cần lưu ý điểm sau: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho mơn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành khoa học kỹ thuật Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính MỤC LỤC vi tích phân vào ngành phải trình độ xét mơ hình có tính liên tục ngành (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận logic Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt mơn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học mơn chun ngành nâng cao sau Chương Số thực Hàm số thực 1.1 Số thực 1.1.1 Tập hợp ánh xạ Trong toán học đương đại tập hợp coi khái niệm ban đầu, thỏa tính chất định, từ dùng số qui tắc suy luận định người ta xây dựng kết Trong mục ta nhắc lại số tính chất qui tắc mà người học phần lớn người học học chương trình trung học Có thể hình dung tập hợp ghép nhóm đối tượng có tính chất chung đó, đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Ta ký hiệu x phần tử tập hợp A x ∈ A đọc “x thuộc A” Nếu x không phần tử tập hợp A ta kí hiệu x ∈ / A đọc “x không thuộc A” Tập hợp không chứa phần tử gọi tập hợp rỗng, kí hiệu ∅ Để mô tả tập hợp người ta thường dùng hai cách sau: (a) Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ tập hợp A chứa phần tử x, y, z t ta viết A = {x, y, z, t} Hay tập hợp B gồm ngày tuần viết B = {thứ hai, thứ ba, thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, chủ nhật} Cách thường dùng để mơ tả tập hợp có phần tử (b) Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có phần tử có Giả sử A tập hợp phần tử có tính chất P, ta viết A = {x | P} Ví dụ tập hợp C gồm sinh viên năm học mơn Vi tích phân viết là: C = {sinh viên năm | học mơn Vi tích phân 1} Phương pháp thường dùng để mô tả tập hợp có nhiều phần tử Để biểu diễn tập hợp cách trực quan ta dùng biểu đồ Hình 1.1.1 1.1 SỐ THỰC Hình 1.1.1: Biểu đồ biểu diễn tập hợp chứa phần tử Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B kí hiệu A ⊂ B Ví dụ 1.1.1 Cho A = {x, y, z} B = {x, y, z, t} A ⊂ B Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng nhau, kí hiệu A = B Các phép tốn tập hợp Hợp hay hội hai tập hợp A B tập hợp gồm tất phần tử A tất phần tử B, kí hiệu A ∪ B Vậy x ∈ A ∪ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.2 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∪ B = {a, b, c, x, y, z} Giao hai tập A B tập hợp gồm tất phần tử A mà phần tử B, kí hiệu A ∩ B Vậy x ∈ A ∩ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1.1.3 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A ∩ B = {a, x} Hiệu tập A tập B tập gồm tất phần tử A mà khơng thuộc B, kí hiệu A \ B Vậy x ∈ A \ B ⇐⇒ (x ∈ A x ∈ / B) Ví dụ 1.1.4 Cho A = {a, b, x, z} B = {a, c, x, y} A \ B = {b, z} Nếu A ⊂ E E \ A gọi phần