Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.

Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ trên không gian các số mờ tương quan tuyến tính.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  HỒNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA PHÂN THỨ TRÊN KHƠNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI  HOÀNG THỊ PHƯƠNG THẢO BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN CHO PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA PHÂN THỨ TRÊN KHƠNG GIAN CÁC SỐ MỜ TƯƠNG QUAN TUYẾN TÍNH Chun ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Kim Sơn TS Nguyễn Như Thắng Hà Nội - 2022 MỤC LỤC Lời cam đoan Danh sách ký hiệu Mở đầu 10 Lý chọn đề tài 10 Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án 16 Phương pháp nghiên cứu 17 Cấu trúc kết luận án 18 Ý nghĩa kết luận án 19 Sơ lược không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 1.1 Khơng gian số mờ RF 20 1.2 Không gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 23 1.3 20 1.2.1 Không gian 1.2.2 Không gian Rnsy F(A) Rsy F(A) 24 26 Hàm mờ tương quan tuyến tính 29 1.3.1 Khái niệm ví dụ 29 1.3.2 Đạo hàm hàm mờ tương quan tuyến tính 30 1.3.3 Tích phân hàm mờ tương quan tuyến tính 32 Tính giải tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ 36 2.1 Đạo hàm phân thứ hàm mờ tương quan tuyến tính 36 2.1.1 Đạo hàm phân thứ Fréchet Caputo 36 2.1.2 Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 42 2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 47 2.2.1 47 Đặt toán 2.2.2 2.3 Tính giải toán 48 Bài tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 52 2.3.1 Đặt toán 52 2.3.2 Tính giải tốn 53 Bài toán điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 55 3.1 Biến đổi Laplace hàm mờ tương quan tuyến tính 56 3.2 Nửa nhóm liên tục mạnh khơng gian mờ tương quan tuyến tính 3.3 Tính điều khiển cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm Fréchet Caputo 60 3.3.1 Công thức biểu diễn nghiệm 60 3.3.2 Tính điều khiển hồn tồn với biến điều khiển 3.3.3 3.3.4 57 63 Tính điều khiển hồn tồn với biến điều khiển không 66 Ví dụ 75 Bài tốn ổn định hóa cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 81 4.1 Đặt tốn 81 4.2 Tính ổn định tiệm cận điểm cân phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 4.3 4.4 87 Xây dựng điều khiển phản hồi trạng thái cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo 92 Ví dụ 98 Kết luận Kiến nghị 100 Những kết đạt 100 Đề xuất số hướng nghiên cứu 101 Danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án 102 Tài liệu tham khảo 103 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án thực nghiên cứu hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Kim Sơn TS Nguyễn Như Thắng Các kết trình bày luận án trung thực, khách quan chưa công bố nghiên cứu tác giả nước khác Hà Nội, ngày tháng năm 2022 Nghiên cứu sinh Hoàng Thị Phương Thảo LỜI CẢM ƠN Luận án “Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ không gian số mờ tương quan tuyến tính” thực Bộ mơn Tốn Giải tích, Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Lời cảm ơn đầu tiên, tác giả xin dành gửi đến PGS TS Nguyễn Thị Kim Sơn TS Nguyễn Như Thắng Thầy tận tình giúp đỡ tác giả từ ngày đầu chập chững bước vào đường nghiên cứu khoa học Sự dẫn tận tình, khích lệ mặt tinh thần lịng tin thầy cô động lực để tác giả vượt qua khó khăn hồn thành luận án Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội, đặc biệt thầy giáo, giáo Bộ mơn Tốn giải tích ln dẫn, giúp đỡ cho tác giả nhiều lời khuyên quý giá ngày tháng sinh viên đến làm nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ, đồng nghiệp công tác trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ cho tác giả có hội để học tập, nghiên cứu sáng tạo đường học thuật Tác giả xin dành cho gia đình, bạn bè lời u thương ln đồng hành tác giả thời điểm quan trọng nhất, chia sẻ khó khăn cho tác giả thêm niềm tin để hồn thành luận án DANH SÁCH KÍ HIỆU Kí hiệu Nội dung Số trang FDEs Phương trình vi phân mờ 11 RF Không gian số mờ 20 RF(A) Khơng gian mờ tương quan tuyến tính 23 Rnsy F Không gian số mờ không đối xứng 20 Rsy F Rnsy F(A) Rsy F(A) p I0+ q(t) Không gian số mờ đối xứng trừ tập R 20 Khơng gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rnsy F 23 Không gian mờ tương quan tuyến tính với A ∈ Rsy F 23 Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] 35 hàm thực q(t) RL p ˆ F I0+ f (t) Tích phân Riemann-Liouville phân thứ p ∈ (0; 1] 35 hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) RL p ˆ LC I0+ f (t) Tích phân tương quan tuyến tính Riemann-Liouville bậc 40 p ∈ (0; 1] hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) D0p+ q(t) C p ˆ D + f (t) Đạo hàm Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] hàm thực q(t) p ˆ C LC D0+ f (t) Đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo bậc p ∈ (0; 1] 40 hàm mờ tương quan tuyến tính fˆ(t) C(J, X) sy Họ ánh xạ liên tục từ J vào X với X Rnsy F(A) , RF(A) 44 L1 (J, Rnsy F(A) ) Họ tốn tử khả tích từ J vào Rnsy F(A) 57 dψA (B, C) Khoảng cách hai số mờ tương quan tuyến tính 23 F 40 Đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ p ∈ (0; 1] hàm 37 fˆ(t) B, C ∈ Rnsy F(A) ρ(β, γ) sup dψA (β(s), γ(s)) với β, γ ∈ Y , Y 46 ∈ Y , Y 46 s∈I sy C(I, Rnsy F(A) ), C(I, RF(A) ) dm (β, γ) sup{sm dψA (β(s), γ(s))} β, γ s∈I sy C(I, Rnsy F(A) ), C(I, RF(A) ) ∥u∥A Chuẩn không gian Rnsy F(A) dψˆA (B, C) Khoảng cách hai số mờ tương quan tuyến tính 26 23 B, C ∈ Rsy F(A) 26 Γ(p) Chuẩn không gian Rsy F(A) R ∞ p−1 −x Γ(p) = x e dx với p ∈ (0; 1) J Tập R 26 I I = [0, b] với b > 45 I I = [0, ∞) 79 I0 I ⊆ I với ∈ I ∥u∥Aˆ IdA Ánh xạ đồng không gian 35 79 Rsy F(A) 66 MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lý chọn đề tài Nhiều trình diễn tự nhiên kĩ thuật chứa đựng đại lượng khơng chắn Chúng ta kể đến lượng nhiên liệu đầu vào máy móc, trình kĩ thuật xử lý ảnh, điều chỉnh đầu vào máy điện tử Do đó, thực mơ hình hóa q trình này, đại lượng khơng chắn giữ vị trí quan trọng Một số lý thuyết không chắn nghiên cứu có nhiều ứng dụng thực tiễn kể đến lý thuyết mờ, lý thuyết giá trị tập gần lý thuyết neutrosophic Giải tích mờ ứng dụng nhiều lĩnh vực kĩ thuật điều khiển, xử lý hình ảnh tín hiệu, kĩ thuật y sinh Giải tích mờ khái niệm tập mờ, đưa Zadeh [70] vào năm 1960 Mặc dù vậy, phải đến năm 1970, người ta áp dụng lý thuyết tập mờ vào ứng dụng sống Sau 60 năm phát triển, lý thuyết mờ giữ vị trí quan trọng khoa học thực tiễn đời sống Các phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng việc mơ hình hóa tượng vật lý kỹ thuật, chẳng hạn vấn đề học chất rắn chất lỏng, độ nhớt, sinh học, vật lý nhiều lĩnh vực khác Nói chung, tham số, biến kiện ban đầu mơ hình thường coi xác định Tuy nhiên, nhiều trình thực tế, vài trường hợp, nhận liệu mơ hồ, khơng xác không đầy đủ biến tham số có sẵn Điều sai sót liệu đo lường, quan sát thí nghiệm; áp dụng điều kiện hoạt động khác nhau; lỗi bảo trì gây Để khắc phục khơng chắn thiếu xác, người ta thường sử dụng môi trường số mờ tham số, biến trạng thái thay cho liệu xác (cố định), cách chuyển phương trình khơng gian thực sang phương trình mờ Phương trình vi phân mờ áp dụng toán mơ hình hóa khác hàng khơng vũ 10 93 Tương tự, ta nhận bL{hfˆ(t)}(s) sp−1 q0 Q(s) = p + p s −a−k s −a−k (4.18) Lấy biến đổi