cơ học hệ chất điểm vật lý 1 đại học bk hcm

Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM – VẬT RẮN 3.1 Khối tâm vật rắn: 3.1.1 Định nghĩa: Điểm G gọi khối tâm hệ chất điểm nếu: r m l ∑ i i =0 r l i : vectơ khỏang cách từ điểm G đến chất điểm thứ i • Vị trí khối tâm G: r Vị trí khối tâm G xác định bán kính vectơ rG i i M ng co r ∑m r ⎧ ∑ mi x i ⎪ xG = M ⎪ ⎪⎪ ∑ mi y i ⎨ yG = M ⎪ ⎪ ∑ mi z i ⎪zG = M ⎪⎩ g th an r ⇒ rG = c om - Trường hợp hệ chất điểm: r r r ri = rG + li r r r ⇔ mi ri = mi rG + mi li r r r ⇔ ∑ mi r = ∑ mi rG + ∑ mi li r r = (∑ mi )rG = MrG • xG = du on Vd: Đặt chất điểm khối lượng m đỉnh tam giác cạnh a m1 x1 + m2 x + m3 x3 m1 + m2 + m3 y a cu u ⎛ a⎞ ⎛a⎞ 2m o O + mo ⎜ − ⎟ + mo ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝2⎠ = = mo • yG = 2mo a + mo O + mo O =a 4mo => G nằm đường phân giác x ⎛ 3⎞ ⎟ G⎜⎜ 0, a ⎟ ⎝ ⎠ - Trường hợp chất điểm vật rắn: ⎧ = x x.dm G ⎪ M∫ ⎪ r r ⎪ rG = ⇒ ⎨ yG = y.dm ∫ r dm ∫ M M ⎪ ⎪ ⎪ z G = M ∫ z.dm ⎩ Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN dm ⇒ dm = λ dl dl dm - Mật độ khối lượng mặt: σ= ⇒ σ ds ds dm - Mật độ khối lượng mặt: ρ= ⇒ ρ dϑ dϑ m m m λ = , σ = , ρ = = hs + Nếu vật rắn có khối lượng phân bố thì: ϑ l s + Nếu vật rắn sợi dây phẳng trục x thì: dl= dx + Nếu vật rắn cung trịn, bán kính R ta dùng tọa độ cực (R,ϕ) y λ= - Mật độ khối lượng dài: ⎧ x = r cos ϕ Với ⎨ ⎩ y = r sin ϕ y x ⇒ dl = R.dϕ + Nếu vật rắn mặt phẳng giới hạn đường thẳng: ds = dx.dy dy c om r = x + y , ϕ = arctg x dx co ng + Nếu vật rắn dạng phẳng giới hạn cung tròn: ds = r.dr.dϕ + Nếu vật rắn mặt cần bán kính R thì: ds = R sin θ dθ dϕ du on g th ⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin θ sin ϕ ⎪ z = r cos θ ⎩ an Tọa độ cầu: Khi tính hết mặt cầu: S = R π 2π 0 ∫ sin θ dθ ∫ dϕ cu u + Nếu vật rắn dạng khối lăng trụ hay lập phương: dϑ = dx.dy.dz + Nếu vật rắn khối cầu: dϑ = r dr sin θ dθ dϕ R π 2π 0 R3 2.2π = πR 3 V = ∫ r dr ∫ sin θ dθ ∫ dϕ = Vd1: Cho vật rắn mặt phẳng OBC (OB = a, OC = b) khối lượng m phân bố Tìm G? M ab • xG = σ dx dy = ∫ M m VR = ab a ∫ x.dx y b x a = a2 a b y= x a 0 ∫ x.dx ∫ dy a ∫x dx = a • Tương tự: y = b Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd2: Cho vật rắn khối lượng m ¼ vịng trịn (O,R) Xác định G? M • xG = d3 σ r.dr ϕ r1cos