bù A E Ví dụ 1.1.5 Cho A = {a, b, x, z} E = {a, b, c, x, y, z} E \ A = {c, y} Tích tập hợp A với tập hợp B tập hợp gồm tất cặp có thứ tự (x, y) với x ∈ A y ∈ B, kí hiệu A × B Vậy (x, y) ∈ A × B ⇐⇒ (x ∈ A y ∈ B) Ví dụ 1.1.6 Cho A = {a, b} B = {x, y} A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} Ánh xạ Ánh xạ khái niệm quan hệ tập hợp, cho tương ứng phần tử tập hợp với phần tử tập hợp khác Cụ thể ánh xạ f từ tập CHƯƠNG SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ THỰC hợp X đến tập hợp Y tương ứng phần tử x ∈ X với phần tử y Y Người ta thường ký hiệu ánh xạ dạng f : X → Y , x 7→ y = f (x) Tập X gọi tập hợp nguồn, hay miền xác định ánh xạ, tập Y gọi tập hợp đích ánh xạ Phần tử y gọi ảnh x phần tử x gọi tiền ảnh y Cho A tập X, tập hợp tất ảnh phần tử A qua ánh xạ f gọi ảnh A qua f , kí hiệu f (A) Ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f (X) Cho B tập Y , ta gọi tập hợp tiền ảnh phần tử B qua ánh xạ f tiền ảnh B qua f kí hiệu f −1 (B) Một ánh xạ đơn ánh hai phần tử khác có hai ảnh khác Bằng kí hiệu, điều viết với x1 , x2 ∈ X, x1 ̸= x2 f (x1 ) ̸= f (x2 ) Một ánh xạ toàn ánh phần tử tập đích ảnh, tức phần tử tập đích có tiền ảnh Bằng kí hiệu f : X → Y toàn ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho y = f (x); hay nói cách khác, f (X) = Y Một ánh xạ song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Hình 1.1.2: Biểu đồ minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn x ∈ X cho f (x) = y, ánh xạ g : Y → X xác định g(y) = x gọi ánh xạ ngược f , thường kí hiệu f −1 Xem Hình 1.1.3 Cho ánh xạ f : X → Y g : Y → Z ánh xạ hợp g ◦ f định nghĩa g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) f (x) g(x) − L < ϵ + 2ϵ = 3ϵ Các trường hợp x → b− , x → c, a = −∞, b = ∞ ta làm tương tự trình bày chứng minh Mệnh đề 4.2.17 Ví dụ 4.2.21 Ta làm lại Ví dụ 2.1.26 phương pháp mới, tìm 2x − x→∞ 3x + lim Ta có 2x −  ∞  (2x − 1)′ 2 = = lim = lim = ′ x→∞ 3x + x→∞ (3x + 4) x→∞ ∞ lim CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 98 Ví dụ 4.2.22 ln x  ∞  (ln x)′ x = = lim = = lim = lim x→∞ x2 x→∞ (x2 )′ x→∞ 2x x→∞ 2x2 ∞ lim Ví dụ 4.2.23 x2  ∞  (x2 )′ 2x  ∞  (2x)′ = = = lim = lim = lim = lim x = x ′ x x ′ x→∞ ex x→∞ x→∞ x→∞ x→∞ ∞ (e ) e ∞ (e ) e lim Các dạng vơ định khác Ta dùng qui tắc l’Hôpital để khử dạng vô định khác · ∞, ∞ − ∞, 00 , 1∞ , ∞0 , cách tìm cách biến đổi để đưa hai trường hợp kết biết Ta minh họa ví dụ sau Ví dụ 4.2.24 (Dạng vô định · ∞) lim x ln x (= · ∞) = lim x→0+ x→0+ ln x  ∞  (ln x)′ 1/x = = lim = lim = lim (−x) = ′ + + 1/x ∞ x→0 (1/x) x→0 −1/x2 x→0+ Ví dụ 4.2.25 (Dạng vơ định ∞ − ∞) lim x→1+     x ln x − x + x − (= ∞ − ∞) = lim = x − ln x x→1+ (x − 1) ln x ′ (x ln x − x + 1) ln x = lim = lim x→1+ [(x − 1) ln x]′ x→1+ ln x + − = lim x→1+ x  = 0 (ln x)′ 1/x = lim = 1/2 (ln x + − x1 )′ x→1+ 1/x + 1/x2  Ví dụ 4.2.26 (Dạng vơ định 00 ) Tìm lim xx x→0+ Dùng kết biết limx→0+ x ln x = tính liên tục hàm hàm mũ, ta viết x lim xx = lim eln x = lim ex ln x = e0 = x→0+ x→0+ x→0+ Vậy lim xx = x→0+ Người ta hay trình bày lời giải theo cách trước hết lấy ln, ta tính lim ln(xx ) = lim x ln x = 0, x→0+ suy limx→0+ xx = x→0+ 4.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM 99 Ví dụ 4.2.27 (Dạng vơ định 1∞ ) Tính lim x→∞
x x Lấy hàm ln, ta có ln +  lim x ln + x→∞ x   1+ x x = x ln(1 + x1 ) Ta tính qui tắc l’Hơpital: (= ∞ · 0) = lim ln(1 + x1 ) x x→∞ ln(1 + x1 )′ = lim x→∞ x→∞ + ( x )′ = lim x = Dùng tính liên tục hàm mũ, ta viết lim x→∞  1+ x x x = lim eln(1+ x ) = lim e1 = e x→∞ x→∞ Đây kết đáng nhớ: lim x→∞  1+ x x = e Ví dụ 4.2.28 (Mơ hình lãi nhập vốn liên tục) Trong Ví dụ 1.2.6 ta khảo sát mơ hình lãi nhập vốn sau khoảng thời gian rời rạc, với số lần hữu hạn, công thức A(t) = A(0)(1 + r)t Tuy nhiên có đại lượng, số cá thể quần thể vi khuẩn, thay đổi nhanh khoảng thời gian tương đối nhỏ, khiến cho sử dụng mơ hình liên tục thích hợp Giả sử đơn vị thời gian có n lần tính lãi (hay sinh sản), có n lần lãi nhập vốn Như sau khoảng thời gian t có nt lần tính lãi, giá trị đại lượng A  r nt A(t) = A(0) + n Mơ hình lãi nhập vốn liên tục, gọi “lãi kép”, xảy số lần tính lãi n đơn vị thời gian tiến vơ Vậy tốn tính lim n→∞ Ta viết lim n→∞   1+ r nt n  n r rt r nt = lim + n 1+ n→∞ n r Đặt x = nr , từ định nghĩa sử dụng Mệnh đề 2.1.18 hay 6.1.41 ta đưa toán từ giới hạn dãy giới hạn hàm thực: lim x→∞  1+ x xrt   rt x 1+ = lim = ert x→∞ x Vậy ta thu mơ hình lãi nhập vốn liên tục A(t) = A(0)ert CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 100 Ví dụ 4.2.29 Tính lim x 1−x x→1− Lấy hàm ln, ta có ln x 1−x = ln x 1−x ln x lim x→1− − x  Ta tính qui tắc l’Hôpital: =  = lim x→1− = −1 −x Dùng tính liên tục hàm mũ, ta viết lim x 1−x = lim eln x x→1 1−x x→1 = e−1 = 1/e Ví dụ 4.2.30 (Dạng vơ định ∞0 ) Tính lim x x x→∞ Lấy hàm ln, ta có ln x x = x ln x Ta tính qui tắc l’Hơpital: ln x  ∞  (ln x)′ = lim = = lim = ′ x→∞ x x→∞ x→∞ x ∞ x lim Dùng tính liên tục hàm mũ, ta viết 1 lim x x = lim eln x x = e0 = x→∞ x→∞ Bài tập Khảo sát hàm số 4.2.1 Từ đồ thị Hình 4.2.6, đặt tên cho điểm quan tâm tất tính chất quan sát được, như: miền xác định, liên tục, khả vi, tăng, giảm, cực trị địa phương, cực trị tồn cục, tính lồi, tính lõm, điểm uốn, tiệm cận Hình 4.2.6 4.2.2 Từ đồ thị Hình 4.2.7, đặt tên cho điểm quan tâm tất tính chất quan sát được, như: miền xác định, liên tục, khả vi, tăng, giảm, cực trị địa phương, cực trị toàn cục, tính lồi, tính lõm, điểm uốn, tiệm cận 4.