Laplace ngược cho (4.18), ta có nghiệm hệ (4.15): p t Z (t − ς)p−1 Ep,p ((a + k)(t − ς)p )hfˆ(ς)dς q(t) = Ep,1 ((a + k)t )q0 + Thực tương tự với r(t), ta nhận p Z r(t) = Ep,1 ((a + k)t )r0 + t (t − ς)p−1 Ep,p ((a + k)(t − ς)p )hfˆ(ς)dς Tương tự Định lý 4.1 ta nhận kết |a + k| > l điểm cân hệ (4.15) ổn định tiệm cận sy Một khác biệt quan trọng hai không gian Rnsy F(A) RF(A) khơng gian Rnsy F(A) khơng gian tuyến tính Khi đó, đưa phương trình khơng gian mờ tương quan tuyến tính hệ phương trình không gian thực Điều thực ánh xạ ψA : R2 → Rnsy F(A) song ánh Tuy nhiên, tính chất khơng cịn khơng gian Rsy F(A) Tuy nhiên, ta muốn đưa hệ không gian Rsy F(A) hệ tương ứng không gian số thực Để làm điều này, thay làm việc với tốn tử q(t) r(t) không gian Rnsy F(A) , ta làm việc với biểu diễn chuẩn xˆ(t), fˆ(t, xˆ(t)) Ta viết lại tốn (4.15) khơng gian Rsy F(A) dạng sau  C Dp+ xˆ(t) = a⊙ ˆ A u(t) ˆ A xˆ(t)⊕ ˆ A fˆ(t, xˆ(t))⊕ LC xˆ(0) = xˆ t ∈ I, (4.19) xˆ(t), fˆ(t, xˆ(t)) ∈ Rsy ˆ(t) = qe(t)A + F(A) tương ứng có biểu diễn dạng chuẩn x ˆ A xˆ(t) k ∈ R với re(t), fˆ(t, xˆ(t)) = e hfˆ(t)A + gefˆ(t), a ∈ R u(t) = k ⊙ t ∈ I Bổ đề 4.5 Cho I ⊂ I, ∈ I , xˆ0 = qe0 A + re0 Nếu qe(.) hàm khơng tăng I xˆ(t) = qe(t)A + re(t) nghiệm khả vi hệ (4.19) đoạn I0 94 qe(t) re(t) thỏa mãn hệ phương trình sau    D0p+ qe(t) = (−a + k)e q (t) − e hfˆ(t),    a ≥ 0, k < 0, r(t) + 2ae q (t)x∗ + 2e hfˆ(t) + gefˆ(t), D0p+ re(t) = (a + k)e     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 ,    D0p+ qe(t) = (a − k)e q (t) − e hfˆ(t),    a < 0, k ≥ 0, D0p+ re(t) = (a + k)e r(t) + 2e hfˆ(t)x∗ + gefˆ(t) + 2ke q (t)x∗ ,     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 ,    q (t) − e hfˆ(t), D0p+ qe(t) = (a + k)e    a < 0, k < 0, r(t) + 2e hfˆ(t)x∗ + gefˆ(t), D0p+ re(t) = (a + k)e     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 ,    Dp+ qe(t) = (−a − k)e q (t) − e hfˆ(t),    D0p+ re(t) = (a + k)e r(t) + gefˆ(t) + 2(a + k)e q (t)x∗ + 2e h(t)x∗ , a ≥ 0, k ≥ 0,     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 , Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp Các trường hợp sau chứng ′ minh tương tự Vì qe(.) hàm khơng tăng nên qe (t) ≤ với t ∈ I Điều dẫn đến p C ˆ(t) LC D0+ x = ψˆA [−D0p+ qe(t), 2D0p+ qe(t)x∗ + D0p+ re(t)]≡A Vì a ≥ 0, k < nên ta có ˆ A xˆ(t)⊕ ˆ A fˆ(t, xˆ(t))⊕ ˆ A u(t) a⊙ h i ˆ A ψˆA [e ˆ A ψˆA e ˆ Ak⊙ ˆ A ψˆA [e = a⊙ q (t), re(t)]≡A ⊕ hf (t), gef (t) ⊕ q (t), re(t)]≡A ≡A h i ˆ ˆ e ˆ ˆ ψˆA [−ke = ψA [ae q (t), ae r(t)]≡A ⊕A ψA hf (t), gef (t) ⊕ q (t), 2ke q (t)x∗ + ke r(t)]≡A ≡A h i = ψˆA ae q (t) + e hf (t) − ke q (t), ae r(t) + gef (t) + 2ke q (t)x∗ + ke r(t) ≡A Vì ψˆA song ánh nên ta có hai hệ phương trình sau  Dp+ qe(t) = (−a + k)e q (t) − e hf (t), qe(t) = qe , (4.20) 95  2Dp+ qe(t)x∗ + Dp+ re(t) = ae r(t) + gef (t) + 2ke q (t)x∗ + ke r(t), 0 re(t) = re (4.21) Thay phương trình hệ (4.20) hệ (4.21) ta nhận  Dp+ re(t) = (a + k)e r(t) + 2ae q (t)x∗ + 2e hfˆ(t) + gefˆ(t), re(t) = re Kết thúc chứng minh Định lý 4.5 Giả sử giả thiết (G) thỏa mãn a + k < Nếu tốn (4.19) có nghiệm khả vi với đường kính không tăng [0, ∞) qe(t) = me r(t) điểm cân toán ổn định tiệm cận với điều kiện chi tiết cho bảng sau Dấu a Dấu k Điều kiện + − |a + k| > 2|amx∗ | + 2|m|l + l − + |a + k| > (2l|mx∗ | + l + 2|kmx∗ |) − − |a + k| > l(2|mx∗ | + 1) Chứng minh Để đơn giản, ta đặt a1 = a + k, a2 = −a + k, a3 = a − k Nhắc lại e e Q(s) R(s) tương ứng biến đổi Laplace qe(t), re(t) tương ứng Trường hợp 1: Xét a ≥ 0, k < Từ Bổ đề 4.5, qe thỏa mãn hệ phương trình  Dp+ qe(t) = a2 qe(t) − e hfˆ(t), t ∈ I (4.22) qe(0) = qe , Biến đổi Laplace hai vế, ta nhận e e − L{e sp Q(s) = sp−1 qe0 + a2 Q(s) hfˆ(t)}(s), s ∈ [0, ∞), t ∈ I Ta có với s ∈ [0, ∞), t ∈ I L{e hfˆ(t)}(s) sp−1 q0 e Q(s) = p − s − a2 sp − a2 (4.23) 96 Biến đổi Laplace ngược cho phương trình (4.23), ta nhận nghiệm khả vi hệ (4.15) p Z qe(t) = Ep,1 (a2 t )e q0 − t (t − ς)p−1 Ep,p (a2 (t − ς)p )e hfˆ(ς)dς Vì a ≥ 0, k < nên −a + k = a2 < Áp dụng Bổ đề Gronwwall-Bellman kì dị 4.4 tính chất hàm Mittag-Leffler, ta có |e q (t)| ≤ 1+ |e q0 | + p)|a2 |tp Γ−1 (1 Tương tự Định lý 4.1, ta chứng minh với t ≥ |e q (t)| < |a2 qe0 | |a2 | − l (4.24) Với điều kiện |a2 | > l ta nhận hệ (4.22) có điểm cân ổn định tiệm cận Từ Bổ đề 4.5, re(t) thỏa mãn hệ phương trình  Dp+ re(t) = (a + k)e r(t) + 2ae q (t)x∗ + 2e hfˆ(t) + gefˆ(t) re(0) = re (4.25) Ta tìm công thức nghiệm re(t) p re(t) = Ep,1 (a1 t )e r0 − t Z (t − ς)p−1 Ep,p (a1 (t − ς)p )(2ae q (ς)x∗ + 2e hfˆ(ς) + gefˆ(ς))dς Tương tự qe(t), ta chứng minh |e r(t)| ≤ |e r0 | + Γ−1 (1 + p)|a1 + (2|amx∗ | + 2|m|l + l)|tp |e r(t)| < |a1 re0 | |a1 | − (2|amx∗ | + 2|m|l + l) (4.26) Với điều kiện |a1 | > 2|amx∗ | + 2|m|l + l, ta có điểm cân hệ (4.25) ổn định tiệm cận Vì ak < nên |a1 | ≤ |a2 | Kết hợp điều kiện |a2 | > l |a1 | > 2|amx∗ | + 2|m|l + l Ta nhận thấy với điều kiện |a1 | > 2|amx∗ | + 2|m|l + l, điểm cân hệ (4.19) ổn định tiệm cận 97 Trường hợp 2: Xét a < 0, k ≥ Từ Bổ đề 4.5, ta có qe thỏa mãn hệ phương trình    D0p+ qe(t) = a3 qe(t) − e hfˆ(t),    D0p+ re(t) = a1 re(t) + 2e hfˆ(t)x∗ + gefˆ(t) + 2ke q (t)x∗ ,     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 , t ∈ I Sử dụng biến đổi Laplace, tìm cơng thức nghiệm Z t p qe(t) = Ep,1 (a3 t )e q0 − (t − ς)p−1 Ep,p (a3 (t − ς)p )e hfˆ(ς)dς Z t re(t) = Ep,1 (a1 )e r0 + (t − ς)p−1 Ep,p (a1 (t − ς)p )(2e hfˆ(ς)x∗ + gefˆ(ς) + 2ke q (ς)x∗ )dς Tương tự trường hợp 1, ta chứng minh với điều kiện |a1 | > 2l|mx∗ | + l + 2||kmx∗ | ta có |e q0 | + Γ−1 (1 + p)|a3 + l|tp |e r0 | |e r(t)| ≤ + Γ−1 (1 + p)|a1 + (2l|mx∗ | + l + 2|kmx∗ |)|tp |e q (t)| ≤ |e q (t)| ≤ |a3 qe0 | |a3 | − l |e r(t)| ≤ |a1 re0 | |a1 | − (2l|mx∗ | + l + 2|kmx∗ |) Tương tự trường hợp 1, ak < nên |a1 | ≤ |a3 | nên điểm cân hệ (4.19) ổn định tiệm cận |a1 | > 2l|mx∗ | + l + 2|kmx∗ | Trường hợp 3: Xét a < 0, k < Từ Bổ đề 4.5, qe, re thỏa mãn hệ    D0p+ qe(t) = a1 qe(t) − e hfˆ(t),    t ∈ I D0p+ re(t) = a1 re(t) + 2e hfˆ(t)x∗ + gefˆ(t),     qe(0) = qe0 , re(0) = re0 , Tương tự trường hợp 1, ta chứng minh với điều kiện |a1 | > l |a1 | > l(2|mx∗ | + 1), ta có |e q0 | , + Γ−1 (1 + p)|a1 + l|tp |e r0 | |e r(t)| ≤ + Γ−1 (1 + p)|a1 + l(2|mx∗ | + 1)|tp |e q (t)| ≤ 98 |e q0 a1 | , |a1 | − l |e r0 a1 | |e r(t)| ≤ |a1 | − l(2|mx∗ | + 1) |e q (t)| ≤ Từ đó, ta có điểm cân hệ (4.19) ổn định tiệm cận |a1 | > l(2|mx∗ | + 1) Kết thúc chứng minh 4.4 Ví dụ Ví dụ 4.2 Cho A = (1; 3; 4) số mờ khơng đối xứng Ta xét phương trình vi phân mờ phân thứ sau   C ˆ(t) = − √ ⊙A xˆ(t) ⊕A e−t ⊙A xˆ(t), D LC 0+ x 3π  xˆ(0) = xˆ0 , t ∈ [0; +∞) (4.27) Từ (4.27), ta nhận |a| = √ p = 3π Nếu A số mờ không đối xứng, ta thấy fˆ(ˆ x, xˆ(t)) = e−t ⊙A xˆ(t) với t ∈ [0; +∞) Suy ra, hfˆ(t) = e−t q(t), Do đó, |hfˆ(t)| ≤ |q(t)|, |gfˆ(t)| ≤ e |a| = √ > Vậy điểm cân e 3π gfˆ(t) = e−t r(t) 1 |r(t)| Ta có l = Ta nhận thấy e e hệ (4.27) ổn định tiệm cận Ví dụ 4.3 Cho A = (−1; 0; 1) số mờ đối xứng qua x∗ = Ta xem xét toán sau    √ −1   cos t  (t + 1) πΓ    C ˆ A xˆ(t)⊕ ˆA ˆ A xˆ(t)⊕ ˆ A u(t),   ˆ(t) = (−2)⊙ ⊙ LC D0+ x √ πΓ + Γ(2)       xˆ(0) = xˆ0 , (4.28) 99 với t ∈ [0; +∞) Từ (4.28), ta nhận √ a = −2, p= , fˆ(t, xˆ(t)) =   −1 (t + 1) cos t πΓ ˆ A xˆ(t)   ⊙ √ + Γ(2) πΓ Mặt khác fˆ(t, xˆ(t)) có biểu diễn chuẩn fˆ(t, xˆ(t)) = ψˆA (e hfˆ(t), gefˆ(t)) với e hfˆ(t) = 3π 3π √ qe(t) gefˆ(t) = √ re(t) 2(π + 2) 2(π + 2) Nhận xét với t ∈ [0, ∞), ta có 3π e hfˆ(t) ≤ √ qe(t), 2(π + 2) 3π gefˆ(t) ≤ √ re(t) 2(π + 2) 3π Do đó, fˆ(t, xˆ(t)) thỏa mãn điều kiện giả thiết (G) với số l = √ 2(π + 2) Với biến điều khiển u(t) = xˆ(t) ta có k = 1, |a + k| = > l Áp dụng Định lý 4.4, ta nhận điểm cân hệ (4.28) ổn định tiệm cận KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, phương trình tiến hóa theo đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo nghiên cứu Các kết đạt sau (i) Đưa điều kiện để tốn đưa có điểm cân ổn định tiệm cận Chỉ lớp toán có điểm cân khơng ổn định tiệm cận (ii) Trong trường hợp tốn có điểm cân khơng ổn định tiệm cận, xây dựng biến điều khiển để phương trình có điểm cân ổn định tiệm cận không gian RF(A) hai trường hợp A số mờ đối xứng không đối xứng (iii) Chỉ số ví dụ minh họa cho định lý KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án Bài tốn điều khiển cho phương trình tiến hóa phân thứ khơng gian số mờ tương quan tuyến tính tập trung nghiên cứu tồn nghiệm, tính điều khiển được, tính ổn định ổn định hóa điểm cân số lớp phương trình tiến hóa khơng gian mờ tương quan tuyến tính Dưới số kết đạt luận án ˆ Xây dựng phép tốn giải tích phân thứ cho hàm mờ tương quan tuyến tính không gian RF(A) hai trường hợp A số mờ đối xứng A số mờ không đối xứng Trong đó, chúng tơi xây dựng khái niệm đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ, đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo chứng minh số tính chất hai loại đạo hàm phân thứ ˆ Đưa điều kiện đủ để tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa mờ phân thứ không gian mờ tương quan tuyến tính có nghiệm nghiệm (trong hai trường hợp đạo hàm Fréchet Caputo phân thứ, đạo hàm tương quan tuyến tính Caputo) ˆ Đưa điều kiện để đảm bảo khả điều khiển hồn tồn phương trình tiến hóa mờ phân thứ khơng gian mờ tương quan tuyến tính với biến điều khiển không ˆ Đưa điều kiện để phương trình tiến hóa mờ phân thứ có điểm cân ổn định tiệm cận Trong trường hợp phương trình có điểm cân không ổn định tiệm cận, xây dựng biến điều khiển phản hồi trạng thái để lớp phương trình cho có điểm cân ổn định tiệm cận 100 101 Đề xuất số hướng nghiên cứu Tiếp nối kết đạt luận án, số hướng nghiên cứu tương lai tác giả: ˆ Nghiên cứu toán quan sát sử dụng đạo hàm Fréchet phân thứ ˆ Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho phương trình tiến hóa theo đạo hàm Fréchet đạo hàm tương quan tuyến tính phân thứ Caputo DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N.T.K Son, H.T.P Thao, N.P Dong, H.V Long (2021), “Fractional calculus of linear correlated fuzzy-valued functions related to Fréchet differentiability”, Fuzzy Sets Syst., Volume 419, pp 35-66 N.T.K Son, H.T.P Thao, T.V Bang, H.V Long, (2021), “Complete controllability of Fuzzy Fractional Evolutions Equation Under Fréchet Derivative in Linear correlated Fuzzy Spaces”, Advances in Fuzzy Integral and Differential Equations, pp 81–114 N.T.K Son, H.T.P Thao, H.V Long, T Allahviranloo (2022), “State feedback control for fractional differential equation system in the space of linearly correlated fuzzy numbers”, Fuzzy Sets Syst., https://doi.org/10.1016/j.fss.2022.06.022 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Abdollahi, A Khastan, J.J Nieto et (2018), “On the linear fuzzy model associated with Caputo-Fabrizio operator”, Bound Value Probl., 91, 18 [2] R.P Agarwal, V Lakshmikantham, J.J Nieto (2010), “On the concept of solution for fractional differential equations with uncertainty”, Nonlinear Anal., 72(6), 2859-2862 [3] C.T Anh, T.D Ke (2014), “On nonlocal problems for retarded fractional differential