Microsoft Word Chuong 3 doc Tóm tắt bài giảng Chương 3 CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM VẬT RẮN Th S TRẦN ANH TÚ 1 Chương 3 CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN 3 1 Khối tâm vật rắn 3 1 1 Định nghĩa Điểm G được gọi là kh[.]
Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN 3.1 Khối tâm vật rắn: 3.1.1 Định nghĩa: Điểm G gọi khối tâm hệ chất điểm nếu: r m l ∑ i i =0 r l i : vectơ khỏang cách từ điểm G đến chất điểm thứ i • Vị trí khối tâm G: r Vị trí khối tâm G xác định bán kính vectơ rG - Trường hợp hệ chất điểm: r r r ri = rG + li r r r ⇔ mi ri = mi rG + mi li r r r ⇔ ∑ mi r = ∑ mi rG + ∑ mi li r r = (∑ mi )rG = MrG r ⇒ rG = r ∑m r i i M ⎧ ∑ mi x i ⎪ xG = M ⎪ ⎪⎪ ∑ mi y i ⎨ yG = M ⎪ ⎪ ∑ mi z i ⎪zG = M ⎪⎩ Vd: Đặt chất điểm khối lượng m đỉnh tam giác cạnh a • xG = m1 x1 + m2 x + m3 x3 m1 + m2 + m3 a ⎛ a⎞ ⎛a⎞ 2m o O + mo ⎜ − ⎟ + mo ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ = = mo • yG = 2mo a + mo O + mo O =a 4mo => G nằm đường phân giác y x ⎛ 3⎞ ⎟ G⎜⎜ 0, a ⎟ ⎝ ⎠ - Trường hợp chất điểm vật rắn: ⎧ = x x.dm G ⎪ M∫ ⎪ r r ⎪ rG = ⇒ ⎨ yG = y.dm ∫ r dm ∫ M M ⎪ ⎪ ⎪ z G = M ∫ z.dm ⎩ Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN dm ⇒ dm = λ dl dl dm - Mật độ khối lượng mặt: σ= ⇒ σ ds ds dm - Mật độ khối lượng mặt: ρ= ⇒ ρ dϑ dϑ m m m λ = , σ = , ρ = = hs + Nếu vật rắn có khối lượng phân bố thì: ϑ l s + Nếu vật rắn sợi dây phẳng trục x thì: dl= dx + Nếu vật rắn cung trịn, bán kính R ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) y λ= - Mật độ khối lượng dài: r = x + y , ϕ = arctg ⎧ x = r cos ϕ Với ⎨ ⎩ y = r sin ϕ y x ⇒ dl = R.dϕ + Nếu vật rắn mặt phẳng giới hạn đường thẳng: ds = dx.dy dy x dx + Nếu vật rắn dạng phẳng giới hạn cung tròn: ds = r.dr.dϕ + Nếu vật rắn mặt cần bán kính R thì: ds = R sin θ dθ dϕ Tọa độ cầu: ⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩ Khi tính hết mặt cầu: S = R π 2π 0 ∫ sin θ dθ ∫ dϕ + Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dϑ = dx.dy.dz + Nếu vật rắn khối cầu: dϑ = r dr sin θ dθ dϕ R π 2π 0 R3 2.2π = πR 3 V = ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ dϕ = Vd1: Cho vật rắn mặt phẳng OBC (OB = a, OC = b) khối lượng m phân bố Tìm G? M ab • xG = σ dx dy = ∫ M m VR = ab a ∫ x.dx y b x a = a2 a b y= x a 0 ∫ x.dx ∫ dy a ∫x dx = a • Tương tự: y = b Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd2: Cho vật rắn khối lượng m ¼ vịng trịn (O,R) Xác định G? M • xG = d3 σ r.dr ϕ r1cos ϕ= 12 23 M∫ ds x π R2 M π R ∫ r dr ∫ cos ϕ.dϕ 0 π R3 sinϕ = R ≈ 0,424 R 3π πR σ r.dr ϕ r sin ϕ = R • yG = d3 ∫ π M ds = 3.1.2 Chuyển động khối tâm G r r rG = mi ri ∑ M r r r r drG 1 ϑG = ϑ = m = P ∑ i i M∑ i dt M r r dϑ r r 1 aG = G = mi = Fi ∑ ∑ dt M M 3.2 Động lực hệ chất điểm vật rắn: 3.2.1 Định nghĩa: r r r r P = ∑ Pi = ∑ mi ϑi = MϑG 3.2.2 Định lý: r r r r dP d M ϑG = = M