Đề chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia năm 2018 môn Toán VnDoc com a√ (b+ 2) (c+ 2) + b√ (c+ 2) (a+ 2) + c√ (a+ 2) (b+ 2) ≥ 1 b) Cho n là số nguyên dương, xét đa thức P (x) = anx n + an−1x n−1 + + a1x+[.]
1 Bài a) Cho số dương a, b, c cho a2 + b2 + c2 + abc = Chứng minh a b c p +p +p ≥ (b + 2) (c + 2) (c + 2) (a + 2) (a + 2) (b + 2) b) Cho n số nguyên dương, xét đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + + a1 x + a0 có hệ số số thực Biết P (0) , P (1) , , P (n) số nguyên Chứng minh với số nguyên m P (m) nhận giá trị số nguyên Bài Xét phương trình 1 + + + =1 (x + 1) (x + 2) n (x + n) với n số nguyên dương a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình ln có nghiệm khoảng (−1; +∞) nghiệm nhất, kí hiệu xn b) Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn n → +∞ tính giới hạn Bài Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O), I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Gọi H D hình chiếu vng góc A I cạnh BC Đường thẳng AI cắt (O) điểm E khác A, đường thẳng DE cắt (O) F khác E Hai đường thẳng BC, AF cắt K a) Chứng minh F I⊥EA bốn điểm A, I, K, H thuộc nửa đường tròn b) Đường thẳng EH cắt (O) L khác E, đường thẳng F L cắt BC J Chứng minh tiếp tuyến (O) điểm F qua trung điểm đoạn JK Bài a) Kí hiệu N∗ tập hợp số nguyên dương Có hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn f (1) = 1, f (n + 2) f (n) = f (n + 1) + 1, ∀n ∈ N∗ b) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f f (x) + x2 + y = f (x) + x2 + f (y) , ∀x, y ∈ R Bài a) Tính số hốn vị f (1) ; f (2) ; ; f (2018) số 1; 2; 2018 cho biểu thức T = 1f (1) + 2f (2) + + 2018f (2018) nhận giá trị số nguyên lẻ b) Trong thi vấn đáp gồm có m thí sinh n giám khảo, m > 1, n > n bội Mỗi giám khảo đánh giấ thí sinh theo ba loại A, B, C Biết tồn số nguyên dương k cho hai giám khảo có đánh giá giống m (n − 2) ứng với k thí sinh Chứng minh k ≥ 3n Bài Cho dãy số (xn ) xác định n−1 x0 = 2017, xn = − 2017 X xk , ∀n ∈ N∗ n k=0 Tìm giới hạn n2 L = lim n→∞ 2017 X 2k xk + k=0 −2018n2 + 4n − Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện xf (x + xy) = xf (x) + f (x2 )f (y) ∀x, y ∈ R Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O), có trực tâm H Gọi M , N , P trung điểm BC, CA, AB Đường trịn đường kính AH đường tròn (O) cắt T 6= A AT cắt BC Q N P cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) R a) Chứng minh QR vng góc OH b) Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác \ cắt đoạn thẳng BC I Gọi K hình chiếu A H Chứng minh góc BHC đường trịn ngoại tiếp tam giác M IK tiếp xúc với đường tròn (O) Bài Tìm tất giá trị tự nhiên n để biểu thức (3n)! A= n!(n + 1)!