equations in Banach spaces”, Fixed Point Theory, 15(2), 373–392 [4] G Arfken (1985), “Confluent Hypergeometric Functions”, Mathematical Methods for Physicists, 753-758 [5] S Arshad, V Lupulescu (2011), “On the fractional differential equations with uncertainty”, Nonlinear Anal., 74(11), 3685–3693 [6] S Arshad, V Lupulescu (2011), “Fractional differential equation with the fuzzy initial condition”, Electron J Differential Equations, 34, [7] B Bede (2013), Mathematics of Fuzzy Sets and Fuzzy Logic, Springer [8] B Bede, L Stefanini (2013), “Generalized differentiability of fuzzy-valued functions”, Fuzzy Sets Syst., 230, 119–141 [9] H.E Buchanan, T.H Hildebrandt (1908), Annals of Mathematics , Apr, Second Series, 9(3), 123-126, Mathematics Department, Princeton University [10] S Chakraverty, S Tapaswini, D Behera (2017), Fuzzy differential equations and applications for engineers and scientists, CRC Press, Boca Raton, FL [11] L.P Chen, Y Chai, R C Wu, J Wang (2012), “Stability and stabilization of a class of nonlinear fractional-order systems with Caputo derivative”, IEEE Tran Circuits Syst., 59(9)(2012) 602-606 [12] V.D Gejji, H Jafari (2007), “Analysis of a system of nonautonomous fractional differential equations involving Caputo derivatives”, J Math Anal Appl., 328(2), 1026-1033 [13] P Diamond (1999), “Time-dependent differential inclusions, cocycle attractors and fuzzy differential equations”, IEEE Trans Fuzzy Syst., 7, 123–134 [14] P Diamond (2000), “Stability and periodicity in fuzzy differential equations”, IEEE Trans Fuzzy Syst., 8, 583–590 103 104 [15] T Donchev, A Nosheen, V Lupulescu (2014), “Fuzzy integro-differential equations with compactness type conditions”, Hacettepe J Maths Stats., 43(2), 259267 [16] V.S Ertă urk, S Momani (2008), Solving systems of fractional differential equations using differential transform method”, J Comput Appl Math., 215(1), 142– 151 [17] E Esmi, F.S Pedro, L.C Barros (2018), “Fréchet derivative for linearly correlated fuzzy-valued function”, Information Sciences, 435, 150-160 [18] X Fu, Q Shen (2011), “Fuzzy complex numbers and their application for classifiers performance evaluation”, Pattern Recognit, 44, 1403–1417 [19] M Hallaji, A Zare, A.V Kamyad (2013), “Stability analysis of uncertainty linear systems described by fuzzy characteristic equations”, Asian J Control, 5(1), 193– 202 [20] E Hernández, D O’Regan (2009), “Controllability of Volterra–Fredholm type systems in Banach spaces”, J Franklin Inst., 346, 95101 [21] E Hă ullermeier (1997), “An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical systems”, Internat J Uncertain Fuzziness Knowledge-Based Systems, 5(2), 117–137 [22] O.I Ignatius, C.I Oviawe (2016), “On the observability and controllability of Active Suspension System”, Network and complex Systems, 6(1) [23] R Jafari, W Yu (2015), “Fuzzy control for uncertainty nonlinear systems with dual fuzzy equations”, J Intell Fuzzy Syst., 29(3), 1229–1240 [24] A Jafarian, R Jafari, A.K Golmankhaneh et al (2015), “Solving fully fuzzy polynomials using feed-back neural networks”, Int.J.Comput Math., 92(4), 742–755 [25] J.U Jeong (2010), “Existence results for fractional order fuzzy differential equations with infinite delay”, Int Math Forum., 5(65), 3221-3230 [26] J.H Jeong, J.S Kim, H.E Youm et al (2017), “Exact controllability for fuzzy differential equations using extremal solutions”, J Comput Anal Appl., 23(6), 1056-1069 [27] J Klamka (2018), Controllability and Minimum Energy control, Springer [28] O Kaleva (1990), “The Cauchy problem for fuzzy differential equations”, Fuzzy Sets Syst., 35(3), 