aG = ∑ F dt dt ( ) 3.2.3 Định luật bảo toàn động lượng: r r - Bảo toàn toàn phương: ∑ rF = ⇒ Pr = hs r - Bảo toàn phương: ∑ F ≠ 0, ∑ Fx = ⇒ Px = hs Vd1: r r r F =mg+N ∑ r r 1 r r + m2 g + N = PTVC = PSVC r r r r m1 ϑ1 + m2 ϑ2 = m1 ϑ '1 + m2 ϑ ' Vd2: r r PTB = PSB r r (m + M )V = mϑ + MV Vd3: r r P1 = P2 r r = mϑ + MV Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd4: Bảo toàn phương: r ∑ F = mg , ∑ Fx = r r ⎧ PxTVC = PxSVC ⎪ r ⎨mϑ + MV = mϑr ' + MVr ' { { ⎪ 0 ⎩ 3.3 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 3.3.1 Định nghĩa A1 A2 = B1 B2 = = G G2 r r r ϑ A = ϑ B = = ϑG r r r a A = a B = = aG Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến chất điểm vật rắn chuyển động quãng đường, vận tốc gia tốc với khối tâm 3.3.2 Động vật rắn chuyển động tịnh tiến 1 Wñ tt = ∑ Wñ i = ∑ miϑi2 = ϑG2 M 2 3.3.3 Phương trình động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến r r ∑ F = M aG 3.4 Vật rắn chuyển động quay quanh trục U 3.4.1 Định nghĩa θ A = θ B = = θ ω A =ω G = = ω β A = β B = = β Khi vật rắn quay quanh trục chất điểm có góc quay, vận tốc góc gia tốc góc 3.4.2 Động vật rắn quay quanh trục U 1 Wñ = ∑ Wñi = ∑ miϑi2 = ∑ mi ω i2 ri2 = ω ∑ mi ri2 Δ 2 Δ Đặt I = ∑ mi ri : moment quán tính hệ chất điểm trục U I Δω Δ Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U 3.4.3 Moment quán tính hệ chất điểm trục quayU I Δ = ∑ mi ri2 ⇒ Wđ = 3.4.4 Moment qn tính vật rắn trục quayU I Δ = ∫ dm.r VR Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd1: Cho thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố Tính moment trục quayU vng góc với qua điểm L L I = λ dx.x = M x Δ ∫L L − = − L M ⎛ L3 ⎛ L3 ⎞ ⎞ ML2 ⎜ − ⎜ − ⎟⎟ = 12 L ⎜⎝ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎟⎠ + Nếu chọn gốc O trục U’: I = M x Δ' L L = ML2 + Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh: L M M L3 ML2 2 I = dx.x sin α = sin α = sin α Δ2 L ∫ L 3 + Nếu chọn trục U3 song song với thanh: I = dm.d = d ∫ dm = M d Δ3 ∫ VR Vd2: Cho vành khối lượng M, bán kính R, U vng góc vành qua O I Δ = ∫ dm.R = R ∫ dm = M R VR Vd3: Đĩa đặc phân bố = σ r.dr.dϕ r Δ ∫ 2π R M = r dr ∫0 dϕ πR ∫0 I R M r4 M R 2π = ϕ = πR 0 Vd4: Đĩa bán kính R1,R2 M IΔ = π R2 − R11 ( M π R − R11 = M R2 + R12 ( ) ) ∫ r dr ∫ dϕ R1 ⎛R R ⎞ ⎜⎜ ⎟.2π − ⎟⎠ ⎝ = 2π R2 ( Th.S TRẦN ANH TÚ 4 ) Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN ML2 12 - Thanh dài: IΔ = - Vành trụ rỗng: I Δ = MR - Đĩa đặc, trụ đặc: IΔ = MR 2 - Cầu rỗng: IΔ = MR - Cầu đặc: IΔ = MR 3.4.5 Định lý Steiner-Huyghen Trục U qua G Trục U’//U cách U đoạn d I Δ ' = I Δ + Md Vd: Thanh rắn: 1 ⎛L⎞ I Δ ' = ML2 + M ⎜ ⎟ = ML2 12 ⎝2⎠ I Δ ' = MR + MR = 2MR Lưu ý: Moment qn tính có mang tính chất cộng I (m+ M ) Δ' = Im Δ + IM Δ Vd: Hệ niềng M, căm m: I = I1 + 6I ⎛1 ⎞ = MR + 6⎜ MR ⎟ = 3MR ⎝3 ⎠ Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN + Nếu khoét