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM 101 Hình 4.2.7 4.2.3 GDP năm Việt Nam từ năm 2010 tới 2012 cho bảng sau Năm 2010 2011 2012 tốc độ tăng trưởng GDP 6,4% 6,2% 5,2% Hãy phác họa đồ thị GDP of Việt Nam theo thời gian, thể tính tăng/giảm, lồi/lõm 4.2.4 Dưới phát biểu tình hình kinh doanh doanh nghiệp, dựa theo đồ thị doanh số theo thời gian kèm theo Hãy tương ứng đồ thị với phát biểu miêu tả (a) Triển vọng tốt, tốc độ tăng trưởng ngày tăng (b) Đang giảm sút, không nhanh trước (c) Đang giảm sút, tình hình ngày tệ (d) Đang tăng trưởng, tốc độ tăng trưởng chậm lại (e) Tốc độ tăng trưởng giảm tăng (f) Tốc độ tăng trưởng tăng giảm 4.2.5 Dưới đồ thị doanh thu R doanh nghiệp theo thời gian t Từ đồ thị cho biết điều sau xảy ra: R t 102 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM (a) Triển vọng lạc quan: doanh thu tăng ngày tăng nhanh (b) Doanh thu giảm sút tình hình cải thiện (c) Doanh thu giảm sút tình hình ngày tệ (d) Doanh thu tăng trở nên ổn định 4.2.6 Sản lượng thu hoạch nông sản y phụ thuộc vào hàm lượng nitơ đất N , cung cấp phân đạm (urea) Người ta quan sát thấy tăng lượng nitơ sản lượng tăng, tốc độ tăng giảm dần sản lượng không vượt qua mức định Xét mơ hình N y=C N +K C K số định Hãy khảo sát vẽ đồ thị mô hình để kiểm phù hợp mơ hình 4.2.7 Hãy vẽ đồ thị hàm f thỏa tất tính chất sau: (a) cực đại địa phương (3, 4), (b) cực đại toàn cục (−2, 6), (c) cực tiểu địa phương (1, 2) (d) điểm uốn (−1, 5), (2, 3), (4, 1), (e) limx→∞ f (x) = 0, (f) limx→−∞ f (x) = −∞ 4.2.8 Hãy vẽ đồ thị hàm f thỏa tất tính chất sau: (a) cực đại địa phương x = −3, x = 1, (b) cực tiểu địa phương x = −1, x = 3, (c) lõm (−∞, −2), (0, 2), (d) lồi (−2, 0), (2, 4), (e) không liên tục x = 4, (f) không khả vi x = 4.2.9 Hãy vẽ đồ thị hàm f thỏa tất tính chất sau: (a) cực đại địa phương x = −1, x = 3, (b) cực tiểu địa phương x = −3, x = 1, (c) lõm trên(−2, 0), (2, ∞), (d) lồi (−∞, −2), (0, 2), (e) cắt trục x x = 4, (f) cắt trục y y = 4.2.10 Hãy vẽ đồ thị hàm f thỏa tất tính chất sau: (a) Xác định khoảng (−5, 6), (b) limx→−5+ f (x) = −∞, 4.2 ĐẠO HÀM VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM 103 (c) Khơng liên tục x = −3, liên tục điểm khác, (d) Không khả vi x = 1, (e) limx→6− f (x) = 4.2.11 Tìm giá trị cực đại cực tiểu toàn cục, cực đại cực tiểu địa phương, tính lồi, lõm, điểm uốn, vẽ đồ thị (a) f (x) = x1 (c) f (x) = (b) f (x) = sin x (d) x2 ex 4.2.12 Cho  x   3 − 2, √ f (x) = x,   8 x, (a) Tìm miền giá trị f ( − x2 , 2x − 1, − ≤ x < ≤ x ≤ x < 0, ≤ x ≤ 4, x > (b) Hàm f liên tục khoảng nào? (c) Tìm điểm tới hạn hàm f (d) Vẽ đồ thị hàm số f Bài toán cực trị 4.2.13 Một cửa hàng định bán tranh Nếu bán 50 họ tính giá 400 nghìn đồng/bản Nếu muốn