389–396 [29] M.I Kamenskii, V.V Obukhovskii, P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, De Gruyter [30] T.D Ke, L.T.P.Thuy (2020), “Dissipativity and stability for semilinear anomalous diffusion equations involving delays”, J.Math.Anal Appl., 483, 123655 105 [31] A.A Kilbas, H.M Srivastava, J.J Trujillo (2006), Theory and Applications of Fractional Differential Equations, Elsevier Science B.V, Amsterdam [32] M.M Khader, K.M Saad (2018), “A numerical study using Chebyshev collocation method for a problem of biological invasion: Fractional Fisher equation”, Int J Biomath., 8, 15 [33] Y.C Kwun, J.S Park (2009), “Controllability for the impulsive semilinear fuzzy integrodifferential equations with nonlocal conditions and forcing term with memory”, J Comput Anal Appl., 11(2), 183–195 [34] Y.C Kwun, J.S Park (2010), “Controllability for the impulsive semilinear nonlocal fuzzy integrodifferential equations in n-dimensional fuzzy vector space”, Adv Difference Equ., 22 [35] V Lakshmikantham, R Mohapatra (2003), Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions, Taylor and Francis Publishers, London [36] H.V Long, N.T.K Son, H.T.T Tam (2017), “The solvability of fuzzy fractional partial differential equations under Caputo gH-differentiability”, Fuzzy Sets Syst., 309, 35-63 [37] H.V Long, J.J Nieto, N.T.K Son (2018), “New approach for studying nonlocal problems related to differential systems and partial differential equations in generalized fuzzy metric space”, Fuzzy Sets Syst., 331, 26-46 [38] E.H Mamdani, S Asilian (1975), “An experiment in linguistic synthesis with afuzzy logic controller”, Int J Man-Machine Studies, 7(1), 1-13 [39] M Mazandarani, A.V Kamyad (2015), “Modified fractional Euler method for solving fuzzy fractional initial value problem”, Commun Nonlinear Sci Numer Simul., 26(1), 276–277 [40] M Mazandarani, N Pariz, A.V Kamyad (2018), “Granular differentiability of fuzzy-number-valued functions”, IEEE Trans Fuzzy Syst, 26(1), 310-323 [41] D.A Murio (2006), “On the stable numerical evaluation of Caputo fractional derivatives”, Comput Math Appl., 51(9), 1539–1550 [42] M Najariyan, Y Zhao (2018), “Fuzzy fractional quadratic regulator problem under granular fuzzy fractional derivatives”, IEEE Tran Fuzzy Syst., 26(4), 22732788 [43] M Najariyan, Y Zhao (2020), “On the stability of fuzzy linear dynamical systems”, J.Franklin Inst., 357(9), 5502–5522 [44] M Oberguggenberger, S Pittschmann (1999), “Differential equations with fuzzy parameters”, Math Comput Model Dyn Syst., 5, 181–202 [45] Z M Odibat (2009), “Computing eigenelements of boundary value problems with fractional derivatives”, Appl Math comput., 215(8), 3017–3028 106 [46] F.S Pedro, L.C Barros, E Esmi (2019), “Population growth model via interactive fuzzy differential equation”, Inform Sci., 481, 160–173 [47] F.S Pedro, E Esmi, L.C Barros (2020), “Calculus for linearly correlated fuzzyvalued function using Fréchet Derivative and Riemann Integral”, Inform Sci., 512, 219-237 [48] I Podlubny (1998), Fractional Differential Equations, Mathematic in science and engineering [49] L.M Puri, D Ralescu (1983), “Differentials of fuzzy functions”, J Math Anal Appl., 91, 552–558 [50] K.M Saad, S Deniz, D Baleanu(2019), “On a new modified fractional analysis of Nagumo equation”, Int J Biomath., 12(3), 15 [51] S.G Samko, A.A Kilbas, O.I Marichev (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, Switzerland [52] S Salahshour, T Allahviranloo, S Abbasbandy et al (2012), “Existence and uniqueness results for fractional differential equations with uncertainty”, Adv Difference Equ., 