bài tập chuyên đề hình học không gian

Cho ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, MvàN là hai điểm di động trên AB AC, sao choDMNluôn vuông góc vớiABC.Xác định vị trí củaMvàNđể tứ diện ADMN có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất..

Trang 1

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN, BỒI DƯỠNG HSG THI QUỐC GIA Văn Phú Quốc-GV Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm

1 Cho ABC vuông tại A.Trên đường thẳng  d vuông góc với mặt phẳng

ABC tại B ta lấy điểm S sao cho: SBBA  AC 1  P là mặt phẳng song song với các cạnh SB và AC cắt các cạnh SA SC BC BA, , , lần lượt tại , , ,

D E F H.Xác định vị trí của mặt phẳng  P sao cho diện tích của tứ

giácDEFH lớn nhất

2 Cho tứ diện ABCD chỉ có cạnh AD lớn hơn 1, đặt BC x Tìm x để thể tích của tứ diện ABCD lớn nhất

3 Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có cạnh đáy bằng a

a) Ta xem hình chóp đã cho là tứ diện SABC có trọng tâm O; gọi  là góc giữa mặt phẳng SAB và ABC Hãy tính cos để O cách đều tất cả các mặt của SABC

b) Biết  0

30

ASB  Xét mặt phẳng  P thay đổi đi qua A, sao cho  P cắt các đoạn thẳng SB SC, theo thứ tự tại B C , .Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác AB C  theo a

4 Cho mặt phẳng  P trong đó có một đường thảng  d cố định và một điểm

A cố định không thuộc  d Trên tia Az vuông góc với  P ta lấy một điểm D cố định Góc vuông xAyquay quanh Asao cho  d cắt Ax Ay, lần lượt tại Bvà C GọiH là hình chiếu của A trên BCD, K là điểm đối xứng của Hqua  d Chứng minh tứ giác DBKC nội tiếp trong một đường tròn Tìm quỹ tích tâm của đường tròn đó

5 Cho ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng 1, MvàN là hai điểm di động trên AB AC, sao choDMNluôn vuông góc vớiABC.Xác định vị trí

củaMvàNđể tứ diện ADMN có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất

6 Cho  d và  là hai đường thẳng chéo nhau Gọi A B, là hai điểm cố định trên  d và CD 1 (không đổi) di động trên  Hãy tìm vị trí của CD để diện tích toàn phần của tứ diện ABCD là nhỏ nhất

7 Xét tất cả các ABC trong không gian

a) Với điều kiện nào của các góc A B C, , trong ABC thì sẽ tồn tại điểm

Ptrong không gian mà các gócAPB BPC CPA  , , là các góc vuông

b) Giả sử tồn tại điểm P thoả mãn tính chất ở câu a); gọi  d là độ dài lớn nhất trong ba đoạn thẳng PA PB PC, , và h là độ dài đường cao lớn nhất trong ABC Chứng minh rằng: 6

3 h d h 

Trang 2

8 Cho tứ diện SABCcóSA SB SC, , vuông góc với nhau từng đôi một Gọi ,

H O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC

Chứng minh rằng:

2 2

1 2

4cos cos cos

OH

A B C

9 Mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện ABCD Giả sử O nằm trong tứ diện và diện tích của các mặt tứ diện ABCD đối diện với các đỉnh A B C D, , , lần lượt là S S S S1, , ,2 3 4.Bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD CDA DAB ABClần lượt là R R R R1, 2, 3, 4.Khoảng cách từ tâm các đường tròn các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD CDA DAB ABC, , , theo thứ tự đến các đỉnh A B C D, , , lần lượt là d d d d1, , ,2 3 4.Độ dài các đường cao của tứ diện xuất phát từ A B C D, , , lần lượt là h h h h1, , ,2 3 4.Chứng minh:

a)

2

d R



4

1

1 1

i



10 Cho tứ diện ABCD có mặt cầu nội tiếp và bán kính r không đổi Gọi , , ,

A B C D

R R R R lần lượt là bán kính mặt cầu bàng tiếp với đỉnh A B C D, , , của tứ diện ABCD Hãy xác định tứ diện ấy để R A R B R C R D có giá trị nhỏ nhất

11 Cho hình lập phương ABCD A B C D     cạnh a Điểm M thuộc đoạn BC, điểm N thuộc đoạn AB MN tạo với ABCD một góc  Chứng minh rằng:

2cos sin



12 Trong không gian cho bốn tia Ox Oy Oz Ot, , , sao cho các góc tạo bởi hai tia bất kì bằng nhau Trên các tiaOx Oy Oz Ot, , , lần lượt lấy các điểm A B C D, , , Chứng minh rằng với mọi điểm M trong không gian ta có:

OA OB OC

MAMBMCMD   OD

13 Cho hình chóp tam giác đều S ABC. Gọi alà góc hợp bởi SA với ABC;

b là góc hợp bởi SBC và ABC; c là góc hợp bởi SABvàSBC với

2 , , 0 ;

a b c  

 

Giả sử a b c, , thay đổi sao cho ac 2b đồng thời dựng thiết diện qua BC

và vuông góc với SA tại D Chứng minh rằng:

SBCD

ABCD

V

V đạt giá trị lớn nhất a b c, , là một cấp số cộng

14 (Mathematics and Youth Magazine 10/275)