lỗ trừ đi: M: khối lượng đĩa chưa khoét m: Khối lượng đĩa bị khoét M’: khối lượng đĩa lại (M’ = M - m) M σ πR = ⇒ M = 4m m σ π r R ⎞⎤ ⎡ ⎛ + ⎜ − m ⎟⎥ = − R xG = ⎢ 3m ⎣ ⎝ ⎠⎦ Moment qn tính giá trị vơ hướng dương, (là giá trị số học) 3.4.6 Moment lực r 3.4.6.1 Moment lực F điểm O r r r M Fr / O = r xF ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ Điểm đặt: O r r Phương: ⊥ mp tạo r , F r r r Chiều: r , F , M tạo thành U diện thuận Độ lớn: M = r.F sin α ( ) r 3.4.6.2 Moment lực F trục U r r M Fr / Δ = hình chiếu M Fr / O lên trục U r 3.4.6.3 Moment lực F vật rắn trục U r Tác dụng lên vật rắn lực F để vật rắn quay quanh U r Lực F phân thành thành phần: r r r r F = Ft + Fn + Fz r Fz : làm vật trượt U, không làm vật rắn quay r Fn : kéo vật khỏi U, không làm vật rắn quay r Ft : làm vật rắn quay quanh U ⎫ ⎬ Moment lực = ⎭ => có lực tiếp tuyến làm vật rắn quay quanh U r r r M Frt = r xFt r M Fr / Δ = r ⎧F ⎪⎪ r ⇔ ⎨F ⎪ r ⎪⎩ F Th.S TRẦN ANH TÚ (r : khoảng cách từ U đến M) =0 cắt U // U Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN 3.4.6.4 Moment tổng ngọai lực vật rắn U r r r r r M ∑ Fr / Δ = ∑ ri xFti = ∑ ri xmi ati r r r r r r r r r = ∑ mi ri x( β i xri ) = ∑ mi (ri ri ).β i − (ri β i ).ri r r = ∑ mi ri β = I Δ β [ ] [ ] 3.4.6.5 Phương trình động lực học vật rắn quay quanh U: r r M ∑ Fr / Δ = I Δ β r 3.4.7 Moment động lượng L r 3.4.7.1 Moment động lượng L O r r r Li / O = ri Pi ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ r ( ri : vectơ vị trí) Điểm đặt: O r r Phương: vng góc mặt phẳng tạo ri , Pi r r r Chiều: ri , Pi , L/ O tạo thành U diện thuận r Độ lớn: Li / O = ri Pi sin α ( ) 3.4.7.2 Moment động lượng U r r L/ Δ = hình chiếu L/ O Δ 3.4.7.3 Moment động lượng vật rắn U r r r r r r L/ Δ = ∑ Li / Δ = ∑ ri xpi =∑ ri xmi vi r r r r r r r r r = ∑ mi [ri x(ϖ i xri )] = ∑ mi [(ri ri ).ϖ i − (ri ϖ i ).ri ] r r = ∑ mi ri ϖ = I Δ ϖ Ghi chú: r r M ∑ Fr / Δ vật rắn trục U phương, chiều với β r r L/ Δ vật rắn trục U phương, chiều với ω 3.4.7.4 Định lý moment động lượng r r r r dL/ Δ dϖ = I/Δ = I / Δ β = M ∑ Fr / Δ dt dt 3.4.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng r r Khi M ∑ Fr / Δ = L/ Δ = const Vd: Ghế Giucopxki (người từ mép đĩa đến R/2) r r L/ Δ1 = L/ Δ ⎛1 R2 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ MR + MR ⎟ω1 = ⎜⎜ MR + MR ⎝2 ⎠ ⎝2 Th.S TRẦN ANH TÚ ⎞ ⎟⎟ω ⎠ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd: Viên đạn chạm M, L: r r M ∑ Fr / Δ = L/ Δ = const r r ⇒ LTVC = LSVC ϑ ML2 + + mL2 = ML2 Ω'+ mL2 ω ' L 3.5 Vật rắn chuyển động lăn không trượt 3.5.1 Định nghĩa: ¾ Định nghĩa 1: Khi vật rắn lot vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G vùa chuyển động quay quanh G r r ⎧ϑG ⎧ω Quay quanh G ⎨ r Tịnh tiến ⎨ r ⎩β ⎩a G ⎧ ⎪ AB = G1G2 = A' B = Rθ ⎪r dθ ⎪ ⇔ ⎨ϑG = R = ωR dt ⎪ dω ⎪ ⎪⎩aG = R dt = β R • - Vectơ vận tốc chuyển