(n + 2)! có giá trị nguyên Bài a) Cho S tập gồm 2017 số nguyên tố phân biệt M tập gồm 2018 số tự nhiên phân biệt cho số M không số phương có ước ngun tố thuộc S Chứng minh chọn M số số có tích số phương b) Có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, học sinh tham gia nhiều câu lạc câu lạc có học sinh tham gia Biết khơng có câu lạc có học sinh giống Chứng minh có câu lạc chung học sinh 3 Bài Cho dãy số (un ) xác định sau 2018 n+1 u1 u2 un u1 = , un = + + + , n = 2, 3, 2017 2 n (2017n + 2018) un Tìm lim n→+∞ Bài Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = 3abc Chứng minh r r r √ √ √ √ a2 + b b2 + c c2 + a2 + + + ≤ 2( a + b + b + c + c + a) a+b b+c c+a Bài Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi I hình chiếu D lên EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt P , Q (P , C phía so với AD) [ a) Chứng minh DI đường phân giác góc BIC b) Chứng minh P H, DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Cho hàm số f : N∗ → N∗ thoả mãn điều kiện i) Với m, n ∈ N∗ ta có f (m) + f (n) > mn ii) Với m, n ∈ N∗ f (m) + f (n) − mn ước mf (m) + nf (n) Chứng minh tồn số nguyên dương N cho với số nguyên tố p > N f (p) = p2 Bài Cho bảng hình vng gồm m × m vng đơn vị Trong ô vuông đơn vị chứa số nguyên không âm Giả sử rằng, hàng cột có giao vng chứa số tổng số hàng cộng với tổng số cột khơng bé m2 m Chứng minh tổng số bảng vng lớn Bài Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x4 + x3 + x2 + 2x = y + y Bài Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (f (x − y)) = f (x) − f (y) + f (x) f (y) − xy ∀x, y ∈ R Bài Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp (O) Một điểm D cung nhỏ AB (O) cho D khác A B Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác DBC Đường thẳng qua I vng góc với DI cắt AB, AC tương ứng E, F Gọi M giao điểm BF CI Gọi N giao điểm CE BI Gọi P trung điểm BM AO cắt CP K Chứng minh BK chia đôi CN Bài Ở vng hình vng 17 × 17, ta ghi số nguyên từ đến 17 cho số từ đến 17 ghi 17 lần Chứng minh tồn hàng cột chứa số khác 5 Bài a) Tìm tất số nguyên a, b để dãy số {xn } xác định xn = a.2n + b có giá trị phương với n ∈ N∗ a b b) Tìm số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn = đồng thời a2018 +b2018 +c2018 +d2018 c d số nguyên tố Bài a) Cho tam giác ABC (BC > CA > AB) nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm [ điểm thứ H Đường trịn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác BAC hai M Gọi P trực tâm tam giác BCM Gọi N tâm đường tròn (ABM ) So sánh độ dài P N P O b) Trong tập hợp [−1; 1], lấy giá trị x, y, z, t s có tổng 0; tổng bình phương Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x2018 + y 2018 + z 2018 Bài Biết x, y, z số thực dương thoả mãn x2 + y + z + xyz = Chứng minh √ √ √ x + y + z > x + y + z Dấu "=" xảy nào? Bài Cho dãy số (xn ) xác định x1 = a > 0, xn+1 = xn + n , ∀n ∈ N∗ xn a) Chứng minh xn ≥n với n ≥ xn b) Chứng minh dãy có giới hạn hữa hạn tìm giới hạn n Bài Xác định tất hàm số f : R → R thỏa mãn f (xf (y) − f (x)) = f (xy) − xy ∀x, y ∈ R Bài Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác tam giác cân ABP ACQ cho AB = AP , AC = AQ, ∠BAP = ∠CAQ = 300 Các đường thẳng BQ CP cắt R Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCR a) Tính số góc ∠BOC b) Chứng minh đường thẳng OA P Q vng góc với Bài Cho hai đa thức P (x) = x5 + 5x4 + 5x3 + 5x2 + Q (x) = x5 + 5x4 + 3x3 − 5x2 − Tìm tất số nguyên tố p cho tồn số tự nhiên x (0 ≤ x < p) cho P (x) Q(x) chia hết cho p tìm số x Bài Cho P = {P1 , P2 , ., P2017 } tập hợp gồm 2017 điểm phân biệt nằm hình trịn tâm P1 bán kính Với đặt khoảng cách nhỏ từ đến điểm P (khác Pk ) Chứng minh x21 + x22 + + x22017 ≤ Bài Cho x, y z số hữu tỷ cho số x2 + y + z, y + z + x z + x2 + y số nguyên Chứng minh 2x số nguyên Bài Cho hàm số f : R → R thoả mãn điều kiện π π f (tan x) = sin 2x − cos 2x ∀x ∈ − ; 2 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức f (sin2 x)f (cos2 x) (x ∈ R) Bài Cho tam giác ABC vuông A với AB < AC Gọi M trung điểm cạnh AB, N điểm cạnh BC cho BA = BN Đường tròn đường kính AB cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác AN C hai điểm phân biệt A P Gọi E giao điểm đường thẳng qua B vng góc với M P đường thẳng AP , F giao điểm đường thẳng qua B song song với M P đường thẳng P N Chứng minh đường thẳng CP qua trung điểm EF Bài Tìm tất đa thức P (x) với hệ số thực cho (P (x))2 = 2P (x2 − 3) + ∀x ∈ R Bài Với n ∈ {1; 2; 3}, ta gọi số tự nhiên k số kiểu n k = k số hạng dãy 1; n + 2; (n + 2)2 ; (n + 2)3 k tổng số số hạng dãy Chứng minh số nguyên dương biểu diễn dạng tổng số kiểu với số kiểu số kiểu 8 Bài Cho (an ) xác định công thức sau a0 = 1, a1 = 4, an+1 = 2an + 3an−1 , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số khơng có số bội 2017 √ Bài Tìm tất đa thức P (x) hệ số nguyên không âm thoả mãn P ( 3) = 2017 P (1) nhận giá trị nhỏ Bài Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) H, K hình chiếu A lên CB, CD M , N , P , Q trung điểm AB, AD, CH, CK S, T thuộc AH, AK cho P S ⊥ P M , QT ⊥ QN AP , AQ cắt (O) lần thứ hai E, F Chứng minh SE, T F cắt (O) Bài Cho 2017 số nằm hàng ngang Mỗi lần ta lấy 10 số liên tiếp tăng số lên đơn vị Hỏi sau số hữu hạn bước, hàng ngang có nhiều số nhau? Bài Cho n số nguyên dương Giả sử phương trình √ +√ = y n x có m cặp nghiệm nguyên dương (x, y) m − số phương Chứng minh n số phương Bài Cho hai đường trịn (O), (K) cắt A, B K nằm (O) Tiếp tuyến A (O) cắt (K) lần thứ hai P , P B cắt (O) lần thứ hai C Một đường thẳng qua P cắt (O) M , N Tiếp tuyến M , N (O) cắt AP Q, R Chứng minh R, Q, K, C thuộc đường tròn Bài Cho a, b, c số thực thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) 6= Chứng minh (a2 − b2 )(a2 − c2 ) (b2 − c2 )(b2 − a2 ) (c2 − a2 )(c2 − b2 ) + + ≥0 (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 Bài Cho dãy (an ), n ≥ thỏa mãn a0 = , Đặt bn = an+1 a2n = , ∀n ∈ N − 2a2n a0 a1 an Chứng minh (bn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn an+1 Bài Tìm f : R → R thỏa mãn f ((x − y)f (x) − f (y)) + (x + 1)f (y − x) + x = Bài 10 Cho ∆ABC nội tiếp (O), M điểm nằm cạnh BC Đường đối trung góc M ∆M AB, ∆M AC cắt (M AB), (M AC) lần thứ hai Q, R P điểm nằm đường thẳng BC thỏa mãn AP ⊥ AM Gọi Γ tiếp tuyến chung gần A (M AB), (M AC) Chứng minh Γ tiếp xúc (P QR) Bài 11 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 9 + + + ≥ b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 