Trang 3

Trên mặt phẳng  P cho đường tròn đường kính AB Lấy điểm C trên tia

AB sao cho AC  2AB Một đường thẳng qua C cắt đường tròn tại M và

N Dựng điểm D sao cho DB AB và DB vuông góc với mặt phẳng  P Chứng minh rằng: 2 2 1

2

BDM BDN 

15 (Mathematics and Youth Magazine 8/271) Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD Chứng minh bất đẳng thức sau:

 2 2 3 1  2  2  2

2

ABACAD  S  BCCD  CDDB  DBBC 

Cho hình trụ T1 Ta gọi hình trụ T2 là nội tiếp ngang T1 nếu mỗi đáy của

1

T chứa đúng một đường sinh của T2 và mặt xung quanh của T1 chứa bốn điểm của đường tròn đáy của T2 Hình trụ T1 phải thỏa mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ T T1, , , , 2 T n mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ trước

Xét tứ diện A A A A1 2 3 4 cùng ngoại tiếp một mặt cầu cho trước Mỗi tiếp diện của mặt cầu song song với một mặt của tứ diện này, cắt ra khỏi tứ diện đó một tứ diện nhỏ Gọi v i  i 1,2,3,4 là thể tích của tứ diện nhỏ có đỉnh A i và V là thể tích của tứ diện A A A A1 2 3 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của

v v v v

V

và xác định dạng của những tứ diện A A A A1 2 3 4 như thế

Tìm điều kiện cần và đủ đối với tứ diện ABCD sao cho tổng khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong tứ diện đến các mặt của nó là không đổi

Cho năm điểm phân biệt A A A A A1, 2, 3, 4, 5 không đồng phẳng nhưng cùng nằm trên một mặt cầu Chứng minh rằng các mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua trọng tâm của tam giác có các đỉnh là ba trong năm đỉnh nói trên và vuông góc với đường thẳng nối hai điểm còn lại thì đồng quy

Cho tứ diện ABCD có bốn đường cao cắt nhau tại một điểm H Chứng minh rằng có một và chỉ một điểm M trong không gian thỏa mãn

HG HG HG HG trong đó G G G G1, 2, 3, 4 lần lượt là trọng tâm của các

Trang 4

21.(Mathematics and Youth Magazine 10/287)

Giả sử M là một điểm nằm bên trong tứ diện ABCD Các đường thẳng

AM BM CM DM theo thứ tự cắt các mặt phẳng BCD CDA DAB ABC ,  ,  , 

tại A B C D  , , ,   Mặt phẳng   qua M, song song với mặt phẳng BCD lần lượt cắt A B A C A D  ,   ,   tại X Y Z, , Chứng minh rằng: M là trọng tâm của

XYZ

Cho hình chóp S ABC. Chứng minh rằng nếu các trung tuyến của các tam giác SAB SBC SCA, , kẻ từ đỉnh S tạo với các cạnh đáy AB BC CA, , những góc không tù bằng nhau thì diện tích của mỗi mặt bên nhỏ hơn tổng diện tích các mặt bên còn lại

Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau Gọi E là tiếp điểm của các mặt BCD và mặt cầu tâm O nội tiếp tứ diện Gọi K là tiếp điểm của mặt BCD và mặt cầu bàng tiếp tứ diện ứng với đỉnh A Chứng minh rằng:

a) K là trực tâm của BCD

b) FA 2EF với F là giao điểm của AE và KO

Giả sử một tứ diện đều được phân chia thành một số tứ diện nhỏ sao cho tổng thể tích các hình cầu ngoại tiếp các tứ diện nhỏ bằng thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ diện ban đầu Chứng minh rằng các tứ diện nhỏ là tứ diện đều

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G.Lấy M là một điểm bất kì trong không gian, N là điểm thỏa mãn điều kiện: MN  4MG

 

Chứng minh rằng: NANBNCN D2MN MAMBM CM D

Dấu “=” xảy ra khi nào?

Trên cạnh CD của hình tứ diện ABCD lấy điểm N N C D,  Ký hiệu

p XYZ là chu vi XYZ Chứng minh rằng:

a) NC p DAB.  ND p CAB.   CD p NAB.  

b)

NC CA CB

ND DA DB





 khi NA NB

Trang 5

Gọi l R, lần lượt là tổng độ dài các cạnh và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Hỏi trong số các tứ diện, tứ diện nào có tỉ số l

R đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó

Cho tứ diện ABCD và điểm M thỏa mãn điều kiện:

0

    

    

Đường thẳng  bất kì qua M, cắt các mặt phẳng BCD CDA DAB ABC ,  ,  , 

theo thứ tự tại A B C D1, ,1 1, 1 Chứng minh rằng:

0

Cho tứ diện ABCD, trọng tâm G, tâm mặt cầu ngoại tiếp O Gọi I là điểm đối xứng của O qua G Biết O nằm trong tứ diện Chứng minh rằng I cũng nằm trong tứ diện

30 Cho mặt cầu  S có bán kính R không đổi Một hình hộp ABCD A B C D     ngoại tiếp mặt cầu  S Giả sử góc giữa hai mặt phẳng AA D D   và

CC D D   bằng x Chứng minh rằng:

2

8 sin

R x

V 

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	221,71 KB