ϕ= 12 23 M∫ ds x π R2 M π R ∫ r dr ∫ cos ϕ.dϕ 0 π R3 sinϕ = R ≈ 0,424 R 3π πR σ r.dr ϕ r sin ϕ = R • yG = d3 ∫ π M ds = 3.2.1 Định nghĩa: r r r r P = ∑ Pi = ∑ mi ϑi = MϑG 3.2.2 Định lý: r r r r dP d M ϑG = = M aG = ∑ F dt dt th ) du on g ( an co 3.2 Động lực hệ chất điểm vật rắn: ng c om 3.1.2 Chuyển động khối tâm G r r rG = mi ri ∑ M r r r r drG 1 ϑG = ϑ = m = P ∑ i i M∑ i dt M r r dϑ r r 1 aG = G = mi = Fi ∑ ∑ dt M M Vd1: cu u 3.2.3 Định luật bảo toàn động lượng: r r - Bảo toàn toàn phương: ∑ rF = ⇒ Pr = hs r - Bảo toàn phương: ∑ F ≠ 0, ∑ Fx = ⇒ Px = hs r r r F =mg+N ∑ r r 1 r r + m2 g + N = PTVC = PSVC r r r r m1 ϑ1 + m2 ϑ2 = m1 ϑ '1 + m2 ϑ ' Vd2: r r PTB = PSB r r (m + M )V = mϑ + MV Vd3: r r P1 = P2 r r = mϑ + MV Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd4: Bảo toàn phương: r ∑ F = mg , ∑ Fx = r r ⎧ PxTVC = PxSVC ⎪ r ⎨mϑ + MV = mϑr ' + MVr ' { { ⎪ 0 ⎩ 3.3 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 3.3.1 Định nghĩa c om A1 A2 = B1 B2 = = G G2 r r r ϑ A = ϑ B = = ϑG r r r a A = a B = = aG ng Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến chất điểm vật rắn chuyển động quãng đường, vận tốc gia tốc với khối tâm co 3.3.2 Động vật rắn chuyển động tịnh tiến 1 Wñ tt = ∑ Wñ i = ∑ miϑi2 = ϑG2 M 2 th an 3.3.3 Phương trình động lực học vật rắn chuyển động tịnh tiến r r ∑ F = M aG du on 3.4.1 Định nghĩa θ A = θ B = = θ g 3.4 Vật rắn chuyển động quay quanh trục U ω A =ω G = = ω β A = β B = = β cu u Khi vật rắn quay quanh trục chất điểm có góc quay, vận tốc góc gia tốc góc 3.4.2 Động vật rắn quay quanh trục U 1 Wñ = ∑ Wñi = ∑ miϑi2 = ∑ mi ω i2 ri2 = ω ∑ mi ri2 Δ 2 Δ Đặt I = ∑ mi ri : moment quán tính hệ chất điểm trục U I Δω Δ Với ri : khoảng cách từ chất điểm thứ i đến trục U 3.4.3 Moment quán tính hệ chất điểm trục quayU I Δ = ∑ mi ri2 ⇒ Wđ = 3.4.4 Moment qn tính vật rắn trục quayU I Δ = ∫ dm.r VR Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd1: Cho thẳng khối lượng M, dài L, khối lượng phân bố Tính moment trục quayU vng góc với qua điểm L L I = λ dx.x = M x Δ ∫L L − = − L M ⎛ L3 ⎛ L3 ⎞ ⎞ ML2 ⎜ − ⎜ − ⎟⎟ = 12 L ⎜⎝ 24 ⎜⎝ 24 ⎟⎠ ⎟⎠ + Nếu chọn gốc O trục U’: I = M x Δ' L L = ML2 c om + Nếu chọn trục U2 lệch góc α với thanh: L M M L3 ML2 2 I = dx.x sin α = sin α = sin α Δ2 L ∫ L 3 + Nếu