a2 − ab + b2 2(ab + bc + ca) Bài 12 Tìm tất số nguyên dương n thỏa mãn với k nguyên dương, tồn m nguyên dương cho n ước m4 + m3 + m2 + k Bài 13 Cho ∆ABC nội tiếp (O) M , N hai điểm cung BC không chứa A thỏa mãn M N//BC tia AM nằm hai tia AB, AN P , Q hình chiếu M , N lên BC E, F CA, AB thỏa mãn QE//AB, P F//AC K, L nằm AN , AM cho EK ⊥ AC, F L ⊥ AB Chứng minh OK = OL Bài 14 Cho n ≥ số nguyên dương Ta xét đa giác 2n đỉnh Ta điền số 0, vào đỉnh thỏa mãn số số số số Ta gọi tập 2k đỉnh cân 2k đỉnh đó, số số số số 1, k nguyên dương a) Chứng minh với √ ≤ k ≤ n, ln ln tồn tập cân có độ dài 2k b) Chứng minh k ≤ 2n + − 2, luôn tồn hai tập cân 2k khơng có đỉnh chung 9 Bài Cho số thực a dãy số (xn ) xác định 2017 x1 = a, xn+1 = ln(2x2n + 15) − 9, ∀n ∈ N∗ 2018 Chứng minh (xn ) hội tụ Bài Cho số thực không âm a, b c thỏa mãn a2 + b2 + c2 ≤ Chứng minh (a + b + c)(a + b + c − abc) ≥ 2(a2 b + b2 c + c2 a) Bài Cho tam giác nhọn ABC với đường tròn ngoại tiếp (O), đường tròn nội tiếp (I) Các điểm D, E, F theo thứ tự tiếp điểm (I) với AB, BC, CA Các điểm H, Z, T theo thứ tự hình chiếu D, E, F lên EF , F D, DE Gọi S giao điểm EF ZT a) Chứng minh H trực tâm tam giác ASI b) Gọi M giao điểm thứ hai AI (O) Đường tròn tâm M qua E, F cắt (O) X, Y Chứng minh S, X, Y , Z, T thẳng hàng Bài Một lớp chun Tốn có 35 học sinh Thầy giáo chủ nhiệm muốn tổ chức cho lớp chương trình trải nghiệm gồm bốn chuyến với yêu cầu phải thỏa mãn đồng thời điều kiện sau i) Mỗi học sinh lớp phải tham gia chuyến đi; ii) Với k ∈ {2; 3; 4} chuyến thứ k phải có học sinh tham gia chuyến thứ k − Tính số cách để thầy giáo thực chương trình trải nghiệm Bài Cho hai đa thức bậc ba P (x) = x3 + 2x2 − 7x − 16 Q(x) = x3 + 3x2 + 8x − a) Chứng minh đa thức có nghiệm dương b) Gọi nghiệm dương P (x), Q(x) p, q Chứng minh √ √ p− q =1 Bài Tìm tất cặp số nguyên (a; b) cho với số nguyên dương n, ta có n chia hết cho an + bn+1 Bài Cho đường trịn (O) có dây BC khơng phải đường kính điểm A di động đường tròn cho ABC tam giác nhọn Các đường cao BE, CF tam giác \ cắt AB, AC M , N Đường ABC cắt H Phân giác BHC tròn ngoại tiếp tam giác AM N cắt phân giác AD tam giác ABC điểm thứ hai I Chứng minh HI qua điểm cố định Bài Cho số nguyên n thỏa mãn n > Chứng minh tồn hai tập A, B ⊂ N∗ thoả mãn đồng thời điều kiện i) |A| A ∩ B =P∅, P = |B|P= n vàP ii) a= b a2 = b2 a∈A b∈B a∈A b∈B 10 Bài Cho dãy số (un ) thỏa un > 0, un > un+1 , ∀n ∈ N∗ dãy (sn ) hội tụ với sn = n X ui i=1 a) Chứng minh lim nun = n→∞ 1 b) Đặt bn = − , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy (bn ) không bị chặn un+1 un Bài Gọi S tập {1, 2, , 2017} cho S không chứa hai phần tử mà phần tử chia hết cho phần tử không chứa hai phần tử nguyên tố Hỏi S chứa nhiều phần tử? Bài Cho n số tự nhiên lớn X = {1, 2, 3, , n} Với song ánh f : X → X, gọi Af tập hợp tất số (i; j) cho i < j f (i) > f (j) Ký hiệu |X| số phần tử tập hợp X a) Có song ánh f thỏa |Af | = 1? b) Giả sử f song ánh mà Af = k > Chứng minh tồn song ánh g : X → X cho |Ag | = k − n