bán nhiều 50 thêm nhiều 50 cửa hàng phải giảm giá thêm nghìn đồng Hỏi cửa hàng nên bán để có doanh thu lớn nhất? 4.2.14 Giá p (đơn vị tiền/đơn vị sản phẩm) doanh số x (số đơn vị sản phẩm bán được) cho sản phẩm định cho phương trình x = 100 − 20p, gọi phương trình nhu cầu (a) Tìm hàm doanh thu (số tiền thu được) R(x) từ việc bán x đơn vị sản phẩm (b) Tìm doanh thu cận biên (marginal revenue), tức đạo hàm doanh thu theo doanh số (c) Tìm doanh thu cận biên doanh số 40 đơn vị sản phẩm giải thích ý nghĩa số (d) Tìm doanh số để doanh thu lớn (e) Vẽ đồ thị hàm R (f) Hàm chi phí C(x) = x − 15 Vẽ đồ thị hàm C mặt phẳng với R (g) Tìm doanh số để hịa vốn (h) Tìm doanh số để có lợi nhuận tối đa CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 104 4.2.15 Chứng tỏ để lợi nhuận đạt cực đại doanh thu cận biên phí cận biên 4.2.16 Gọi C(x) chi phí sản xuất x đơn vị sản phẩm loại hàng hóa, chi phí trung bình cho đơn vị sản phẩm c(x) = C(x) x Chứng tỏ chi phí trung bình cực tiểu thì chi phí cận biên 4.2.17 Một hồ nước bị nhiễm khuẩn xử lý hóa chất kháng khuẩn Sau t ngày, số lượng vi khuẩn mililit nước mơ hình hóa hàm N (t) = 32  t t − ln  với ≤ t ≤ 15 Cho biết số lượng vi khuẩn cao thấp xảy 4.2.18 Hóa chất lưu trữ hai nhà kho Trong tháng, khối lượng hóa chất nhà kho A mơ tả phương trình sau g(t) = t − 20t + 300, t ∈ [0, 30] khối lượng (tính theo kilogram) thời gian (tính theo ngày) Cũng tháng, khối lượng hóa chất nhà kho B mơ tả phương trình sau h(t) = −t2 + 30t + 80, t ∈ [0, 30] (a) Lúc t = 5, khối lượng hóa chất kho A nhiều khối lượng kho B bao nhiêu? (b) Tại thời điểm tổng khối lượng hóa chất lưu trữ hai kho nhiều nhất? (c) Chứng tỏ khoảng thời gian, khối lượng hóa chất kho B ln lớn khối lượng hóa chất kho A 4.2.19 Người ta dự đoán Quỹ Bảo hiểm Xã hội bị vỡ (tài sản cịn 0) số người đóng bảo hiểm khơng tăng lên quyền lợi người hưởng bảo hiểm không bị giảm xuống Dữ liệu cho thấy tổng tài sản Quỹ theo thời gian mơ hình hóa hàm f (t) = −0,0129t4 + 0,3087t3 + 2,1760t2 + 62,8466t + 506,2955 (0 ≤ t ≤ 35) f (t) đo theo đơn vị tỉ đồng t đo theo năm, với t = ứng với 1995 (a) Vẽ đồ thị f (dùng máy tính) (b) Khi tài sản Quỹ đạt mức cao nhất? (c) Dựa mơ hình này, Quỹ vỡ? (d) Khi tài sản Quỹ bắt đầu giảm sút? ... tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc... đạt mơn Vi tích phân? ?? tương đương với “rớt mơn Vi tích phân học khơng chăm chỉ”, khơng tương đương với “học khơng chăm rớt mơn Vi tích phân? ??, phủ định “có người học chăm mà rớt mơn Vi tích phân? ??... A tập hợp phần tử có tính chất P, ta vi? ??t A = {x | P} Ví dụ tập hợp C gồm sinh vi? ?n năm học môn Vi tích phân vi? ??t là: C = {sinh vi? ?n năm | học mơn Vi tích phân 1} Phương pháp thường dùng để mô