chọn trục U3 song song với thanh: I = dm.d = d ∫ dm = M d Δ3 ∫ ng VR = ∫ dm.R = R ∫ dm = M R an Δ VR th I co Vd2: Cho vành khối lượng M, bán kính R, U vng góc vành qua O du on g Vd3: Đĩa đặc phân bố = σ r.dr.dϕ r Δ ∫ 2π R M = r dr ∫0 dϕ πR ∫0 u I R cu M r4 M R 2π = ϕ = πR 0 Vd4: Đĩa bán kính R1,R2 M IΔ = π R2 − R11 ( M π R − R11 = M R2 + R12 ( ) ) ∫ r dr ∫ dϕ R1 ⎛R R ⎞ ⎜⎜ ⎟.2π − ⎟⎠ ⎝ = 2π R2 ( 4 ) Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN - Đĩa đặc, trụ đặc: IΔ = MR 2 - Cầu rỗng: IΔ = MR - Cầu đặc: IΔ = MR ng I Δ = MR co - Vành trụ rỗng: an IΔ = c om ML2 12 - Thanh dài: th 3.4.5 Định lý Steiner-Huyghen du on g Trục U qua G Trục U’//U cách U đoạn d I Δ ' = I Δ + Md Vd: Thanh rắn: cu u 1 ⎛L⎞ I Δ ' = ML2 + M ⎜ ⎟ = ML2 12 ⎝2⎠ I Δ ' = MR + MR = 2MR Lưu ý: Moment quán tính có mang tính chất cộng I (m+ M ) Δ' = Im Δ + IM Δ Vd: Hệ niềng M, căm m: I = I1 + 6I ⎛1 ⎞ = MR + 6⎜ MR ⎟ = 3MR ⎝3 ⎠ Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN + Nếu khoét lỗ trừ đi: M: khối lượng đĩa chưa khoét m: Khối lượng đĩa bị khoét M’: khối lượng đĩa lại (M’ = M - m) M σ πR = ⇒ M = 4m m σ π r R ⎞⎤ ⎡ ⎛ + ⎜ − m ⎟⎥ = − R xG = ⎢ 3m ⎣ ⎝ ⎠⎦ Moment quán tính giá trị vơ hướng dương, (là giá trị số học) 3.4.6 Moment lực r 3.4.6.1 Moment lực F điểm O Điểm đặt: O r r Phương: ⊥ mp tạo r , F r r r Chiều: r , F , M tạo thành U diện thuận Độ lớn: M = r.F sin α ng ( ) co ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ c om r r r M Fr / O = r xF r 3.4.6.2 Moment lực F trục U th an r r M Fr / Δ = hình chiếu M Fr / O lên trục U du on g r 3.4.6.3 Moment lực F vật rắn trục U r Tác dụng lên vật rắn lực F để vật rắn quay quanh U r Lực F phân thành thành phần: cu u r r r r F = Ft + Fn + Fz r Fz : làm vật trượt U, không làm vật rắn quay r Fn : kéo vật khỏi U, không làm vật rắn quay r Ft : làm vật rắn quay quanh U ⎫ ⎬ Moment lực = ⎭ => có lực tiếp tuyến làm vật rắn quay quanh U r r r M Frt = r xFt r M Fr / Δ = r ⎧F ⎪⎪ r ⇔ ⎨F ⎪ r ⎪⎩ F (r : khoảng cách từ U đến M) =0 cắt U // U Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN 3.4.6.4 Moment tổng ngọai lực vật rắn U r r r r r M ∑ Fr / Δ = ∑ ri xFti = ∑ ri xmi ati r r r r r r r r r = ∑ mi ri x( β i xri ) = ∑ mi (ri ri ).