X i=1 |f (i) − i| > n X |g(i) − i| i=1 Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) điểm D di động cung BC chứa điểm A (D 6= A) Trên AB, AC lấy điểm M , N cho M D = M B, N C = N D a) Chứng minh đường cao DH tam giác DM N qua điểm cố định b) DM , DN theo thứ tự cắt (O) E, F (E, F khác D) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EM B, F N C cắt điểm K thuộc đường thẳng BC đường cao KI tam giác KM N qua điểm cố định Bài Với số nguyên n ∈ / {−1, 0, 1}, ký hiệu p(n) ước nguyên tố lớn n Gọi F tập hợp tất đa thức f (x) có hệ số nguyên thỏa mãn f (n + p(n)) = n + p(f (n)) với số nguyên n > 2017 f (n) ∈ / {−1, 0, 1} a) Tìm tất đa thức bậc thuộc F b) F có phần tử Bài Với số tự nhiên n, ký hiệu T (1 + n, + n, + n) tập hợp tất (a, b, c) với a, b, c số tự nhiên thỏa ≤ a ≤ + n, a + ≤ b ≤ + n, b + ≤ c ≤ + n Gọi an số phần tử T (1 + n, + n, + n) a) Tính a4 b) Tìm tất n cho an chia hết cho Bài An Bình luân phiên đánh dấu vng hình vng 101 × 101 ô An người bắt đầu Một ô đánh dấu hàng với cột với có ô đánh dấu Ai không thua Hãy xác định người có chiến thuật thắng Bài Đường tròn (O) nội tiếp tứ giác ABCD tiếp xúc với cạnh AB, BC, CD, DA E, F , G, H Gọi I, J trung điểm AC, BD IB, ID, JA, JC theo thứ tự cắt EF , GH, HE, F G M , N , P , Q a) Chứng minh IJ, M N , P Q đồng quy (tại điểm S) b) Các tia đối tia JA, IB, JC, ID cắt (O) điểm A0 , B , C , D0 Giả sử A0 C, B D0 cắt P Q, M N U , V Gọi K hình chiếu S U V Chứng minh ∠AKB = ∠CKD 11 Bài Giải hệ phương trình ( √ √ 2y + 7y + 2x − x = − x + 3(2y + 1) p √ 2y − 4y + =5−y+ x+4 Bài Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 4, xn+1 = x4n + , ∀n ∈ N∗ xn − xn + a) Chứng minh lim xn = +∞ n→∞ b) Với số nguyên dương n, đặt yn = n X x3 k=1 k Tìm lim yn n→∞ +3 Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn (J) qua B, C cắt cạnh AB AC F E tương ứng Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D a) Gọi P Q giao điểm thứ hai DE DF với (O) Chứng minh đường thẳng P C, BQ AO đồng quy b) Giả sử EF cắt BC K Gọi O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF tam giác KF B Chứng minh trực tâm tam giác O1 O2 O nằm AB Bài Tìm tất hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn f (y)f (x + f (y)) = f (x)f (xy) ∀x, y ∈ R+ Bài Cho đa giác A1 A2 A2017 Có tam giác nhọn có đỉnh đỉnh đa giác trên? Bài Cho 2n + điểm phân biệt mặt phẳng cho điểm khơng thẳng hàng điểm khơng nằm đường tròn a) Chứng minh tồn đường tròn (C) qua số điểm cho điểm cịn lại có n điểm nằm n điểm nằm ngồi đường trịn b) Xét 2n điểm cho không thuộc đường trịn (C), nối tất đoạn thẳng có đầu mút số điểm Các đoạn thẳng đường trịn (C) có nhiều điểm chung? Bài Xét số thực a, b, c ∈ [0; 1] Tìm giá trị lớn biểu thức a b c P = + + + (1 − a)(1 − b)(1 − c) b+c+1 c+a+1 a+b+1 Bài Cho dãy đa thức (Pn )+∞ n=0 xác định P0 (x) = x, 0 Pn+1 (x) = −2xPn (x) + Pn (x), ∀n ∈ N∗ a) Chứng minh Pn (x) = −2(n + 1)Pn−1 (x) với số nguyên dương n; b) Tính P2017 (0) Bài Cho hai điểm cố định B, C đường tròn (O) Một điểm A thay đổi đường tròn (O) cho