động lot G, A, B, C r r r r Xét chuyển động tịnh tiến: ϑG = ϑ A = ϑ B = ϑC - Xét chuyển động quay quanh G: r r r ⇒ ϑ A / lot = ϑ Att = ϑ A.quay r r ⎧ϑ A = 2ϑG ⎪r r ⎪ϑ B = 2ϑG Vậy: ⎨ r ⎪ϑC = r ⎪r = ϑ ϑ G ⎩ G ¾ Định nghĩa 2: Lot quay quanh tâm quay tức thời (ϑlot = 0) : ω = ϑG R 3.5.2 Động vật rắn Lot: 1 Wñ / lot = WñttG + WñqG = MϑG2 + I G ω 2 3.5.3 Phương trình ĐLH Lot: r ⎧⎪∑ F = m.avG r ⎨r ⎪⎩M ∑ Fr / Δ = I Δ β Th.S TRẦN ANH TÚ Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN 3.6 Va chạm 3.6.1 Va chạm đàn hồi r r TVC m1ϑ1 , m 2ϑ2 r r SVC m1ϑ1' , m2ϑ2' Trong va chạm hoàn toàn đàn hồi động lượng hệ động hệ bảo toàn r r r r r r ⎧PTVC = PSVC → m1ϑ1 + m 2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2' ⎪ r ⎨r 1 1 2 '2 '2 ⎪WñTVC = WñSVC = m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1 + m2ϑ2 (1) 2 2 ⎩ • Nếu va chạm xuyên tâm: m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2' (v1,v2,v1’, v2’ giá trị đại số) 2m m1 − m ϑ1 + ϑ2 m1 + m m1 + m 2m1 m − m1 ⇒ ϑ2' = ϑ1 + ϑ2 m1 + m m1 + m (1), (2) ⇒ ϑ1' = Vd: r r • LTVC = L SVC ϑ ϑ' ML2ω + ml = ML2ω ' + ml l l • WđTVC = WñSVC ⇔ ⇔ 1⎛1 ϑ 1⎛1 ϑ2 2⎞ 2 ⎞ '2 ⎜ ML ⎟ω + ml = ⎜ ML ⎟ω + ml 2⎝3 2 l 2⎝3 l ⎠ ⎠ 3.6.2 Va chạm mềm r r ϑ ϑ m , m TVC 1 2 ⎧ r ⎨ ( ) m + m ϑ ' SVC ⎩ Trong va chạm mềm có động lượng hệ bảo tồn, động hệ khơng bảo tồn Động trước va chạm trừ động sau va chạm nhiệt lượng làm vật bị biến dạng r r r m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ ' • Nếu va chạm xuyên tâm: m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ ' Chú ý chọn chiều (+) Th.S TRẦN ANH TÚ (v1,v2,v1’, v2’ giá trị đại số) 10 Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd1: r r r m1 : m1 g + T1 = m1 a1 r r r m2 : m2 g + T2 = m2 a r v M : M ∑ Fr / = I / β Chọn chiều (+) chiều chuyển động m1,m2 chiều quay ròng rọc (U hướng vào) ⎧ ⎪− m1 g + T1 = m1 a ⎧− m1 g + T1 = m1 a1 ⎪ g(m − m1 ) ⎪ ⇒ ⎨m g − T2 = m a2 ⇔ ⎨m g − T2 = m a ⇒a= ⎪ − T R + T R = Iβ ⎪ m1 + m + M a ⎩ ⎪(− T1 + T2 )R = MR R ⎩ Vd2: a= Vd3: g(m2 − km1 ) m1 + m + M m1 ↑: m2 > sin α + k cos α m1 m1 ↓: m2 > sin α − k cos α m1 g[m2 − m1 (sin α + k cos α )] m1 + m + M g[m1 (sin α + k cos α ) − m2 ] m1 ↑: a = m1 + m + M m1 ↑: a = Th.S TRẦN ANH TÚ 11 ... giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd2: Cho vật rắn khối lượng m ¼ vịng trịn (O,R) Xác định G? M • xG = d3 σ r.dr ϕ r1cos ϕ= 12 23 M∫ ds x π R2 M π R ∫ r dr ∫ cos ϕ.dϕ 0 π R3 sinϕ = R... tốc với khối tâm 3. 3.2 Động vật rắn chuyển động tịnh tiến 1 Wñ tt = ∑ Wñ i = ∑ miϑi2 = ϑG2 M 2 3. 3 .3 Phương trình động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến r r ∑ F = M aG 3. 4 Vật rắn chuyển động... quán tính hệ chất điểm trục U I Δω Δ Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U 3. 4 .3 Moment quán tính hệ chất điểm trục quayU I Δ = ∑ mi ri2 ⇒ Wđ = 3. 4.4 Moment qn tính vật rắn trục quayU