β i − (ri β i ).ri r r = ∑ mi ri β = I Δ β [ ] [ ] 3.4.6.5 Phương trình động lực học vật rắn quay quanh U: r r M ∑ Fr / Δ = I Δ β r 3.4.7 Moment động lượng L r 3.4.7.1 Moment động lượng L O r r r Li / O = ri Pi ) ng ( c om Điểm đặt: O r r Phương: vng góc mặt phẳng tạo ri , Pi r r r Chiều: ri , Pi , L/ O tạo thành U diện thuận r Độ lớn: Li / O = ri Pi sin α co ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩ r ( ri : vectơ vị trí) Δ th r r L/ Δ = hình chiếu L/ O an 3.4.7.2 Moment động lượng U u du on g 3.4.7.3 Moment động lượng vật rắn U r r r r r r L/ Δ = ∑ Li / Δ = ∑ ri xpi =∑ ri xmi vi r r r r r r r r r = ∑ mi [ri x(ϖ i xri )] = ∑ mi [(ri ri ).ϖ i − (ri ϖ i ).ri ] r r = ∑ mi ri ϖ = I Δ ϖ cu Ghi chú: r r M ∑ Fr / Δ vật rắn trục U phương, chiều với β r r L/ Δ vật rắn trục U phương, chiều với ω 3.4.7.4 Định lý moment động lượng r r r r dL/ Δ dϖ = I/Δ = I / Δ β = M ∑ Fr / Δ dt dt 3.4.7.5 Định luật bảo tòan moment động lượng r r Khi M ∑ Fr / Δ = L/ Δ = const Vd: Ghế Giucopxki (người từ mép đĩa đến R/2) r r L/ Δ1 = L/ Δ ⎛1 R2 ⎛1 ⎞ ⇔ ⎜ MR + MR ⎟ω1 = ⎜⎜ MR + MR ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎞ ⎟⎟ω ⎠ Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd: Viên đạn chạm M, L: r r M ∑ Fr / Δ = L/ Δ = const r r ⇒ LTVC = LSVC ϑ ML2 + + mL2 = ML2 Ω'+ mL2 ω ' L 3.5 Vật rắn chuyển động lăn không trượt co an th ⎧ ⎪ AB = G1G2 = A' B = Rθ ⎪r dθ ⎪ ⇔ ⎨ϑG = R = ωR dt ⎪ dω ⎪ ⎪⎩aG = R dt = β R ng c om 3.5.1 Định nghĩa: ¾ Định nghĩa 1: Khi vật rắn lot vừa chuyển động tịnh tiến theo khối tâm G vùa chuyển động quay quanh G r r ⎧ϑG ⎧ω Quay quanh G ⎨ r Tịnh tiến ⎨ r ⎩β ⎩a G g Vectơ vận tốc chuyển động lot G, A, B, C r r r r Xét chuyển động tịnh tiến: ϑG = ϑ A = ϑ B = ϑC du on • - cu u Xét chuyển động quay quanh G: r r r ⇒ ϑ A / lot = ϑ Att = ϑ A.quay r r ⎧ϑ A = 2ϑG ⎪r r ⎪ϑ B = 2ϑG Vậy: ⎨ r ⎪ϑC = r ⎪r = ϑ ϑ G ⎩ G ¾ Định nghĩa 2: Lot quay quanh tâm quay tức thời (ϑlot = 0) : ω = ϑG R 3.5.2 Động vật rắn Lot: 1 Wñ / lot = WñttG + WñqG = MϑG2 + I G ω 2 3.5.3 Phương trình ĐLH Lot: r ⎧⎪∑ F = m.avG r ⎨r ⎪⎩M ∑ Fr / Δ = I Δ β Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN 3.6 Va chạm 3.6.1 Va chạm đàn hồi r r TVC m1ϑ1 , m 2ϑ2 r r SVC m1ϑ1' , m2ϑ2' Trong va chạm hồn tồn đàn hồi động lượng hệ động hệ bảo toàn r r r r r r ⎧PTVC = PSVC → m1ϑ1 + m 2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2' ⎪ r ⎨r 1 1 2 '2 '2 ⎪WñTVC = WñSVC = m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1 + m2ϑ2 (1) 2 2 ⎩ • Nếu va chạm xuyên tâm: m1ϑ1 + m2ϑ2 = m1ϑ1' + m2ϑ2' (v1,v2,v1’, v2’ giá trị đại số) 2m m1 − m ϑ1 + ϑ2 m1 + m m1 + m 2m1 m − m1 ⇒ ϑ2' = ϑ1 + ϑ2 m1 + m m1 + m ng Vd: c om (1), (2) ⇒ ϑ1' = co r r • LTVC = L SVC ϑ ϑ' ML2ω + ml = ML2ω ' + ml l l • WđTVC = WñSVC an ⇔ th 1⎛1 ϑ 1⎛1 ϑ2 2⎞ 2 ⎞ '2 ⎜ ML ⎟ω + ml = ⎜ ML ⎟ω + ml 2⎝3 2 l 2⎝3 l ⎠ ⎠ du on g ⇔ u 3.6.2 Va chạm mềm r r ϑ ϑ m , m TVC 1 2 ⎧ r ⎨ ( ) m + m ϑ ' SVC ⎩ cu Trong va chạm mềm có động lượng hệ bảo tồn, động hệ khơng bảo tồn Động trước va chạm trừ động sau va chạm nhiệt lượng làm vật bị biến dạng r r r m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ ' • Nếu va chạm xuyên tâm: m1ϑ1 + m1ϑ2 = (m1 + m2 )ϑ ' Chú ý chọn chiều (+) (v1,v2,v1’, v2’ giá trị đại số) Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com 10 https://fb.com/tailieudientucntt Tóm tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN Vd1: r r r m1 : m1 g + T1 = m1 a1 r r r m2 : m2 g + T2 = m2 a r v M : M ∑ Fr / = I / β Chọn chiều (+) chiều chuyển động m1,m2 chiều quay ròng rọc (U hướng vào) ng c om ⎧ ⎪− m1 g + T1 = m1 a ⎧− m1 g + T1 = m1 a1 ⎪ g(m − m1 ) ⎪ ⇒ ⎨m g − T2 = m a2 ⇔ ⎨m g − T2 = m a ⇒a= ⎪ − T R + T R = Iβ ⎪ m1 + m + M a ⎩ ⎪(− T1 + T2 )R = MR R ⎩ an g(m2 − km1 ) m1 + m + M Vd3: du on g th a= co Vd2: m2 > sin α + k cos α m1 m1 ↓: m2 > sin α − k cos α m1 cu u m1 ↑: g[m2 − m1 (sin α + k cos α )] m1 + m + M g[m1 (sin α + k cos α ) − m2 ] m1 ↑: a = m1 + m + M m1 ↑: a = Th.S TRẦN ANH TÚ CuuDuongThanCong.com 11 https://fb.com/tailieudientucntt ... m1? ?1 + m 2ϑ2 = m1? ?1' + m2ϑ2' ⎪ r ⎨r 1 1 2 '2 '2 ⎪WñTVC = WñSVC = m1? ?1 + m2ϑ2 = m1? ?1 + m2ϑ2 (1) 2 2 ⎩ • Nếu va chạm xuyên tâm: m1? ?1 + m2ϑ2 = m1? ?1' + m2ϑ2' (v1,v2,v1’, v2’ giá trị đại số) 2m m1... − m ? ?1 + ϑ2 m1 + m m1 + m 2m1 m − m1 ⇒ ϑ2' = ? ?1 + ϑ2 m1 + m m1 + m ng Vd: c om (1) , (2) ⇒ ? ?1' = co r r • LTVC = L SVC ϑ ϑ' ML2ω + ml = ML2ω ' + ml l l • WđTVC = WđSVC an ⇔ th 1? ? ?1 ϑ 1? ? ?1 ϑ2 2⎞... tắt giảng Chương 3: CƠ HỌC HỆ CHẤT ĐIỂM - VẬT RẮN 3.6 Va chạm 3.6 .1 Va chạm đàn hồi r r TVC m1? ?1 , m 2ϑ2 r r SVC m1? ?1' , m2ϑ2' Trong va chạm hoàn tồn đàn hồi động lượng hệ động hệ bảo toàn r r r