tam giác ABC tam giác nhọn không cân A Đường phân [ cắt đường thẳng BC D cắt đường tròn (O) điểm thứ hai giác góc BAC E Điểm F nằm BC cho F D = F E a) Gọi H hình chiếu vng góc A EF Chứng minh A, O, H thẳng hàng, từ suy H ln thuộc đường trịn cố định b) Một đường tròn tâm I tiếp xúc với tia AB, AC tiếp xúc với đường thằng EF tương ứng M , N , P (I A nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng EF ) Gọi Q điểm đường thẳng M N cho P Q vng góc với EF Chứng minh đường thẳng AQ qua điểm cố định A di động đường tròn (O) Bài 10 Cho a, b hai số thực thỏa mãn ap − bp số nguyên dương với số nguyên tố p Chứng minh a, b số nguyên Bài 11 a) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 101 điểm Ak (k; 100), k = 0, 1, , 100 Tìm số đoạn thẳng OAk khơng qua điểm có tọa độ ngun (cả hoành độ tung độ nguyên) trừ hai đầu mút b) Cho đa giác lồi có lẻ đỉnh Mỗi cạnh tô màu: đỏ, xanh, vàng Giả sử ban đầu màu tô cho cạnh theo chiều kim đồng hồ đỏ, xanh, đỏ, , đỏ, xanh, vàng Mỗi bước đổi màu cạnh cho khơng có cạnh kề (chung đỉnh) tô màu Hỏi sau hữu hạn bước nhận trạng thái mà màu tô cho cạnh theo chiều kim đồng hồ đỏ, xanh, đỏ, xanh, , đỏ, vàng, xanh hay không? 12 Bài Giải hệ phương trình 2 (x + y) − = 15z x+2 = z(x + y) y − z =1 Bài Cho n (n ≥ 2) số thực dương a1 , a2 , , an Gọi a = {a1 , a2 , , an } Chứng minh a1 a2 an (a1 − a)2 + (a2 − a)2 + · · · + (an − a)2 + + ··· + ≤n+ a2 a3 a1 a2 Bài Cho hai đường tròn (O1 ) (O2 ) cắt hai điểm A B Các tiếp tuyến A B (O1 ) cắt K Xét điểm M (không trùng với A B) nằm (O1 ) Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng M A (O2 ) Gọi C giao điểm thứ hai đường thẳng M K (O1 ) Gọi Q giao điểm thứ hai đường thẳng CA (O2 ) Gọi H trung điểm P Q Chứng minh a) Ba điểm M , H, C thẳng hàng; b) Giao điểm tiếp tuyến P Q (O2 ) thuộc đường thẳng cố định M di động (O1 ) Bài Cho bảng vuông cỡ 2n × 2n (với n số nguyên dương) Ta gọi đường chéo ô vuông tập hợp ô vuông phân biệt C1 , C2 , , Ck (với k số nguyên dương) cho hai Ci , Ci+1 có đỉnh chung (i = 1; k − 1) Hai đường chéo gọi rời chúng vng chung Hỏi bảng vng cho phân hoạch thành đường chéo rời nhau? a) Với tập hợp X, Y , ta định nghĩa phép toán ∆ sau X∆Y = (X\Y ) ∪ (Y \X) Với A, B, C ba tập hợp bất kì, chứng minh A∆A = ∅, A∆∅ = A, A∆B = B∆A, (A∆B)∆C = A∆(B∆C) (Khi thay viết (A∆B)∆C ta viết A∆B∆C) b) Cho S = {1, 2, 3, , n} Chứng minh n + tập khác rỗng S, ta ln chọn số tập hợp X1 , X2 , , Xk (2 ≤ k ≤ n + 1) cho X1 ∆X2 ∆ · · · ∆Xk = ∅ Bài Chứng minh không tồn đa thức khác đa thức P (x) Q(x) thỏa mãn P (x) √ 2018 = x + 2017 Q(x) với số thực x cho Q(x) 6= Bài Cho a số ngun dương, khơng số phương Kí hiệu A tập tất số nguyên dương k thỏa mãn x2 − a k= (∗) x − y2 √ với x, y số nguyên x > a Kí hiệu B tập √ tất số nguyên dương k thỏa mãn (∗) với x, y số nguyên thỏa mãn ≤ x < a Chứng minh A = B 13 Bài a) Cho q số thực thuộc khoảng (0; 1) dãy (un ) thỏa mãn điều kiện |un+2 − un+1 | < q|un+1 − un |, ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn b) Cho dãy (vn ) xác định < v1 6= 1, vn+1 = , ∀n ∈ N∗ + Chứng minh dãy (vn ) có giới hạn hữu hạn tính lim n→∞ Bài Tìm số nguyên dương n nhỏ để 5n + chia hết cho 72018 Bài Có thứ tự (a, b, c) với a, b, c số nguyên dương thỏa mãn điều kiện [a, b, c] = 23 35 57 ? (Kí hiệu [a, b, c] bội chung nhỏ ba số nguyên dương a, b, c) Bài Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi Phía ngồi tam giác ABC dựng tam giác ABD, ACE vuông cân A hình vng BCF G Dựng tam giác XAB vng cân X (X khác phía với D đường thẳng AB), tam giác Y AC vng cân Y (Y khác phía với E đường thẳng AC) a) Chứng minh ba điểm D, Y , F thẳng hàng b) Các đường thẳng DY , EX cắt P Chứng minh đường thẳng AP qua điểm cố định A thay đổi Bài Cho hàm số f : Z+ → Z+ thỏa điều kiện (x + f (y)) | (f (x) + xf (y)) ∀x, y ∈ Z+ a) Giả sử f không hàm hằng, tìm f (2) b) Tìm tất hàm số f Bài a) Cho P (x) đa thức hệ số nguyên năm số nguyên phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 , x5 thỏa điều kiện P (xi ) = với i = 1, 2, 3, 4, Chứng minh không tồn số nguyên n để −6 ≤ P (n) ≤ ≤ P (n) ≤ 16 b) Cho x1 , x2 , , xk ; y1 , y2 , , yn số nguyên phân biệt (với k, n ∈ Z+ ) cho tồn đa thức hệ số nguyên P (x) thỏa điều kiện P (x1 ) = P (x2 ) = = P (xn ) = 58, P (y1 ) = P (y2 ) = = P (yn ) = 2017) Xác định giá trị lớn kn Bài Trên đường thẳng có 20 điểm P1 , P2 , , P20 theo thứ tự đó, điểm tơ hai màu xanh đỏ Hỏi có cách tô màu số điểm liền kề tơ màu giống ln số lẻ? 14 Bài Cho dãy số (xn ) xác định x1 = 2, xn+1 = √ xn + − √ xn + 3, ∀n ∈ N∗ a) Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn b) Với số nguyên dương n, chứng minh n ≤ x1 + x2 + + xn ≤ n + Bài Cho tam giác nhọn không cân ABC với D điểm cạnh BC Lấy điểm \ = DF \ E cạnh AB điểm F cạnh AC cho DEB C Các đường thẳng DF , DE cắt AB, AC M , N Gọi (I1 ), (I2 ) tương ứng đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM , DF N Kí hiệu (J1 ) đường tiếp xúc với (I1 ) D tiếp xúc với AB K, (J2 ) đường tròn tiếp xúc với (I2 ) D tiếp xúc với AC H, P giao điểm (I1 ) (I2 ), Q giao điểm (J1 ) (J2 ) (P , Q khác D) a) Chứng minh D, P , Q thẳng hàng b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đường thẳng AQ G L (G, L khác A) Chứng minh tiếp tuyến D đường tròn ngoại tiếp tam giác DQG cắt đường thẳng EF điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác DLG Bài Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữ nhật kích thước 120m × 100m a) Trên mảnh đất thứ nhất, nhà đầu tư muốn xây ngơi nhà có hình chữ nhật có kích thước 25m × 35m xây bên ngồi bồn hoa hình trịn đường kính 5m Chứng minh dù xây trước bồn hoa đâu phần đất cịn lại đủ xây ngơi nhà b) Trên mảnh đất thứ hai, nhà đầu tư muốn xây hồ cá hình đa giác lồi cho từ điểm phần đất cịn lại có√thể khơng q 5m đến bờ hồ Chứng minh chu vi hồ không nhỏ (440 − 20 2)m √ Bài Trong mặt phẳng Oxy, cho (C) đồ thị hàm số y = x2 Một đường thẳng d thay đổi cho d cắt (C) ba r điểm có hồnh r độ lần rlượt x1 , x2 , x3 x x x x1 x2 x3 a) Chứng minh đại lượng + + số 2 x3 x1 x22 b) Chứng minh s s s 2 x x x23 15 3 + +