112, 12 [53] A Shukla, N Sukavanam, D.N Pandey (2015), “Approximate controllability of Semi-linear System with State Delay using Sequence Method”, J Franklin Inst., 352(1), 5380-5392 [54] S Song , C Wu, E.S Lee (2005), “Asymptotic equilibrium and stability of fuzzy differential equations”, Comput Math Appl., 49, 1267–1277 [55] N.T.K Son (2018), “A foundation on semigroups of operators defined on the set of triangular fuzzy numbers and its application to fuzzy fractional evolution equations”, Fuzzy Sets Syst., 347, 1–28 [56] N.T.K Son and N.P Dong (2018), “Asymptotic behavior of C -solutions of evolution equations with uncertainties”, J Fixed Point Theory Appl., 20(1), 1-27 [57] N.T.K Son, N.P Dong, H.V Long (2019), “Fuzzy delay differential equations under granular differentiability with applications”, Comp Appl Math., 38(3), 107136 [58] N.T.K Son, N.P Dong, H.V Long et al (2020), “Linear quadratic regulator problem governed by granular neutrosophic fractional differential equations”, ISA Trans., 97, 296-316 [59] N.T.K Son, N P Dong, L.H Son et al (2022), “Complete controllability for a class of fractional evolution equations with uncertainty”, Evol Equ control, 11(1), 95–124 107 [60] L Stefanini (2008), “A generalization of Hukuhara difference”, Soft Methods for Handling Variability and Imprecision, Series on Advances in Soft computing [61] L Stefanini (2010), “A generalization of Hukuhara difference and division for interval and fuzzy arithmetic”, Fuzzy Sets Syst., 161, 1564-1584 [62] Y Li, Y.Q Chen, I Podlubny (2009), “Mittag-Leffler stability of fractional order nonlinear dynamic systems”, Automatica J IFAC, 1965–1969 [63] Y Shen (2022), “First-order linear fuzzy differential equations on the space of linearly correlated fuzzy numbers”, Fuzzy Sets Syst., 429, 136–168 [64] Y.Shen (2022), “A novel difference and derivative of linearly correlated fuzzy number-valued functions”, Journal of Intelligent Fuzzy Systems, 42(6), 6027-6043 [65] Y Shen (2022), “Calculus for linearly correlated fuzzy number-valued functions”, Fuzzy Sets Syst., 429, 101–135 [66] V Vergara, R Zacher (2017), “Stability, instability, and blowup for time fractional and other non-local in time semilinear subdiffusion equations”, J Evol Equ., 7, 599–626 [67] D Vorobiev, S Seikkala (2002), “Towards the theory of fuzzy differential equations”, Fuzzy Sets Syst., 125, 231–237 [68] J.R Wang, X Yong (2012), “Complete controllability of fractional evolution systems”, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 17, 4346–4355 [69] J Yoon, T Byun, J Lee, K Lee (2020), “Classification of Complex Fuzzy Numbers and Fuzzy Inner Products”, Mathematics, 8(9), 1626 [70] L.A Zadeh (1965), Fuzzy sets, Informat control, 8, 338-353 [71] E Zeidler (1995), Applied Functional Analysis: Main Principles and Their Applications, Applied Mathematical Sciences Series, Springer-Verlag [72] S Zhang, J Sun (2015), “Stability of fuzzy differential equation on the second type of hukuhara derivative”, IEEE Trans Fuzzy Syst., 23, 1323–1328 ... khơng gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 1.1 Không gian số mờ RF 20 1.2 Khơng gian mờ tương quan tuyến tính RF(A) 23 1.3 20 1.2.1 Không gian 1.2.2 Không gian Rnsy... RF(A) Không gian mờ tương quan tuyến tính 23 Rnsy F Khơng gian số mờ không đối xứng 20 Rsy F Rnsy F(A) Rsy F(A) p I0+ q(t) Không gian số mờ đối xứng trừ tập R 20 Không gian mờ tương quan tuyến tính... Dựa hiệu hai số mờ không gian mờ tương quan tuyến tính, tác giả đưa khái niệm đạo hàm Fréchet đạo hàm tương quan tuyến tính (đạo hàm LC) 12 Khơng gian mờ tương quan tuyến tính xây dựng cách